Circuiti elettrici

Corso di fisica generale con elementi
di fisica tecnica
Aniello (Daniele) Mennella
Dipartimento di Fisica
Secondo modulo – Parte prima
(fondamenti di elettromagnetismo)
Lezione 2
Circuiti elettrici
Aniello Mennella
Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica
A.A. 2013-2014
Sommario
Aniello Mennella
●
La corrente elettrica
●
Capacità e condensatori
●
Resistenza e resistori
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Circuiti elettrici
La corrente elettrica
Aniello Mennella
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La corrente elettrica
●
●
●
Aniello Mennella
Una lampadina è, forse, l'esempio più
semplice e immediato di circuito elettrico
La corrente elettrica è il fenomeno fisico
alla base del funzionamento di qualsiasi
circuito elettrico.
La corrente si ha quando vi sono delle
cariche in movimento, generalmente
all'interno di un conduttore
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La corrente elettrica
●
+
+
+
+
●
+
●
●
Immaginiamo di avere delle cariche
positive che si muovono attraversando una
superficie A
Immaginiamo anche di misurare la quantità
di carica, Q, che attraversa A in un
intervallo di tempo t
Possiamo definire corrente elettrica media
il rapporto
Nel limite per t → 0 possiamo definire la corrente istantanea come la
derivata della carica rispetto al tempo
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La corrente elettrica
●
+
+
+
+
●
+
●
●
Per convenzione si assume che la corrente
scorra nella direzione delle cariche positive
Anche se consideriamo una direzione, la
corrente è una quantità scalare, non
vettoriale
L'unità di misura della corrente è il
Coulomb al secondo [C/s] definita anche
Ampere [A]
Il tipo di cariche che effettivamente si muovono dipendono dal mezzo. Per
esempio nei conduttori la corrente è trasportata dagli elettroni, e quindi
scorre nel verso opposto al loro movimento.
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Circuiti elettrici
Capacità elettrica e condensatori
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Elementi di un circuito - Capacità
●
+
+
+
+
+
+
+
+








