Diploma Universitario in Ingegneria Corso di Fisica Tecnica Paolo

Diploma Universitario in Ingegneria
Corso di Fisica Tecnica
Paolo Di Marco e Alessandro Franco
Esercizi di Termodinamica Applicata
Versione 99.00 – 11/11/99.
La presente raccolta è redatta ad esclusivo uso didattico degli allievi dei Diplomi Universitari del settore industriale
dell’Università degli Studi di Pisa.
Gli autori se ne riservano tutti i diritti. Essa può essere riprodotta solo totalmente ed al fine summenzionato, non può essere
alterata in alcuna maniera o essere rivenduta ad un costo superiore a quello netto della riproduzione.
Ogni altra forma di uso e riproduzione deve essere autorizzata per scritto dagli autori.
Gli autori saranno grati a chiunque segnali loro errori, inesattezze o possibili miglioramenti.
Gli autori ringraziano gli studenti che hanno contribuito alla redazione di alcune soluzioni.
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
INDICE
METODOLOGIA DI RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI TERMODINAMICA.. 3
FONDAMENTI DI TERMODINAMICA..................................................................... 5
TERMODINAMICA DEGLI STATI............................................................................ 8
SISTEMI TERMODINAMICI APERTI E CHIUSI ................................................. 10
CICLI TERMODINAMICI DIRETTI E INVERSI .................................................. 15
ESERCIZI RISOLTI .................................................................................................... 18
TERMODINAMICA DEGLI STATI.........................................................................18
SISTEMI APERTI 20
CICLI TERMODINAMICI.......................................................................................25
SCAMBIATORI DI CALORE ..................................................................................34
TRASMISSIONE DEL CALORE .............................................................................36
ESERCIZI ASSEGNATI NEI COMPITINI .............................................................. 38
APPENDICI ................................................................................................................... 51
APPENDICE 1 – Soluzioni degli esercizi 1-30
(a cura dello studente Leonardo Caruso)..................................51
APPENDICE 2 - Equazioni di stato per i gas ideali e per i liquidi
incomprimibili............................................................................59
APPENDICE 3 - Trasformazioni reversibili per i gas ideali con calori
specifici costanti: lavoro e calore scambiati .............................60
LAVORO DI DILATAZIONE REVERSIBILE (gas ideale)......................................60
LAVORO DI COMPRESSIONE/ESPANSIONE REVERSIBILE IN SISTEMI
APERTI A REGIME (gas ideale)...............................................61
APPENDICE 4 – Proprietà termofisiche dei fluidi.................................................62
APPENDICE 6 - Unità di misura – Sistema Internazionale ...................................71
APPENDICE 6 - Tabelle di conversione tra unità di misura..................................73
APPENDICE 6 - Costanti fisiche notevoli ..............................................................74
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METODOLOGIA DI RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI TERMODINAMICA
Il primo passo in una analisi termodinamica è la identificazione del sistema delle sue
interazioni con l’esterno (es. il sistema è chiuso, aperto, le pareti sono adiabatiche, etc.).
Devono quindi essere prese in considerazione le leggi fisiche che governano il comportamento
del sistema e le altre relazioni pertinenti (es. leggi costitutive della sostanza presente nel
sistema).
Nella maggior parte delle analisi si usano, direttamente o indirettamente, una o più delle
seguenti tre equazioni di bilancio, che sono indipendenti dalla particolare sostanza o sostanze
considerate e dal tipo di trasformazione che avviene:
• conservazione della massa
• conservazione dell’energia
• secondo principio della termodinamica
In aggiunta, di solito è necessario aggiungere i legami tra le proprietà della particolare
sostanza o sostanze considerate: le cosiddette leggi costitutive della sostanza.
Per ottenere buoni risultati è necessario seguire un approccio sistematico. Bisogna evitare la
tentazione di cominciare il problema dal mezzo, selezionando ad esempio alcune equazioni
che sembrano appropriate, sostituendo numeri o semplicemente affidarsi al calcolatore.
E’ fortemente consigliato perciò che la soluzione di un problema sia organizzata utilizzando i
seguenti passi.
Variabili note: Descrivere concisamente e con parole proprie che cosa è noto. Questo
richiede di aver letto il problema attentamente e di aver attentamente pensato ad esso.
Variabili da determinare: Definire in maniera concisa e con proprie parole che cosa deve
essere determinato.
Dati Schematici: Disegnare un piccolo quadro rappresentativo del sistema in considerazione.
Decidere ad esempio se un sistema chiuso od aperto sono appropriati per l’analisi ed
identificarne con precisione il contorno.
Identificare i diagrammi di stato che contengono rilevanti informazioni circa il problema in
esame e disegnarli, localizzando i punti chiave e indicando, se possibile, la trasformazione
eseguita dal sistema.
Assunzioni: Elencare tutte le assunzioni semplificative e le idealizzazioni che possono essere
fatte.
Analisi: Utilizzando tutte le assunzioni e le idealizzazioni fatte, semplificare le equazioni che
governano il fenomeno fino a formare la sequenza di esse che produrrà il risultato.
E’ consigliabile lavorare con le equazioni, senza sostituire valori numerici, il più a lungo
possibile, per evitare la accumulazione degli errori di arrotondamento nei calcoli successivi. In
ogni caso, i calcoli devono essere condotti con un numero di cifre significative superiore (ma
non eccessivamente!) a quello con cui si vuole ottenere la soluzione finale.
