Conduttori sferici e campo elettreico - Digilander

CONDUTTORI SFERICI E CAMPO ELETTRICO
In altri appunti abbiamo dimostrato il cosiddetto Teorema di Gauss1 (o Legge di
Gauss) ed abbiamo descritto come usarlo2. Adesso applicheremo questo
importante teorema per studiare il comportamento del campo elettrico in presenza
dei conduttori.
Premetto subito una proprietà fondamentale, che sta alla base di tutto ciò che
dimostreremo: in tutti i casi elettrostatici (cioè dove non c’è un passaggio di carica
elettrica) le cariche elettriche sono in equilibrio: ciò comporta che in
elettrostatica il campo elettrico dentro un conduttore è sempre nullo.
Detto questo, analizziamo alcuni semplici casi.
CONDUTTORE SFERICO CAVO CON AL CENTRO UNA CARICA q0
Supponiamo di porre una carica q0 al centro di
un
conduttore sferico cavo e scarico, cioè al centro di un guscio
sferico di raggio interno Ri e raggio esterno Re (vedi figura 1).
La carica q0 agisce sugli elettroni del conduttore, attirandoli a sé o
respingendoli a seconda del suo segno (nel nostro disegno abbiamo
posto q0>0, cosicché essa li attira. Di conseguenza, all’esterno del
conduttore le car
iche “+” rimangono scoperte). Ma cosa accade precisamente? Dove
si accumulano gli elettroni? In superficie? Sul volume; un po’ in
superficie un po’ sul volume? E di conseguenza, come cambia uil
campo elettrico? So già che il campo elettrico E nella regione del
conduttore, cioè fra Ri e Re, è nullo per ciò che abbiamo appena
affermato: ma come è il campo elettrico dentro la cavità della
sfera? E fuori la sfera? Scopriamo tutte queste cose grazie al
Teorema di Gauss e seguendo la procedura che abbiamo già
illustrato.
Figura 1
Campo elettrico dentro la cavità (r<Ri)
Iniziamo a studiare come si comporta E all’interno della cavità,
cioè per r < Ri (figura 2).
Per prima cosa, dobbiamo determinare la direzione ed il verso di
E. La direzione è sicuramente radiale (il tutto ha simmetria
sferica); per il verso possiamo supporre che sia esterno –se
avessimo deciso il verso sbagliato otterremo un valore negativo di
E il quale ci avvisa che bisogna invertire il verso: perciò non ha
alcuna importanza qual è il verso di partenza che scegliamo-.
Figura 2
Adesso decidiamo la superficie gaussiana S. E’ evidente che,
fra le infinite superfici che possiamo usare, quella più semplice è
la superficie sferica di centro q0 e raggio r. Il modulo di E,
qualunque valore abbia, dipende solo da r e perciò eseguo subito
il calcolo geometrico del flusso :

1
2
Negli appunti “Flusso del campo elettrico e legge di Gauss”
Negli appunti “COME ADOPERARE IL TEOREMA DI GAUSS – manuale per l’uso”.
geom(E) = Ecos()Area = E(r)4r2
(1)
Calcolo poi il flusso fisico di E, il quale ha sempre un valore fisso: fisico(E) = 4KQ , con Q la carica
interna che in questo caso è q0  fisico(E) = 4Kq0
Infine, uso  come termine medio, uguagliando il calcolo geometrico con quello fisico:
geom(E) = fisico(E)  E(r)4r2 = 4Kq0  E(r) = Kq0/r2
(2)
Osserva l’eq. (2). Essa dimostra che le cariche indotte nel conduttore sferico non alterano il valore del campo
elettrico generato da q0 dentro la cavità: esso infatti segue la stessa identica legge che se q0 fosse nel vuoto.
Campo elettrico nel conduttore (Ri < r <Re)
Vediamo cosa accade dentro il conduttore, cioè per Ri < r < Re (vedi figura 3). Appena r supera il valore Ri,
cioè appena la superficie gaussiana entra dentro il conduttore, il campo elettrico E si annulla (come abbiamo
detto all’inizio di questi appunti). Perciò scrivo subito:
geom(E) = Ecos()Area = 04r2 = 0
(3)
Il flusso fisico è sempre fisico(E) = 4KQ, con Q la carica
interna alla sfera S. Uguagliando i due valori ottengo:
geom(E) = fisico(E)
0
= 4KQ