●
●
●
Consideriamo due piastre parallele di materiale
conduttore
Applichiamo una differenza di potenziale V, ad
esempio collegandole a una batteria
Sulle superfici delle due piastre si accumulerà la
stessa quantità di carica (di segno opposto sulle
due piastre), Q
Poiché la differenza di potenziale è
proporzionale alla carica, possiamo scrivere:
dove C è la costante di proporzionalità
●
Aniello Mennella
Possiamo quindi definire la capacità come:
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Elementi di un circuito - Capacità
●
●
●
●
●
Un sistema costituito da due conduttori sui quali sia possibile accumulare
carica elettrica è detto condensatore.
In un circuito elettrico un condensatore è indicato mediante il simbolo
La capacità esprime la quantità di carica che possiamo accumulare su
due conduttori separati da un isolante per unità di differenza di
potenziale
L'unità di misura della capacità elettrica è il coulomb per volt [C/V]
definito anche farad [F].
Il farad esprime una capacità molto elevata. I condensatori normalmente
utilizzati nei circuiti elettrici hanno capacità dell'ordine del micro-farad
(F) fino al pico-farad (pF).
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Esercizio: Il condensatore a piatti paralleli
Calcolare la capacità di un condensatore formato da due piatti piani a e paralleli di sezione
quadrata di area A, posti a distanza d fra loro. Si supponga che la distanza sia molto minore
del lato dei piatti e che lo spazio fra i piatti sia vuoto.
●
●
●
Aniello Mennella
Se le due piastre sono molto vicine (d << √A)
possiamo considerare la carica Q distribuita
uniformemente sulla superficie.
La densità di carica superficiale, σ, è definita da
σ = Q/A.
L'intensità del campo elettrico (vedere esercizio
in fondo alle slide) è data da E = σ / ε0, dove ε0 è
la costante dielettrica del vuoto. Quindi si ha
che:
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Esercizio: Il condensatore a piatti paralleli
Calcolare la capacità di un condensatore formato da due piatti piani a e paralleli di sezione
quadrata di area A, posti a distanza d fra loro. Si supponga che la distanza sia molto minore
del lato dei piatti e che lo spazio fra i piatti sia vuoto.
●
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La differenza di potenziale, ΔV, è data da ΔV = E
x d, pertanto
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Esercizio: Il condensatore a piatti paralleli
Calcolare la capacità di un condensatore formato da due piatti piani a e paralleli di sezione
quadrata di area A, posti a distanza d fra loro. Si supponga che la distanza sia molto minore
del lato dei piatti e che lo spazio fra i piatti sia vuoto.
●
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La capacità di un condensatore a piatti piani
paralleli:
–
Aumenta all'aumentare della superficie dei
piatti (possiamo accumulare più carica)
–
Aumenta al diminuire della distanza fra i piatti
(a parità di carica abbiamo una minore
differenza di potenziale)
–
Aumenta inserendo un materiale isolante
(dielettrico) fra le piastre (con una costante
dielettrica ε > ε0)
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Circuiti elettrici
Circuiti con condensatori
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Condensatori in parallelo
●
●
●
●
●
Aniello Mennella
Immaginiamo di avere un condensatore di
capacità C1 collegato ad una batteria che
fornisce una differenza di potenziale ΔV ai capi
del condensatore
Sui piatti del condensatore si accumulerà una
carica Q1 = C1 x ΔV
Colleghiamo un secondo condensatore di
capacità C2 agli stessi terminali della batteria
Al secondo condensatore verrà applicata la
stessa differenza di potenziale, ΔV, applicata al
primo
Sui piatti del secondo condensatore si
accumulerà una carica Q2 = C2 x ΔV
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Condensatori in parallelo
●
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Sui piatti dei due condensatori abbiamo
accumulato una carica totale pari a Q = Q1 + Q2
●
La differenza di potenziale applicata è ΔV
●
Quindi possiamo scrivere:
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Condensatori in parallelo
●
Sui piatti dei due condensatori abbiamo
accumulato una carica totale pari a Q = Q1 + Q2
●
La differenza di potenziale applicata è ΔV
●
Quindi possiamo scrivere:
●
Il circuito è equivalente ad un circuito con un
singolo condensatore di capacità C = C1 + C2
Le capacità di condensatori
collegati in parallelo si sommano
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Condensatori in serie
●
●
Se i condensatori sono collegati in serie, come nella figura, la differenza di
potenziale si ripartisce fra i due condensatori in modo che ΔV = ΔV1 + ΔV2
Quando colleghiamo la batteria, una carica positiva, +Q, si accumula sul
piatto a sinistra del condensatore più a sinistra, mentre una carica negativa,
Q, si accumula sul piatto a destra del condensatore più a destra
●
●
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Analogamente sui piatti interni
si accumuleranno cariche Q e
+Q, rispettivamente
Su ciascuno dei condensatori
abbiamo, quindi, la stessa
carica Q
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Condensatori in serie
●
●
Il circuito è equivalente ad un circuito avente un condensatore di capacità C
e carica totale Q
Possiamo scrivere, quindi:
da cui risulta che
Quando i condensatori
sono collegati in serie
si sommano gli inversi
delle capacità
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Circuiti elettrici
Condensatori con materiali dielettrici
Aniello Mennella
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Condensatori con un dielettrico
●
●
●
I materiali isolanti come la gomma, la cera, il vetro, ecc, vengono anche
chiamati dielettrici
Quando un materiale dielettrico viene posto fra le piastre di un
condensatore la capacità del condensatore aumenta di un fattore κ, che
viene definita costante dielettrica del materiale.
Vediamo come si presenta l'effetto di un dielettrico con il seguente
esperimento concettuale
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Condensatori con un dielettrico
●
●
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Carichiamo un condensatore di capacità C0
collegandolo ad una batteria che fornisce una
differenza di potenziale ΔV, ad esempio 2 V.
Sulle piastre si accumulerà una carica
Q = C0 x ΔV0
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Condensatori con un dielettrico
●
●
●
Carichiamo un condensatore collegandolo ad
una batteria che fornisce una differenza di
potenziale ΔV, ad esempio 2 V
Sulle piastre si accumulerà una carica
Q = C0 x ΔV0
Stacchiamo la batteria e colleghiamo un
multimetro per misurare la tensione. Sul display
leggeremo 2 V
2.00 V
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Condensatori con un dielettrico
●
●
●
Riempiamo ora lo spazio fra le piastre di un
materiale dielettrico.
Noteremo che la lettura del multimetro scenderà
di un fattore κ. Ad esempio, leggeremo 1 V
invece che 2 V
Poiché la carica è la stessa (Q) e la differenza di
potenziale è diminuita ne consegue che la
capacità deve essere aumentata. Infatti:
senza diel. con diel.
1.00 V
Possiamo quindi ricavare la capacità C1
Questo è uguale a C0
dove κ è la costante dielettrica
del materiale
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Condensatori con un dielettrico
Perché la capacità aumenta?
Cosa succede a livello microscopico nel dielettrico?
●
+