Quando le equazioni sono ridotte alla loro forma finale, analizzarle per vedere quali dati
aggiuntivi sono richiesti. Per quanto possa sembrare ovvio, spesso ci si dimentica che il
numero delle incognite deve essere pari a quello delle equazioni indipendenti che si hanno a
disposizione. Identificare i dati, le tabelle, i diagrammi o le equazioni aggiuntive
eventualmente necessarie.
Quando tutti i dati e tutte le equazioni sono disponibili, sostituire i valori numerici all’interno
delle equazioni. Controllare se c’è uniformità a livello dimensionale e quindi eseguire i calcoli
richiesti.
Alla fine, considerare se le grandezze dei valori numerici sembrano ragionevoli e se i segni
algebrici associati ai valori numerici sono corretti
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P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
SIMBOLI PIU’ UTILIZZATI
A = area della superficie
cv = calore specifico a volume costante
cp = calore specifico a volume costante
COP = coefficiente di prestazione
D = diametro
Ec = energia cinetica
Ep = energia potenziale
G = portata massica
GV = portata volumetrica
h = entalpia
α = coefficiente di scambio termico
k = rapporto tra i calori specifici
l = lavoro per unità di massa
L = lavoro
M = massa
n = esponente della generica politropica
nc = esponente della politropica di compressione
ne = esponente della politropica di espansione
p = pressione
q = calore scambiato per unità di massa
Q = calore scambiato
r = calore latente di vaporizzazione
rv = rapporto di compressione volumetrico
R = costante dei gas
s = entropia specifica
t, τ = tempo
T = temperatura
U = energia interna
U = conduttanza termica
u = energia interna per unità di massa
u = coefficiente globale di scambio termico (scambiatori di calore)
v = volume specifico
V = volume
x = titolo del vapore
W = potenza
Z = pv/RT = fattore di compressibilità
ρ = densità
εc, ηc = rendimento isoentropico del compressore
εt, ηt = rendimento isoentropico della turbina
η = rendimento
µ = viscosità dinamica
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FONDAMENTI DI TERMODINAMICA
ESERCIZIO 1
Identificare un sistema per lo studio dei processi indicati nel seguito, classificarlo in aperto o
chiuso, a regime o meno, e determinare le sue interazioni con l’esterno.
• Riscaldamento di una bombola di gas;
• un estintore a CO2 in funzione;
• una pentola di acqua che bolle;
• una billetta di acciaio che viene temprata in un bagno d’olio;
• un frigorifero domestico in funzione;
• la turbina a vapore di un impianto termoelettrico a regime;
• un razzo al lancio;
• il motore di aereo alla velocità di crociera.
ESERCIZIO 2
Determinare la pressione assoluta su un batiscafo immerso in mare alla profondità di 4000 m.
La densità dell’acqua marina è 1020 kg/m3 e la pressione atmosferica sul livello del mare vale
980 hPa. [40.11 Mpa]
ESERCIZIO 3
Il camino di una centrale termoelettrica deve trasportare una portata volumetrica GV = 1150
m3/s di fumi. Supponendo che il camino sia circolare e di adottare un valore della velocità
media del fluido di 30 m/s, calcolare il diametro del camino.
[7 m]
ESERCIZIO 4
Dell’ossido nitroso, con calore specifico a volume costante cv = 0,674 kJ/Kg K fluisce con una
velocità di 5 m/s e ad una temperatura di 120 °C in una tubazione posta a 120 m rispetto al
livello del mare. Si valuti l’energia cinetica ec, l’energia potenziale gravitazionale ep e
l’energia interna u di 1 kg di gas assumendo il mare come livello di riferimento per l’energia
potenziale gravitazionale e considerando nulla alla temperatura di 0 °C l’energia interna del
gas.
[u = 80880 J/kg; ec = 12.5 J/kg; ep = 1177 J/kg]
ESERCIZIO 5
Un gas contenuto in un sistema chiuso cilindro pistone è inizialmente nelle condizioni p1 = 4
bar, V1 = 0.15 m3. Esso si espande reversibilmente a pressione costante fino ad un volume V2
= 0.36 m3. Calcolare il lavoro di dilatazione.
[L = 84 kJ]
ESERCIZIO 6
Ripetere il calcolo del precedente esercizio nella ipotesi che, a partire dalle stesse condizioni
iniziali, l’espansione avvenga secondo la legge pV = cost.
[L = 52.5 kJ]
ESERCIZIO 7
Ripetere il calcolo del precedente esercizio nella ipotesi che, a partire dalle stesse condizioni
iniziali, l’espansione avvenga secondo la legge pV1.4 = cost.
[L = 44.7 kJ]
ESERCIZIO 8
Tracciare su un diagramma p-V le trasformazioni relative ai tre esercizi precedenti e
giustificare graficamente che il lavoro maggiore si ottiene nella espansione isobara.
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ESERCIZIO 9
Una massa M = 1.5 kg di fluido refrigerante è contenuta in un insieme pistone cilindro e viene
compressa reversibilmente secondo la legge pvn = cost dalle condizioni iniziali p1 = 200 kPa,
v1 = 83.54x10-3 m3/kg allo stato finale p2 = 1 MPa, v2 = 21.34x10-3 m3/kg. Determinare:
1. il volume iniziale e finale del contenitore;
2. il valore dell’esponente n;
3. il lavoro compiuto.
