Programma del corso - Costruzione di Macchine

Corso
AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE
Prof. Dario Amodio
[email protected]
Ing. Gianluca Chiappini
[email protected]
http://www.dipmec.univpm.it/costruzione/home.htm (Didattica/Dispense)
Testo di riferimento:
Stefano Beretta
“Affidabilità delle Costruzioni Meccaniche”
Springer, 2009
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Programma del corso
•
Richiami di statistica
•
•
Probabilità / Funzione densità di probabilità / Probabilità cumulata / Affidabilità
Tasso di Guasto / MTTF, MTBF
•
Principali Funzioni di Distribuzione •
Algebra delle variabili casuali
•
•
Carte di Probabilità
Reti di affidabilità per sistemi meccanici complessi
•
Metodi per aumentare l’affidabilità
Metodi per aumentare l
affidabilità
•
Albero dei guasti , FMEA e FMECA
•
•
•
•
•
•
Distribuzione Esponenziale / Distribuzione normale / Distribuzione Lognormale / Distribuzione di Weibull
Variabili Multiple / Regressione Lineare
Calcolo dell’affidabilità di un sistema multicomponente / Scelta del coefficiente di sicurezza
Selezione dei componenti / Collaudo / Derating / Ridondanza
Esempi di stesura delle tabelle per organi meccanici di semplice funzionamento
Esempi ed esercizi
1
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Campionamento e variabili aleatorie
Data una popolazione
p p
di dati, si chiama ,
campionamento l’estrazione di uno di questi dati (campione).
campioni
popolazione
La popolazione rappresenta quindi una variabile aleatoria o casuale Y,
mentre con y indichiamo il generico valore osservato come risultato di un
esperimento o campionamento.
y si troverà all’interno di un certo dominio di esistenza Ỹ
valori osservati y
Y
Ỹ
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Campionamento e variabili aleatorie
La casualità o aleatorietà delle variabili, salvo diversamente specificato, non si riferisce a eventuali incertezze o errori di misura, ma semplicemente al fatto che il valore delle variabili in esame non può essere noto con esattezza a priori per motivi vari
priori per motivi vari
Esempi di variabili aleatorie:
‐Resistenza di una barra in acciaio verificata tramite prova di trazione
‐Pressione atmosferica
‐Pioggia annua di una località
‐Numero
Numero di persone in un locale o su un autobus
di persone in un locale o su un autobus
‐Numero di cricche > 2mm in un pannello
Continue
Discrete
Il confine tra le due categorie è più teorico che pratico in quanto, ad es.:
‐la pioggia annua di una località è sempre discretizzata in mm
‐Le elaborazione digitali moderne effettuano sempre una discretizzazione dei valori, per cui anche le variabili continue sono trattate come discrete, però la potenza di calcolo e le memorie attuali consentono di utilizzare una gran mole di dati che fa assomigliare anche un problema discreto ad uno continuo
2
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Probabilità
Supponiamo di poter ripetere un esperimento relativo ad una grandezza Y per
un numero di volte n grande a piacere, allora
si otterranno n risultati:
y1, y2, ….., yn
Se A è un sottoinsieme di Ỹ, la probabilità che il risultato di un evento o esperimento
cada all’interno di A vale:
Prob( A) lim
n
# i : yi  A
, con i  1,2,..., n
n
Se un evento è certo la sua probabilità è 1
Ad esempio si consideri il lancio di un dado a 6 facce con A = 1,2,3,4,5,6
Se un evento è impossibile la sua probabilità è 0
Ad esempio si consideri il lancio di un dado a 6 facce con A = 7
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Probabilità
Dati due eventi A e B mutuamente esclusivi, la loro probabilità combinata, vale a dire
la probabilità che si verifichi l’uno o l’altro caso vale:
Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B)
Ad esempio si consideri il lancio di un dado a 6 facce con A = 2, e B = 5. La probabilità di avere 2 o 5 è la
somma dei due eventi presi separatamente
Se due eventi A e B sono indipendenti, la loro probabilità combinata, vale a dire la
probabilità che si verifichi contemporaneamente vale:
Prob(A+B) = Prob(A)·Prob(B)
Ad esempio si consideri due lanci di un dado a 6 facce con A = 2,
2 e B = 5.
5 La probabilità di “azzeccare”
azzeccare 2 al
primo lancio e 5 al secondo è data dal prodotto delle due probabilità prese separatamente
3
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Probabilità
Dati due eventi A e B non mutuamente esclusivi, la loro probabilità combinata, vale a
dire la probabilità che si verifichi l’uno oppure l’altro caso vale:
Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B)  Prob(AB)
Ad esempio si consideri il lancio di due dadi a 6 facce con A = 2, e B = 2. La probabilità di avere almeno un
dado uguale ad 2 è dato dalla somma della probabilità di avere 2 sul primo dado più la probabilità di avere 2 sul
secondo dado meno la probabilità di avere 2 su entrambe i dadi.
Prob(A) = 1/6 = 0.1667
Prob(B) = 1/6 = 0.1667
Prob(AB) = 1/36 = 0.0278
Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B)  Prob(AB) = 11/36 = 0.3056
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Funzione densità di probabilità (pdf)
Assegnata una variabile continua Y le cui osservazioni y ricadono all’interno
del dominio Ỹ, la pdf è definita come:
f ( y )  lim
y  0
Prob (Y  [ y , y  y ])
y
f(y) rappresenta la probabilità che un valore casualmente estratto dalla popolazione
cada all’interno dell’intervallo di dimensioni infinitesime dy, diviso dy stesso (cioè
l’ampiezza dell’intervallo considerato).
In altri termini:
f ( y ) dy  Prob ( y  Y  y  dy )
N.B.: f(y) è quindi una funzione a valori finiti, mentre la probabilità f(y)dy è un numero
infinitesimo perché si riferisce alla probabilità di un intervallo infinitesimo
4
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Funzione di probabilità cumulata (cdf)
Assegnata una variabile continua Y le cui osservazioni y ricadono all’interno
del dominio Ỹ, la pdf è definita come:
0.35
0.3
Prob (Y  [ y , y   y ])
f ( y )  lim
li
y  0
y
f(y)
0.25
PDF
0.2
0.15
La funzione di probabilità cumulata è invece
definita come:
F(y)
0.1
0.05
F ( y )  Prob (Y  y )  
y

