Corso di Macroeconomia
Il modello IS-LM
Enrico Saltari
Sapienza, Università di Roma
1
Le ipotesi
1. Il livello dei prezzi è fisso.
2. L’analisi è limitata al breve periodo.
La funzione degli investimenti
A differenza del modello reddito-spesa, nel modello IS − LM la spesa per investimenti, I, dipende dal tasso d’interesse, i, e dal livello della produzione, Y.
Limitiamoci a illustrare le decisioni di investimento in un caso semplice. in cui la
macchina dura un solo anno e che abbia un costo pari a PK . Il tasso di rendimento
o efficienza marginale della macchina m è
m=
Π(Y ) − PK
PK
2
Tabella 1 Esempio di calcolo del tasso di rendimento di una macchina
Costo di una macchina aggiuntiva , PK
Ricavi addizionali attesi (1 · 10)
Costi necessari al funzionamento della macchina
Profitto atteso addizionale, Π (10 − 4.7)
Tasso di profitto, m ((5.3 − 5)/5)
5
10
4.7
5.3
6%
dove Π(Y ) rappresenta i profitti attesi.
La tabella mostra un esempio di calcolo di Π(Y ) e m, in cui il prezzo atteso è
pari a 1 e la quantità prodotta è Y = 10.
Il calcolo di m non è tuttavia sufficiente a sapere se l’investimento è conveniente
oppure no. L’impresa deve porre a confronto m con il costo opportunità della somma di denaro necessaria all’investimento, ossia con il tasso d’interesse, i.
Soltanto se m > i, l’investimento è conveniente.
Π(Y ) − PK
>i
m > i =⇒
PK
3
ovvero
Π (Y )
> PK
1+i
L’investimento risulterà tanto più conveniente quanto maggiore Y e minore i
I = I + d1Y − d2i
Esercizio
Supponete che un investimento comporti un costo di PK = 200. L’investimento
dura soltanto due anni, dopo di che esso non ha più alcun valore. Al termine del
primo anno esso fornisce un rendimento di Π1 = 110; dopo due anni, il rendimento
è Π1 = 121. Determinate l’efficienza marginale dell’investimento. Se il tasso di
interesse è i = 8%, è conveniente effettuare l’investimento?
4
La curva IS
La posizione di equilibrio del sistema economico può essere rappresentata dal
seguente sistema di equazioni:
⎧
⎪
Y =Z
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
Z =C +I +G
C = c0 + c1 (Y − T )
I = I + d1Y − d2i
Risolvendo rispetto al prodotto Y
Y =
1
(A − d2i) = α (A − d2i)
1 − (c1 + d1)
dove A = c0 + I + G − c1T è la spesa autonoma e α =
1
.
1 − (c1 + d1)
Questa è l’espressione formale della scheda IS. Essa rappresenta il luogo delle combinazioni di reddito e tasso d’interesse per cui si ha equilibrio, ovvero
uguaglianza tra domanda aggregata e offerta aggregata sul mercato dei beni.
5
Esercizio
In un dato sistema economico senza rapporti con l’estero siano date le seguenti
funzioni di comportamento:
C = 180 + 0.7Yd; I = 100 + 0.1Y − 18i; G = 400; T = 400
Determinate l’equazione della scheda IS.
1
Risposta. Il moltiplicatore è α = 1−(c1+d ) = 1−(.7+.1)
= 5. La domanda
1
1
autonoma è A = 180 + 100 + 400 − .7 · 400 = 400. Perciò la scheda IS è
Y = α (A − d2i) = 5 (400 − 18i) .
6
Esercizio
Un dato sistema economico è descritto dalla seguenti equazioni:
curva IS: Y = 50000 − 1250i;
funzione degli investimenti: I = 13500 + 1.6Y − 400i
Calcolate il valore del moltiplicatore α.
Risposta. L’equazione della curva IS è Y = α (A − d2i) . Poiché il coefficiente
del tasso di interesse nella funzione degli investimenti è d2 = 400, dalla curva IS
otteniamo αd2 = 1250 = 400α, da cui α = 1250
400 = 3.125.