[1. V1 = 0.125 m3; V2 = 0.032 m3; 2. n = 1.18; 3. L = -57.9 kJ]
ESERCIZIO 10
Un gas contenuto in un sistema chiuso cilindro pistone subisce le due trasformazioni seguenti:
• Trasformazione 1-2: espansione da p1 = 300 kPa, v1 = 0.019 m3/kg a p2 = 150 kPa, secondo
la legge pv = cost.
• Trasformazione 2-3: compressione isobara fino al volume v3 = v1.
Tracciare la trasformazione sul piano p-v e determinare il lavoro per unità di massa in tutto il
processo.
[l = 1.1 kJ/kg]
ESERCIZIO 11
In un sistema pistone-cilindro una certa quantità di vapore subisce una trasformazione per
effetto della quale la sua energia interna U aumenta di 800 kJ. Se il calore somministrato
durante il processo è stato pari a 850 kJ, valutare l’entità del lavoro in gioco.
[L = 50 kJ]
ESERCIZIO 12
Un compressore (sistema aperto a regime) comprime reversibilmente un fluido dalle
condizioni p1 = 0.1 MPa, v1 = 1.5 m3/kg alla pressione finale p2 = 400 kPa seguendo la legge
pv = cost.
a. Determinare il lavoro esterno netto per unità di massa necessario.
b. Ripetere il calcolo nel caso che la trasformazione sia isovolumica (v = cost).
c. Tracciare nei due casi le trasformazioni sul piano p-v ed individuare graficamente su di
esso il lavoro compiuto nei due casi precedenti.
[a. l = - 208 kJ/kg; b. l = -450 kJ/kg]
ESERCIZIO 13
Un serbatoio chiuso, rigido ed adiabatico di volume V = 0.2 m3 contiene aria la cui densità
iniziale è ρ = 1.2 kg/m3. Un mulinello che assorbe 40 W viene azionato per 20 min all’interno
del serbatoio. Determinare:
1. il volume specifico finale dell’aria;
2. la variazione di energia interna specifica dell’aria.
[1. v2 = 0.83 m3/kg (invariato rispetto allo stato iniziale); 2. ∆u = 200 kJ/kg]
ESERCIZIO 14
Un gas in un insieme pistone-cilindro senza aperture subisce due trasformazioni reversibili in
serie. La trasformazione 1-2 è isocora ed implica uno scambio di calore Q12 = 500 kJ. La
trasformazione 2-3 è isobara a p = 400 kPa con uno scambio di calore Q23 = -450 kJ. Sono
noti i valori di energia interna allo stato iniziale e finale, U1 = 1200 kJ e U3 = 3500 kJ. Le
variazioni di energia cinetica e potenziale sono trascurabili. Nell’ipotesi che venga compiuto
unicamente lavoro di dilatazione, trovare la variazione di volume tra lo stato iniziale e quello
finale.
[∆V = -5.625 m3]
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ESERCIZIO 15
Un motore elettrico lavora a regime assorbendo dalla rete una potenza elettrica Wel = 1.5 kW.
L’albero ha una coppia resistente M = 2 kgf m e ruota ad un numero di giri n’ = 500 rpm.
Determinare:
1. il calore dissipato dal motore in un’ora di funzionamento;
2. la temperatura della carcassa del motore Tc, se lo scambio termico con l’aria ambiente
avviene secondo la legge Wt = hA (Tc-Ta) con hA = 5 W/K e Ta = 20 °C.
[1. 1.7 MJ; 2. 114 °C]
ESERCIZIO 16
Un gas in un insieme pistone cilindro subisce un ciclo termodinamico composto dalle seguenti
trasformazioni reversibili:
Trasformazione 1-2: compressione a pV=cost dalle condizioni p1 = 1 bar, V1 = 1.5 m3, fino
alla pressione p2 = 2 bar.
Trasformazione 2-3: trasformazione isovolumica
Trasformazione 3-1: trasformazione adiabatica con L31 = 150 kJ.
Determinare il calore scambiato totalmente nel ciclo.
[Q = 47 kJ]
ESERCIZIO 17 (adatto alla risoluzione tramite calcolatore)
Si misurano sperimentalmente i seguenti dati di pressione e volume durante l’espansione di un
gas in un insieme pistone cilindro di un motore a combustione interna:
PUNTO
1
2
3
4
5
6
p (bar)
20.0
16.1
12.2
9.9
6.0
3.1
V (cm3)
454
540
668
780
1175
1980
• Stimare (integrando con la regola dei trapezi) il lavoro compiuto durante l’espansione.
• Le espansioni di questo genere di seguono generalmente la legge pVn = cost (detta
politropica). Tramite interpolazione, determinare il valore dell’esponente n, ripetere il
calcolo
del
lavoro
compiuto
e
confrontarlo
con
il
precedente.
(Suggerimento: determinare la pendenza della linea log p - log V tramite interpolazione
lineare).
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TERMODINAMICA DEGLI STATI
ESERCIZIO 18
Una bombola di volume V = 5 L contiene argon (Ar) alla pressione p = 200 bar e temperatura
T = 20 °C. Determinare a) la massa M del gas; b) il volume che esso occuperebbe alla
pressione di 1 bar e alla temperatura di 0 °C (tale volume è talvolta indicato come volume
normale e misurato in normal-metri cubi, Nm3).