f ( y )dy
0
y
1
0.9
oppure il limite inferiore di Ỹ
0.8
F(y)
0.7
0.6
CDF
essa rappresenta la probabilità che una
osservazione casuale di Y sia inferiore ad y,
ed equivale all’area sottesa dalla curva pdf
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Funzione di probabilità cumulata (cdf)
Se si considera y =+∞ o sup Ỹ , cdf vale:
0.35
~
F ((supp Υ )   f ( y ) dyy  1
0.3
Υ
f(y)
0.25
PDF
0.2
0.15
Cioè la probabilità di trovare Y all’interno
dell’intero dominio Ỹ vale 1 (100%)
0.1
0.05
Invece la probabilità di trovare Y all’interno
di un generico intervallo ]a, b] vale:
0
1
a
b
y
0.9
0.8
0.7
F(y)
0.6
CDF
Prob(a<Y≤b) = Prob(Y≤b) - Prob(Y<a) =
= F(b)-F(a)
0.5
0.4
0.3
F(b)-F(a)
0.2
0.1
0
y
5
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Percentile
1
0.9
0.8
p/100
F(y)
0.7
0.6
CDF
Il percentile p% della popolazione Y è definito
come il valore argomentale (ossia il valore
della variabile) yp la cui probabilità cumulata
vale proprio p/100.
p/100
0.5
0.4
Il percentile rappresenta in definitiva la
lettura in modo inverso della funzione di
probabilità cumulata F
0.3
F(a)
0.2
0.1
0
a
Affidabilità
yp
y
0.35
0.3
0.15
R(y) = Prob(Y> y) = 1 – F(y)
f(y)
0.2
PDF
La funzione affidabilità R(y) è il complemento
a 1 della F e rappresenta la probabilità che Y
assuma valori > y
0.25
F(y)
R(y)
0.1
0.05
0
y
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Variabili discrete
Se si tratta una variabile discreta Y con dominio Ỹ = {y1, y2,…} (tutti i possibili valori
di y), si definisce la funzione massa di probabilità
ni
N
p ( yi )  Prob (Y  yi )  lim
N 
dove ni è il numero di osservazioni con risultati yi e N è il numero di osservazioni
totali.
Cioè per un generico valore possibile yi nel dominio di esistenza si può definire la
probabilità (finita) che l’evento o l’esperimento abbia come esito proprio yi .
La probabilità cumulata (che un
un’osservazione
osservazione sia ≤ yk) è data da:
F ( y k )  Prob (Y  y k ) 
 p( y )
i: y i  y k
i
Nel caso di variabili discrete, la funzione densità di probabilità f(y) si trasforma in
massa di probabilità p(yi), e non è più rappresentata da una curva continua ma da
un istogramma.
6
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Istogramma
Nel caso di variabili discrete, la funzione densità di probabilità f(y) si trasforma in massa di
probabilità p(yi), e non è più rappresentata da una curva continua ma da un istogramma.
L’istogramma può essere usato convenientemente anche per discretizzare variabili continue:
k  1  3.3  log 10 ( N )
2
x 10
5
1.8
1.6
1.4
ricorrenze o frequenze
se si hanno a disposizione N campionamenti o valori
osservati di una variabile continua , conviene
suddividere il dominio in k intervalli o classi
e verificare quante ricorrenze si hanno in ciascuna classe.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Frequenza ni = numero di risultati che cadono
all’interno dell’i-esima classe
0.2
0
1
2
3
4
5
6
y
7
8
9
10
11
8
9
10
11
4
2
f i
Frequenza relativa
ni
x 10
1.8
N
1.6
i 
Densità dell’i-esima classe
i