7
Da che cosa dipende la pendenza della IS
Per ricavare la pendenza della scheda IS, facciamo variare Y e i mantenendo
costante A (∆A = 0):
∆Y = −αd2∆i
Perciò la pendenza della IS è
¯
di ¯¯
1
=
−
<0
¯
dY IS
αd2
Esercizio
Supponete che l’investimento sia insensibile al tasso di interesse, come nel modello
reddito-spesa. Quale forma avrebbe in questo caso la curva IS?
8
Figura 1 La pendenza della IS
i
i0
i1
IS'
IS
Y0
Y*
Y **
Y
9
Da che cosa dipende la posizione della IS
La posizione della IS dipende dal livello della domanda autonoma. Se la spesa
autonoma aumenta, la IS si sposta verso destra; se la spesa autonoma diminuisce,
la IS si sposta verso sinistra.
Possiamo ottenere formalmente questo risultato facendo variare Y e A ma mantenendo costante i:
1
∆Y =
∆A = α∆A > 0
1 − (c1 + d1)
Esercizio
Supponete che la curva IS abbia la seguente forma Y = 250 − 1000 · i, in cui
il moltiplicatore è α = 5. Determinate lo spostamento orizzontale della curva
10
Figura 2 La posizione della IS
i
IS'
IS
1
ΔA
1- (c 1 +d 1 )
i0
dY
Y
11
IS se la domanda autonoma aumenta di 20. Quale sarebbe il corrispondente
spostamento verticale, ovvero la variazione del tasso di interesse? Supponendo
che inizialmente il tasso di interesse sia pari al 10%, calcolate i nuovi livelli del
reddito e del tasso di interesse.
12
Risposta. Sappiamo che quando la domanda autonoma varia, la corrispondente
variazione del reddito è ∆Y = α∆A. Perciò, in questo caso la variazione del
reddito è ∆Y = 5 · 20 = 100. Il reddito passa perciò da 300 (perché?) a
400. L’equazione della curva IS è Y = α (A − d2i) . Poiché il moltiplicatore
è α = 5, il coefficiente del tasso di interesse nella funzione degli investimenti è
d2 = 2000
α = 400.Dalla curva IS otteniamo che la variazione del tasso di interesse
è ∆i = d1 ∆A. (spiegate perché). Perciò, la variazione del tasso di interesse è
2
1 20 = 10%. Il nuovo tasso dell’interesse è quindi dell’11%.
∆i = 400
Il vincolo della ricchezza
Nel modello IS − LM vi sono per ipotesi soltanto due attività finanziarie,
la moneta e le obbligazioni (intese in senso lato come attività che fruttano un
rendimento). Data questa ipotesi, e poiché in ogni periodo è dato l’ammontare
di ricchezza finanziaria complessiva, una volta deciso l’ammontare di ricchezza
da detenere sotto forma di moneta si è anche deciso l’ammontare che si intende
13
detenere sotto forma di obbligazioni.
Questo è quanto stabilisce il cosiddetto vincolo della ricchezza. Indichiamo con
W la ricchezza nominale esistente nell’economia.
Figura 3
LA RICCHEZZA FINANZIARIA IN ITALIA
(consistenze a fine 2005 - miliardi di euro)
Circolante e depositi
Titoli a breve e a lungo termine
Prestiti a breve e a lungo termine
Azioni e quote fondi comuni
Altre attività
Totale attività
2.038
2.482
2.011
3.078
1.158
10.767
14
Figura 4
S A L D I F IN A N Z IA R I D E L L ’IT A L IA
(c o n s is te n z e a fin e 2 0 0 5 - m ilia rd i d i e u ro )
S e tto r i
F a m ig lie
S o c ie tà n o n fin a n z ia r ie
A m m in is tr a z io n i p u b b lic h e
S o c ie tà fin a n z ia r ie
R e s to d e l m o n d o
2005
2 .7 2
-1 .2 3
-1 .3 7
-0 .2 0
0 .0 8
In r a p p o r to a l P IL
F a m ig lie
S o c ie tà n o n fin a n z ia r ie
A m m in is tr a z io n i p u b b lic h e
S o c ie tà fin a n z ia r ie (* )
R e s to d e l m o n d o
1 .9 2
-0 .8 7
-0 .9 7
-0 .1 4
0 .0 6
Per definizione, la ricchezza esistente nell’economia è pari alla somma della
quantità di moneta, M, e di obbligazioni, B, nelle mani del settore privato (famiglie
15
e imprese):
W =M +B
D’altra parte, la composizione desiderata del portafoglio è data dalla somma
della quantità di moneta e di obbligazioni che il settore privato intende detenere.