Dati: considerare l’Ar come un gas ideale con k = cp / cv = 1.667 e cp = cost. = 520.3 J/kg K
[M = 1.639 kg, V = 0.932 Nm3 (R = 208.18 J/kg K)]
ESERCIZIO 19
Un cilindro verticale chiuso da un pistone senza attrito contiene azoto a temperatura T = 100
°C. Il pistone ha una massa Mp = 5 kg ed un diametro D = 100 mm. La pressione
dell’ambiente esterno è 97 kPa. Se il cilindro ha un volume V = 2 dm3, determinare la massa
M di gas contenuta nel cilindro.
Dati: considerare l’azoto come un gas ideale con R = 296.8 J/kg K, k =1.41.
[M = 1.864 g]
ESERCIZIO 20 (adatto alla soluzione tramite calcolatore)
Servendosi delle tabelle del vapore o di un programma di calcolo delle proprietà
termodinamiche, determinare lo stato dell’acqua (liquido sottoraffreddato, miscela bifase,
vapore surriscaldato, gas) in ciascuna delle condizioni seguenti:
a) 120 °C, 150 kPa
d) 160 °C, 0.4 m3/kg
3
b) 300 °C, 0.01 m /kg e) 0.35 Mpa, 0.4 m3/kg
c) 200 kPa, 110 °C
f) 5 kPa, 10 °C
[a) vap surr; b) bifase x = 0.424; c) liquido sottoraff.; d) vap surr; e) bifase x = 0.763; e)
liquido sottoraff.]
ESERCIZIO 21
Un serbatoio cilindrico alto 10 m contiene acqua e vapore in equilibrio alla temperatura T =
180 °C. Il livello del liquido all’interno è 2 m. Calcolare il titolo e la differenza di pressione
tra la parte più alta e quella più bassa del serbatoio.
Dati: vl = 0.001127 m3/kg, vv = 0.194045 m3/kg.
[x = 0.022, p = 17813 Pa]
ESERCIZIO 22
Un recipiente di volume assegnato V = 100 dm3 contiene 10.79 kg di R12 a
p = 0.6 MPa. Determinare il titolo ed entalpia specifica.
Dati: vf = 0.000757 m3/kg, vv = 0.029132 m3/kg, hf = 56.799 kJ/kg, hv = 196.568 kJ/kg
[x = 0.3, h = 98.73 kJ/kg]
ESERCIZIO 23
Un recipiente di volume assegnato V = 100 dm3 contiene 1.5 kg di ammoniaca a
p = 1 MPa. Determinare il titolo.
Dati: vf = 0.001658 m3/kg, vv = 0.128528 m3/kg
[x = 0.515]
ESERCIZIO 24
Valutare le variazioni di energia interna, entalpia ed entropia per azoto nelle seguenti
condizioni: p1 = 1 bar, T1 = 300 K , p2 = 13 bar, T2 = 1100 K., nelle seguenti ipotesi
a) supponendolo un gas ideale con R = 296.91 J /kg K, k =1.4.
b) adottando la seguente formula per cp
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cp
=3.765 − 1.208 ⋅ 10 −3T +2.324 ⋅ 10 −6T 2 −0.632 ⋅ 10−9T 3 −0.226 ⋅ 10−12T 4
R
Sugg. ci si può aiutare con il file EXCEL GASPROP.XLS
[a) ∆u = 593.8 kJ/kg; ∆h = 831.4 kJ/kg; ∆s = 542.9 J/kg K (cp=1004 J/kg K);
b) ∆u = 644.6 kJ/kg; ∆h = 882.1 kJ/kg; ∆s = 649.6 J/kg K]
ESERCIZIO 25
Valutare il fattore di compressibilità (Z = pv/RT) per l’ammoniaca a 100 °C, 2 Mpa, usando un
diagramma di stato. Ripetere il calcolo con un grafico del fattore di compressibilità
generalizzato.
Dati: pc = 112.8 bar, Tc = 405.4 K.
[Z = 0.905]
ESERCIZIO 26
Un recipiente rigido del volume di 15 litri contiene 10 kg di acqua in condizioni di saturazione
a 30 °C e viene lentamente riscaldato.
a. Al momento in cui il sistema diviene monofase, esso sarà costituito da liquido
sottoraffreddato o da vapore surriscaldato?
b. Ripetere il calcolo nel caso che la massa di acqua sia 1 kg.
[a. liquido sottoraffreddato; b. vapore surriscaldato;]
ESERCIZIO 27
Valutare la massa di metano trasportato in un recipiente di 0.5 m3 nelle seguenti condizioni:
a) p = 200 bar, T = 25 °C
b) vapore saturo a p = 5 bar ( e quindi T = -138 °C), x = 0.01.
Confrontare i risultati per il caso a) utilizzando il modello di gas ideale e le tabelle
termodinamiche.
Per rispondere alla domanda b) occorre consultare le tabelle termodinamiche.
[a) 64.7 kg (gas ideale) 78.5 kg (tabelle); b) 130.89 kg]
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SISTEMI TERMODINAMICI APERTI E CHIUSI
ESERCIZIO 28
Una massa M = 0.25 kg di vapore saturo secco alla pressione 0.1 Mpa, contenuto in un
sistema chiuso cilindro-pistone, viene compresso reversibilmente ed a temperatura costante
fino allo stato di liquido saturo. Determinare la variazione di entropia e di energia interna
nonché il lavoro ed il calore trasferiti.
