Esercitazioni di Fisica Generale 2 Parte 2

Esercitazioni di Fisica Generale 2
Parte 2 - Onde e Ottica
Lorenzo Rinaldi
25/5/2016
1
Circuiti oscillanti
1.1
Sia dato un circuito oscillante costituito da un condensatore di capacità C = 1µF e da un’indutanza L =
10−2 H. Inizialmente il condensatore ha un’energia U0 = 1µJ e l’induttanza è scarica.
a) Calcolare il valore della carica elettrica q sulle armature del condensatore
√ nel momento in cui l’energia è
distribuita in parti eguali tra campo elettrico e campo magnetico (q = U0 C = 1µC);
√
b) calcolare il tempo necessario affinché si realizzi la condizione in a) (t = π4 LC = 7.8 × 10−5 s).
1.2
Un circuito costituito da una resitenza R a da un’induttanza L viene collegato attraverso un interuttore ad
un condensatore di capacità C, inizialmente caricato ad una tensione f0 . Sapendo che i tre elementi sono
collegati in serie:
a) Studiare l’andamento temporale della corrente;
b) Trovare sotto quali condizioni si genera nel circuito una corrente oscillante.
1.3
Sia dato un circuito RLC in serie alimentato da un generatore di tensione alternata. Sapendo che R =
2.5 × 102 Ω, L = 0.6H, C = 3.5µF , che la frequenza del generatore è ν = 60Hz e che il voltaggio massimo è
∆Vmax = 150V , determinare:
a) l’impedenza (|Z| = 588Ω);
b) la corrente massima nel circuito (imax = 0.255A);
c) la fase(φ = −64.8◦ );
d) la massima tensione ai capi di ciascun elemento(∆VR = 63.8V ,∆VC = 193V ,∆VL = 75.6V );
e) il valore che dovrebbe avere l’induttanza L per realizare la condizione di risonanza (L = 2H).
1.4
Si consideri un circuito formato da una resistenza R = 500Ω, un capacitore C = 1µF , un’induttanza L = 2H
e un generatore di tensione alternata f la cui tensione massima è f0 = 110V e la frequenza è ν = 60Hz.
Tutti gli elementi sono disposti in parallelo. Calcolare:
a) l’ampiezza della corrente in ogni elemento (i0,R = 0.22A,i0,C = 0.041A,i0,L = 0.146A)
b) l’ampiezza della corrente totale ed il relativo sfasamento rispetto ad f (i0 = 0.243A, φ = −25.4◦ )
1
2
Sviluppo in serie di Fourier
2.1
Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica:
+1 0 < x < 12 λ, λ < x < 23 λ, etc.
f (x) =
−1 12 λ < x < λ, 32 λ < x < 2λ, etc.
2.2
Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica di periodo T : f (t) = t −
(0 < t < T )
T
2
2.3
Determinare la Trasformata di Fourier della funzione
E − L2 < x <
f (x) =
0
x < − L2
3
L
2
x>
L
2
Onde progressive e regressive
3.1
Dato il profilo d’onda ψ(x, 0) = 2x23+1 , ricavare l’espressione dell’onda progressiva corrispondente che si
propaga nella direzione delle x positive con velocità v = 2 m/s e disegnarne il profilo per t = 0s e t = 1s.
3.2
Un’onda è rappresentata dalla funzione ψ1 (x, t) = 10 cos(5x + 25t) dove x è in metri e t in secondi.
a) Ricavare i valori di λ, ν, v e direzione di propagazione.
b) Determinare l’accelerazione a dello spostamento in funzione di x e t.
c) Una seconda onda ψ2 (x, t) = 20 cos(5x + 25t + π/3) interferisce con ψ1 ; ricavare l’ampezza e la fase
dell’onda risultante (A = 26.5cm, φ = 0.714rad).
3.3
Un filo d’acciaio lungo lA =30m e un filo di rame lungo lR =20 m, entrambi di diametro 1mm, sono uniti per un
estremo e tesi con una tensione T =150N. Le densità volumiche dei due materiali sono rispettivamente ρA =
7860kg/m3 e ρR = 8920kg/m3 . Quanto tempo impiegherà un’onda trasversale a percorrere la lunghezza dei
due fili? (t=0.329 s)
3.4
Un’onda sonora di ampiezza A = 0.01µm e frequenza ν1 = 256Hz si propaga in una sbarra di alluminio di
sezione S = 8cm2 . Sapendo che per l’alluminio la densità è ρAl = 2.7 × 103 kg/m3 e il modulo di Young è
YAl = 6.9 × 1010 N/m2 , calcolare
a) la velocità v1 dell’onda e la potenza media trasportata P1 ; (v1 = 5.06 × 103 m/s, P1 = 1.4 × 10−6 W ;)
b) considerando una seconda onda sonora avente stessa ampiezza e frequenza ν2 = 512Hz, come cambiano
la velocità e l’intensità del suono. (v2 = v1 , I2 = 4I1 )
3.5
La relazione di dispersione delle onde elastiche
p lungo una catena di atomi può essere espressa , nell’intervallo
−π/a < k < π/a, dalla relazione ω(k) = 4C/M | sin(ak/2)|, dove k rappresenta il vettore d’onda, a la
distanza tra gli atomi, M le massa di ciscun atomo e C la costante elastica di interazione tra atomi vicini.
