Teorema di Eulero

Teorema di Eulero
Gregorio D’Agostino
31 marzo 2017
Teorema di Eulero
Elevando ogni numero a primo con n, alla funzione di Eulero di n
(φ(n)) si ottiene sempre un numero congruente all’unità:
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
In forma equivalente in Z:
aφ(n) = 1 + k · n.
Teorema di Eulero
Elevando ogni numero a primo con n, alla funzione di Eulero di n
(φ(n)) si ottiene sempre un numero congruente all’unità:
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
In forma equivalente in Z:
aφ(n) = 1 + k · n.
I
Vedremo due dimostrazioni diverse: una algebrica ed una
basata sulla teoria dei gruppi.
Teorema di Eulero
Elevando ogni numero a primo con n, alla funzione di Eulero di n
(φ(n)) si ottiene sempre un numero congruente all’unità:
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
In forma equivalente in Z:
aφ(n) = 1 + k · n.
I
I
Vedremo due dimostrazioni diverse: una algebrica ed una
basata sulla teoria dei gruppi.
Rivediamo la funzione di Eulero:
def
φ(n) = φ(n1 ) · φ(n2 ) · · · φ(nm );
φ(n) = φ((p1 )h1 ) · φ((p2 )h2 ) · · · φ((pm )hm );
φ(n) = (p1 )h1 −1 (p1 −1)·(p2 )h2 −1 (p2 −1) · · · (pm )hm −1 (pm −1).
Dimostrazione algebrica
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
Premesse: n si fattorizza in fattori primi in maniera unica:
n = (p1 )h1 · (p2 )h2 · · · (pm )hm .
n = n1 · n2 · · · nm .
Dimostrazione algebrica
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
Premesse: n si fattorizza in fattori primi in maniera unica:
n = (p1 )h1 · (p2 )h2 · · · (pm )hm .
n = n1 · n2 · · · nm .
I
Dimostreremo prima il teorema nel caso di un solo fattore
n = (p)h
Dimostrazione algebrica
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
Premesse: n si fattorizza in fattori primi in maniera unica:
n = (p1 )h1 · (p2 )h2 · · · (pm )hm .
n = n1 · n2 · · · nm .
I
Dimostreremo prima il teorema nel caso di un solo fattore
n = (p)h
I
Dimostreremo che se il teorema è vero per due numeri primi
tra loro è vero anche per il loro prodotto
Dimostrazione algebrica
aφ(n) ≡ 1 (mod n).
I
Premesse: n si fattorizza in fattori primi in maniera unica:
n = (p1 )h1 · (p2 )h2 · · · (pm )hm .
n = n1 · n2 · · · nm .
I
Dimostreremo prima il teorema nel caso di un solo fattore
n = (p)h
I
Dimostreremo che se il teorema è vero per due numeri primi
tra loro è vero anche per il loro prodotto
I
Utilizzando la decomposizione unica otterremo il risultato
generale.
Dimostrazione
I
Lemma 1: Il teorema nel caso particolare in cui n è una
potenza di p (n = p h ). Dimostreremo che per tutti gli a primi
con p
h−1
aφ(n) = a(p) (p−1) ≡ 1 (mod (p)h ).
Dimostrazione
I
Lemma 1: Il teorema nel caso particolare in cui n è una
potenza di p (n = p h ). Dimostreremo che per tutti gli a primi
con p
h−1
aφ(n) = a(p) (p−1) ≡ 1 (mod (p)h ).
I
Lemma 2: Proprietà di composizione. Nel caso n sia il
prodotto di numeri primi tra loro: n = n1 · n2 · · · nm con
n1 · n2 · · · nm primi tra loro. Se la proprietà è vera per ogni ni
è vera per il loro prodotto.
Dimostrazione
I
Lemma 1: Il teorema nel caso particolare in cui n è una
potenza di p (n = p h ). Dimostreremo che per tutti gli a primi
con p
h−1
aφ(n) = a(p) (p−1) ≡ 1 (mod (p)h ).
I
Lemma 2: Proprietà di composizione. Nel caso n sia il
prodotto di numeri primi tra loro: n = n1 · n2 · · · nm con
n1 · n2 · · · nm primi tra loro. Se la proprietà è vera per ogni ni
è vera per il loro prodotto.
I
Utilizzando i due lemmi nel caso n = (p1 )h1 · (p2 )h2 · · · (pm )hm
si ottiene la tesi.
Dimostrazione Lemma 1 (n = p h )
I
Si dimostra per induzione su h.
Dimostrazione Lemma 1 (n = p h )
I
Si dimostra per induzione su h.
I
Il caso h = 1 è il piccolo teorema di Fermat.
Dimostrazione Lemma 1 (n = p h )
I
Si dimostra per induzione su h.
I
Il caso h = 1 è il piccolo teorema di Fermat.
I
Ricorsione su h. Se è vera per h, allora è vera per h+1
p
(h+1)
) = ap·φ(ph ) = (aφ(ph ) )p = 1 + k · p h =
aφ(p
utilizzando la formula del bionomio di Newton:
p
p
h
=1+
k ·p +
k · p h + · · · = 1 + k 0 p h+1 =
1
2
= 1 + k 0 p h+1 ≡ 1 (mod p h+1 ).
Dimostrazione Lemma 2 (n = n1 · n2 · · · nm )
I
Poniamo:
def
x = aφ(n) = aφ(n1 )·φ(n2 )···
e proiettiamola su