ni
ricorrenze o frequenze
1.4
fi
N i
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Al diminuire dell’ampiezza delle classi Δi, l’istogramma
assomiglia sempre più ad una pdf continua
0.2
0
1
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
2
3
4
5
6
y
7
Richiami di statistica
Istogramma
Una volta noto o calcolato l’istogramma, si calcola facilmente con la definizione di F la
probabilità cumulata per variabili discrete
2
x 10
5
1.8
1.6
probabilità cumulata
ricorrenze o frequenze
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
y
7
8
9
10
11
y
4
2
x 10
1.8
probabilità cumulata
1.6
ricorrenze o frequenze
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
y
7
8
9
10
11
y
7
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Indicatori di tendenza…
Si supponga di studiare una variabile aleatoria Y di cui è nota una distribuzione, si definiscono
la moda, come quel valore argomentale y che massimizza la funzione massa di probabilità (per
variabili discrete) o densità di probabilità (per variabili continue)
la mediana, come quel valore argomentale y al percentile 50%
Valore atteso
E (Y )      y  p ( y )
~
y
E (Y )     y  f ( y ) dy
~

…e dispersione

Varianza

Var (Y )     ( y   )  p( y )  E (Y )   2
2
~
y
2
2
Var (Y )   2   ( y   ) 2  f ( y )dy  E (Y 2 )   2
~