Determinare le velocità di fase e di gruppo delle onde.
3.6
La relazione di dispersione approssimata per le onde in acqua profonda è data dalla relazione ω 2 = gk + Tρs k 3 ,
dove g è l’accelerazione di gravità, ρ è la densità dell’acqua e Ts = 7.2 × 10−4 N è la tensione superficiale
dell’acqua. Si calcoli per quale valore della lunghezza d’onda la velocità di fase e la velocità di gruppo sono
coincidenti. (λ = 1.7m)
3.7
La ionosfera terrestre è un esempio di mezzo dispersivo per onde elettromagnetiche con frequenze superiori
alla frequenza di oscillazione del plasna (νp = 20M Hz). Calcolare velocità di fase e di gruppo per un’unda
avente λ = 6.28 × 102 cm, sapendo che la relazione di dispersione è ω 2 = 2πνp = ωp2 + c2 k 2 . (vφ =
3.25 × 1010 cm/s, vg = 2.77 × 1010 cm/s)
4
Onde stazionarie
4.1
Date due onde piane progressive ψ1 = A sin 2π( τt − λx ) e ψ2 = A sin 2π( τt + λx ) che si propagano nella stessa
direzione in versi opposti (A = 1cm, τ = π × 102 s−1 , λ = 62.8cm), calcolare:
a) l’equazione dell’onda risultante, prendendo un nodo come origine del sistema di riferimento;
b) i valori di x corrispondenti ai nodi e ai ventri (XN = n3.14cm, xV = (2n + 1)15.7cm).
4.2
Un’onda vibra secondo l’equazione y = 0.5 sin( πx
3 ) cos(40πt), con x, y in centimetri e t in secondi. Determinare:
a) quali sono le ampiezze e le velocità delle onde dalla cui sovrapposizione può aver luogo questa vibrazione
(A1 = A2 = 0.25cm, v1 = v2 = 120cm/s).
b) qual’è la distanza tra due nodi (3cm).
4.3
Un tubo di Kundt è costituito da un tubo trasparente, con un’estremità chiusa da una piastra A che vibra
nella direzione dell’asse x del tubo. All’altro estremo si trova un pistone P che riflette l’onda sonora. P può
essere spostato lungo l’asse del tubo. All’interno del tubo tra A e P viene posta della polvere di sughero.
Muovendo il pistone si raggiungono delle situazioni di onde stazionare. In questi casi la polvere di sughero si
accumula nei nodi dell’onda staionaria, mentre in corrispondenza dei ventri il moto prodotto dall’onda non
permette l’accumulo della polvere. Nota la frequenza ν con cui vibra A e misurata la distanza d tra due
nodi, è possibile effettuare una misura della velocià del suono (Esperienza in Aula con Serra, come valori
usare ν = 6620Hz d = 2.5cm)
4.4
Determinare le frequenze e le lunghezze d’onda permesse in un tubo chiuso ai due estremi lungo 1m, sapendo
che la velocità del suno è vs = 340m/s. (λn = (2/n)m, ν0 = n170Hz)
4.5
Nell’orecchio il condotto acustico esterno è praticamente schematizzabile come un tubo stretto chiuso ad un
estremo dal timpano. Sapendo che il condotto è lungo 2.7 cm, qual’è la frequenza fondamentale che verrà
amplificata? (ν0 = 3.2kHz)
4.6
Un cavo d’acciaio di massa m = 4g e lungo L = 1.25m è teso con una tensione T = 1020N . Calcolare:
a) La lunghezza d’onda e la frequenza fondamentale e della terza armonica (λ0 = 2.5m, ν0 = 226Hz,
λ3 = 0.83m, ν3 = 678Hz);
b) l’equazione d’onda per la terza armonica.