+

+

+

+

+

+

+

Aniello Mennella
●
●
In un dielettrico le molecole hanno una
certa polarità ovvero uno sbilanciamento
nella distribuzione di carica che le rende
simili ad un dipolo elettrico.
Le molecole sono orientate in tutte le
direzioni, così che il campo elettrico
all'interno del materiale è globalmente
nullo
Inseriamo ora il dielettrico fra le piastre di
un condensatore carico
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Condensatori con un dielettrico
Perché la capacità aumenta?
Cosa succede a livello microscopico nel dielettrico?
distribuzione di cariche
ai bordi del materiale
●
+

+

+

+

+

+

+

+

●
●
●
Aniello Mennella
Fra le piastre si instaura un campo
elettrico E0 generato dalle due
distribuzioni di carica
Il campo elettrico polarizza il materiale,
ovvero orienta i dipoli nella direzione del
campo
In prossimità dei bordi del dielettrico
troviamo ora due distribuzioni di cariche di
segno opposto di quelle presenti sulle
piastre.
Queste cariche generano un campo
indotto nel dielettrico, Eind che si oppone
al campo generato dalle piastre
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Condensatori con un dielettrico
Perché la capacità aumenta?
Cosa succede a livello microscopico nel dielettrico?
●
+

+

+

+

+

+

+

+

Aniello Mennella
●
●
La presenza di un dielettrico riduce il
campo elettrico fra le piastre e,
conseguentemente, la differenza di
potenziale
Per accumulare una certa quantità di
carica, quindi, è necessaria una differenza
di potenziale inferiore.
Da un altro punto di vista si ha che data
una certa differenza di potenziale è
possibile accumulare una maggior
quantità di carica su un condensatore con
dielettrico
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Costanti dielettriche di vari materiali
La rigidità elettrica
di un materiale
corrisponde al
valore del campo
elettrico oltre il
quale il materiale,
benché isolante,
permette il
passaggio di carica
elettrica
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Circuiti elettrici
Resistenza elettrica e resistori
Aniello Mennella
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Resistenza e legge di Ohm
●
●
Abbiamo visto che se applichiamo ai due capi di un conduttore una
differenza di potenziale si instaura al suo interno un campo elettrico che
determina un movimento di cariche (generalmente elettroni) e, quindi, si
genera una corrente elettrica
Tanto maggiore è il campo elettrico (e quindi la differenza di potenziale, dal
momento che le due quantità sono legate) tanto maggiore è la corrente
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Resistenza e legge di Ohm
●
●
Per molti materiali conduttori a condizioni ambientali standard vi è una
relazione lineare fra la differenza di potenziale applicata e la corrente che si
instaura, ovvero
La costante di proporzionalità è detta resistenza che, pertanto, è legata a
corrente e differenza di potenziale dalla relazione (detta anche legge di
Ohm):
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Resistenza e legge di Ohm
●
●
●
La resistenza ha l'unità di misura di Volt / Ampère [V/A], ed è definita
convenzionalmente Ohm [Ω]
In altre parole, in un conduttore avente la resistenza di 1 Ω, se applichiamo la
differenza di potenziale di 1 V misuriamo una corrente di 1 A
Da un punto di vista microscopico la resistenza è legata alle collisioni degli
elettroni con gli atomi del conduttore; dipende, pertanto, dal tipo di materiale e
dalle condizioni di temperatura (la resistenza tende a diminuire con la
temperatura, perché diminuisce l'agitazione termica degli atomi e, quindi la
probabilità di collisione)