Il vincolo della ricchezza afferma che questa somma deve essere anch’essa pari a
W:
W = M d + Bd
dove M d rappresenta rispettivamente l’ammontare di moneta e B d l’ammontare
di titoli domandati dal settore privato. Uguagliando queste due espressioni, si
ottiene:
³
´ ³
´
d
d
d
d
M + B = M + B =⇒ M − M + B − B = 0
16
La curva LM
Per domanda di moneta si intende la quantità di moneta che il settore privato
decide di trattenere nei propri portafogli. La domanda di moneta viene espressa
in termini reali perché viene effettuata in vista del potere d’acquisto che questa
attività garantisce.
La domanda di moneta dipende da due variabili, il reddito e il tasso di interesse.
L = f1Y − f2i
dove f1 e f2 sono dei coefficienti positivi che misurano la reattività della domanda
di moneta al reddito e al tasso di interesse.
Per offerta di moneta s’intende il complesso dei mezzi di pagamento nelle mani
del settore privato, come il circolante e i depositi. Assumeremo che l’offerta di
moneta sia esogenamente fissata. Poiché il livello dei prezzi P è dato, anche
l’offerta reale di moneta è data al livello M/P .
L’equilibrio sul mercato della moneta richiede l’uguaglianza tra domanda e
offerta di moneta e perciò
M
= f1Y − f2i
P
17
Questa è l’equazione della curva LM . Essa esprime l’insieme delle combinazioni
di reddito e tasso d’interesse che mantengono in equilibrio il mercato della moneta.
Esercizio
In un dato sistema economico senza rapporti con l’estero siano date le seguenti
funzioni di comportamento:
M d = 6Y − 120i; M s = 5400
Determinate l’equazione della scheda LM.
Risposta. La scheda LM è 5400 = 6Y − 120i
18
Da che cosa dipende la pendenza della LM
Per ricavare la pendenza della scheda³ LM,
´ facciamo variare Y e i mantenendo
costante l’offerta reale di moneta (∆ M
P = 0):
0 = f1∆Y − f2∆i
La pendenza della LM è
¯
f1
di ¯¯
=
>0
¯
dY LM
f2
Esercizio
Supponete che la domanda di moneta sia insensibile al tasso di interesse. Quale
forma avrebbe in questo caso la curva LM ?
19
Figura 5 La pendenza della LM
i
LM
i1
LM'
i0
Y0
Y*
Y **
Y
20
Da che cosa dipende la posizione della LM
La posizione della LM dipende dall’offerta reale di moneta. Se l’offerta di moneta
aumenta, la LM si sposta verso destra. Formalmente, facciamo variare Y e M/P ,
mantenendo costante il tasso di interesse (∆i = 0)
µ
M
∆
P
e perciò
¶
= f1∆Y
µ
M
1
∆Y = ∆
f1
P
¶
>0
Esercizio
Supponete che la curva LM abbia la seguente forma 5400 = 6Y − 120i. Determinate lo spostamento orizzontale della curva LM se l’offerta di moneta aumenta
21
Figura 6 La posizione della LM
i
LM
LM'
(1/f 1 ) Δ (M/P)
i0
dY
Y
22
di 360. Quale sarebbe il corrispondente spostamento verticale, ovvero la variazione
del tasso di interesse?
