08/12/2014
Elementi di Fisica – 2CFU
II parte - Elettrostatica
Andrea Susa
ELETTRICITÀ E FENOMENI ELETTRICI
1
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Carica elettrica
Materiali come vetro o ambra, sottoposti a sfregamento con della lana,
acquistano la proprietà di attirare corpi leggeri. Questo fenomeno è detto
elettrizzazione.
Lo stato di elettrizzazione di un corpo è dipendente dalla carica elettrica.
La carica elettrica è definita a partire dalla carica elettrica fondamentale e
dell’ elettrone (-e) oppure da quella del protone (+e).Tutte le cariche
elettriche si presentano come multipli interi di queste. Cariche dello stesso
segno si respingono, mentre cariche opposte si attraggono.
= [ ⋅ ]
= - coulumb
Principio di conservazione della carica elettrica
Durante un qualsiasi fenomeno, la carica elettrica totale posseduta da un
sistema isolato è costate.
Conduttori, isolanti e semiconduttori
L’elettrizzazione prodotta in un corpo si può comunicare ad un altro corpo per
contatto.
Le sostanze in cui l’elettrizzazione risulta confinata sulla superficie si dice
isolante (o dielettrico)
Le cariche elettriche sono vincolate
Le sostanze in cui le cariche si possono muovere liberamente all’interno del
corpo, si dicono conduttori
Nei conduttori metallici si muovono gli elettroni
In un fluido si possono muovere sia gli ioni positivi che negativi
Le sostanze che cambiano comportamento in base alla temperatura si
dicono semiconduttori
A basse temperature sono isolanti
A temperatura ambiente sono conduttori
2
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Induzione elettrostatica
Quando si avvicina un corpo elettrizzato ad un conduttore scarico avviene il
fenomeno dell’induzione elettrostatica.
Se avviciniamo un corpo elettrizzato positivamente ad un conduttore scarico,
gli elettroni del conduttore risentono dell’attrazione della carica positiva e,
liberi di muoversi, si ridistribuiscono vicini al corpo elettrizzato.
Fintanto che i due corpi non vengono a contatto, il conduttore rimane neutro,
ma al suo interno le cariche rimangono distribuite
Legge di Coulomb
La forza di interazione tra due cariche elettriche e poste a distanza r nel
vuoto, ha modulo pari a
=
=
⋅
=
⋅
= 8,99 ⋅ 10
⋅
!
!
"# = 8,86 ⋅ 10%
⋅ costante dielettrica del vuoto
La direttrice della forza è lungo la congiungente e ed il verso dipende
dalle cariche elettriche: se sono opposte è attrattiva, altrimenti è repulsiva.
(
+
+
(
(
+
%
Se le cariche elettriche e sono in un mezzo e non nel vuoto
=
1
4' ⋅ " ⋅ "#
" costante dielettrica del mezzo
3
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Esercizio 1
Consideriamo due cariche, un elettrone ed un protone posti a distanza ), con
masse *+ e *, e cariche -+ e -, .
•
•
•
Determinare la forza gravitazionale . tra l’elettrone ed il protone
Determinare la forza elettrostatica + tra l’elettrone ed il protone
Calcolare il rapporto tra le due forze e stabilire quale sia più forte.
*+ = 9,1 ⋅ 10%/ 0,
-+ = 1 = −1,6 ⋅ 10% *, = 1,67 ⋅ 10%4 0,
-, = −1 = 1,6 ⋅ 10% 5 = 6,67 ⋅ 10% 6 ⋅ * /0
=
= 8,99 ⋅ 10
⋅ !
Esercizio 1 – soluzione 1/2
Consideriamo due cariche, un elettrone ed un protone posti a distanza ), con
masse *+ e *, e cariche -+ e -, .