[∆U = -522 kJ; ∆S = -1.51 kJ/K; L = -42.3 kJ; Q = -564 kJ]
ESERCIZIO 29
Un gas (considerato ideale e con calore specifico costante) avente R = 287 J/Kg K; cp = 992
J/kg K e contenuto in un sistema pistone-cilindro senza aperture viene compresso secondo una
isoterma reversibile dalla pressione p1 = 1 bar e dalla temperatura T1 = 25 °C fino alla
pressione p2 = 20 bar per essere poi riespanso adibaticamente e reversibilmente fino alla
pressione p3 = 1 bar.
Determinare la temperatura ed il volume specifico finali del gas nonché i valori del lavoro
netto e del calore scambiato con l’esterno per unità di massa.
[T3 = 125.3 K; v3 = 0.36 m3/kg; l = -135 kJ/kg; q = -256 kJ/kg]
ESERCIZIO 30
D
H
∆L
Un gasometro (vedi figura) è schematizzabile come un cilindro di diametro D = 40 m e
altezza H = 15 m e contiene metano alla temperatura di 25 °C. La pressione atmosferica
esterna è 980 hPa e il mantello ha una massa complessiva di 500 t. Determinare:
1. la pressione all’interno del gasometro;
2. il dislivello ∆L nella guardia idraulica;
3. la massa del metano contenuto;
4. la variazione di quota dello stesso se la pressione atmosferica diviene 1040 hPa.
5. I dislivello nella guardia idraulica nel caso di cui sopra.
[1) 1019 hPa; 2) 390 mm; 3) 12400 kg; 4) 0.83 m; 5) rimane invariato]
ESERCIZIO 31
Un recipiente di volume 40 L contiene aria alla pressione di 5 MPa e temperatura di 400 K.
Determinare:
1. la massa di aria contenuta;
2. la pressione nel recipiente dopo che l’aria si è raffreddata a temperatura ambiente (27 °C)
3. il calore scambiato durante tale processo.
[1) 1.72 kg; 2) 3.75 MPa 3) 123 kJ]
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P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZIO 32
Una tubazione è percorsa da una portata G = 0.5 kg/s di azoto che entra alla temperatura di T1
= 700 °C ed esce a T2 = 60 °C. Determinare la potenza termica scambiata.
[Wt = -332.6 kW]
ESERCIZIO 33
Un tubo di vetro sigillato contiene R22 alla temperatura di 20 °C. Se lo si raffredda fino alla
temperatura di -20 °C, iniziano a formarsi piccole gocce di liquido sulla parete del tubo (vale a
dire, il sistema raggiunge le condizioni di saturazione). Determinare quale è la pressione nel
tubo a 20 °C.
Suggerimento: si ha a che fare con una trasformazione a volume costante il cui stato finale è
vapore saturo secco. Per risolvere questo esercizio si deve disporre delle tabelle
termodinamiche del fluido R22.
[p = 0.2896 Mpa]
ESERCIZIO 34
In un sistema pistone-cilindro, 50 kg di vapore si trovano alla temperatura alla temperatura T1
= 70 °C con un titolo x1 = 0.40. Determinare il lavoro da spendere per portare i 50 kg di
vapore nelle condizioni di liquido saturo (x1 = 0) mediante una compressione adiabatica
reversibile.
[L = 20.750 kJ]
ESERCIZIO 35
In una linea ad alta pressione scorre vapor d’acqua saturo a p1 = 30 bar. Per misurarne il titolo,
si lamina una piccola quantità di vapore attraverso una valvola. Al termine dell’espansione
(che può essere considerata isoentalpica) il vapore si trova a p2 = 1 bar e T = 137 °C.
Determinare il titolo del vapore nella linea.
[x = 0.97 (h = 2750.5 kJ/kg)]
ESERCIZIO 36
In una linea ad alta pressione scorre vapor d’acqua saturo a p = 30 bar. Per misurarne il titolo,
si spilla una piccola quantità di vapore attraverso una valvola, lo si lamina fino alla pressione
di 1 bar e lo si mescola adiabaticamente con una portata Ga = 3 kg/s di acqua a 20 °C.
All’uscita del recipiente, si misura una portata totale Gu = 3.05 kg/s di acqua alla pressione di
1 bar ed alla temperatura di 29.6 °C. Determinare la portata di vapore spillato ed il titolo del
vapore nella linea.
Suggerimento: il recipiente in questione è un sistema aperto a regime, adiabatico, rigido, con
due ingressi ed una sola uscita.
[Gv = 0.05 kg/s; x = 0.855 (hv = 2544 kJ/kg)]
ESERCIZIO 37 (adatto alla soluzione tramite calcolatore)
Con riferimento ai due esercizi precedenti, si riporti in un grafico la relazione tra il titolo del
vapore e la temperatura del vapore stesso dopo la laminazione e tra il titolo del vapore e la
temperatura dell’acqua dopo il mescolamento, nel campo x = 0.8 - 1. Si valuti quale dei due
metodi di misura è più accurato.