L’equilibrio macroeconomico e la sua stabilità
L’equilibrio macroeconomico si ha quando si verifica contemporaneamente equilibrio sul mercato dei beni e su quello della moneta (e quindi anche su quello dei
titoli, per il vincolo della ricchezza). Graficamente, l’equilibrio macroeconomico
corrisponde all’intersezione della IS e della LM. Possiamo ottenere un’espressione formale del reddito di equilibrio mettendo a sistema le equazioni della IS e
della LM
IS :
LM :
Y = α (A − d2i)
M
= f1Y − f2i
P
23
in cui α = 1−(c1+d ) , e risolvendo per Y e i:
1
1
αf2
αd2
M
Y =
A+
f2 + αd2f1
f2 + αd2f1 P
1
M
αf1
A−
i=
f2 + αd2f1
f2 + αd2f1 P
Esercizio
Scrivete le equazioni che compongono il modello IS − LM e le equazioni per la
determinazione del reddito e del tasso di interesse di equilibrio. Le equazioni che
caratterizzano l’economia sono le seguenti.
C = 100 + 0.8Y D ; I = 200 − 1000i; L = Y − 10000i
La spesa pubblica è pari a 550 e le imposte al netto dei trasferimenti sono 500.
L’offerta reale di moneta è 900. Scrivete le equazioni IS − LM per questa
economia e determinate i valori di equilibrio del reddito e del tasso di interesse.
24
Risposta. Il reddito di equilibrio è
αf2
αd2
M
A+
=
f2 + αd2f1
f2 + αd2f1 P
5 · 10000
5 · 1000
=
450 +
900 = 1800
10000 + 5 · 1000
10000 + 5 · 1000
e il saggio di interesse di equilibrio è (dalla LM ) il 9%.
Y
=
Esercizio
In un dato sistema economico senza rapporti con l’estero siano date le seguenti
funzioni di comportamento:
C = 180 + 0.7Yd; I = 100 + 0.1Y − 18i; G = 400;
T = 400; M d = 6Y − 120i; M s = 5400
Determinate l’equazione della scheda IS, quella della scheda LM e calcolate il
livello di equilibrio del reddito.
25
1
Risposta Il moltiplicatore è α = 1−(c1+d ) = 1−(.7+.1)
= 5. La domanda
1
1
autonoma è A = 180 + 100 + 400 − .7 ∗ 400 = 400. Perciò la scheda IS è
Y = α (A − d2i) = 5 (400 − 18i)
. La scheda LM è 5400 = 6Y − 120i; risolvendo rispetto a i, otteniamo i =
.05Y − 45. Sostituendo quest’ultima equazione nella IS, otteniamo Y = 2000 −
= 1100. Usando la procedura diretta,
90 [.05Y − 45] , ovvero Y = 2000+90∗45
5.5
si ricava
αf2
αd2
600 ∗ 400 + 90 ∗ 5400
Y =
A+
M=
= 1100
f2 + αd2f1
f2 + αd2f1
660
La politica monetaria
La politica monetaria viene attuata attraverso l’impiego di strumenti che permettono alla Banca Centrale di controllare l’offerta di moneta e quindi di perseguire
determinati obiettivi, come il raggiungimento di un dato livello del reddito. Nel
26
modello IS − LM una variazione dell’offerta di moneta si ripercuote sul reddito
attraverso il meccanismo di trasmissione monetaria
∆M =⇒ −∆i =⇒ ∆I =⇒ ∆Y
f2
d2
α
i cui effetti quantitativi sono dati dal moltiplicatore della politica monetaria (MP M)
1
αd2
=
f2
f2 + αd2f1
+ f1
αd2
M P M misura l’efficacia della politica monetaria nell’influenzare il reddito.
Come l’ultima espressione a destra del secondo segno di uguale rende evidente,
questa efficacia è tanto maggiore:
MP M =
— quanto maggiori α e d2;
— quanto minori f1 e f2.
27
Alcuni casi particolari
1. Trappola della liquidità. Si verifica quando la domanda di moneta diviene
virtualmente infinita ad un dato livello del tasso d’interesse. In questo caso
l’efficacia della politica monetaria è nulla. Possiamo controllare formalmente
questo risultato con l’espressione del MP M
MP M =
1
f2
+ f1
αd2
e notando che al tendere di f2 all’infinito il M P M tende a zero.