•
Determinare il modulo della forza gravitazionale . tra l’elettrone ed il
protone
. = 5
•
*, ⋅ *+
1,67 ⋅ 10%4 ⋅ 9,1 ⋅ 10%/
101,36 ⋅ 10%9
= 6,67 ⋅ 10%
=
)
)
)
Determinare il modulo della forza elettrostatica + tra l’elettrone ed il protone
+ = -+ ⋅ -,
1,6 ⋅ 10%
=
8,99
⋅
10
)
)
=
23,01 ⋅ 10%
)
4
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Esercizio 1 – soluzione 2/2
Consideriamo due cariche, un elettrone ed un protone posti a distanza ), con
masse *+ e *, e cariche -+ e -, .
•
Calcolare il rapporto tra le due forze
+
23,01 ⋅ 10%
=
= 22,7 ⋅ 10/;
.
101,36 ⋅ 10%9
Quindi la Forza di attrazione elettrostatica è di molti ordini di grandezza
superiore alla Forza di attrazione gravitazionale.
Esercizio 2
Consideriamo due cariche puntiformi uguali - e - (- = - = -) poste a
distanza ) e tenute ferme da forze non elettrostatiche.
Supponiamo di porre tra - e - una terza carica -/ , opposta a - a distanza
/
da - .
)/3
-
•
•
2)/3
-/
-
Determinare il modulo della forza elettrostatica che agisce su -/
A quale distanza dovrebbe essere posta -/ da - in modo tale che il
modulo della forza sia nullo.
5
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Esercizio 2 – soluzione 1/2
)/3
-
2)/3
-/
>>?
-
>>?
Determinare il modulo della forza elettrostatica che agisce su -/
- ⋅ -/
- ⋅ -/
= 9 ) )
3
- ⋅ -/ 9 - ⋅ -/
=
= )
2) 4
3
> >? = >>?
>>? − > >? =
Allora:
@⋅>⋅>?
1−
=
4
>⋅>
?
Esercizio 2 – soluzione 2/2
A quale distanza dovrebbe essere posta -/ da - in modo tale che il modulo
della forza sia nullo.
A
-
)−A
>>?
-/
>>? − > >? = ⋅ - ⋅ -/
1
1
−
A
)−A
=0=
-
>>?
1
1
−
A
)−A
=0
) − A − A
) − 2)A
=
=0
A ) − A A ) − A ) ) − 2A = 0 ovvero A = 2/).
6
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Esercizio 3
Due sferette di massa * = * = * e carica - = - e - = 2rispettivamente sono appese a due fili uguali di lunghezza B = 120C*, che
formano all’equilibrio gli angoli D e D rispettivamente (supposti molto
piccoli).
a) Calcolare il rapporto D /D ;
b) Se la distanza tra le sferette è ) = 10C*, calcolare il valore di -
D D
2-, *
-, *
)
Esercizio 3 – soluzione 1/3
a)
All’equilibrio, la risultante R
della forza peso e della forza
elettrostatica agenti su
ciascuna sfera è diretta lungo il
filo, uguale ed opposta alla
tensione del filo.
Calcolare il rapporto D /D ;
D D
-, *
2-, *
+
E
D
)
E
D
+
F0D = + /E
7
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Esercizio 3 – soluzione 2/3
a)
Calcolare il rapporto D /D ;
E
D
D
E
+
F0D =
+
+ 2- 1
= ⋅
E
)
*0
F0D =
+ 2- 1
= ⋅
E
)
*0
Allora F0D = F0D quindi D = D
Esercizio 3 – soluzione 3/3
b) Se la distanza tra le sferette è ) = 10C*, calcolare il valore di D D
)
= B sin D
2
2-, *
)/2
B
)
= B sin D
2
-, *
)/2
Usando che D e D sono piccoli, allora possiamo supporre che
sin DJ ≈ DJ ,
quindiDJ = )/2B
F0DJ ≈ DJ ,
quindi D ≈
O
=
@> E allora - =
? E
O@
= 4,53 ⋅ 10% - = 2,13 ⋅ 10%9 8
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Esercizio 4
Due sferette di massa * = * e * = 2* hanno entrambe carica - = - =
5 ⋅ 10%; e sono appese a due fili uguali di lunghezza B = 120C*, che
formano all’equilibrio gli angoli D e D rispettivamente (supposti molto
piccoli).
a) Calcolare il rapporto D /D ;
b) Se la distanza tra le sferette è ) = 10C*, calcolare la massa *
D D
-, *
)
-, 2*
Campo elettrico
Una carica elettrica posta in un punto dello spazio, genera un campo elettrico.