4.7
Due uccelli (un usignolo e una cornacchia) sono seduti su un filo telegrafico di lunghezza 36m e distano dagli
estremi A e B rispettivamente 12m e 6m. Il filo è rigidamente fissato ai punti A e B. Una persona nel punto
A vuole sloggiare la cornacchia senza disturbare l’usignolo. La persona scuote il filo provocando un’onda
stazionaria con velocità v = 48m/s. Determinare:
a) la lunghezza d’onda massima per cui si ottiene l’effetto desiderato (λ = 24m);
b) la frequenza con cui la persona deve scuotere il filo per ottenere tale onda (ν = 2Hz);
c) qual’è la minima ampiezza necessaria per far volare la cornacchia, se riesce a rimanere attaccata al filo
solo se la sua accelerazione verticale è minore di ay = 48m/s2 (Amax = 0.3cm).
5
Onde sonore e livello di intensità sonora
5.1
Una delle corde di una chitarra è di filo di acciaio, avente densità ρ = 8000kg/m3 , ed ha una lunghezza
L = 1, 1m. Quando la chitarra è accordata, tale corda emette un suono corrispondente alla nota musicale La,
dovuto alla frequenza fondamentale di vibrazione della corda stessa, che vale ν = 220Hz. In tali condizioni,
la tensione della corda è T = 778, 5N .
a) Determinare quale deve essere il diametro della corda (d = 0.73mm).
b) Sapendo che la potenza media della sorgente sonora (considerata puntiforme) corrispondente alla nota
musicale di cui sopra Pm = 5, 026 × 10−4 W e considerando le onde sonore come sferiche, determinare a
quale distanza dalla sorgente lintensità del suono percepito vale 50 dB (r = 20m).
c) Nell’ipotesi in cui l’onda sonora si propaghi all’interno di un locale in aria (ρaria = 1.25kg/m3 ), approssimabile ad un gas perfetto biatomico, (γ = 7/5) con velocità vS = 345m/s, determinare la pressione
all’interno del locale (p = 106kP a).
5.2
Una fune metallica omogenea ha densità volumetrica ρ = 7.8kg/dm3 , sezione uniforme A = 6.5mm2 e
lunghezza L = 0.6m . La fune, fermata in un estremo a un vincolo rigido, viene mantenuta tesa da un
corpo di massa m (vedi figura 1). Una forza di modulo F , sviluppante una potenza W = 5W , perturba la
fune, generando delle onde stazionarie la cui armonica fondamentale si propaga lungo la fune stessa con una
velocità v = 50m/s. Determinare, in tali condizioni:
a) la frequenza dell’armonica fondamentale delle onde stazionarie ed il valore della massa m (ν = 41, 7Hz,
m = 12, 4kg);
b) a quale distanza dalla corda il suono prodotto dalla vibrazione originatasi viene avvertito con un livello
sonoro di 80 dB, considerando la sorgente sonora come isotropa e puntiforme (r = 63, 1m).
L1
.
m1
Figure 1:
5.3
Due corde di pianoforte uguali sono tese ad una stessa tensione T1 = 500N . Le due corde sono ben accordate
su una nota a 220Hz. Se una delle due corde passa ad una tensione T2 = 480N , quale frequenza di battimento
si sentirà quando le due corde sono percosse simultaneamente? (∆ν = 4.4Hz)
5.4
Due violini identici producono insieme un suono che ha un livello di intensità sonora di 72 dB. Determinare
il livello di intensitaà del suono di un solo violino (si considerino i violini equidistanti dall’ascoltatore)
(β = 69dB).
5.5
Due corde di uguale lunghezza L=57 cm e densità lineare ρL = 1.25g/m sono tese rispettivamente alle
tensioni T1 = 105N e T2 = 106N . Determinare:
a) per ciascuna corda, la serie delle frequenze delle note emesse (ν1 (n) = 254, 2n, ν2 (n) = 255, 4n);
b) la pulsazione di battimento quando entrambe suonano la rispettiva nota fondamentale (∆ω = 7.6rad/s).
6
Effetto Doppler
6.1
La frequenza di un clacson di un automobile è ν0 = 400Hz (velocità suono 340m/s).
a) Quale frequenza si sente se l’auto si muove con velocità vS = 30m/s verso un ricevitore fermo? (439Hz)
b) Quale frequenza si sente se il ricevitore si muove con velocità vR = 30m/s verso l’auto ferma? (435 Hz)
6.2
Una locomotiva si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v1 = 100Km/h ed emette un fischio di
frequenza ν1 = 2000Hz. Un ascoltatore si muove con velocità v2 = 15km/h nella stessa direzione e nello
stesso verso della locomotiva. Se la velocità del suono è v = 340m/s, calcolare la frequenza apparente ν2
percepita dall’ascoltatore (ν2 = 2150Hz).
6.3
Una sirena ferma emette un suono ad una frequenza ν0 = 2140Hz. Un’auto si allontana dalla sirena velocità
di 27 m/s. Il suono ragiunge l’auto seguendo due percorsi: direttamente dalla sirena e riflesso da un palazzo
che si trova di fronte all’auto. Determinare le frequenza percepite dall’autista nel caso diretto e riflesso,
assumendo la velocità del suono di 343 m/s (νd = 1970Hz, νr = 2310Hz).