Aniello Mennella











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Resistenza e legge di Ohm
●
●
I materiali che hanno una dipendenza lineare della corrente dalla tensione sono
detti Ohmici. Fanno parte di questa categoria la maggior parte dei conduttori e
dei componenti utilizzati nei materiali elettrici
I materiali per cui il comportamento non è lineare (e quindi per i quali non vale la
legge di Ohm), sono detti non Ohmici. Fanno parte di questa categoria i
semiconduttori e, in generale, componenti elettronici quali diodi, transistor, ecc.
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Resistenza e resistività
●
Sperimentalmente si vede che la resistenza di un conduttore, ad esempio di un
filo, è direttamente proporzionale alla lunghezza e inversamente proporzionale
alla sezione (area)
●
In altre parole la corrente fluisce più
facilmente in cavi corti e di grande
sezione. Possiamo quindi scrivere:
dove ρ è la costante di
proporzionalità, chiamata resistività,
A è la sezione del filo e ℓ la
lunghezza
●
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L'unità di misura della resistività è
l'Ohm per metro [Ω • m]
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Resistività di alcuni materiali a 20 °C
●
●
●
Aniello Mennella
La resistività è una proprietà
intrinseca dei materiali e non
dipende dalla forma, lunghezza,
ecc.
L'inverso della resistività è la
conducibilità, σ, definita quindi
La resistività dipende, oltre che dal
materiale, anche da condizioni
ambientali come, in particolare, la
temperatura
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Resistività e temperatura
●
La resistività diminuisce con la temperatura, generalmente in modo lineare.
Possiamo scrivere la dipendenza della resistività dalla temperatura come
dove T0 è una temperatura di riferimento (generalmente 20 °C), ρ0 è la
resistività misurata alla temperatura T0 e α è il coefficiente termico di
resistività
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I superconduttori
●
●
Per alcuni materiali, detti superconduttori, esiste una temperatura critica, Tc, al di
sotto della quale la resistività si riduce improvvisamente a valori molto bassi,
praticamente nulli
La superconduttività è stata osservata per la prima volta nel 1911 sul mercurio,
che diventa superconduttore a temperature inferiori a 4.15 K
●
●
Aniello Mennella
In un superconduttore al di sotto della
temperatura critica una volta che viene
instaurata una corrente questa può essere
mantenuta senza il bisogno di fornire una
differenza di potenziale
Oggi sono noti migliaia di materiali
superconduttori. Molti sono di natura
ceramica e hanno temperature critiche
relativamente alte, al livello dell'azoto
liquido.
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Circuiti elettrici
Circuiti con resistori
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La forza elettromotrice
●
●
●
●


Simbolo per
generatore di
f.e.m.
Aniello Mennella
In un circuito elettrico è necessaria una
sorgente di energia (ad esempio una batteria)
che fornisca la differenza di potenziale
necessaria ad attivare i dispositivi di interesse
La differenzia di potenziale esistente ai capi
della batteria è detta forza elettromotrice, ed è
indicata con l'acronimo f.e.m. o il simbolo
Nota bene: malgrado il nome la forza
elettromotrice non è una forza! ma una
differenza di potenziale
La f.e.m. rappresenta una differenza di
potenziale che sarebbe disponibile da un
generatore o accumulatore ideale. Nella realtà
esiste una certa resistenza interna, r, che
riduce la differenza di potenziale effettivamente
disponibile al circuito
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La forza elettromotrice
●

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Consideriamo un circuito formato da un generatore
di f.e.m. e un resistore di resistenza R

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La forza elettromotrice
●
Generatore di f.e.m.
Comprende anche la
resistenza interna, r

●

●
I
●
I
●
Aniello Mennella
Consideriamo un circuito formato da un generatore
di f.e.m. e un resistore di resistenza R
Come abbiamo visto, dobbiamo anche considerare
la resistenza interna al generatore, r, che limita la
differenza di potenziale effettivamente disponibile al
circuito
Se I è la corrente nel circuito, la differenza di
potenziale ai capi del generatore di f.e.m. sarà ΔV =
E–Ir
D'altra parte ai capi del resistore abbiamo la stessa
differenza di potenziale, che sarà data da ΔV = I R
Combinando le due equazioni otteniamo una
relazione per la f.e.m.: E = I (R + r). Alternativamente
possiamo scrivere: I = E / (R + r)
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Energia e potenza in un circuito
●