Per poter rilevare tale campo, è necessario utilizzare una carica di prova q, avente per
convenzione segno positivo.
Il vettore campo elettrico è definito come il rapporto tra la forza elettrostatica a cui è
soggetta la carica di prova e la carica stessa.
Q =
-
Q=⋅
)
Q = R ⋅ S ⋅ %/ ⋅ %
= 6/
Linee di forza del campo elettrico
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Energia potenziale elettrica
Il campo elettrico generato da cariche in quiete non varia ne tempo e si dice campo
elettrostatico.
Il campo elettrostatico è un campo conservativo, ovvero il lavoro compiuto dalle
forze dipende solo dalla posizione. Per questo motivo possiamo definire l’energia
potenziale elettrica.
L’energia potenziale elettrica Q, di una carica all’interno di un campo elettrico è
una funzione della posizione della carica tale che la differenza del valore nel punto
A dal punto B coincide con il lavoro compiuto dal campo per spostare la carica da A
a B:
Q[ = R ⋅ S ⋅ %
EUV − EUW = L(A, B)
= \]^B1
L’energia potenziale di una carica di prova q posta a distanza r dalla carica
generatrice Q è pari a
Q[ = ⋅)
Potenziale elettrico
Il potenziale elettrico in un punto A del campo elettrico è definito come il rapporto
tra l’energia potenziale elettrica di una carica q presente nel punto A e la carica
Q[a
stessa
_` =
-
Nel caso di un campo elettrico generato da una carica Q, il potenziale elettrico di un
punto A a distanza r è pari a
_` =
Q[a
=⋅
)
_ = R ⋅ S ⋅ %/ ⋅ %
b
= _ = c
Chiamiamo differenza di potenziale (ddp) tra due punti A e B il lavoro (cambiato di
segno) compiuto dal campo elettrico da una carica elettrica unitaria e positiva q da
punto A al punto B
Δ_ = _e − _` =
fgh
>
−
fga
>
=−
i(`,e)
>
10
08/12/2014
Campo elettrico e potenziale
Vi è una relazione tra campo elettrico e differenza di potenziale.
Nel caso semplificato di forza e spostamento con la stessa direzione e verso,
otteniamo
Δ_
Q=−
Δk
Chiamiamo elletronvolt l’energia potenziale di una carica elementare
(1,6 ⋅ 10% )sottoposta ad una differenza di potenziale paria a 1j]BF.
Chiamiamo superficie equipotenziale di un campo elettrico, tutti i punti che si
trovano allo stesso potenziale.
Esercizio 5
Consideriamo un triangolo equilatero di lato B costituito da cariche uguali
poste ai vertici. Verificare che il campo elettrico è nullo al centro del triangolo.
Consideriamo un quadrato di lato B costituito da cariche uguali poste ai
vertici. Verificare che il campo elettrico è nullo al centro del quadrato.
Cosa accade se ai vertici del quadrato si pongono cariche a due a due opposte
(ovvero due vertici vicini hanno cariche opposte)? Quanto vale il campo
elettrico al centro del quadrato?
