Capacità di un conduttore sferico
Per una sfera conduttrice di raggio R isolata e
caricata con carica Q, i punti della superficie sono
equipotenziali
Q
1 Q
V=
4π ε R
Definiamo Capacità il rapporto Q/V
C = Q/V = 4π ε R
L'unita' di misura si chiama FARAD ( F )
l'unita' di misura di ε e' Farad/metro
1 Farad = 1 Coulomb / 1 Volt
. Conseguentemente
R
Si chiama capacità fra due conduttori la carica Q che è
necessario trasferire da un conduttore all’altro per avere una
variazione unitaria della differenza di potenziale ∆V fra di loro
Q = C ∆V
CONDENSATORE PIANO
A = area delle due armature
d = distanza tra le armature
q = carica sulle due armature
ρs= densita' di carica sulle armature = q/A
Applicando Gauss alla superficie cilindrica di area A e distanza tra 0 e d
Posso scrivere per qualsiasi altezza ( tra 0 e d ) ε0E A = ρs A
( il campo elettrico nel conduttore e' nullo )
E quindi
E = ρs/ε0
Condensatore piano in aria
A = area delle due armature
d = distanza tra le armature
ρs= densita' di carica sulle armature
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
E = ρs/ε0
Q = ρs A
∆V = Ex d = ( ρs/ε ) d
C = Q/∆V = ε0 A/ d
d
x
(La capacita' dipende dalla
geometria delle armature)
Si intende per dielettrico o isolante una sostanza che,sottoposta a un
campo elettrico, non risulti sede di flusso di cariche elettriche se non in maniera
assolutamente marginale o, addirittura, trascurabile.
Capacita' in aria
C0 = Q/V0 = ε0 A/d
Inserendo un dielettrico in un condensatore
caricato con una carica Q
a) la tensione V tra le armature diminuisce
b) la carica Q rimane immutata
Quindi la capacita ' aumenta
C = Q/V
C0 = Q / V0
C = Q/V
Se Co e' la capacita' in aria e C la capacita' con il dielettrico
la costante dielettrica relativa ( adimensionata ) vale
C/ C0 = V0/V = εr
Spiegazione fisica
In un dielettrico costituito da atomi, e quindi da un insieme di cariche
positive (nuclei) e negative (elettroni), ci troviamo in presenza di una
situazione di neutralità elettrica a livello macroscopico.
A livello microscopico possiamo avere due situazioni:
(i) i baricentri della carica negativa e di quella positiva non coincidono;
(ii) il baricentro della carica positiva e di quella negativa coincidono.
Nel primo caso la materia presenta dipoli microscopici.
Nel secondo caso non abbiamo dipoli microscopici.
POLARIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE
se il baricentro della carica positiva e di quella negativa coincidono in
un atomo in assenza di campo elettrico
In presenza di un campo elettrico si esercita una forza sul nucleo ed una eguale
ed opposta sugli elettroni
la nuvola si distorce e l’atomo diviene polare
EFFETTO DI UN CAMPO ELETTRICO ESTERNO SU UN DIPOLO
I dipoli si allineano con le linee di campo elettrico
Per presenza di un dielettrico, il campo elettrico modifica la
distribuzione delle cariche nelle molecole del dielettrico.
Ciascun dipolo crea un campo elettrico col verso opposto rispetto al
campo esterno E0 .
Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo
esterno E0e di quello indotto dalle cariche di polarizzazione Ep
la tensione ai capi del condensatore diminuisce a parita'
di carica Q sulle armature; quindi la capacita' aumenta :
il dielettrico agisce cosi' riducendo l’intensità del campo.
Il fattore di riduzione di tale intensità è la costante dielettrica relativa ε r
E = E0 -Ep
C = ε r C0
se E cresce troppo si ha una scarica elettrica
es. aria secca
nel vetro
Emax ~ 3 106 V/m
~ 40 106 V/m
(rigidità dielettrica)
[sulle punte la densita' di carica locale è maggiore,e quindi anche il campo
elettrico è maggiore e la scarica avviene prima]
CARICA DI UN CONDENSATORE
La resistenza R è ineliminabile, in quanto anche collegando il
generatore direttamente al condensatore, rimane presente la sua
resistenza interna.
Intuitivamente, si capisce che man mano che il condensatore si carica, il
potenziale della armatura collegata al polo positivo aumenta, e si
avvicina a quello del generatore.
Allora la differenza di potenziale ai capi della resistenza diminuisce, per
cui la corrente diminuisce di intensità.
Quindi il condensatore si carica dapprima velocemente, poi sempre più
lentamente.
E – R i(t) = Q(t)/ C
- R di(t)/dt = i(t)/C
di(t)/i(t) = -dt/RC
ln i(t) = -t/RC + costante
i(t) = A e-t/RC
( con A costante arbitraria da definire in base alle condizioni
iniziali )
v(t) = E – R i(t) = E -AR e-t/RC
Condizioni iniziali : Per t =0 v(t) =0 e quindi
A = E/R
Infine
i(t) = E/R e-t/RC
v(t) = E – R i(t) = E ( 1- e-t/RC )
q(t) = CE ( 1- e-t/RC )
Q
I(t) = - dQ(t)/dt
RI(t) = C ( Qo -
∫ I(t)dt )
R dI(t)/dt = C I(t)
I = I0 e -t/RC
I0 = V0/R =(1/C) Q0/R
