Laboratorio di Fisica

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RICHIAMI DI OTTICA – ONDE o CORPUSCOLI ? - (wikipedia)
Formulata da Isaac Newton nel XVII secolo. La luce veniva vista come composta da piccole particelle di materia (corpuscoli) emesse in tutte le direzioni.
Oltre che essere matematicamente molto semplice (molto più della teoria ondulatoria) questa teoria spiegava molto facilmente alcune caratteristiche della
propagazione della luce che erano ben note all'epoca di Newton.
Innanzitutto la meccanica galileiana prevede, correttamente, che le particelle (inclusi i corpuscoli di luce) si propaghino in linea retta ed il fatto che questi
fossero previsti essere molto leggeri era coerente con una velocità della luce alta ma non infinita. Anche il fenomeno della riflessione poteva essere spiegato
in maniera semplice tramite l'urto elastico della particella di luce sulla superficie riflettente.
La spiegazione della rifrazione era leggermente più complicata ma tutt'altro che impossibile: bastava infatti pensare che le particelle incidenti sul materiale
rifrangente subissero, ad opera di questo, delle forze perpendicolari alla superficie che ne cambiassero la traiettoria.
Nel 1678 lo scienzato olandese Christian Huygens formulò una regola "euristica" che permetteva di interpretare i fenomeni luminosi come fenomeni
ondulatori. In aperto contrasto con la teoria corpuscolare della luce di Newton, Huygens derivò dal proprio principio un'interpretazione ondulatoria coerente
di tutti i fenonemi concernenti la luce allora noti.
Per usare le parole dello stesso Huygens [1] "...ciascuna particella della materia in cui un'onda viaggia comunica il suo moto non solo alla particella vicina
che è allineata con la sorgente luminosa, ma necessariamente anche alle altre con le quali è a contatto e che si oppongono al suo movimento. Cosicché
intorno a ciascuna particella si origina un'onda di cui essa è il centro" In sintesi il principio afferma che: "Tutti i punti di un fronte e raggio F(t) possono
essere considerati sorgenti puntiformi di onde sferiche secondarie aventi la stessa frequenza dell'onda principale. Dopo un tempo Δt la nuova posizione
del fronte F(t + Δt) sarà la superficie di inviluppo di queste onde secondarie" L'immagine a lato chiarisce quanto detto.
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ESPERIENZA DI YOUNG
Francesco Maria Grimaldi (1618–1663) notò la prima volta che i bordi delle ombre non erano netti, e attribuì questo
effetto alla diffrazione supponendo che la luce fosse un'onda
Thomas Young realizzò l'esperimento della doppia fenditura nel 1801 confermando il comportamento ondulatorio (in
opposizione alla teoria corpuscolare sostenuta da Newton)
sorgente luminosa
monocromatica
fenditura con singolo
foro circolare
doppia fenditura
fori circolari
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Nel caso delle onde sulla superficie di un liquido si osserva
un fenomeno di interferenza in presenza di due sorgenti di onde circolari
La luce è un'onda (1801 T. Young)
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... l'ottica geometrica è un'approssimazione valida in un ambito limitato: non rende
infatti conto di fenomeni come diffrazione ed interferenza.
... qualche esperimento un po' di calcoli e si arriva a ...
1865 Leggi di Maxwell: la luce è un'onda elettromagnetica, ed è un'onda di tipo
trasversale, le quantità oscillanti sono il campo elettrico E e quello magnetico B
che sono sempre perpendicolari alla direzione di propagazione
eq. onde ha per soluzione
s(x,t)=f(x± v t)
fronte d'onda = insieme dei punti x± v t = cost
Velocità di propagazione dell'onda =|v|
La velocità di propagazione delle onde luminose nel vuoto è costante = c
in un mezzo la velocità è inferiore e pari a c/n (con n indice di rifrazione)
RAPPRESENTAZIONE COMPLESSA
* Le onde ottiche sono onde traversali (l'oscillazione e` perpendicolare alla direzione di
propagazione dell'onda) e sinusoidali (la perturbazione per ogni punto e` funzione
sinusoidale del tempo)
* Il campo elettrico di onda piana armonica che propaga con velocita`v lungo l'asse x e`:
E(x,t) = E0 sin(kx-t+) = Re {E0 e i(kx-t+)} Intensità dell'onda I = <|E(t)|2>
Ha un fronte d'onda (insieme dei punti con la stessa fase (kx-t+)) piano