Deviazione standard   Var (Y )
Coeffic. di variazione CV
CV  

Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Statistiche campionarie
Si supponga di studiare una variabile aleatoria Y di cui, tramite un campionamento o
y1, y2, y3, …, yn
realizzazione campionaria, sono note n osservazioni:
n
Si definisce media campionaria:
y
y
i
i
n
La media campionaria rappresenta una stima del valore atteso della
distribuzione (non nota) da cui sono stati estratti i campioni.
n
Si definisce varianza campionaria:
S2  
i
( yi  y ) 2
n 1
La varianza campionaria rappresenta una stima della varianza della
distribuzione (non nota) da cui sono stati estratti i campioni.
8
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Affidabilità condizionata
La probabilità condizionata di un evento A rispetto a B è data dalla probabilità che si verifichi
A, dopo che si è verificato B.
( 0, Δ)) risponde
p
invece alla domanda: qqual è la pprobabilità di ppoter
L’affidabilità condizionata R(T
compiere una missione di durata Δ dopo aver già consumato una vita T0? o in altri termini:
dato un componente che ha già funzionato per un periodo T0, quanto vale la sua affidabilità per
funzionare un ulteriore periodo Δ?
La probabilità di sopravvivere all’istante T0+ Δ vale:
(la probabilità di sopravvivere fino a T0) · (la probabilità di sopravvivere durante Δ)
0.35
0.3
R(T0  )  R(T0 )  R(T0 , )
quindi
R(T0 , ) 
f(y)
0.25
PDF
0.2
R(T0  )
R(T0 )
0.15
0.1
N.B.: R(T0, Δ) non va confusa con (F(T0+Δ)-F(T0)),
R(T0, Δ) è il rapporto tra le aree a T0 e T0+Δ misurate da destra
0.05
0
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
T0
T0+ Δ
y
Richiami di statistica
Esercizio
Tratto da es. 1.1 del libro (con modifiche)
Assegnato un gruppo freni la cui vita è distribuita secondo la tabella sotto riportata, si
chiede di calcolare:
1) La durata corrispondente al percentile 10%
2) Quanti gruppi freni vanno sostituiti a 52000 km
3) Moda e mediana
4) Media (o valore atteso) e varianza
5) Probabilità di portare a termine missione di 10000 km per un freno che ha già fatto
70000 km
distanza in migliaia di km
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
numero di cedimenti
1
3
6
9
12
17
20
15
11
8
5
2
1
9
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
testo
1) Occorre aggiungere alla tabellina le colonne relative al calcolo della massa di
probabilità e della probabilità cumulata di guasto
numero di distanza in Mm cedimenti
45
1
50
3
55
6
60
9
65
12
70
17
75
20
80
15
85
11
90
8
95
5
100
2
105
1
tot
110
p
0.009
0.027
0.055
0.082
0.109
0.155
0.182
0.136
0.100
0.073
0.045
0.018
0.009
1
F
0.009
0.036
0.091
0.173
0.282
0.436
0.618
0.755
0.855
0.927
0.973
0.991
1.000
p ( yi ) 
ni
ntot
con ntot  110
Si può verificare che
 p( y )  1
i
…poi si esegue la somma progressiva dei p(yi)
ottenendo la colonna della probabilità cumulata
F(yi), il cui valore finale vale giustamente 1
Il percentile p10% si trova per interpolazione, tra la 3° e 4° riga:
p10%  55 
60  55
0.10  0.091  55.56 migliaia di km
0.173  0.091
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
testo
2) Per calcolare F(52) occorre fare l’interpolazione tra la 2° e 3° riga
numero di distanza in Mm cedimenti
45
1
50
3
55
6
60
9
65
12
70
17
75
20
80
15
85
11
90
8
95
5
100
2
105
1
tot
110
p
0.009
0.027
0.055
0.082
0.109
0.155
0.182
0.136
0.100
0.073
0.045
0.018
0.009
1
F
0.009
0.036
0.091
0.173
0.282
0.436
0.618
0.755
0.855
0.927
0.973
0.991
1.000
F (52)  0.036 
0.091  0.036
52  50  0.058  5.8%
55  50
Poco meno del 6% dei pezzi si rompe
prima di 52000 km
10
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
testo
3) La moda è il valore della variabile che massimizza la pdf o l’istogramma, cioè 75000 km
25
F
0.009
0.036
0.091
0.173
0.282
0.436
0.618
0.755
0.855
0.927
0.973
0.991
1.000
20
15
10
5
105
95
100
90
85
75
80
70
65
60
55
50
0
45
p
0.009
0.027
0.055
0.082
0.109
0.155
0.182
0.136
0.100
0.073
0.045
0.018
0.009
1
numero di guasti
numero di distanza in Mm cedimenti
45
1
50
3
55
6
60
9
65
12
70
17
75
20
80
15
85
11
90
8
95
5
100
2
105
1
tot
110
migliaia di km
La mediana equivale al percentile 50%, e si ottiene interpolando tra la 6° e 7° riga
p50%  70 
75  70
0.50  0.436  71.75 migliaia di km
0.618  0.436
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
testo
4) Per calcolare media e varianza occorre aggiungere le colonne per il calcolo di:
numero di distanza in Mm cedimenti
45
1
50
3
55
6
60
9
65
12
70
17
75
20
80
15
85
11
90
8
95
5
100
2
105
1
tot
110
p
0.009
0
009
0.027
0.055
0.082
0.109
0.155
0.182
0.136
0.100
0.073
0.045
0.018
0.009
1
F
0.009
0
009
0.036
0.091
0.173
0.282
0.436
0.618
0.755
0.855
0.927
0.973
0.991
1.000
p*y
0.409
0
409
1.364
3.000
4.909
7.091
10.818
13.636
10.909
8.500
6.545
4.318
1.818
0.955
74.273
y·p(y) e p(y) ·(y-μ)2
p*(y‐mu)^2
7 790
7.790
16.068
20.260
16.667
9.380
2.821
0.096
4.473
11.507
17.989
19.528
12.034
8.583
147.198
Effettuando le somme si ottiene E (Y )      y  p ( y )  74.27
~
y