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08/12/2014
Flusso del campo elettrico
Per un campo Q uniforme ed una superficie piana di area A, che forma un
angolo D tra la normale alla superficie ed il campo elettrico, si definisci flusso
del vettore del campo elettrico attraverso la superficie A, il prodotto
Φ Q = Q ⋅ m ⋅ cos D
Per D = 0, il campo elettrico è perpendicolare alla superficie, e quindi il
flusso è massimo
Per D = '/2, il campo elettrico è parallelo alla superficie, e quindi il flusso
è nullo
Teorema di Gauss
Il flusso di un campo elettrico Q, nel vuoto, attraverso una superficie chiusa S
è dato dal rapporto tra la somma algebrica delle cariche Q contenute
all’interno della superficie S e la costante dielettrica del vuoto "# :
Φ Q = /"#
Se all’interno di S non ci sono cariche,Φ Q = 0, per cui il campo elettrico
all’interno di un conduttore carico e quindi nullo
Si può definire il potenziale di un conduttore, in quanto in tutti punti di un
conduttore, che si trova in equilibrio elettrostatico, il potenziale elettrico ha lo
stesso valore
In un conduttore la carica elettrica si distribuisce sulla superficie
Nei conduttori non sferici, la carica elettrica s concentra maggiormente
dove la curvatura è maggiore
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08/12/2014
Capacità elettrica
Definiamo capacità elettrica di un conduttore come il rapporto tra la carica
elettrica del conduttore ed il potenziale in cui si trova:
=
_
= R% ⋅ S% ⋅ ⋅ =
]^B]*p
j]BF
= qr)rs
Se ad un conduttore si fornisce una carica Q, questa porta ad un potenziale
V che è dipende dalla carica fornita.
La capacità di un conduttore dipende solamente dalle caratteristiche
geometriche del conduttore e dalle caratteristiche del mezzo in cui si trova.
CONDENSATORI
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08/12/2014
Condensatore
Un condensatore è un sistema costituito da due conduttori paralleli posti a
distanza d ed isolati fra loro, detti armature o piatti del condensatore.
In condizioni di induzione elettrostatica
completa, se Q è la carica accumulata su un
conduttore, sul secondo conduttore si
accumulerà un carica pari a –Q.
Si genera un campo elettrico Q tra le due
armature
Definiamo capacità elettrica di un condensatore il rapporto tra il valore
assoluto della carica accumulata Q sulle armature e la differenza di potenziale
Δ_ tra i due conduttori
=
Δ_
Condensatore
Se consideriamo un condensatore a facce piane, allora possiamo determinare
="⋅
t
s
" = "# ⋅ "
Nel caso in cui le armature abbiano una superficie
molto più grande della distanza d, abbiamo
=
Δ_
s
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08/12/2014
Condensatori in serie
In un collegamento in serie tra due condensatori di capacità elettrica e ,
le armature di ciascun condensatore sono caricate con la medesima quantità
di carica elettrica Q
La differenza di potenziale Δ_ ai capi del
sistema si ripartisce tra i due condensatori
secondo la legge
ΔV = ΔV v ΔV
ΔV = ΔV v ΔV = Δ_J = /
J
1
1
v
Definiamo capacità equivalente +> di due (o più) condensatori in serie
1
1
1
= v
+> Osservazione: +> è sempre minore della capacità di ogni
singolo condensatore componente la serie
Condensatori in parallelo
In un collegamento in parallelo tra due condensatori di capacità elettrica e
, tra le armature di ciascun condensatore vi è la stessa differenza di
potenziale Δ_ = _w − _x , mentre la carica elettrica totale è data dalla somma
delle due cariche elettriche su ciascun condensatore.
= v +> =
v =
= v Δ_
Δ_
Osservazione: +> è sempre maggiore della capacità di
ogni singolo condensatore componente il sistema in
parallelo
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08/12/2014
Lavoro per caricare un condensatore
Il lavoro compiuto per portare una singola carica q da un’armatura all’altra del
condensatore, che già si trovano alla ddp ΔV, è pari a
S = - ⋅ Δ_
Questo lavoro è l’opposto del lavoro eseguito dalle forze elettriche, pari a
S = −- ⋅ Δ_.
Il lavoro totale necessario per caricare le armature di un condensatore,
inizialmente scarico, con carica elettrica Q, è pari a
S=
1 1
1
⋅ ⋅ ΔV = ⋅
= ⋅ ⋅ Δ_ 2
2 2
Dove Δ_è la ddp tra le due armature e C è la capacità elettrica del
condensatore. Questo lavoro rimane immagazzinato nel condensatore, sotto
forma di energia elettrostatica accumulata.
Corrente elettrica
Applicare una ddp agli estremi di un conduttore produce un campo elettrico
lungo il conduttore che genera un flusso di cariche.