Def: Lunghezza d'onda (distanza tra 2 max successivi a t fissato)
Def: Periodo T (distanza tra due max successivi ad x fissato)
--> in T l´onda percorre  da cui v=velocita` di propagazione lungo x
Def: Pulsazione
Def: Numero d´onda
--> v/k
l

* in 3 D onda piana

k = 
onde sferiche
E(r,t) = E0 exp
i (k r – t)
E(r,t) = E e i(k r-t)
0
r
con k=vettore d'onda (direz. propag.)
L'INTERFERENZA
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Considero il caso piu' semplice: due onde sferiche monocromatiche
EA(r1,t) = A e
i(kr1- t)
EB(r2,t) = B e
i(hr2 –t+)
r
SA
1
P
r2
SB
1)Se  (le due onde hanno la stessa frequenza quindi anche k=h=/c)
e cost (differenza di fase tra le due onde fissa nel tempo)
=> l'intensità non dipende dal tempo (è un vettore rotante con modulo costante):
I(P) = |EA+EB|2= A2 + B2 + 2 A B cos[(r -r ) /c +] =
1
2
= IA + IB + 2 √ IA IB cos[(r1-r2) /c+]
=> l'intensità luminosa dipende dal punto dello spazio con andamento sinusoidale
2) Se ≠ l'intensità dipende dal tempo (è un vettore rotante di frequenza (+ e modulo
variabile che oscilla con frequenza (-ma gli strumenti hanno una risoluzione temporale
finita, fanno quindi una media temporale e se sto integrando su molti periodi e
ottengo un valore costante, nel tempo e nello spazio (non vedo interferenza):
I(P) = A2 + B2 = IA + IB
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* ho omesso il termine 1/r dell'onda sferica. Assumo infatti che il punto P ( il mio schermo
di proiezione) sia molto lontano rispetto alla distanza tra le sorgenti e quindi
P
S1P ~ S2P ~ costante per tutti i punti P del mio schermo
r
1
S1
* condizione di interferenza
1. stessa frequenza
2. differenza di fase costante (sorgenti mutuamente coerenti)
r2
S2
* massimi di interferenza (assumo =0) (punti in cui le onde sono in fase)
cos[(r1-r2) /c] = 1
I (P) = IA + IB+ 2 √ IA IB = (A+ B)2
(r1-r2) /c = N 2(r1-r2) = N 
OSS: e` un iperbolodie di rotazione
con i 2 fuochi nelle due sorgenti
* minimi (punti in cui le onde hanno fasi opposte)
I (P) = IA+ IB- 2 √ IA IB = (A- B)2
OSS: se A = B allora I=0
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Per osservare l'interferenza servono sorgenti mutuamente coerenti
per ottenerle si usa la stessa sorgente “divisa” in due o piu' sorgenti
Specchio di Lloyd
Doppia fenditura
Specchi di Fresnel
INTERFEROMETRO
DI MICHELSON
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schermo
specchio
semiriflettente
lastra compensatrice
S2
Laser
specchio
mobile
S1
specchio
* Il sistema di specchi consente di creare due sorgenti virtuali coerenti
* La lasta compensatrice consente di poter ottenere la configurazione di cammino ottico
identico per i due bracci dell'interferometro (il raggio blu attraversa lo sp.SR 1 v, il rosso 3 v)
* La lente crea una sorgente puntiforme davanti allo specchio semiriflettente
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S1
l
S2
l =differenza di cammino ottico sull'asse del fascio
= differenza di lunghezza dei due bracci
(se c'è la lastrina compensatrice)
La condizione di interferenza costruttiva o distruttiva dipende dalla differenza di cammino
ottico. Sull'asse del fascio si ha interferenza costruttiva se le due onde sono in fase
(si osserva un massimo luminoso al centro) distruttiva se sono in opposizione di fase.
Se si varia ad es la distanza tra gli specchi si osserva l'alternarsi di massimi e minimi, il numero
di frange che si vedono scorrere spostando lo specchio è dato da:
N = 2 l
Misurando l è possibile ricavare il valore della lunghezza d'onda della sorgente utilizzata.
Interferometro di Michelson
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* con laser HeNe
* con sorgente microonde
Quando l'allineamento è corretto
le frange sono circolari
S1
l
S2
Misuro
* lunghezza d'onda
* indice di rifrazione del vetro
* n(p) frapponendo una camera a vuoto
* lunghezza di coerenza
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DIFFRAZIONE
DIFFRAZIONE alla FRAUNHOFER
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Assumo che ogni punto della fenditura sia illuminato da un'onda piana e diventi
una sorgente di onde sferiche, e che lo schermo è molto distante per cui l'onda sullo
schermo appare piana. (sorgente all'infinito, osservatore all'infinito)
Per realizzare in laboratorio tale condizione
si utilizzano 2 lenti, la prima che tramuta raggi
uscenti da sorg puntif in raggi paralleli, la seconda
che li fa convergere in un punto.
Dopo la lente i raggi seguono un cammino
ottico uguale
A contare è la diff. di cammino ottico
prima di questo piano
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DIFFRAZIONE alla FRAUNHOFER
Assumo che ogni punto della fenditura sia una sorgente di onde sferiche
lo schermo è molto distante per cui l'onda sullo schermo appare piana
y
* interferenza sullo schermo tra i raggi r1 ed r2
E(P1) = E0 exp i[ kr1-t] + E0 exp i[ kr2-t]
I(P1) = I0 + I0 + 2 I0 cos[k(r1-r2)]
ma
(r1-r2) = a/2 sin
e
k=
IPI [1+cos( a sin ]