6.4
Un aereo viaggia con accelerazione costante a = 0.5m/s2 allontanandosi da un temporale. Ad un certo
istante uno dei sensori di navigazione registra il suono di un tuono a frequenza ν1 = 50Hz e, dopo un
intervallo di tempo ∆t = 100 secondi, un secondo tuono a frequenza ν2 = 40Hz. Assumendo che i due tuoni
abbiano un suono con la stessa frequenza, determinare la lunghezza d’onda del tuono (λ = (ν1a∆t
−ν2 ) = 5m).
6.5
Il radar utilizzato per misurare la velocità di un’automobile utilizza l’effetto Doppler di onde EM. Il radar
emette microonde le quali vengono riflesse dalle auto in transito e rivelate dal dispositivo con una frequenza
differente. Supponendo che le microonde siano emesse con lunghezza d’onda λ = 4cm e che al transito
di un’auto la differenza di frequenza registrata dallo strumento è ∆ν = 1945Hz, determinare la velocità
dell’auto (v = λ∆ν/2 = 140Km/h).
6.6
Un razzo parte da terra con un potente flash luminoso di lunghezza d’onda λ0 = 400nm. Gli osservatori
a terra misurano un flash ma la lunghezza d’onda risulta λ = 650nm. Con quale velocià il razzo si sta
allontanando dalla terra? (v = 0.45c)
7
Onde Elettromagnetiche nel vuoto
7.1
Scrivere l’espressione di un’onda EM monocromatica che si propaga nel vuoto in direzione n̂ = ( √12 , √12 , 0),
con una frequenza ν = 4 × 1014 Hz, supponendo che l’onda sia polarizzata nella direzione dell’asse z.
7.2
~ = ĵE0 sin[2πν( x − t)] + k̂E0 cos[2πν( x − t)] dove
Si consideri un’onda EM il cui campo elettrico è dato da E
c
c
c è la velcità della luce nel vuoto e ν = 150M Hz. Si determini:
a) la lunghezza d’onda λ, la direzione di propagazione ed il vettore d’onda ~k dell’onda EM;
b) lo stato di polarizzazione dell’onda;
~ dell’onda;
c) il campo magnetico B
~
d) il vettore di Poynting S.
7.3
Un’onda EM piana sinusoidale di frequenza ν, si propaga nel vuoto nel verso positivo dell’asse x ed è
polarizzata linearmente secondo l’asse y. Il campo elettrico ha un’ampiezza E0 . Determinare:
a) le espressioni del campo elettrico e magnetico;
b) la f.e.m. risultante in un circuido quadrato di lato l, disposto nel primo quadrante del piano x − y, con
un vertice nell’origine;
c) la f.e.m. indotta nel circuito.
7.4
Un’onda EM piana polarizzata linearmente lungo l’asse y, di frequenza ν = 250kHz si propaga nel vuoto e
si riflette su una superficie piana perfettamente conduttrice disposta peprendicolarmente alla sua direzione
di moto. Determinare:
a) a quale distanza dalla superficie si formano i nodi e i ventri dell’onda elettrica risultante;
b) a quale distanza sono i nodi e i ventri dell’onda magnetica;
c) il vettore di Poynting a distanza d dalla superficie.
8
Onde Elettromagnetiche nella materia
8.1
Il campo magnetico di un’onda EM piana polarizzata linearmente lungo l’asse y si propaga lungo x in un
~ = 1.8 × 10−6 cos(8 × 107 t − 4x)k̂, dove il modulo del campo
mezzo con r = 80, secondo l’equazione B
magnetico è misurato in Tesla. Determinare:
a) l’ampiezza del campo elettrico;
b) la permeabilità magnetica del mezzo µr .
8.2
Un sommozzatore si trova sott’acqua e vede il sole ad un angolo di 42◦ rispetto alla verticale (naria = 1,
nacqua = 1.33).
a) Determinare la posizione reale del sole e la velocità della luce nell’acqua.
b) Come variano i risultati nel caso in cui la la superficie dell’acqua è coperta da uno strato di sostanze
inquinanti con indice di rifrazione ninq = 2.1?
8.3
Due lastre di vetro, a facce piane, prallele ed eguale spessore d = 2cm, hanno una faccia in comune. Un
sottile fascio di luce incide con un angolo d’incidenza θi = π/3.Supponendo che le due lastre abbiano indici
di rifrazione n1 = 1.5 e n2 = 1.7:
a) dimostrare che il fascio uscente è paralelo a quello entrante;
b) calcolare di quale distanza D si è spostato il fascio (D = 2.169cm, vedi Figura 2).
