Il campo magnetico rotante

Il campo magnetico rotante
Data una bobina circolare di raggio R, situata nel piano xy e percorsa da una corrente I, il campo
I
magnetico generato da I nel centro della bobina vale H = zˆ
, dove il verso di I e quello di H sono
2R
tra loro legati dalla regola della mano destra.
Se la corrente I non è continua ma variabile nel tempo secondo una qualsiasi legge I ( t ) anche il
corrispondente campo magnetico sarà variabile nel tempo, secondo H ( t ) = zˆ
Se
quindi
H ( t ) = zˆ
I (t )
I M sin (ωt )
2R
ha
un
andamento
sinusoidale
pari
a
I (t )
2R
I ( t ) =I M sin (ωt )
avrò
ˆ M sin (ωt )
= zH
Per produrre un campo magnetico rotante sono necessarie 2 condizioni:
1) tre bobine collocate in modo tale che i loro assi giacciano su uno stesso piano e formino un
angolo di 120 gradi (2π/3 rad) come mostrato in figura 1
2) le tre bobine siano rispettivamente percorse da tre correnti sinusoidali sfasate di 120 gradi
(elettrici) l’una rispetto all’altra.
Fig. 1 Tre bobine con i rispettivi assi.
Le tre correnti in questione sono riportate in Fig. 2 (considerando per semplicità I M = 1 ), e le loro
espressioni sono rispettivamente:
I1 (t ) = sin (ωt )
2 ⎞
⎛
I 2 (t ) = sin ⎜ ωt − π ⎟
3 ⎠
⎝
4
⎛
⎞
I 3 (t ) = sin ⎜ ωt − π ⎟
3 ⎠
⎝
Fig. 2 Tre correnti sfasate di 120 gradi l’una rispetto all’altra.
Si consideri l’istante di tempo per cui ωt = 0 , le tre correnti varranno rispettivamente
I1 (0) = sin ( 0 )
⎛ 2 ⎞
I 2 (0) = sin ⎜ − π ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛ 4 ⎞
I 3 (0) = sin ⎜ − π ⎟
⎝ 3 ⎠
e nella figura 3 sono riportati i 3 rispettivi vettori di campo H1 , H 2 e H 3 (colorati in rosso).
La soma vettoriale dei vettori è riportata in nero.
Figura 3. risultante vettoriale del campo magnetico per ωt = 0
Si consideri l’istante di tempo per cui ωt =
π
4
, le tre correnti varranno rispettivamente
⎛ π ⎞
⎛π ⎞
I1 ⎜
⎟ = sin ⎜ ⎟
4
ω
⎝
⎠
⎝4⎠
⎛ π ⎞
⎛π 2 ⎞
I2 ⎜
⎟ = sin ⎜ − π ⎟
⎝ 4ω ⎠
⎝4 3 ⎠
⎛ π ⎞
⎛π 4 ⎞
I3 ⎜
⎟ = sin ⎜ − π ⎟
⎝ 4ω ⎠
⎝4 3 ⎠
ed i corrispettivi valori sono segnati con un asterisco in fig. 4.
Nella figura 5 sono riportati i 3 rispettivi vettori di campo H1 , H 2 e H 3 e la somma vettoriale.
Figura 4. Valori delle correnti per ωt =
π
4
Figura 5. risultante vettoriale del campo magnetico per ωt =
π
4
Si consideri l’istante di tempo per cui ωt =
π
2
, le tre correnti varranno rispettivamente
⎛ π ⎞
⎛π ⎞
I1 ⎜
⎟ = sin ⎜ ⎟
2
ω
⎝
⎠
⎝2⎠
⎛ π ⎞
⎛π 2 ⎞
I2 ⎜
⎟ = sin ⎜ − π ⎟
⎝ 2ω ⎠
⎝2 3 ⎠
⎛ π ⎞
⎛π 4 ⎞
I3 ⎜
⎟ = sin ⎜ − π ⎟
⎝ 2ω ⎠
⎝2 3 ⎠
ed i corrispettivi valori sono segnati con un asterisco in fig. 6.
Nella figura 7 sono riportati i 3 rispettivi vettori di campo H1 , H 2 e H 3 e la somma vettoriale.
Figura 6. Valori delle correnti per ωt =
π
2
Figura 7. risultante vettoriale del campo magnetico per ωt =
π
2
Si consideri l’istante di tempo per cui ωt = π , le tre correnti varranno rispettivamente
⎛π ⎞
I1 ⎜ ⎟ = sin (π )
⎝ω ⎠
2 ⎞
⎛π ⎞
⎛
I 2 ⎜ ⎟ = sin ⎜ π − π ⎟
3 ⎠
⎝ω ⎠
⎝
4 ⎞
⎛π ⎞
⎛
I 3 ⎜ ⎟ = sin ⎜ π − π ⎟
ω
3 ⎠
⎝ ⎠
⎝
ed i corrispettivi valori sono segnati con un asterisco in fig. 8.
Nella figura 9 sono riportati i 3 rispettivi vettori di campo H1 , H 2 e H 3 e la somma vettoriale.
Figura 8. Valori delle correnti per ωt = π
Figura 7. risultante vettoriale del campo magnetico per ωt = π
E’ quindi evidente che il vettore risultante, somma dei campi prodotti dalle singole bobine, è un vettore
di modulo costante, verso costante e direzione variabile nel tempo. In particolare la direzione del
campo risultante varia nel tempo ruotando attorno all’origine con velocità angolare costante.
⎡ 2π ⎤
Nell’intervallo di tempo T = ⎢ 0, ⎥ il vettore compie un angolo di α = 2π rad; la sua velocità
⎣ ω ⎦
α
= ω , ossia la velocità di rotazione del vettore campo magnetico coincide
T
con la pulsazione delle correnti che alimentano le tre bobine.
In particolare, se l’ampiezza massima delle correnti è I M , l’ampiezza del campo rotante ha modulo
angolare sarà quindi Ω =
3
HM .
2