Ovvero I(P1)= 2 I0 [1+cos ] con  = a sin/
Perrpiccolo (D grande) si ha sinIP 4I cos( /2 )
* l'interferenza è distruttiva se cos  = -1 cioe` a sin=
DIFFRAZIONE alla FRAUNHOFER
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* calcolo l'intensità del punto P1 integrando su tutti i raggi dalla fenditura
r
a/2
E0
⌠
E(P1) =
exp i (kr-t - kx sin dx
⌡-a/2 a
sin 
I =I 0 

2

Con = a sin /
* la larghezza del primo massimo è pari a /a
* minimi per  = n con n=±1,±2...
Cioe` per a sin = n
}
2
x
x sin
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DOPPIA FENDITURA
* si sommano i fenomeni di interferenza e di diffrazione



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RETICOLO
N numero di fenditure
d distanza tra una fenditura e l'altra
a ampiezza di una fenditura
Nella realizzazione pratica:
* sorgente puntiforme posta nel fuoco di una lente convergente
* il reticolo è illuminato da un fronte d'onda piano
* una lente convergente focalizza l'immagine
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RETICOLO
Assumo che ogni fenditura sia una sorgente puntiforme di
onde sferiche (trascuro al solito dipendenza 1/r)
E(in direzione ) = E0 exp i[ kr-t]
1
2
avrò interferenza tra le N sorgenti puntiformi dovuta alla differenza
di fase tra i raggi
3
4
5
se assumo 1=0
6
avrò
j=1
= k d sink d (j-1) sin j=2
k d sink d (j-1) sin
j k d sin(j-1) (j-1)
j=3
con  = k/2 d sin d sin

N
E(in direzione ) =
j=
1
E0 exp i[ kr-t] exp i[2(j-1)]
sin2  N  sin 2 
I =I 0 

2
sin 
2
= E0 exp i[ kr-t]
1-e
1-e
- iN2
- i2
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RETICOLO
massimi di intensità = onde in fase
k d sinn cioe` d sin  =n  con n=0, ±1, ±2
zeri di intensità
k d sin m/N m= ±1, ±2 purché m/N ≠ intero
L'effetto della diffrazione?
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Conviene usare reticoli con fenditure
larghe o sottili?
Se uso luce non monocromatica?
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Dispersione: distanza angolare tra due righe vicine in 
I massimi di ordine n per le lungh. d'onda  e sono:
sin =n/d
e
seallora
sin (= n/d

pertanto si ha
e quindi
e quindi
sin (sin cos 
n/d cos =n/d
D=  =n/(d cos  dispersione angolare
All'aumentare del potere dispersivo (quando d è piccolo) l'errore sulla misura della
lunghezza d'onda diminuisce:
d= d * d/d = d * D-1
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Potere risolvente: più piccola differenza di lunghezza d'onda che un reticolo è in
grado di distinguere all'ordine n
Assumo che due righe sono distinguibili se la loro separazione supera la distanza
tra un massimo principale ed il minimo adiacente. Sia  la posizione angolare del
massimo di ordine n e quella del minimo adiacente:
sin = n/d
e
sin (= (n+1/N)/d
assumendo che sia molto piccolo le due equazioni si riducono a
sin cos= (n+1/N)/d
cioè cos= 1/N/d e quindi
la distanza angolare tra un massimo e il minimo adiacente e'= /Nd 1/cos
se richiedo che questa sia pari alla distanza tra due massimi dovuti a lunghezze d'onda
vicine ottengo
/Nd 1/cosn/(d cos  e quindi = Nn
potere risolvente
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DOPPIA FENDITURA
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Polarizzazione
Laser
Microonde
Il righello come reticolo
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