8.4
Un raggio di luce incide normalmente alla faccia più piccola di un prisma triangolare con angoli 30◦ −60◦ −90◦ .
Il prisma è costituito da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1.655 ed è immerso in acqua (n = 1.333).
a) Determinare l’angolo di uscita del raggio dal prisma.
b) Se una sostanza viene sciolta nell’acqua per aumentare l’indice di rifrazione, determinare per quale valore
di nmix della miscela non si avrà più riflessione totale sulla faccia più grande del prisma.
8.5
Un raggio di luce incide su una faccia di un cubo di vetro di indice di rifrazione n = 1.5 immerso in acqua
(nA = 1.33), con un angolo di incidentza θi e viene quindi ad incidere su una seconda faccia del cubo. Trovare
il massimo valore di θi per cui un osservatore posto di fronte alla seconda faccia la veda non illuminata.
8.6
Una sorgente luminosa è posta ad una profondità d in una vasca piena d’acqua con costante dielettrica
= 1.750 e permeabilità magnetica relativa µr = 1. Si determini la profondità d sapendo che la sorgente
illumina un disco di raggio r = 5m sulla superficie dell’acqua. (d = 4.32m)
θI
d1
θ1
d
d1=h1 sinβ
h1=d/cosθ1
β=θI-θ1
h1
β
θ1
n1
d2
d2=h2 sinα
h2=d/cosθ2
α=θI-θ2
θ2
h2
d
α
n2
θI
Figure 2: Esercizio 8.3
8.7
Una sbarra di materiale dielettrico trasparente può essere usata come guida per un’onda elettromagnetica,
sfruttando la riflessione interna totale. Si calcoli il valore minimo che deve avere la costante dielettrica
relativa del materiale (supponendo che la permeabilità magnetica relativa sia µr = 1), affinché un’onda
incidente ad un qualunque angolo in una estremità sia confinata nella sbarra fino ad emergere all’estremità
opposta. (r ≥ 2)
8.8
Una lamina polaroid viene utilizzata come analizzatore di un fascio di luce, la cui intensità è I0 . Si determini
l’intenstà della luce trasmessa nei seguenti casi in cui l’onda è:
a) polarizzata linearmente;
b) non polarizzata;
c) polarizzata ellitticamente;
d) polarizzata circolarmente.
8.9
(opzionale)
Un’onda piana monocromatica di lunghezza d’onda λ = 544nm si propaga lungo l’asse z con equazione
Ex = E0 cos(kz − ωt), Ey = −E0 sin(kz − ωt). L’onda incide su una lamina di calcite (di spessore d = 80nm)
con asse ottico parallelo all’asse x. Determinare:
a) stato di polarizzazione dell’onda incidente sulla lamina;
b) equazione e stato dell’onda uscente dalla lamina, sapendo che i due indici di rifrazione ordinario e straordinario valgono nO = 1.66 e nS = 1.49, rispettivamente.
9
Interferenza e diffrazione
9.1
Due
sorgenti di
coerenti
A e B di onde
egualeLe
frequenza
ν =dei
170Hz
e in fase,
irradiano
velocità
propagazione
del sonore
suonoarmoniche,
varia=340dim/s).
potenze
segnali
emessi
sono
-3
-3 segnali emessi sono rispettivamente PA = 12.6 ×
uniformemente
in
aria
in
ogni
direzione.
Le
potenze
dei
rispettivamente
P
=12.6×10
W
e
P
=25.1
×10
W.
Calcolare:
A
B
10−3 W e PB = 25.1 × 10−3 W . Calcolare:
a) lo sfasamento δ tra le due onde in un punto C, che si trova a distanza rA=3m da A e rB=4m
a) lo sfasamento
δ tra le due onde Prof.
in unI.G.
punto
C, che
si trova
a distanza
rA = 3m da A e rB = 4m da B;
da B;
Massa
- Fisica
Moderna
LS
(δ
=
π)
b) le intensità e i livelli sonori
di ciascuno
dei due
in 2008)
C, considerati separatamente;
Prova Intermedia
di Onde
(21 segnali
Novembre
l’intensità
dell’onda
risultante
in=C.4.16 × 10−8 W/m2 )
b) c)
l’intensita
dell’onda
risultante
in C. (I
Una sorgente S puntiforme e isotropa, di onde sonore armoniche (di frequenza f =
100 kHz), si trova a distanza L = 1 m da uno schermo K, sul quale sono praticati due
piccoli fori, F1 e F2, equidistanti dall’asse di simmetria x e distanti tra loro d = 10 cm
9.2
(vedi
figura). La potenza
della sorgente
SèW
W.
