correzione prova sul moto unif. - Digilander

PROVA SCRITTA di FISICA
Classe 2 A
11/10/11
CORREZIONE (versione senza gure)
1
Con riferimento al concetto di sistema di riferimento, specica cosa si intende per stato di moto di un
corpo
Lo stato di moto di un corpo è una proprietà che indica se il corpo è fermo (in quiete) oppure si
muove (ovvero varia la sua posizione nel tempo) con diverse velocità. Ovviamente, per denire lo stato
di moto è necessario introdurre un sistema di riferimento spazio-temporale, costituito da un'origine, da
un verso positivo sulla traiettoria percorsa dal corpo, un'unità di misura per le distanze e uno strumento
per misurare i tempi (cronometro). La scelta del sistema di riferimento è importante perchè un corpo
può essere in moto per un sistema, ma in quiete per un altro (esempio: un passeggero di un treno si può
muovere per un sistema che ha l'origine sulla panchina di una stazione davanti alla quale il treno transita,
ma esso è fermo rispetto ad un sistema che ha l'origine sul seggiolino del passeggero, detto quest'ultimo
sistema solidale col passeggero)
2
Dai la denizione di moto rettilineo uniforme, facendo alcuni esempi pratici e denendo il concetto di
velocità media
Per moto rettilineo uniforme si intende un particolare stato di moto in cui il corpo in questione
percorre una traiettoria rettilinea muovendosi con velocità costante nel tempo, ossia percorrendo spazi
uguali in tempi uguali. Per velocità media si intende il rapporto fra lo spazio percorso ∆s ed il tempo di
percorrenza ∆t, quindi:
v=
∆s
∆t
L'unità di misura nel S.I. è ovviamente il metro al secondo (m/s), ma nel sistema pratico si usa anche il
Km/h.
3
Cos'è una legge oraria? Quale è in generale la legge oraria del moto rettilineo uniforme e quale ne è
l'interpretazione sul graco (t, s)?
La legge oraria è un'equazione che permette di calcolare la posizione nale di un corpo per un dato
tempo ed è espressa da una relazione fra spazio e tempo del tipo:
s = s(t)
ove la formula, l'espressione a secondo membro dipende dallo stato di moto del corpo interessato.
Nel caso del M.R.U. (moto rettilineo uniforme) la legge oraria è IN GENERALE una relazione di
correlazione lineare:
s = s0 + v · (t − t0 )
ove s0 è la posizione iniziale del corpo, v la velocità costante e t0 il tempo iniziale. Spesso t0 = 0 ossia
si pone come origine temporale l'istante di partenza del corpo, sicchè la legge è spesso scritta
s = s0 + v · t
Se poi s0 = 0 ossia il corpo parte dall'origine, si ottiene una perfetta relazione di proporzionalità
diretta fra spazio e tempo:
s=v·t
Sul piano (t, s) una tale legge oraria è rappresentata sempre, come tutte le relazioni di proporzionalità
diretta, da una retta, che parte dall'origine se s0 = 0.
Fra le seguenti aermazioni, specica quale è l'unica corretta fra le quattro proposte.
1
1. Quale è la legge oraria del moto uniforme che avviene con v = 2m/s?
a)
b)
c)
d)
∆s = 2 · ∆t
∆t = 2 · ∆s
∆s = −2 · ∆t
∆s = 2 + ∆t
La risposta corretta è la a): il coeciente davanti a ∆t è sempre la velocità. La b) non può
essere perchè non denota una legge oraria. Nella c) la velocità è negativa e nella d) il termine 2
designerebbe s0 e v sarebbe 1m/s.
2. Data la legge oraria (con t in ore e s in Km): s = 13 + 2 · (t − 12), cosa si può dire?
a)
b)
c)
d)
v = 13Km/h
s0 = 2Km
il corpo è partito a mezzogiorno
t0 = 2 ore
In tale espressione, ovviamente il termine 13 designa s0 = 13 Km, mentre v = 2 Km/h è la velocità.
All'interno della parentesi, il 12 rappresenta ovviamente t0 quindi il corpo è partito a mezzogiorno
e la risposta corretta è la c).