migliaia di km

Var (Y )   2   ( y   ) 2  p( y )  147.2 migliaia di km
~
y
  147.2  12.1 migliaia di km
CV  

 0.163
11
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
testo
5) Occorre calcolare R(70,10)
numero di distanza in Mm cedimenti
45
1
50
3
55
6
60
9
65
12
70
17
75
20
80
15
85
11
90
8
95
5
100
2
105
1
tot
110
R (70,10) 
p
0.009
0.027
0.055
0.082
0.109
0.155
0.182
0.136
0.100
0.073
0.045
0.018
0.009
1
F
0.009
0.036
0.091
0.173
0.282
0.436
0.618
0.755
0.855
0.927
0.973
0.991
1.000
p*yy
p
0.409
1.364
3.000
4.909
7.091
10.818
13.636
10.909
8.500
6.545
4.318
1.818
0.955
p*(y‐mu)^2
p
(y
)
7.790
16.068
20.260
16.667
9.380
2.821
0.096
4.473
11.507
17.989
19.528
12.034
8.583
R (80) 1  F (80) 1  0.755


 0.434  43.4%
R (70) 1  F (70) 1  0.436
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tasso di guasto (Failure Rate)
Il Tasso di Guasto, esprimibile con una funzione h(t), esprime la probabilità di un
componente di arrivare a rottura dopo aver raggiunto un tempo t.
La probabilità di cedimento nell
nell’intervallo
intervallo infinitesimo [t,
[t t+dt] è data dal prodotto della
probabilità del componente di “arrivare sano” al tempo t per la probabilità del componente
di cedere dopo aver superato t:
f (t )  dt  R(t )  h(t )dt 
Probabilità di cedimento
nell’intervallo [[t,, t+dt]]
Probabilità di cedere
dopo aver superato t
Probabilità di superare
l’istante di tempo t
h(t ) 
f (t )
R(t )
12
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tasso di guasto (Failure Rate)
Il Tasso di Guasto è la misura istantanea della variazione della curva cumulativa rispetto
alla probabilità che il componente sia ancora sopravvissuto. Cioè valuta con che
percentuale si hanno guasti fra gli elementi rimanenti.
F (t )
f (t )
h(t )  t 
1  F (t ) R(t )
La probabilità h(t)dt è ex-post, in quanto riferita a un manufatto sano al tempo t, mentre la
probabilità f(t)dt è ex-ante, in quanto riferita a un manufatto certamente sano al tempo t=0
•
Il tasso di guasto ha dimensioni inverse al tempo, quindi può essere interpretato come
indice del numero di guasti nell’unità di tempo, cioè come velocità di guasto
•
I data-sheet dei manufatti dichiarano spesso il tasso di guasto
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tasso di guasto (Failure Rate)
Si considerino N componenti di un test: Ns(t) è il numero dei componenti sopravvissuti al
tempo t, Nf(t) è il numero dei componenti rotti al tempo t.
R(t ) 
N f t 
N s t  N  N f t 