x
=









x
=





...



x
=






...







=
 x
tutti gli nj :
φ(n) φ(n1 )
a φ(n1 )
φ(n) φ(n2 )
a φ(n2 )
φ(n) φ(nj )
a φ(nj )
≡ x1
(mod n1 );
≡ x2
(mod n2 );
≡ xj
(mod nj );
φ(nm )
φ(n)
φ(n
)
a m
≡ xm (mod nm ).
Dimostrazione Lemma 2 cont (n = n1 · n2 · · · nm )
I
Per ipotesi, per ogni b primo con n ((b, n) = 1):
b φ(nj ) ≡ 1 (mod nj );
φ(n)
in particolare anche per b = a φ(nj ) . Quindi ∀j xj = 1
Dimostrazione Lemma 2 cont (n = n1 · n2 · · · nm )
I
Per ipotesi, per ogni b primo con n ((b, n) = 1):
b φ(nj ) ≡ 1 (mod nj );
φ(n)
in particolare anche per b = a φ(nj ) . Quindi ∀j xj = 1
I
Il sistema diviene

x
≡




x
≡



... ...
x
≡





.
.
.
.
..


x
≡
1 (mod n1 );
1 (mod n2 );
...
1
(mod nj );
...
1 (mod nm ).
Dimostrazione Lemma 2 cont (n = n1 · n2 · · · nm )
I
Per ipotesi, per ogni b primo con n ((b, n) = 1):
b φ(nj ) ≡ 1 (mod nj );
φ(n)
in particolare anche per b = a φ(nj ) . Quindi ∀j xj = 1
I
I
Il sistema diviene

x
≡




x
≡



... ...
x
≡





.
.
.
.
..