a

b
●
I
●
I
●
d
c
Consideriamo un circuito formato da un generatore
di f.e.m. e un resistore di resistenza R. La differenza
di potenziale ai capi del resistore è ΔV
Analizziamo ora come viene trasportata l'energia
dalla sorgente al resistore. La variazione di energia
potenziale data dalla differenza di potenziale ΔV è
ΔU = Q ΔV.
L'energia potenziale viene prodotta convertendo
l'energia chimica presente nella batteria in energia
elettrica. Parte di questa energia viene convertita
nel resistore in energia termica e dispersa
nell'ambiente
La variazione di energia nel tempo (ovvero la
potenza) è data, quindi, da:
Definizione di
corrente
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Energia e potenza in un circuito
●

a

b
I
●
La potenza in un circuito elettrico in cui fluisca una
corrente a una differenza di potenziale ΔV è quindi
data da:
Se il circuito è composto da un generatore e un
resistore, come in figura, allora ΔV = I R, quindi
possiamo anche scrivere
I
d
Aniello Mennella
c
●
Oppure anche
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Esercizio: lampadine in parallelo
Nel circuito indicato in figura determinare quale delle due lampadine ha una resistenza
maggiore e in quale scorre una corrente maggiore
●
●
La potenza della lampadina A è PA = (ΔV)2 / RA
●
La potenza della lampadina B è PB = (ΔV)2 / RB
●
Poiché PB > PA si ha necessariamente RB < RA
●
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Entrambe le lampadine sono soggette alla
stessa differenza di potenziale, ΔV
Inoltre si ha anche PA = ΔV IA e PB = ΔV IB.
Poiché PB > PA si ha necessariamente IB > IA
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Resistori in serie
●


●
I
●
I
●
●
Consideriamo il circuito in figura, costituito da due
resistori collegati in serie
In questo caso abbiamo che la stessa quantità di
carica passa, in un dato tempo, sia nel resistore R1
che in R2. Se così non fosse avremmo, nel tempo,
un accumulo di carica in uno dei due resistori
Questo equivale a dire che la stessa corrente, I,
passa per i due resistori.
La differenza di potenziale, invece, si ripartisce fra i
resistori in modo che ΔV1 = I R1 e ΔV2 = I R2.
Poiché la differenza di potenziale totale è ΔV = ΔV1
+ ΔV2, si ha che
ΔV = I R1 + I R2 = I (R1 + R2) ≡ I Req
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Resistori in serie


●
Il circuito è equivalente ad un circuito con un singolo
resistore avente, per resistenza, la somma delle
due resistenze: Req = R1 + R2
Per N resistori in serie:
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Resistori in parallelo
●


●
●
●
I1
I2
Consideriamo ora il circuito costituito da due
resistori collegati in parallelo
In questo caso abbiamo che ai capi di entrambi i
resistori vi è applicata la stessa differenza di
potenziale, ΔV
La corrente, invece, viene ripartita fra i due resistori
in modo che: I1 = ΔV / R1 e I2 = ΔV / R2
La corrente totale che scorre nel circuito è data da
I = I1 + I2. Questa corrente possiamo anche
scriverla in funzione della resistenza, Req di un
resistore equivalente sottoposto alla stessa
differenza di potenziale: I = ΔV / Req
=
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Resistori in parallelo