 1
N
N
N
derivando:
1 dN f t 
dR(t )
 
dt
N
dt
Il Tasso di guasto, in base alla sua definizione, può essere scritto come:
ht  
1
N s t 

dN f t 
dt
Dividendo e moltiplicando per N si ottiene:
ht  
1 dRt 
N dRt 



N s t  dt
Rt  dt
13
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tasso di guasto (Failure Rate)
1 dRt 
ht   

Rt  dt
Integrando e tenendo conto che R(0)=1 si ottiene:

t
0
dRt 
  lnRt 
0 Rt 
ht dt  
t
Quindi l’affidabilità R(t) diventa:
Rt   e
 0t h t dt
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tasso di guasto (Failure Rate)
In genere i guasti sono raggruppabili in tre tipi:
• Guasti durante il rodaggio (quality failures):
di solito sono dovuti ad errori di progetto o di fabbricazione (materiale difettoso
assemblaggio o aggiustaggio
aggi staggio scorretto).
scorretto)
• Guasti casuali (stress-related failures):
sono dovuti a cause aleatorie che provocano l’applicazione all’elemento di forze che
superano la resistenza di progetto.
• Guasti per invecchiamento organico o tecnico (wearout failures):
avvengono quando il prodotto raggiunge il termine della sua vita effettiva.
mortalità infantile
h(t) decrescente
danneggiamento
casuale
h(t) costante
usura
h(t) crescente
14
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tasso di guasto (Failure Rate)
Curva a vasca da bagno (bathtub):
h(t)
mortalità
infantile
usura
vita
utile
t
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tempo medio tra i guasti MTBF
Il tempo medio fra i guasti (Mean Time Between Failures, MTBF), è un parametro di
affidabilità applicabile a dispositivi meccanici, elettrici ed elettronici e ad
applicazioni software.
Il MTBF è il valore
l
atteso
tt
d l tempo
del
t
t un guasto
tra
t edd il successivo;
i
l sua misura
la
i
h
ha
importanza in moltissimi ambiti; ad esempio:
• la valutazione della vita media di un dispositivo meccanico, o di un componente
elettronico, nell'ambito della progettazione,
• la valutazione del tempo di attesa in coda di un semilavorato, se il guasto è riferito ad
una macchina utensile in un processo di produzione industriale
15
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tempo medio tra i guasti MTBF ‐ MTTF
Il tempo medio tra i guasti MTBF si intende la somma di due tempi: MTTF (Mean Time To
Failure) e MTTR (Mean Time To Repair).
MTBF = MTTF + MTTR
Il tempo medio fino al guasto o MTTF rappresenta la vita media di un componente. Esso è
quindi calcolabile come valore atteso della funzione densità di probabilità, o come integrale
su tutto il dominio della funzione affidabilità:
MTTF 


0
tf (t )dt
oppure come integrale su tutto il dominio della funzione affidabilità:
f (t ) 
d
d
d
F (t )  1  R (t )    R (t )
dt
dt
dt

MTTF    t
0
=0

d

R (t )dt   t  R (t ) 0   R (t )dt 
0
dt


0
R (t )dt
integrando per parti
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Tempo medio tra i guasti MTBF ‐ MTTF
Il tempo medio tra i guasti MTBF si intende la somma di due tempi: MTTF (Mean Time To
Failure) e MTTR (Mean Time To Repair).
MTBF = MTTF + MTTR
Il tempo medio fino al guasto o MTTF rappresenta la vita media di un componente. Esso è
quindi calcolabile come valore atteso della funzione densità di probabilità, o come integrale
su tutto il dominio della funzione affidabilità:
MTTF 