x
≡
1 (mod n1 );
1 (mod n2 );
...
1
(mod nj );
...
1 (mod nm ).
che, per il teorema cinese dei resti equivale a
x ≡ 1 (mod n = n1 · n2 · · · nm ) CVD.
Dimostrazione basata sulla teoria dei gruppi
I
Zn = {0, 1, · · · , n − 1} indica l’anello dei primi n numeri reali
dotato di somma (+) e prodotto. Questo equivale alla classe
dei resti di ordine n, cioè allo spazio quoziente di Z rispetto
alla congruenza modulo n.
Dimostrazione basata sulla teoria dei gruppi
I
Zn = {0, 1, · · · , n − 1} indica l’anello dei primi n numeri reali
dotato di somma (+) e prodotto. Questo equivale alla classe
dei resti di ordine n, cioè allo spazio quoziente di Z rispetto
alla congruenza modulo n.
I
Si definisce Z∗ n l’insieme dei numeri (classi) minori di n e
primi con n (quindi anche diversi da zero).
In questo insieme tutti gli elementi sono dotati di inverso
rispetto al prodotto, si dice quindi un “dominio di integrità”.
Si noti che non è un anello perché sommando due suoi
elementi si possono ottenere numeri non primi con n, cioè non
è chiuso rispetto alla somma. Esempio in Z∗ 8 = {1, 3, 5, 7},
5 + 1 = 6 6∈ Z∗ 8
Dimostrazione basata sulla teoria dei gruppi
I
Zn = {0, 1, · · · , n − 1} indica l’anello dei primi n numeri reali
dotato di somma (+) e prodotto. Questo equivale alla classe
dei resti di ordine n, cioè allo spazio quoziente di Z rispetto
alla congruenza modulo n.
I
Si definisce Z∗ n l’insieme dei numeri (classi) minori di n e
primi con n (quindi anche diversi da zero).
In questo insieme tutti gli elementi sono dotati di inverso
rispetto al prodotto, si dice quindi un “dominio di integrità”.
Si noti che non è un anello perché sommando due suoi
elementi si possono ottenere numeri non primi con n, cioè non
è chiuso rispetto alla somma. Esempio in Z∗ 8 = {1, 3, 5, 7},
5 + 1 = 6 6∈ Z∗ 8
I
Abbiamo visto che la funzione di Eulero φ(n) è la cardinalità
di Z∗ n , conta infatti i numeri coprimi con n:
φ(n) = |Z∗ n | .
Automorfismi di anelli
I
Definiamo l’operatore Ta che opera moltiplicando per il
numero a in Zn :
Ta : Zn → Zn
def
ta (b) = ab (mod n).
Automorfismi di anelli
I
Definiamo l’operatore Ta che opera moltiplicando per il
numero a in Zn :
Ta : Zn → Zn
def
ta (b) = ab (mod n).
I
Se a ∈ Z∗n anche i trasformati appartengono a Z∗n (se due
numeri sono primi con n lo è anche il loro prodotto) . Inoltre
la trasformazione è iniettiva. Ripetiamo l’argomento:
ta (b) − ta (c) = ab − ac = a(b − c) 6= 0 (mod n).
Qundi trasformando tutti gli elementi di Z∗n si otterrà lo stesso
insieme permutato.
Automorfismi di anelli: prodotto invariante
I
Il prodotto di tutti gli elementi di Z∗n è un ”invariante” L
rispetto alle trasformazioni Ta :
def
L =
Y
b (mod n);
b∈Z∗n
Se indichiamo con b 0 il trasformato di b (b 0 = ta (b)):
Y
Y
b0 ≡
b (mod n).
L≡
b 0 ∈Z∗n
b∈Z∗n
Automorfismi di anelli: prodotto invariante
I
Il prodotto di tutti gli elementi di Z∗n è un ”invariante” L
rispetto alle trasformazioni Ta :
def
L =
Y
b (mod n);
b∈Z∗n
Se indichiamo con b 0 il trasformato di b (b 0 = ta (b)):
Y
Y
b0 ≡
b (mod n).
L≡
b 0 ∈Z∗n
I
b∈Z∗n
Ma b 0 = ab quindi:
L=
Y
b 0 ∈Z∗n
b0 ≡
Y
b∈Z∗n
ab = aφ(n)
Y
b = aφ(n) L (mod n).
b∈Z∗n
Siccome L possiede un inverso (il prodotto degli inversi di
tutti gli elementi):
L ≡ aφ(n) L ⇔ aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Il caso più semplice: gli anelli primali
I
Nel caso degli anelli primali il modulo n è un numero primo
che indicheremo con la lettera p:
Il caso più semplice: gli anelli primali
I
Nel caso degli anelli primali il modulo n è un numero primo
che indicheremo con la lettera p:
I
La funzione di Eulero si semplifica
d = φ(p) = p − 1.
Il caso più semplice: gli anelli primali
I
Nel caso degli anelli primali il modulo n è un numero primo
che indicheremo con la lettera p:
I
La funzione di Eulero si semplifica
d = φ(p) = p − 1.
I
Per ogni a primo con n, il teorema di Eulero diviene il teorema
di Fermat:
aφ(p) = a(p−1) ≡ 1 (mod p).
Il caso più semplice: gli anelli primali
I
Nel caso degli anelli primali il modulo n è un numero primo
che indicheremo con la lettera p:
I