●
Il circuito è equivalente ad un circuito con un singolo
resistore per il quale l'inverso della sua resistenza è
uguale alla somma degli inversi delle due
resistenze: 1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2
Per N resistori in parallelo:
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
●
Consideriamo un piano infinito carico positivamente. Supponiamo che la carica
sia distribuita uniformemente con densità di carica superficiale σ0
●
Poiché il piano è infinito e la carica è distribuita
uniformemente il campo elettrico sarà
necessariamente orientato in direzione ortogonale
al piano.
●
++++++++++++++
++++++++++++++
++++++++++++++
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Inoltre l'intensità del campo sarà la
stessa in qualunque direzione
parallela al piano, in quanto non c'è
ragione in cui sia più intenso che in
un'altra (sempre perché il piano è
infinito e la carica è distribuita
uniformemente)
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
●
Quello che dobbiamo fare è calcolare il campo a una distanza generica z dal
piano
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
●
●
●
Calcoliamo i campi elettrici dE1 e dE2 generati
dalle cariche dQ1 = dQ2 = σ dA presenti su
due areole dA opposte in una corona circolare
di raggio r e spessore dr (vedi figura)
Il campo corrispondente dE sarà la somma
vettoriale di dE1 e dE2.
Poiché possiamo considerare la carica dQ
puntiforme, si ha che
dove d è la distanza fra dA e il punto a
distanza z
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
●
Calcoliamo ora il modulo del vettore dE. Lo possiamo fare semplicemente,
utilizzando il teorema di Pitagora
●
È un rombo
●
●
●
Aniello Mennella
Poiché dE1 e dE2 sono uguali in modulo (non
in direzione, naturalmente) abbiamo che il
parallelogramma che costruiamo per calcolare
dE è un rombo.
La diagonale maggiore e la diagonale minore
si intersecano perpendicolarmente a metà
Metà della diagonale maggiore corrisponde,
pertanto a dE / 2 ed è uguale a dE1 cosθ
Possiamo quindi scrivere
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
●
●
●
Aniello Mennella
Calcoliamo la carica, dQ, presente in ciascuna
areola dA, che è data da dQ = σ dA dove σ è
la densità superficiale di carica (costante).
L'area dA è data dal prodotto di r dφ (la
lunghezza del pezzettino di circonferenza che
costituisce la “base” di dA) per dr (che è
l'altezza di dA).
La carica dQ è, quindi:
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
●
●
●
Esprimiamo ora la distanza, d, e il raggio, r, in
funzione di z e dell'angolo θ
Il raggio r = z tan θ
Il differenziale dr = (z / cos2θ) dθ (ricordiamo
che la derivata di tanθ è 1/cos2θ)
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Quindi il prodotto r dr = (z2 tanθ / cos2θ) dθ
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La distanza al quadrato, d2, è
d2 = z2 + r2 = z2 (1 + tan2θ)
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Aniello Mennella
Sostituiamo nell'espressione di dE1
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A.A. 2013-2014
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
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Esprimiamo ora la distanza, d, e il raggio, r, in
funzione di z e dell'angolo θ
Il raggio r = z tan θ
Il differenziale dr = (z / cos2θ) dθ (ricordiamo
che la derivata di tanθ è -1/cos2θ)
●
Quindi il prodotto r dr = (z2 tanθ / cos2θ) dθ
●
La distanza al quadrato, d2, è
d2 = z2 + r2 = z2 (1 + tan2θ)
Il campo non dipende dalla
distanza dal piano!
Aniello Mennella
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
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Con della semplice algebra e un po' di trigonometria si può vedere che
(ricordare che tanθ = sinθ / cosθ e che sin2θ + cos2θ = 1)
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Quindi il campo dE è dato da
Aniello Mennella
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
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Fino ad ora abbiamo calcolato il campo generato dalle due areole che sono
indicate nella figura. Per calcolare il campo generato dall'intero piano dobbiamo
sommare i contributi di tutte le areole
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θ deve andare
da 0 a 90° (π/2)
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Poiché la distribuzione di carica è continua
dobbiamo fare due integrali.
Il primo per φ che va da 0 a π (in modo da
considerare tutta la carica che c'è nell'anello
circolare)
Il secondo per θ che va da 0 a π/2 (in modo da
coprire tutto il piano)
φ deve andare
da 0 a 180° (π)
1
Aniello Mennella
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Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito
carico
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Quindi il campo generato da un piano infinito carico uniformemente è diretto in
direzione ortogonale al piano e in qualunque punto dello spazio la sua ampiezza
è
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Aniello Mennella
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Esercizio: campo elettrico generato da un condensatore
a piatti piani e paralleli
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Se aggiungiamo un secondo piano carico, con la stessa densità di carica, ma
con cariche di segno opposto l'ampiezza del campo risulta esattamente doppia
rispetto a quella di un piano singolo
Ecco che, per un condensatore a piatti piani e paralleli di dimensioni molto
superiori alla distanza dei piatti, il campo fra le piastre è



A questo punto definiamo la costante
dielettrica del vuoto come
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Aniello Mennella
Da cui si ottiene
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