Verso convenzionale i
←
1%
←
← 1%
1%
+-
←1
← 1%
%
In un conduttore di metallo gli elettroni sono
le uniche cariche libere di muoversi e gli
elettroni migrano dalla regione a potenziale
elettrico minore a quella a potenziale elettrico
maggiore
Δ_
Questo flusso ordinato di elettroni è detto corrente elettrica.
Per convenzione, il verso della corrente elettrica scelto opposto al movimento di
elettroni, ovvero dalla zona a potenziale maggiore a quella a potenziale minore.
Definiamo intensità di corrente
=
Δ
Δt
= r*{1)1
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08/12/2014
Leggi di Ohm
I legge di Ohm
Consideriamo un conduttore metallico filiforme, ai cui estremi è applicata una
ddp costante, percorso da una corrente continua. Allora l’intensità di corrente
elettrica i, purché non intervengano variazioni fisiche del conduttore, è pari a
| = R ⋅ S ⋅ %/ ⋅ % ] = [j]BF/r*{1)1] = ]}*
ΔV = i ⋅ |
dove R è la resistenza elettrica e dipende esclusivamente dal conduttore
(forma geometrica, sostanza, condizioni fisiche)
Leggi di Ohm
II legge di Ohm
In un filo conduttore metallico la resistenza elettrica R è direttamente
proporzionale alla lunghezza del filo l ed inversamente proporzionale alla sua
sezione S:
| =~⋅
B
t
~ = [R ⋅ S/ ⋅ %/ ⋅ % ] = ]}* ⋅ *
dove ~ è detta resistività elettrica e dipende dal materiale e dalla
temperatura a cui si trova.
L’inverso della resistività elettrica è detta conducibilità elettrica
= 1/~
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08/12/2014
Effetto Joule
L’effetto Joule è l’effetto di riscaldamento di un conduttore metallico a seguito
del passaggio di corrente elettrica.
Gli elettroni in moto attraverso il conduttore perdono energia nella collisione
con atri elettroni e l’energia persa è acquisita dal conduttore sotto forma di
calore. L’energia termica sviluppata è pari al lavoro elettrico S = − ⋅ Δ_
La potenza dissipata per effetto Joule è pari a
=
S
Δ_
Δ_ =⋅
= Δ_ ⋅ =
= | ⋅ ΔF
Δt
|
CIRCUITI ELETTRICI
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08/12/2014
Generatore elettrico
In un conduttore metallico ai cui estremi è applicata una ddp fluisce una
corrente elettrica, ma affinché tale correnti continui a fluire, è necessario che
tale ddp sia mantenuta.
Un generatore elettrico è un dispositivo in grado di creare e mantenere una
ddp tra due elettrodi metallici, ovvero di generare una forza elettromotrice
(f.e.m.)
(Attenzione, anche se detta forza, essa non ha valenza vettoriale né le
dimensioni tipiche della forza)
La forza elettromotrice è la differenza di potenziale ai capi del generatore a
circuito aperto ed è definita come il rapporto tra l’energia erogata dal
generatore e la carica posta in movimento.
La resistenza interna è la resistenza che la corrente incontra passando
all’interno del generatore stesso, e si misura in ohm.
Circuito elettrico
In generale un circuito elettrico è un insieme costituito da un generatore
elettrico e da elementi passivi (resistenze e condensatori).
Si definisce maglia di un circuito ogni percorso chiuso all’interno di un
circuito elettrico.
Un nodo è un punto del circuito elettrico in cui confluiscono due o più
conduttori del circuito.
Un ramo di un circuito è un qualunque conduttore che collega due nodi
distinti
Generatori
G
Misuratori
Elementi
passivi
V
vol0tmetro
condensatore
~
Corr. alternata
A
amperometro
resistenza
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08/12/2014
Circuito elettrico
Esempio di circuito elettrico
costituito da una resistenza R, da
un condensatore C e da un
interruttore T
Collegamento in serie tra resistenze
In un collegamento in serie tra resistenze | 1| ciascuna resistenza è
attraversata dalla stessa corrente i mentre la ddp Δ_tra gli estremi è data
dalla somma delle ddp Δ_ 1Δ_ ai capi di ciascuna resistenza, per cui la
resistenza equivalente è pari alla somma delle resistenze in serie.