3. Data la legge oraria (con t in secondi e s in metri): s = 2 · (t − 12), cosa rappresenta il coeciente
2?
a)
b)
c)
d)
lo spazio iniziale s0
l'ora in cui è iniziato il moto
la velocità: v = 2km/h
la velocità: v = 2m/s
Il coeciente 2, che è davanti a (t − 12) rappresenta sicuramente una velocità, ma leggendo bene le
unità di misura di s e t, essa sarà certamente espressa in m/s, per cui l'unica risposta sensata è la
d)
4
Un treno parte alle 11.30 (prova A) - 10.30 (prova B) ed arriva alla prima stazione alle 11.47 (prova
A) - 10.47 (prova B) dopo aver percorso 13Km. Resta fermo per 5 minuti e quindi riparte, giungendo
a destinazione alle 12.01 (prova A) - 11.01 (prova B), dopo aver percorso altri 20Km. Calcolare quanti
Km totali ha percorso e quale è stata la sua velocità media in m/s ed in Km/h. Rappresentare poi su un
graco spazio - tempo il moto del treno.
E' ovvio che mentre il treno sta fermo non percorre alcuna distanza, quindi ovviamente stot = 13+20 =
33 Km.
Per trovare la velocità media è necessario calcolare il tempo totale di durata del moto. Fra le ore
11.30 e le ore 12.01 intercorrono ovviamente 31 minuti, dunque ∆t = 31 min. Il dato sarebbe suciente
per calcolare direttamente la velocità (cosa che qualche studente ha fatto), ma si otterrebbe un risultato
espresso in km/min, unità di certo poco pratica e non del S.I.
La dicoltà più grossa è stata allora quella di trasformare i minuti in ore, in quanto molti sono
convinti che 33 minuti siano 0,33 ore. Una simile convinzione è inescusabile: è stato ribadito più volte
che le unità di tempo sono sessagesimali, visto che 60 minuti formano un'ora. La conversione corretta è
allora:
33 min =
33
h = 0.52 h
60
Con tale dato si può allora calcolare:
v=
∆s
33
=
= 63.46 Km/h
∆t
0, 52
2
Tale velocità va poi espressa in m/s con la nota trasformazione moltiplicando per 0.2778 (o dividendo
per 3.6):
v = 63.46 · 0, 2778 = 17.63 m/s
Per rappresentare il moto del treno sul graco (t, s) è suciente fare attenzione alla scelta delle UDM
sugli assi e al tratto orizzontale, relativo alla fermata del treno.
5
Il graco della gura sottostante rappresenta il moto di un treno al passare del tempo. Le lettere A,B,C
sono tre stazioni situate lungo il percorso.
a) Quale è stata la velocità media sull'intero percorso?
Qui bisogna ricordare la denizione di velocità media: rapporto fra spazio eettivamente percorso
(quest'ultimo calcolato come dierenza fra la posizione nale del treno e quella iniziale, che valeva
zero, e il tempo di percorrenza).
Nella prova A il treno impiegava 90+15=105 minuti (= 105/60 = 1.75 h) per giungere alla stazione C
che però si trovava sf = 40 Km, dunque ∆s = 40 Km era lo spazio netto percorso. La velocità media
era pertanto
vA =
40
= 22.85 Km/h
1.75
Nella prova B il treno impiegava 2.5 ore per giungere alla stazione C che però si trovava sf = 150 Km,
dunque ∆s = 150 Km era lo spazio netto percorso. La velocità media era pertanto
vA =
150
= 60 Km/h
2.5
b) Calcolare le velocità relative ai tratti A, B, C
La dicoltà era qui quella di interpretare correttamente il graco, leggendo le varie coppie tempoposizione. I risultati dipendevano dalla prova e sono riassunti nella tabella seguente.