2. Teoria quantitativa. si verifica quando la domanda di moneta non è sensibile
al tasso d’interesse, cioè f2 = 0. La LM diviene in tal caso
M
= f1Y
P
L’efficacia della politica monetaria è massima nel senso che ogni aumento
28
dell’offerta di moneta si traduce in un aumento proporzionale del reddito,
il coefficiente di proporzionalità essendo f1. Questo può essere verificato
guardando al valore che assume il M P M quando f2 = 0.
3. Soltanto investimenti autonomi, o caso keynesiano. Si verifica quando gli
investimenti non sono sensibili al tasso d’interesse, cioè d2 = 0. La IS è una
retta verticale perché il reddito dipende soltanto dalla domanda autonoma. la
politica monetaria risulta inefficace, ovvero il valore del MP M è pari a zero,
come si può controllare utilizzando l’espressione del MP M con d2 = 0.
Esercizio
Supponete che l’investimento sia insensibile al tasso di interesse; rappresentate
graficamente il modello IS − LM in questo caso. Se l’investimento non dipende
29
dal tasso di interesse e si verifica un aumento dell’offerta di moneta, la conseguenza
è: a) una diminuzione del tasso di interesse; b) una riduzione del reddito; c) una
contemporanea riduzione del reddito e aumento dell’interesse; d) nessuna delle
precedenti.
Risposta. La IS è verticale e la politica monetaria espansiva non influenza il
reddito ma provoca una riduzione del tasso di interesse. La risposta esatta è la
a).
La politica fiscale
La politica fiscale o di bilancio può operare nel nostro semplice modello IS − LM
attraverso due variabili: G e T . Ci limiteremo a considerare gli effetti di una
30
riduzione della spesa pubblica. Gli effetti della politica fiscale sul reddito sono
descritti dal meccanismo di trasmissione della politica fiscale
−∆G =⇒ −∆Y =⇒ −∆i =⇒ ∆I
α
f1,f2
d2
Quantitativamente questi effetti sono misurati dal moltiplicatore della politica
fiscale (M P F )
1
αf2
=
MP F =
1
f1
f2 + αd2f1
+ d2
α
f2
L’efficacia della politica fiscale è tanto maggiore:
- quanto maggiori sono α e f2;
- quanto minori sono d2 e f1.
31
Alcuni casi particolari
1. Trappola della liquidità. In queste circostanze la LM è orizzontale e l’efficacia della politica fiscale è massima. Possiamo controllare analiticamente
questo risultato guardando cosa accade al MP F quando la sensibilità della
domanda di moneta al tasso d’interesse è molto elevata (f2 → ∞):
dY
1
=α
=
1
f
f2→∞ dA
+ d2 1
α
f2
lim
Il reddito diminuisce cioè per un ammontare pari al moltiplicatore applicato
alla variazione della spesa pubblica.
2. Teoria quantitativa. In questo caso la LM è una retta verticale perché la
domanda di moneta non è sensibile al tasso d’interesse. Siccome con f2 = 0
il reddito dipende soltanto dall’offerta di moneta, la spesa pubblica non è
in grado di influenzare il reddito e perciò l’efficacia della politica fiscale è
nulla. La riduzione della spesa pubblica provoca piuttosto una riduzione del
32
tasso d’interesse tale da indurre un aumento degli investimenti privati pari
alla riduzione della spesa pubblica. Con f2 = 0 il M P F è pari a zero.
3. Soltanto investimenti autonomi. In questo caso è d2 = 0 perché gli
investimenti non sono sensibili al tasso d’interesse. L’efficacia della politica
fiscale è massima. Anche in questo caso il M P F è uguale al moltiplicatore
α.
Esercizio
Supponete che la domanda di moneta sia insensibile al tasso di interesse e rappresentate il modello IS − LM in questo caso. Se la domanda di moneta non
dipende dal tasso di interesse e si verifica un aumento della spesa pubblica, la
conseguenza è: a) un aumento del tasso di interesse; b) una riduzione del reddito;
c) una contemporanea riduzione del reddito e aumento dell’interesse; d) nessuna
delle precedenti.
33
Risposta. La LM è verticale e la politica fiscale espansiva non influenza il reddito
ma provoca un aumento del tasso di interesse. La risposta esatta è la a).