0
tf (t )dt 


0
R (t )dt
Si definisce
d fi i
invece
i
il tasso
t
di guasto
t medio,
di come la
l media
di temporale
t
l per un certo
t periodo
i d
del tasso di guasto:
h 
1 t
h (t )dt
t 0
Concettualmente il tasso di guasto medio ed il
MTTF sono l’uno il reciproco dell’altro
16
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esercizio
Richiami di statistica
Tratto da es. 6.1 del libro (con modifiche)
Data una popolazione di 10000 componenti di cui sono noti i tempi di cedimento, calcolare:
1) Il Tasso di Guasto
2) Media (o valore atteso) e Mediana
Numero di Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
t[ ]
t [ore]
componenti ti
operativi Ns
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
10000
8880
8300
7918
7585
7274
6968
6668
6375
6088
5808
5535
5269
5011
4760
4517
4237
3864
3396
2819
2098
1154
0
Richiami di statistica
Esercizio
1) Il Tasso di Guasto
t [ore]
Numero di componenti operativi Ns
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
10000
8880
8300
7918
7585
7274
6968
6668
6375
6088
5808
5535
5269
5011
4760
4517
4237
3864
3396
2819
2098
1154
0
17
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
1) Il Tasso di Guasto
Numero di componenti operativi Ns
Affidabilità R(t) = Ns(t)/N
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
10000
8880
8300
7918
7585
7274
6968
6668
6375
6088
5808
5535
5269
5011
4760
4517
4237
3864
3396
2819
2098
1154
0
1.000
0.888
0.830
0.792
0.759
0.727
0.697
0.667
0.638
0.609
0.581
0.554
0.527
0.501
0.476
0.452
0.424
0.386
0.340
0.282
0.210
0.115
0.000
Differenziale Tasso di Guasto dell'affidabilità h(t) = ‐dR(t)/dt 1/R(t)
dR(t)/dt = ‐R/t
‐
‐0.0022400
‐0.0011600
‐0.0007640
‐0.0006660
‐0.0006220
‐0.0006120
‐0.0006000
‐0.0005860
‐0.0005740
‐0.0005600
‐0.0005460
‐0.0005320
‐0.0005160
‐0.0005020
‐0.0004860
‐0.0005600
‐0.0007460
‐0.0009360
‐0.0011540
‐0.0014420
‐0.0018880
‐0.0023080
‐
0.00252252
0.00139759
0.00096489
0.00087805
0.00085510
0.00087830
0.00089982
0.00091922
0.00094284
0.00096419
0.00098645
0.00100968
0.00102973
0.00105462
0.00107594
0.00132169
0.00193064
0.00275618
0.00409365
0.00687321
0.01636049
‐
Tasso di Guasto
0,0045
0,0040
0 0035
0,0035
0,0030
h(t)
t [ore]
0,0025
0,0020
0,0015
0,0010
0,0005
0,0000
0
200
400
600
800
1000
t [ore]
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
1)
2) Media (o valore atteso) e Mediana
t [ore]
Numero di componenti operativi Ns
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
10000
8880
8300
7918
7585
7274
6968
6668
6375
6088
5808
5535
5269
5011
4760
4517
4237
3864
3396
2819
2098
1154
0
18
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
1)
2) Media (o valore atteso) e Mediana
t [ore]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
Numero di Numero di componenti cedimenti Nf
operativi Ns
10000
8880
8300
7918
7585
7274
6968
6668
6375
6088
5808
5535
5269
5011
4760
4517
4237
3864
3396
2819
2098
1154
0
0
1120
580
382
333
311
306
300
293
287
280
273
266
258
251
243
280
373
468
577
721
944
1154
Cedimenti cumulati
Massa di probabilità p
0
1120
1700
2082
2415
2726
3032
3332