ESERCIZIO 38
Una turbina a vapore in regime stazionario ha le seguenti caratteristiche:
Portata di vapore G = 0.3 kg/s, temperatura all’ingresso T1= 500 °C, pressione all’ingresso p1
= 40 bar, pressione all’uscita p2 = 0.1 MPa. Nell’ipotesi di poter considerare la turbina
adiabatica ed il processo reversibile, calcolare la potenza meccanica erogata e determinare le
condizioni (temperatura e/o titolo) del vapore in uscita.
[W = 261 kW, T2 = 99.6 °C, x2 = 0.956]
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P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZIO 39
Un compressore a regime stazionario (che si può considerare adiabatico) comprime 0.4 kg/s di
azoto da pressione e temperatura ambiente (p1 = 0.1 Mpa, T1 = 20 °C) alla pressione p2 = 20
bar. Se il processo si può considerare reversibile, calcolare la temperatura di uscita dell’azoto
e la potenza di pompaggio. Ripetere il calcolo della potenza nel caso di compressione
isoterma.
Dati: considerare l’azoto come un gas ideale con R = 296.8 J/kg K, k =1.41.[T2 = 700 K, Wad
= - 165 kW; Wisot = - 104 kW]
ESERCIZIO 40
Con riferimento all’esercizio precedente, se l’azoto esce dal compressore alla temperatura T2
= 550 °C e mantenendo l’ipotesi di processo adiabatico, giustificare il fatto che il processo è
in questo caso irreversibile e calcolare la potenza di pompaggio ed il rendimento isoentropico
di compressione. Tutti gli altri dati sono uguali a quelli dell’esercizio precedente.
[W = 216 kW, ηc=0.76. La trasformazione è irreversibile in quanto adiabatica e con ∆s = 164
J/kg K > 0.]
ESERCIZIO 41
Un compressore a regime stazionario comprime 0.4 kg/s di azoto da pressione e temperatura
ambiente (p1 = 0.1 Mpa, T1 = 20 °C) alla pressione p2 = 20 bar. Si effettua la compressione in
due stadi con refrigerazione intermedia fino alla temperatura iniziale. Ipotizzando che le due
compressioni siano adiabatiche e reversibili, determinare il rapporto ottimale di compressione
in ciascuno dei due stadi, la potenza assorbita, la temperatura di uscita dell’azoto.
Dati: considerare l’azoto come un gas ideale con R = 296.8 J/kg K, k =1.41.
[rp1 = rp2 = 4.472; W = -130 kW; T2 = 453 K]
ESERCIZIO 42 (adatto alla soluzione tramite calcolatore)
Con riferimento all’esercizio precedente, tracciare il grafico della potenza richiesta per la
compressione in funzione del rapporto di compressione del primo stadio. Ripetere i calcoli
nell’ipotesi (più realistica) che il refrigeratore intermedio abbia un’efficienza del 75% (questo
vuol dire che, dette T’ e T” le temperature all’ingresso e all’uscita del refrigeratore
intermedio, T” - T’ = 0.75 (T’ - T1)).
ESERCIZIO 43
Uno scambiatore di calore è costituito da due tubi coassiali. Nel tubo interno scorre una
portata G1 = 0.2 kg/s di gas (cp1 = 1100 J/kg) alla temperatura di ingresso di T1i = 500 °C, nel
tubo esterno (mantello) scorre una portata G2 = 0.5 kg/s di acqua (cp2 = 4180 J/kg) alla
temperatura di ingresso T2i = 20 °C e a quella di uscita T2u = 26 °C. Determinare la
temperatura in uscita del gas.
[T1u = 440 °C]
ESERCIZIO 44
Una portata G = 1.5 kg/s di vapore uscente da una caldaia alla temperatura T1 = 570 °C e alla
pressione p1 = 160 bar si espande adiabaticamente e reversibilmente in una turbina fino alla
pressione p2 = 1 bar.
a) Determinare la potenza meccanica ottenuta ed il titolo in uscita.
b) Ripetere il calcolo nel caso di un rendimento isoentropico di espansione pari a 0.75.
Determinare inoltre la variazione di entropia nella turbina.
[a) WmI = 1.68 MW, x2I = 0.8657; b) WmR = 1.26 MW, x2R = 0.99, ∆s = 0.75 kJ/kg K]
e-12
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZIO 45
I gas combusti (cp = 1.11 kJ/kg K, k = 1.33) provenienti dalla camera di combustione vengono
immessi in una turbina a gas con una velocità c3 di 10 m/s alla pressione p3 = 8 bar ed alla
temperatura T3 = 850 °C; i gas vengono scaricati dalla turbina alla pressione p4 = 1.1 bar ed
alla velocità c4 = 50 m/s. Supponendo l’espansione adiabatica reversibile, determinare il
lavoro ottenuto per ogni kg di gas.
[l’ = 481.78 kJ/kg]
ESERCIZIO 46
In uno scambiatore di calore si deve raffreddare una portata G = 2 kg/s di ammoniaca a p1 =
15 bar, x1 = 0.9 fino alla pressione p2 = 9 bar ed alla temperatura di T2 = 20 °C. Determinare:
a) la potenza termica necessaria;
b) la portata di acqua lato secondario necessaria, se è richiesto che quest’ultima non subisca
un riscaldamento tra ingresso ed uscita superiore a 5 K.