16) Una sorgente
S puntiforme
e isotropa,
di onde
sonore
(di frequenza ν=100 kHz), si
S = 100armoniche
Due sorgenti puntiformi
S1schermo
e S2 trasmettono
modo isotropo
nel
vuoto
delle onde
elettromagnetiche sferiche,
Un secondo
H èschermo
posto ain
distanza
Dquale
= 10 msono
da K
epraticati
parallelo
ad esso.
trova
a
distanza
L=1
m
da
uno
K,
sul
due
piccoli
fori,potenza
F1 e F2media
,
coerenti, monocromatiche
di lunghezza
d’onda
λ = 30cm.come
Le un
due
sorgenti
hannoisotropo
la stessa
L’intero sistema
è immerso in
aria, considerata
mezzo
omogeneo,
e
equidistanti
dall’asse
di simmetria
x e distanti
tra
loro
d=10
cm3 (vedi
figura).laLa
P =
10W e i due
trasmettitori
hanno
caratteristica
variare
continuità
fasepotenza
relativadella
∆φ di
ideale.
Si supponga
che laladensità
dell’aria di
siapoter
ρ = 1,15
g/dmcon
e che
la velocità
del
sorgente
S
è
W
=100
W.
S in essa sia
emissione. Se un
ricevitore
è posto
a distanza
d1 = 50cm da S1 e d2 = 80cm da S2 , determinare:
suono
va = 340
m/s.
tale situazione,
riferimento
al sistema
xy di figura
e utilizzando
le 2(n
usuali
a) quanto deveInvalere
∆φ perchécon
il ricevitori
registri
un massimo
di intensità
(∆φ =
− 1)π);
Un secondoapprossimazioni
schermo H èdiposto
a piccoli”,
distanzadeterminare:
D=10 m da K e parallelo ad esso. L’intero sistema è
“angoli
1 F2.
P sonoro
2
1. L’ampiezza
suonomassimo
eun
il suo
livello
1 = 8.41W/m
).
( d11 + in
b) immerso
il valore dell’intensità
media del
di come
tale
(I= 4π
in aria,
considerata
mezzo
omogeneo,
e ideale.
Si supponga che la
d2 ) isotropo
3
2.
Il
livello
sonoro
nel
punto
O
dello
schermo
H.
densità dell’aria sia ρ=1,15 g/dm e che la velocità del suono in essa sia vs= 340 m/s.
3. L’intensità del suono nel punto P dello schermo H, distante yP = 100 cm da O.
9.3In tale situazione,
con riferimento
alschermo
sistemaH xy
e utilizzando
le usuali
4. Il numero
di punti sullo
(tradi
O figura
e P, lungo
l’asse y) nei quali
si ha unapprossimazioni
di
“angoli
piccoli”,
determinare:
massimo
di
intensità
sonora.
Una sorgente S, puntiforme ed isotropa, di onde sonore armoniche,(di frequenza =100 kHz) si trova a distanza
supponga
ora
die riempire
la regione
di spazio
i due
K ed H con
un
a)1mL’ampiezza
del K
suono
il suo
sonoro
in Ftra
1.fori
L=
da unoSi
schermo
sul quale
sonolivello
praticati
due
piccoli
F1 eschermi
F2 equidistanti
dall’asse
di simmetria
mezzo omogeneo e isotropo diverso dall’aria. Si osserva che la distanza tra due punti
Il livello
sonoro
punto
O figura
dello 3).
schermo
H. della sorgente S è WS = 100W . Un secondo
x eb)distanti
tra loro
d =nel
10cm
(vedi
La potenza
consecutivi (su H e lungo y) nei quali si ha un massimo di intensità sonora aumenta
schermo
H è posto
a distanza
D =
10m Pdadello
K
e schermo
parallelo H,
ad distante
esso. In ytale
situazione,
con riferimento al
c) L’intensità
del
suono
nel
punto
cm da O.
P=100
dell’80%.
In tale nuova
situazione,
determinare:
sistema
xy
di
figura
e
utilizzando
le
usuali
approssimazioni
di
angoli
piccoli,
determinare:
d) Il numero 5.di La
punti
sullo
Hquesto
(tra Onuovo
e P,mezzo.
lungo l’asse y) nei quali si ha un massimo di
velocità
v* schermo
del suono in
intensità sonora.
Figure 3: Esercizio 9.3
17) Un reticolo di diffrazione di passo d=2 µm è formato da N=48 fenditure, ciascuna di
λ=583.3
a) larghezzaa=1µm.Ilreticoloèilluminatodaunfasciodilucedilunghezzad’onda
L’intensità del suono nel punto O dello schermo H (IO = 31.76 × 10−2 W/m2 ).
nm.Calcolare:
b) L’intensità del suono nel punto P dello schermo H, distante yP = 100cm da O. (IP = 0.3W/m2 ).