3625
3912
4192
4465
4731
4989
5240
5483
5763
6136
6604
7181
7902
8846
10000
0.000
0.112
0.058
0.038
0.033
0.031
0.031
0.030
0.029
0.029
0.028
0.027
0.027
0.026
0.025
0.024
0.028
0 037
0.037
0.047
0.058
0.072
0.094
0.115
pdf f(t)
0.0000000
0.0022400
0.0011600
0.0007640
0.0006660
0.0006220
0.0006120
0.0006000
0.0005860
0.0005740
0.0005600
0.0005460
0.0005320
0.0005160
0.0005020
0.0004860
0.0005600
0 0007460
0.0007460
0.0009360
0.0011540
0.0014420
0.0018880
0.0023080
F(T)
f*y*dt
0.0000
0.1120
0.1700
0.2082
0.2415
0.2726
0.3032
0.3332
0.3625
0.3912
0.4192
0.4465
0.4731
0.4989
0.5240
0.5483
0.5763
0 6136
0.6136
0.6604
0.7181
0.7902
0.8846
1.0000
0.00000000
5.60000000
5.80000000
5.73000000
6.66000000
7.77500000
9.18000000
10.50000000
11.72000000
12.91500000
14.00000000
15.01500000
15.96000000
16.77000000
17.57000000
18.22500000
22.40000000
31 70500000
31.70500000
42.12000000
54.81500000
72.10000000
99.12000000
126.94000000
media
 = ∑ f·y·dt = 622.62 ore
La mediana equivale al percentile 50%, e si ottiene interpolando tra la 14° e 15° riga
p50%  650 
700  650
0.50  0.4989  652.19 ore
0.5240  0.4989
Corso di:
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Richiami di statistica
Esercizio
1)
2) Media (o valore atteso) e Mediana
t [ore]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
Numero di Numero di componenti cedimenti Nf
operativi Ns
10000
8880
8300
7918
7585
7274
6968
6668
6375
6088
5808
5535
5269
5011
4760
4517
4237
3864
3396
2819
2098
1154
0
0
1120
580
382
333
311
306
300
293
287
280
273
266
258
251
243
280
373
468
577
721
944
1154
Cedimenti cumulati
Massa di probabilità p
0
1120
1700
2082
2415
2726
3032
3332
3625
3912
4192
4465
4731
4989
5240
5483
5763
6136
6604
7181
7902
8846
10000
0.000
0.112
0.058
0.038
0.033
0.031
0.031
0.030
0.029
0.029
0.028
0.027
0.027
0.026
0.025
0.024
0.028
0 037
0.037
0.047
0.058
0.072
0.094
0.115
pdf f(t)
0.0000000
0.0022400
0.0011600
0.0007640
0.0006660
0.0006220
0.0006120
0.0006000
0.0005860
0.0005740
0.0005600
0.0005460
0.0005320
0.0005160
0.0005020
0.0004860
0.0005600
0 0007460
0.0007460
0.0009360
0.0011540
0.0014420
0.0018880
0.0023080
F(T)
f*y*dt
Tasso di Guasto h(t) = f(t)/R(t)
0.0000
0.1120
0.1700
0.2082
0.2415
0.2726
0.3032
0.3332
0.3625
0.3912
0.4192
0.4465
0.4731
0.4989
0.5240
0.5483
0.5763
0 6136
0.6136
0.6604
0.7181
0.7902
0.8846
1.0000
0.00000000
5.60000000
5.80000000
5.73000000
6.66000000
7.77500000
9.18000000
10.50000000
11.72000000
12.91500000
14.00000000
15.01500000
15.96000000
16.77000000
17.57000000
18.22500000
22.40000000
31 70500000
31.70500000
42.12000000
54.81500000
72.10000000
99.12000000
126.94000000
0.00000000
0.00252252
0.00139759
0.00096489
0.00087805
0.00085510
0.00087830
0.00089982
0.00091922
0.00094284
0.00096419
0.00098645
0.00100968
0.00102973
0.00105462
0.00107594
0.00132169
0 00193064
0.00193064
0.00275618
0.00409365
0.00687321
0.01636049
‐
media
 = ∑ f·y·dt = 622.62 ore
La mediana equivale al percentile 50%, e si ottiene interpolando tra la 14° e 15° riga
p50%  650 
700  650
0.50  0.4989  652.19 ore
0.5240  0.4989
19