[a) Wt = 2.17 MW, G = 104 kg/s ]
ESERCIZIO 47
Una tubazione lunga 50 m di acciaio al carbonio e diametro esterno De = 89 mm, spessore s =
5 mm, non coibentata, trasporta una portata G = 4 kg/s di vapore saturo, alla pressione di 10
Mpa, che all’ingresso ha titolo pari xi = 1. Noti il coefficiente di scambio globale uT = 20
W/m2 K, e la temperatura dell’aria esterna ta = 20 °C, valutare:
a) Le perdite di calore per unità di tempo dalla tubazione;
b) Il titolo del vapore all’uscita della tubazione.
Si possono trascurare le variazioni di pressione del vapore dovute alle perdite di carico lungo
la tubazione.
[a) Q = 80 kW, b) x = 0.985]
ESERCIZIO 48
In un serbatoio cilindrico di area di base A = 0.0125 m2, inizialmente vuoto, entra una portata
di acqua Gi = 7 kg/s. Il serbatoio ha sul fondo un foro da cui l’acqua esce con una portata Gu(t)
= K L(t), dove L è il livello di acqua nel serbatoio, t è il tempo e K = 1.4 kg/m s. Valutare
l’andamento nel tempo del livello nel serbatoio e determinarne il valore quando si
raggiungono condizioni di regime. Assumere la densità dell’acqua pari a 1000 kg/m3.
Stabilire un’analogia con il processo di carica di un condensatore elettrico.
[Valore a regime Lr = 5 m; L(t) = Lr (1-exp(-t/τ), τ = 8.93 s]
ESERCIZIO 49
Una resistenza da scaldabagno ha la forma di un cilindro di lunghezza L = 600 mm e diametro
D = 20 mm. In condizioni normali essa dissipa una potenza W = 1 kW, stando sommersa in
acqua alla temperatura t1 = 20 °C, avente un coefficiente di scambio convettivo di hw = 800
W/m2 K.
a) Quale è la temperatura a regime della superficie esterna della resistenza? (Si trascuri il
calore dissipato dalle basi del cilindro).
b) Quale è il valore della temperatura della superficie esterna a regime se viene a mancare
l’acqua e la resistenza viene a trovarsi in aria a 20 °C con coefficiente di convezione ha =
20 W/m2 K? (Si supponga di poter trascurare anche l’effetto dell’irraggiamento).
[a) T = 53.2 °C, b) T = 1346 °C]
ESERCIZIO 50 (adatto alla soluzione tramite calcolatore)
Con riferimento all’esercizio precedente, se la resistenza ha una massa M = 100 g e un calore
specifico c = 700 J/kg K
e-13
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
a) stimare la durata del transitorio, ovvero il tempo che trascorre da quando viene a mancare
l’acqua a quando la resistenza raggiunge una temperatura molto vicina al valore di regime.
(Sugg.: porla uguale a cinque costanti di tempo).
Supponendo che la resistenza bruci alla temperatura di 700 °C, valutare il tempo necessario a
raggiungere tale temperatura nei seguenti casi:
b) ha = 20 W/m2 K
c) ha = 40 W/m2 K
d) ha = 100 W/m2 K
[ a) ~ 450 s]
ESERCIZIO 51
Un sistema di 0.2 kg di vapore, alla pressione di 200 kPa ed alla temperatura di 200 °C, è
compresso isotermicamente in maniera reversibile in un sistema cilindro-pistone con un
rapporto di compressione 10.
a. Mostrare il processo su un diagramma p-v e su un diagramma T-S.
b. Trovare il volume all’inizio ed alla fine del processo.
c. Trovare il calore ed il lavoro scambiati.
ESERCIZIO 52
Del vapore entra in turbina alla pressione p3 = 40 bar e con un valore dell’entropia s3 = 6,8876
kJ/kg K e dopo un’espansione adiabatica esce dalla macchina alla pressione p4 = 0.05 bar e
con titolo x4 = 0.90.
Stabilire se in seguito all’espansione, si è ottenuto il massimo lavoro possibile e, in caso
contrario, valutare il rendimento adiabatico della turbina.
e-14
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
CICLI TERMODINAMICI DIRETTI E INVERSI
ESERCIZIO 53
Un ciclo di Carnot che utilizza aria (R = 0,287 kJ/kg K, k=1.4) come fluido motore è
caratterizzato dai seguenti valori p, v e T:
p3 = 40 bar
V3 = 0,030 m3
T3 = 1000 °C
T1 = 270 °C
V4 = 0,08 m3
T4 = 1000 °C
T2 = 270 °C
Determinare il rendimento del ciclo e le quantità di calore e di lavoro trasferite.
ESERCIZIO 54
Uno studioso afferma di aver realizzato un ciclo motore che assorbe 2000 kJ dalla sorgente a
temperatura superiore (a 500 °C), restituisce 600 kJ alla sorgente a temperatura inferiore (a 20
°C), producendo un lavoro pari a 1700 kJ. Commentare tale affermazione.
[E’ impossibile]
ESERCIZIO 55
Un inventore proclama di essere riuscito a relizzare migliorie tecniche ad un impianto a ciclo
Rankine (temperatura massima del vapore 550 °C, temperatura al condensatore 30 °C) che ne
portano il rendimento a 0.66. Dimostrare che è un ciarlatano.
[Il rendimento di una macchina termica che opera tra quelle temperature non può superare
0.635]
ESERCIZIO 56
Determinare il rendimento di un ciclo reversibile di Rankine a vapore saturo evolvente fra le
temperature T1 = 100 °C e T2 = 300 °C.