La funzione di Eulero si semplifica
d = φ(p) = p − 1.
I
Per ogni a primo con n, il teorema di Eulero diviene il teorema
di Fermat:
aφ(p) = a(p−1) ≡ 1 (mod p).
I
Si definisce Z∗ p l’insieme dei numeri (classi) 1,2,..., p-1
(diversi da zero). Questo insieme è un campo: è un gruppo
rispetto alla somma, ogni elemento non nullo ammette un
inverso rispetto al prodotto e vale la proprietà distribuitiva.
Proprietà anelli primali Zp
I
Ogni a ∈ Z∗ p definisce un automorfismo (isomorfismo di Z∗ p
in se) tramite la trasformazione:
def
∀b ∈ Zp : Ta (b) = a · b (mod p).
Proprietà anelli primali Zp
I
Ogni a ∈ Z∗ p definisce un automorfismo (isomorfismo di Z∗ p
in se) tramite la trasformazione:
def
∀b ∈ Zp : Ta (b) = a · b (mod p).
I
Ta rispetta la somma:
∀b, c : Ta (b+c) ≡ a(b+c) ≡ ab+ac (mod p) = Ta (b)+Ta (c).
Proprietà anelli primali Zp
I
Ogni a ∈ Z∗ p definisce un automorfismo (isomorfismo di Z∗ p
in se) tramite la trasformazione:
def
∀b ∈ Zp : Ta (b) = a · b (mod p).
I
Ta rispetta la somma:
∀b, c : Ta (b+c) ≡ a(b+c) ≡ ab+ac (mod p) = Ta (b)+Ta (c).
I
Il prodotto nel nuovo insieme non coincide col prodotto
canonico. Sia α l’inverso di a rispetto al prodotto canonico.
def
aα = 1 (mod p).
Il uovo prodotto bxc indotto dall’isomorfismo è definito come
segue:
def
bxc = bcα (mod p).
Proprietà anelli primali Zp
I
Ogni a ∈ Z∗ p definisce un automorfismo (isomorfismo di Z∗ p
in se) tramite la trasformazione:
def
∀b ∈ Zp : Ta (b) = a · b (mod p).
I
Ta rispetta la somma:
∀b, c : Ta (b+c) ≡ a(b+c) ≡ ab+ac (mod p) = Ta (b)+Ta (c).
I
Il prodotto nel nuovo insieme non coincide col prodotto
canonico. Sia α l’inverso di a rispetto al prodotto canonico.
def
aα = 1 (mod p).
Il uovo prodotto bxc indotto dall’isomorfismo è definito come
segue:
def
bxc = bcα (mod p).
I
Esercizio: dimostrare che Ta (bc) = Ta (b)xTa (c) e che Z∗ p
forma un gruppo rispetto al nuovo prodotto.
Pseudoprimi
I
Abbiamo visto alcune condizioni necessarie affinché un numero
sia primo. Ad esempio deve soddisfare l’dentità di Fermat
oppure essere indivisibile per un sottoinsieme di numeri.
I numeri pseudoprimi soddisfano queste identità ma non sono
necessariamente primi.
Pseudoprimi
I
Abbiamo visto alcune condizioni necessarie affinché un numero
sia primo. Ad esempio deve soddisfare l’dentità di Fermat
oppure essere indivisibile per un sottoinsieme di numeri.
I numeri pseudoprimi soddisfano queste identità ma non sono
necessariamente primi.
I
Primalità ”cinese”. I ”primi cinesi”, meglio detti ”pseudoprimi
cinesi” soddisfano l’equazione:
2(p−1) ≡ 1 (mod p).
Si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente.
Ironizzando si potrebbe dire che i primi cinesi sono come certi
prodotti cinesi di scarso valore in commercio
Un caso importante: Il modulo n è il prodotto di due primi.
def
n = p1 · p2 .
i numeri p1 e p2 sono ”divisori dello zero”. Significa che
moltiplicati per un altro numero possono dare zero.
I
La funzione di Eulero si semplifica
φ(n) = φ(p1 ) · φ(p2 ) = (p1 − 1) · (p2 − 1)
Un caso importante: Il modulo n è il prodotto di due primi.
def
n = p1 · p2 .
i numeri p1 e p2 sono ”divisori dello zero”. Significa che
moltiplicati per un altro numero possono dare zero.
I
La funzione di Eulero si semplifica
φ(n) = φ(p1 ) · φ(p2 ) = (p1 − 1) · (p2 − 1)
I
Lo spazio Z∗ n si definisce come l’insieme dei numeri minori di
n, primi con n cioè primi con p1 e p2 :
def
Z∗ n = {a < n : (a, n) = 1} .
la cardinalità di Z∗ n è per definizione la funzione di Eulero.
Un caso importante: Il modulo n è il prodotto di due primi.
def
n = p1 · p2 .
i numeri p1 e p2 sono ”divisori dello zero”. Significa che
moltiplicati per un altro numero possono dare zero.
I
La funzione di Eulero si semplifica
φ(n) = φ(p1 ) · φ(p2 ) = (p1 − 1) · (p2 − 1)
I
Lo spazio Z∗ n si definisce come l’insieme dei numeri minori di
n, primi con n cioè primi con p1 e p2 :
def
Z∗ n = {a < n : (a, n) = 1} .
la cardinalità di Z∗ n è per definizione la funzione di Eulero.
I
Per ogni a primo con n (cioè a ∈ Z∗ n ), il teorema di Eulero
diviene:
aφ(n) = a(p1 −1)·(p2 −1) ≡ 1 (mod n).