Esercizio
Nel modello IS − LM una politica fiscale espansiva si riflette sugli investimenti
facendoli: a) aumentare; b) diminuire; c) non è possibile stabilirlo a priori; d)
dipende dalla politica monetaria. Illustrate la vostra risposta con un grafico.
Risposta Poiché una politica fiscale espansiva fa aumentare sia il reddito che il
tasso di interesse, la risposta esatta è la c).
34
Esercizio
Scrivete le equazioni che definiscono il reddito e il tasso di interesse di equilibrio nel
modello IS −LM . Un dato sistema economico è definito dalle seguenti equazioni.
C = 1.8 + 0.7Yd; I = 1 + 0.1Y − 18i
M
= 54; L = 6Y − 120i; T = 4; G = 4
P
Calcolate il reddito e il tasso di interesse di equilibrio.
Risposta. Il reddito di equilibrio è
5 · 120
5 · 18
YE =
(1.8 + 1 + 4 − 0.7 · 4) +
(54) = 11
120 + 5 · 18 · 6
120 + 5 · 18 · 6
, mentre il tasso di interesse è
iE =
5·6
1
· (1.8 + 1 + 4 − 0.7 · 4) −
(54) = 0.1.
120 + 5 · 18 · 6
120 + 5 · 18 · 6
35
Esercizio
Per rispondere a questa domanda utilizzate i dati dell’esercizio precedente. Calcolate il livello dell’investimento utilizzando i valori di equilibrio del reddito e del
tasso di interesse. Supponete che le autorità di politica economica intendano accrescere l’investimento, lasciando però immutato il tasso dell’interesse. Definite
la combinazione appropriata di politiche fiscali e monetarie per ottenere questo
obiettivo illustrandola graficamente attraverso il diagramma IS − LM. Il mix appropriato di politiche economiche prevede: a) una politica monetaria espansiva
ma una politica fiscale restrittiva; b) una politica monetaria e una politica fiscale
entrambe espansive; c) una politica monetaria restrittiva ma una politica fiscale
espansiva; d) una politica monetaria e una politica fiscale entrambe restrittive; e)
non esiste un mix appropriato in grado di conseguire l’obiettivo.
Risposta. Il livello dell’investimento è I = 1 + 0.1 · 11 − 18 · 0.1 = 0.3. La
risposta esatta è la b).
36
Esercizio
Scrivete le equazioni che compongono il modello IS − LM. In questo modello
la domanda aggregata è definita dalla funzione AD = 200 + 0.8Y − 800i. La
domanda di moneta è definita dalla funzione L = 0.25Y − 1000i. L’offerta reale
di moneta è M = 120. Calcolare il reddito e il tasso di interesse di equilibrio.
1 1000
.2
1 800
.2
Risposta. Y = 1000+(5)800(.25) 200 + 1000+(5)800(.25) 120 = 52 200 + 2 · 120 =
1
.2 (.25)
−1
1 200− 1 120 = .0
740 ; i = 1000+(5)800(.25) 200+ 1000+(5)800(.25)
120 = 1600
2000
65
37
Esercizio
Utilizzando i dati della domanda precedente, stabilite cosa accade al reddito e al
tasso di interesse di equilibrio se si verifica un calo degli investimenti autonomi
∆I¯ = −20. Come deve variare l’offerta di moneta se l’autorità monetaria vuole
stabilizzare il prodotto al livello precedente? Illustrate la vostra risposta con un
grafico.
1 1000
.2
1 (.25)
.2
Risposta. ∆Y = 1000+(5)800(.25) (−20) = −50.0; ∆i = 1000+(5)800(.25) (−20) =
−.0 125 Perciò, il nuovo livello del reddito è 740 − 50 = 690, mentre il tasso di
interesse diviene 6.5% − 1.25% = 5.25%. Per calcolare di quanto deve variare
l’offerta di moneta, si noti che il M P M è pari a 2. perciò, se il reddito deve
aumentare di 50, l’offerta di moneta deve aumentare di 25. L’offerta di moneta
dovrà essere quindi pari a 145. Verifica Y = 52 180 + 2 · 145 = 740.
38