1) Il numero dei massimi principali della figura di diffrazione;
c) 2)
Il numero
di puntidel
sullo
schermo principale
H (tra O ediP ordine
, lungo 0;
lasse y) nei quali si ha un massimo dell’intensità
La larghezza
massimo
sonora
(n
=
2,
escludendo
max
centrale).
3) Il numero dei massimi secondari compresi tra i massimi principali di ordine 1 e 2
9.4
Due sorgenti identiche e coerenti di microonde, poste ad una distanza d = 0.6cm emettono onde sferiche
isotrope. In corrispondenza degli angolo θA = 41, 8◦ e θB = 90◦ si osservano due massimi di interferenza
consecutivi. Determinare:
a) la frequenza ν delle microonde (ν = 150GHz);
b) gli ordini dei massimi in θA e θB e le direzioni angolari di eventuali altri massimi e dei minimi di intensità
(nA = 2, NB = 3);
c) la potenza di ciascuna sorgente se l’intensità massima misurata ad una distanza D = 1km vale IM =
5 × 10−6 W/m2 . (P = 15.7W )
9.5
In un dispositivo di Young la distanza tra i fori è d = 0.1mm, mentre lo schermo su cui si osserva la figura di
interferenza è posto ad una distanza L = 20cm. Si illumina il sistema con luce monocromatica e si osserva
che la distanza tra i massimi del 10◦ ordine a sinistra e a destra del massimo centrale è D = 20mm (Figura
4. Calcolare:
a) la lunghezza d’onda della luce;(λ = 500nm)
b) la larghezza di uno dei massimi del 10◦ ordine (misurata come distanza tra due minimi adiacenti);(a =
1mm)
c) la nuova posizione del 1◦ minimo (di ordine m = 0) se il dispositivo viene immerso in acqua con n = 1.33.
(ymin,1 = 0.38mm)
d
D
L
Figure 4: Esercizio 9.5
9.6
Due fenditure distanti d = 2mm sono illuminate dalla luce di una lampada avente due lunghezze d’onda
λ1 = 485nm e λ2 = 495nm.Le frange di interferenza vengono osservate su uno schermo posto a distanza
L = 3m dal piano delle fenditure. Sia ∆yM la distanza tra due frange illuminate consecutive per la lunghezza
d’onda λ1 . Calcolare:
a) la distanza ∆yM (0.73mm);
b) la distanza sullo schermo tra due minimi del decimo ordine corrispondenti alle lunghezze d’onda λ1 e λ2
(0.16mm);
c) a quale distanza ym dal centro dello schermo si forma la frangia di ordine 0 se davanti ad una delle
fenditure si pone una lastra di vetro di spessore q = 40µm ed indice di rifrazione n = 1.5 (|ym | = 30mm).
9.7
Un trasmettitore ed un ricevitore operano a frequenza ν = 120M Hz e sono collocati su due edifici alti
h = 80m. Se si suppone che il suolo attorno agli edifici sia sgombro e che l’indice di rifrazione del suolo sia
n = 2.2, qual’è la massima distanza fra i due edifici per consentire al ricevitore di registrare un minimo di
interferenza tra il segnale che arriva direttamente e quello che subisce un’unica riflessione al suolo? (d =
4h2 −λ2
= 5.1km)
2λ
9.8
Un’onda luminosa piana e monocromatica incide perpendicolarmente su una sottile lastra di vetro avente
indice di rifrazione n = 1.5. Variando in modo continuo la lunghezza d’onda si osserva che la luce riflessa
presenta interferenza completamente distruttiva per le lunghezze d’onda λ1 = 480nm e λ2 = 600nm, ma
non per valori intermedi. Calcolare:
a) lo spessore della lastra; (d =
4λ2
2n
= 0.8µm)
b) il valore di λM , compreso tra λ1 e λ2 ,per cui l’intensità della luce riflessa è massima. (λM =
540nm con m = 5)
4nd
2m−1
=
9.9
Una lastra di vetro (nV = 1.5) è coperta da un sottile strato di vernice trasparente (n = 1.4). Se si osserva
lo spettro in riflessione per un’incidenza di 30◦ , si vedono bande scure in corrispondenza di λ1 = 591.5nm e
1
λ2 = 409.5nm. Si determini lo spessore (minimo) h della vernice. (h = 2√9λ
= 1.02µm)
4n2 −1
9.10
Tre sorgenti identiche di microonde, alimentate in fase, sono disposte lungo una retta e separate dalla stessa
distanza d. Esse irradiano in modo isotropo alla lunghezza d’onda λ = 0.2m. Alla distanza L = 500m
si osserva un’intensità massima IM = 3 × 10−5 W/m2 , in corrispondenza delle direzioni θ = 0◦ , ±30◦ e
±90◦ rispetto alla perpendicolare alla retta contenente le tre sorgenti e passante per la sorgente intermedia.