Il modulo n è il prodotto di due primi (cont).
I
I numeri non coprimi con n sono ”divisori dello zero” o loro
multipli. Sono i multipli di p e di q minori di n.
Il modulo n è il prodotto di due primi (cont).
I
I numeri non coprimi con n sono ”divisori dello zero” o loro
multipli. Sono i multipli di p e di q minori di n.
I
I numeri non primi con n formano un gruppo rispetto al
prodotto.
Il modulo n è il prodotto di due primi (cont).
I
I numeri non coprimi con n sono ”divisori dello zero” o loro
multipli. Sono i multipli di p e di q minori di n.
I
I numeri non primi con n formano un gruppo rispetto al
prodotto.
I
Il prodotto di un numero coprimo con n per un divisore dello
zero è un divisore dello zero.
Il modulo n è il prodotto di due primi (cont).
I
I numeri non coprimi con n sono ”divisori dello zero” o loro
multipli. Sono i multipli di p e di q minori di n.
I
I numeri non primi con n formano un gruppo rispetto al
prodotto.
I
Il prodotto di un numero coprimo con n per un divisore dello
zero è un divisore dello zero.
I
I divisori dello zero formano un ideale rispetto al prodotto.
Il concetto di ideale sarà sviluppato in seguito.
Il modulo n è il prodotto di due primi (cont).
I
I numeri non coprimi con n sono ”divisori dello zero” o loro
multipli. Sono i multipli di p e di q minori di n.
I
I numeri non primi con n formano un gruppo rispetto al
prodotto.
I
Il prodotto di un numero coprimo con n per un divisore dello
zero è un divisore dello zero.
I
I divisori dello zero formano un ideale rispetto al prodotto.
Il concetto di ideale sarà sviluppato in seguito.
I
Esercizio: dimostrare i primi tre punti.
Verifica proprietà ed esercizi alla lavagna.
I
Esercizi Tabelle pitagoriche e potenze in Z∗n : 8, 815;
calcolo delle potenze in Z∗n ; calcolo delle ciclicità.
Verifica proprietà ed esercizi alla lavagna.
I
Esercizi Tabelle pitagoriche e potenze in Z∗n : 8, 815;
calcolo delle potenze in Z∗n ; calcolo delle ciclicità.
I
Esempi Isomorfismi interni.
Verifica proprietà ed esercizi alla lavagna.
I
Esercizi Tabelle pitagoriche e potenze in Z∗n : 8, 815;
calcolo delle potenze in Z∗n ; calcolo delle ciclicità.
I
Esempi Isomorfismi interni.
I
Calcolo rapido dei periodi.
Verifica proprietà ed esercizi alla lavagna.
I
Esercizi Tabelle pitagoriche e potenze in Z∗n : 8, 815;
calcolo delle potenze in Z∗n ; calcolo delle ciclicità.
I
Esempi Isomorfismi interni.
I
Calcolo rapido dei periodi.
I
Calcolo delle potenze con Octave.
Messaggio
I
Abbiamo visto le prime trasformazioni algebriche di anelli
(numeri minori di un valore assegnato) in se. Un modo per
dare una (particolare) permutazione è fornire un numero per
cui moltiplicare (modulo n), ma come vedremo in seguito, non
è una crifratura molto solida.
Messaggio
I
Abbiamo visto le prime trasformazioni algebriche di anelli
(numeri minori di un valore assegnato) in se. Un modo per
dare una (particolare) permutazione è fornire un numero per
cui moltiplicare (modulo n), ma come vedremo in seguito, non
è una crifratura molto solida.
I
Abbiamo introdotto dei criteri approssimati (necessari ma non
sufficienti) di primalità.
Messaggio
I
Abbiamo visto le prime trasformazioni algebriche di anelli
(numeri minori di un valore assegnato) in se. Un modo per
dare una (particolare) permutazione è fornire un numero per
cui moltiplicare (modulo n), ma come vedremo in seguito, non
è una crifratura molto solida.
I
Abbiamo introdotto dei criteri approssimati (necessari ma non
sufficienti) di primalità.
I
Abbiamo calcolato alcune potenze dei numeri negli anelli.
Messaggio
I
Abbiamo visto le prime trasformazioni algebriche di anelli
(numeri minori di un valore assegnato) in se. Un modo per
dare una (particolare) permutazione è fornire un numero per
cui moltiplicare (modulo n), ma come vedremo in seguito, non
è una crifratura molto solida.
I
Abbiamo introdotto dei criteri approssimati (necessari ma non
sufficienti) di primalità.
I
Abbiamo calcolato alcune potenze dei numeri negli anelli.
I
Abbiamo visto che elevando un numero alla caratteristica di
Eulero si ottiene (quasi sempre) l’unità.