A
B
C
Prova A
sA = 40 Km
sB = 60 Km
sC = 40 Km
Prova B
tA = 45 min = 0.75 h
tB = 90 min = 1.5 h
tC = 105 min = 1.75 h
Si hanno così i seguenti valori di spazi e tempi:
PROVA A
A ∆s = 40 − 0 = 40 km
∆t = 0.75 − 0 = 0.75 h
B ∆s = 60 − 40 = 20 km
∆t = 1.5 − 0.75 = 0.75 h
C ∆s = 40 − 60 = −20 km ∆t = 1.75 − 1.5 = 0.25 h
Ovviamente alcuni dati possono essere lievemente diversi
le velocità calcolate, riportate nella tabella seguente:
sA = 100 Km
sB = 200 km
sC = 150 km
tA = 1.5 h
tB = 1.8 h
tC = 2.5 h
PROVA B
∆s = 100 − 0 = 100 km
∆s = 200 − 100 = 100 km
∆s = 150 − 200 = −50 km
∆t = 1.5 − 0 = 1.5 h
∆t = 1.8 − 1.5 = 0.3 h
∆t = 2.5 − 1.8 = 0.7 h
e quindi saranno lievemente diverse anche
PROVA A
PROVA B
vA = 53.33 Km/h
vB = 26.67 Km/h
vC = −80 Km/h
vA = 66.67 Km/h
vB = 333.33 Km/h
vC = −71.43 Km/h
c) Vericare se la media di queste tre velocità è uguale alla velocità media del punto a)
Qui si intendeva provare che ovviamente la media delle velocità (somma delle tre velocità appena
calcolate divisa per tre) non coincide con quella media.
Ovviamente, per la prova A si ha che
vmedia = (53.33 + 26.67 − 80)/3 = 0 6= 22.85 Km/h
e per la prova B che
vmedia = (66.67 + 333.33 − 71.43)/3 = 33.33 6= 60 Km/h
3
6
La gura sottostante rappresenta il moto di due treni che partono da due punti opposti di una linea
ferroviaria a doppio binario. Calcola istante e posizione dell'incrocio.
Scriviamo prima di tutto le leggi orarie relative ai moti dei due treni, a partire dai seguenti dati. Adottiamo la seguente convenzione: il treno A è quello che si muove sempre concordemente all'orientamento
scelto (la sua velocità sarà sempre positiva)
PROVA A
TRENO A
TRENO B
PROVA B
TRENO A
TRENO B
s0 = 0 Km
t0 = 10h 15m
sf = 30 Km
tf = 10h 42m
s0 = 0 Km
t0 = 10h 33m
sf = 50 Km
tf = 11h 00m
s0 = 30 Km
t0 = 10h 15m
sf = 0 km
tf = 10h 45m
s0 = 30 Km
t0 = 10h 33m
sf = 50 Km
tf = 11h 15m
Per cui si hanno le seguenti leggi orarie:
PROVA A
∆tA = 27m = 0.45h
∆tB = 30m = 0.5h
sA = 66.67 · t
vA = 66.67 km/h
vB = −60 km/h
sB = 30 − 60 · t
PROVA B
∆tA = 27m = 0.45h
∆tB = 42m = 0.7h
sA = 111.11 · t
vA = 111.11 km/h
vB = −71.43, km/h
sB = 50 − 71.43 · t
ovviamente avendo l'accortezza di scegliere come t0 l'ora comune di partenza dei due treni, per cui il
valore del tempo che troveremo andrà SOMMATO ai due orari di partenza, come appare in seguito.
Per determinare tempo e luogo dell'incrocio basta uguagliare le due leggi orarie (se i treni si incontrano,
occupano la stessa posizione allo stesso tempo) e risolvere rispetto a t la semplice (?) equazione lineare
(ammesso di saperlo fare...cosa che a molti ha causato dei problemi! )
PROVA A
sA = 66.67 · t = sB = 30 − 60 · t ⇒ 66.67t = 30 − 60t
30
⇒ (66.67 + 60)t = 30 ⇒ t =
= 0.2368h = 14.21m = 14m 13s
126.67
Quindi il tempo di incontro si ha alle ore 10h 29m 13s
La relativa posizione si ha inserendo il valore t = 0.2368 in una delle due leggi orarie, quindi s =
66.67 · 0.2368 = 15.79 km
PROVA B
sA = 111.11 · t = sB = 50 − 71.43 · t ⇒ 111.11t = 50 − 71.43t
50
⇒ (111.11 + 71.43)t = 50 ⇒ t =
= 0.2739h = 16.44m = 16m 26s
182.54
Quindi il tempo di incontro si ha alle ore 10h 49m 26s
La relativa posizione si ha inserendo il valore t = 0.2739 in una delle due leggi orarie, quindi s =
111.11 · 0.2739 = 30.43 km
4