R
Δ_ = Δ_ v Δ_
R
A
i
|+> =
Δ_ Δ_ v Δ_
=
= | v |
20
08/12/2014
Collegamento in parallelo tra resistenze
In un collegamento in parallelo tra due resistenze | 1| , la ddp ai capi di
ciascuna resistenza è identica, Δ_ = _e − _` , mentre a corrente che etra nel
sistema è la somma delle correnti nelle singole resistenze
R
A
R
= v =
=
Δ_ Δ_
1 1
v
= Δ_
v
| |
| |
v
La resistenza equivalente di due o più resistenze in parallelo è sempre minore
di ciascuna delle resistenze costituenti il sistema.
Leggi di Kirchhoff
I legge di Kirchhoff
In ogni nodo di un circuito elettrico, la somma delle correnti entranti è uguale
allo somma delle correnti uscenti.
Equivalentemente, assegnando segno opposto alle correnti nei due sensi, la
somma algebrica delle correnti che fluiscono in un nodo è nulla.
La legge è conseguenza del principio di conservazione della carica elettrica
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08/12/2014
Leggi di Kirchhoff
II Legge di Kirchhoff
In ogni maglia di un circuito, la somma algebrica delle variazioni di potenziale
nelle resistenze è nulla, oppure uguale a quella di un generatore f.e.m. se
presente nella maglia.
ESEMPI DI SOLUZIONE DEI CIRCUITI
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08/12/2014
Esempio 1
Calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.
Le resistenze | e | sono in serie e possiamo considerare la resistenza
equivalente |+>,, = | v | .
Le resistenze |+>,, e |/ sono in parallelo e possiamo considerare la resistenza
equivalente |+>,,,/ tale che
,,,?
=
,,
v
?
Esempio 2
Calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.
R
R
A
R/
A
Notiamo che i resistori R2 ed R3 sono collegati in
parallelo, in quanto tutti e due hanno i rispettivi
terminali l'uno collegato al punto A e l'altro al
punto B del circuito
|,/ =
1
1
|/ v |
v
=
|/ |
|/ ⋅ |
R
Le resistenze | e |,/ sono in serie, quindi la
resistenza equivalente
R ,/
|,,/ = | v |,/ = | v
|/ v |
|/ ⋅ |
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08/12/2014
Esempio 3
Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza
equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0.
|
R
A
A
| = | v |#
|
R
1
1
1
= v
| | | v |#
R
|v
|(| v |# )
= |#
2| v |#
2| v ||# v | v ||# = 2||# v |#
|=
3
|
3 #
Esempio 4
Due resistori in parallelo, da 20 W ciascuno, vengono collegati ad un unico
generatore di tensione avente la tensione E = 12 V. Calcolare tutte le tensioni
e tutte le correnti.
R
A
R
G
|+> =
1
1
v
= 10Ω
| |
Con la legge di Ohm ci calcoliamo la corrente
totale del circuito:
12
Δ_ = ⋅ |
=
m
10
Essendo tutti i componenti collegati parallelo avranno tutti la stessa tensione; quindi:
_1 = _2 = Q = 12_.
Non resta ora che calcolare le due correnti dei due resistori:
=
_
= 0,6m
|
=
_
= 0,6m
2
24
08/12/2014
ESERCIZI
Esercizi
1.
2.
3.
Descrivere il processo di induzione elettrostatica
Descrivere il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q nel
vuoto e in un mezzo;
Se si collegano in parallelo tre resistenze | , | 1|/ , determinare la
resistenza equivalente |+>
4.
Se si collegano tre resistenze in serie | , | 1|/ , determinare la
resistenza equivalente |+>
5.
Descrivere come varia la resistenza R di un filo conduttore di lunghezza l
e sezione S al variare di l e S
Descrivere le principali proprietà di un conduttore e definire la capacità
elettrica
Enunciare il Teorema del flusso di Gauss ed applicarlo al caso di una sfera
chiusa che contiene una carica Q.
6.
7.
25