Calcolare:
a) la distanza d tra le sorgenti;
b) la potenza P0 di ciascuna sorgente.
9.11
Un sistema di N = 4 sorgenti sonore sferiche di frequenza ν = 3.3kHz è disposto lungo una linea. Valutare
l’intensità in funzione di θ a distanze molto grandi, supponendo che vsuono = 330m/s, nei casi in cui la
distanza tra due sorgenti consecutive sia d = 10cm oppure d = 5cm (separatamente).
9.12
Una fenditura di larghezza a = 0.11mm è illuminata con una luce monocromatica di λ = 577nm. Alla
distanza D = 4m è collocato uno schermo sul quale si osserva la figura di diffrazione. Determinare:
a) la larghezza del massimo centrale;
b) la larghezza del primo massimo secondario.
9.13
I fari di un’automobile sono distanti tra di loro circa un metro ed emettono luce con λ = 500nm. Assumendo
che il diametro di una pupilla sia d = 2mm, fino a quale distanza massima da un osservatore i due fari sono
osservati distintamente?
9.14
Un reticolo di diffrazione di passo d = 2µm è formato da N = 24 fenditure uguali di larghezza a = 1µm.
Il reticolo è illuminato da un fascio di luce monocromatica di lunghezza d’onda λ = 583.3nm, incidente
perpendicolarmente sul piano delle fenditure. Calcolare:
a) il numero dei massimi principali ed i rispettivi angoli;
b) la larghezza angolare del massimo principale di ordine 0;
c) il numero di minimi secondari compresi tra il massimo principale di ordine 1 e quello di ordine 3.
9.15
Un reticolo di diffrazione è composto da N = 7000 fenditure di larghezza a = 1.8µm e passo d = 3µm. Il
reticolo è illuminato da luce dicromatica di lunghezze d’onda λ1 = 630nm e λ2 = 631nm. Determinare:
a) la posizione angolare dei massimi principali di interferenza di ordine 1 per le due lunghezze d’onda;
b) la larghezza angolare del massimo centrale di diffrazione per λ1 ;
c) il potere risolutivo del reticolo all’ordine 2.
10
Ottica Geometrica
10.1
Uno specchio sferico concavo C1 , di raggio di curvatura R1 = 30cm è posto di fronte ad uno specchio sferico
convesso C2 di raggio R2 = 3m. La distanza tra i vertici dei due specchi è d = 1m. Una sorgente si trova
sulla retta congiungente i centri di curvatura ad una distanza p = 17cm da C1 . Calcolare la posizione delle
immagini formate dai raggi che hanno subito:
a) una riflessione su C1 (q1 = −1.275m);
b) una riflessione su C1 e una su C1 (q2 = −0.336m).
10.2
Si consideri un diottro sferico aria-vetro con la superficie convessa per chi osserva dall’esterno. Sia nV = 1.5
l’indice di rifrazione del vetro. I raggi paralleli all’asse ottico convergono in un punto dentro il vetro ad
una distanza di 40cm dal diottro. Nota la distanza p = 50cm del punto oggetto del diottro, determinare la
distanza del punto immagine.(q = 85.7cm)
10.3
Una lente biconvessa di indice di rifrazione n = 1.5 ha una distanza focale f = 40cm in aria. Qual’è il valore
della distanza focale f 0 quando la lente è immersa in acqua (nA = 1.33)? (f 0 = 156.5cm)
10.4
Un sistema ottico centrato è costituito da due lenti sottili L1 e L2 . La lente L1 ha distanza focale f = 20cm
ed è divergente, la lente L2 ha distanza focale f , è convergente ed è posta a distanza f da L1 . Calcolare le
dimensioni e la posizione rispetto a L1 dell’immagine di un oggetto di lunghezza x = f /2 posto a distanza
f dalla lente L1 . (y = x, q = 4f )
10.5
Due lenti sottili formano un sistema ottico centrato e sono distanti d = 10cm. La prima lente è convergente
e formata da raggi di curvatura R1 = +60cm e R2 = −60cm. La seconda lente è piana-convessa ed ha raggio
di curvatura R = −50cm. Entrambe le lenti sono fatte di un materiale avente indice di rifrazione n = 1.5.
Un oggetto è posta davanti alla prima lente ad una distanza p = 40cm. Determinare:
a) le distanze focali delle due lenti (f1 = 60cm, f2 = 100cm);
b) la posizione e l’ingrandimento dell’immagine finale formata dal sistema ottico delle due lenti per l’oggetto
(q2 = 433.3cm da L2 , m = 10).