 Q=0
(4)
State attenti all’eq.(4): essa ci dice una cosa importante: la carica
complessiva dentro la superficie sferica S è nulla appena essa
penetra dentro il conduttore. Ma dentro S c’è la carica q0: ciò
significa che sulla superficie interna del conduttore è indotta una
carica complessiva esattamente uguale ed opposta a q0. Anche se
aumento r allontanando la sfera S dalla superficie interna Ri
Figura 3
senza però uscire dal conduttore, il flusso rimane sempre nullo
(E=0): ciò significa che non esistono cariche elettriche dentro il volume del conduttore .
Campo elettrico fuori dal conduttore (r > Re)
Appena S esce dal conduttore (r > Re , vedi figura 4) essa avvolge tutto il conduttore+la carica q0. Perciò la
carica interna ad S è sicuramente q0 –il conduttore è globalmente scarico: le sue cariche si possono
ridistribuire su di esso ma complessivamente la carica totale del conduttore deve rimanere zero-. Questo vuol
dire che sulla superficie esterna del condensatore si è depositata una carica elettrica esattamente uguale a q0
che ha annullato quella distribuitasi sulla superficie interna.
Sapendo che la carica contenuta dentro S è q0 sono in grado di
calcolare immediatamente fisico: fisico = 4Kq0 . Calcolo
pure geom: geom(E) = E(r)4r2 e lo uguaglio a fisico,
come sempre:
E(r)4r2 = 4Kq0  E(r) = Kq0/r2
(5)
Osserva l’eq. (5) essa mostra che le cariche indotte nel
conduttore sferico non alterano il valore del campo elettrico
generato da q0 fuori dal conduttore: esso infatti segue la stessa
identica legge che se q0 fosse nel vuoto.
Figura 4
Il grafico di E(r) prodotto da una carica q0=10-13C è mostrato in
figura 5, confrontato con quella generato da q0 nel vuoto.
Induzione
Equazioni, calcoli, grafici… in Fisica non sono fino a loro stessi ma descrivono delle proprietà fisiche ben
precise. La semplice applicazione della legge di Gauss ci ha permesso di scoprire un’importante proprietà
dell’induzione: abbiamo appena visto che nel conduttore sferico le cariche indotte si distribuiscono sempre e
solo sulla superficie del conduttore indotto. Si può facilmente dimostrare che questa importante proprietà vale
qualsiasi forma abbia il conduttore indotto e qualsiasi sia la distribuzione delle cariche inducenti (“Qual è la
dimostrazione, Prof?”
“Dimostratela da solo, mimmo!”). Possiamo perciò enunciare questa importante
proprietà: la carica elettrica indotta si distribuisce sempre sulla superficie del conduttore indotto
Induzione totale
Nel nostro caso accade anche qualcosa di più: le cariche indotte sono sempre uguali a quella inducente.
Quando accade ciò si dice che si ha induzione totale ed è il massimo grado di induzione che si può avere.
L’induzione totale ha una semplice rappresentazione grafica: disegniamo tutte le linee di forza partenti da q0.
Dove vanno a finire? Esse entrano nella superficie interna del conduttore… e spariscono! Infatti, dentro il
conduttore le linee di campo si annullano (E=0 dentro il conduttore, vedi le figure 1-4: le linee di campo,
frecce rosse, scompaiano nel conduttore). Dunque, posso affermare che una carica q0 esercita
un’induzione totale su di un conduttore se (e solo se) tutte le linee di forza partenti da q 0
penetrano nel conduttore e lì sono assorbite. Se così non è si ha solo induzione parziale, che ad
esempio avviene se il conduttore avvolgente q0 avesse delle aperture (alcune linee di forza uscirebbero da
quest’ultime senza essere assorbite dal conduttore). Tenete a mente questa proprietà perché sarà
fondamentale quando studieremo i condensatori.
CONDUTTORE SFERICO CAVO CON UNA CARICA q0 DEPOSTA SU DI ESSO
Analizzeremo brevissimamente questo caso, visto che la procedura è praticamente identica a quella portata
avanti nel caso precedente.
Campo elettrico dentro la cavità (r<Ri)
Come nel caso precedente, solo che la superficie gaussiana S non racchiude alcuna carica q0. Ne segue che:
geom(E) = E(r)4r2 ; fisico(E) = 0  E(r)=0 ; dentro la cavità la carica q0 del conduttore
non ha alcuna influenza.
Campo elettrico nel conduttore (Ri < r <Re)
Nel conduttore sappiamo già che E(r) =0 
geom(E) = E(r)4r2 = 0 ; fisico(E) = 4KQ  0 = 4KQ  Q=0
(6)
Ciò significa che sulla superficie interna e su tutto il volume del conduttore non si è deposta alcuna carica
elettrica.
Campo elettrico fuori dal conduttore (r > Re)
Adesso la superficie S avvolge tutto il conduttore e perciò sicuramente anche la carica q0 che vi ho deposto:
Q=q0  fisico(E) = 4Kq0.
E(r) = Kq0/r2
geom(E) = E(r)4r2  E(r)4r2 = 4Kq0 
(7)
Nota che all’esterno del conduttore non fa differenza se la carica q0 è posta tutta al centro della sfera o sta su
di essa: il campo elettrico generato è lo stesso. Nota anche che la carica elettrica posta sul conduttore si è
disposta esclusivamente sulla superficie esterna. Anche in questo caso possiamo dimostrare che questa
proprietà vale qualunque forma abbia il conduttore e perciò possiamo affermare che una carica posta su di
un conduttore si distribuisce esclusivamente sulla sua superficie esterna
Figura 6: linea continua blu: grafico del
campo elettrico di una carica q0=10-13C posta
al centro di un conduttore carico sferico di
raggi Ri=3cm e Re=5cm.
Linea tratteggiata rossa: grafico di
riferimento del campo elettrico della stessa
carica q0 ma posta nel vuoto.
PROBLEMI CILINDRICI
E adesso… scrivete voi il campo elettrico di un filo indefinito
caricato con densità lineare λ0=10-11 C/m e circondato da un
conduttore cilindrico di raggio interno Ri ed esterno Re e poi
fate il grafico!
Per r < Ri  E(r) = ……..
Per Ri < r < Re  E(r) = ……..
Per r > Re  E(r) = ……..
Adesso scrivete il campo E(r) nel caso in cui non avete
più il filo interno ma avete posto una carica q0=10-11 C
sopra il cilindro conduttore (considera la sua altezza
l=1m):
Per r < Ri  E(r) = ……..
Per Ri < r < Re  E(r) = ……..
Per r > Re  E(r) = ……..
Disegnate i grafici di E(r) che avete ottenuto nel
riquadro a destra!
Figura 5: linea continua blu: grafico del
campo elettrico di una carica q0=10-13C
posta sopra un conduttore carico sferico di
raggi Ri=3cm e Re=5cm.
Linea tratteggiata rossa: grafico di
riferimento del campo elettrico della stessa
carica q0 ma posta nel vuoto.