[0.29]
ESERCIZIO 57
Si vuole riscaldare, mantenendola a 25 °C, una villetta di montagna, che richiede a questo
scopo una potenza termica di 10 kW, prelevando calore con una macchina operatrice da un
laghetto attiguo che si trova alla temperatura di 5 °C. Valutare la potenza meccanica minima
che deve assorbire la macchina per potere assicurare queste prestazioni. (Suggerimento: fare
riferimento alla “migliore” macchina termica inversa teoricamente ipotizzabile).
[W = 0.671 kW]
ESERCIZIO 58
Una centrale termoelettrica da 1000 MW elettrici (potenza utile erogata) ha un rendimento η =
0.412. Il secondario del condensatore è refrigerato tramite una portata esterna G = 50 t/s di
acqua. Determinare la variazione di temperatura dell’acqua di raffreddamento tra ingresso e
uscita del condensatore.
[∆T = 2.8 K]
ESERCIZIO 59
Un impianto a ciclo Brayton eroga 15 MW di potenza utile. La temperatura minima del ciclo è
T1 = 300 K e la massima T3 = 1400 K. La pressione di ammissione al compressore è p1 = 1
bar, e il rapporto di compressione è p2/p1=10. Si assuma che il fluido di lavoro sia aria (gas
ideale) con cp costante, R= 287 J/kg K, k = 1.400. Tracciare il ciclo sui diagrammi p,v e T,s e
calcolare le condizioni a fine compressione (T2) e a fine espansione (T4), il rendimento del
ciclo e il valore della portata massica di aria nell'impianto nelle seguenti condizioni:
a) ciclo Brayton ideale senza rigenerazione;
e-15
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
b) ciclo Brayton senza rigenerazione con rendimento isoentropico del compressore εc = 0.85 e
della turbina εt = 0.88;
caso
a)
b)
p2
bar
10
10
T2
K
579
629
T4
K
725
806
η
=
.48
.34
G
kg/s
37.7
56.3
ESERCIZIO 60 (adatto alla risoluzione tramite calcolatore)
Con riferimento all’esercizio precedente, mantenendo costanti tutti gli altri dati, si traccino i
diagrammi del rendimento in funzione del rapporto di compressione nei due casi.
ESERCIZIO 61
Si consideri un ciclo a vapore d'acqua avente le seguenti caratteristiche: temperatura all'uscita
del condensatore T1=35°C, pressione all'ammissione in turbina p3 = 12 MPa, portata di fluido
G = 360 t/h. Calcolare il valore del rendimento, del titolo in uscita alla turbina (x4) e della
potenza netta erogata dall'impianto nelle seguenti condizioni:
a) ciclo a vapor saturo (il vapore entra in turbina in condizioni di saturazione, x3=1);
b) ciclo a vapore surriscaldato, con temperatura di ammissione in turbina T3= 600 °C;
c) ciclo a vapore surriscaldato con temperatura di ammissione in turbina T3= 600 °C,
espansione in turbina fino al p3' = 0.6 MPa e risurriscaldamento fino a T3" = 600 °C.
In tutti i casi, si consideri l’espansione in turbina ideale (adiabatica e reversibile).
caso
a)
b)
c)
η
=
.39
.44
.45
x4
=
.64
.8
.989
W
MW
100
152
169
ESERCIZIO 62
Si ripetano i calcoli dell’esercizio precedente considerando una espansione in turbina reale
con rendimento isoentropico 0.88.
caso
a)
b)
c)
η
=
.34
.385
.40
x4
=
.69
.88
.92
W
MW
87
133
149
ESERCIZIO 63
Si consideri un ciclo Otto avente i seguenti parametri:
• condizioni all'ingresso p1= 1 bar, T1 = 20 °C;
• rapporto di compressione volumetrico rv= v1/v2 = 9/1
• calore ceduto al fluido nella fase di combustione qc= 2800 kJ/kg
Si assuma che il fluido di lavoro sia aria (gas ideale) con R= 287 J/kg K, k = 1.400. Tracciare
indicativamente il ciclo sui diagrammi p,v e T,s e calcolare le condizioni a fine compressione
(p2,T2), a fine combustione (p3,T3) e a fine espansione (p4,T4), il rendimento ed il lavoro utile,
nelle seguenti ipotesi.
e-16
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
a) ciclo "tradizionale" con combustione isovolumica, compressione ed espansione adiabatica;
b) ciclo con combustione isovolumica, compressione politropica con esponente nc=1.3,
espansione politropica con coefficiente ne=1.15.
caso p2
MPa
a)
21.8
b)
17.5
T2
K
706
566
p3
MPa
142
138
T3
K
4611
4471
P4
MPa
6.5
11
T4
K
1911
3213
η
=
0.58
0.50
L
kJ/kg
1628
2146
ESERCIZIO 64
Con riferimento all’esercizio precedente, adottando come combustibile metanolo invece che
benzina tradizionale, si stima che il rapporto di compressione potrebbe essere portato a 12/1, a
causa del maggior potere antidetonante, ma il calore di combustione scenderebbe al valore qc=
2400 kJ/kg. Calcolare il valore del rendimento e del lavoro utile in tali condizioni, nelle
ipotesi di cui al punto a).
[L = 1512 kJ/kg; η = 0.63]
ESERCIZIO 65
Con riferimento all’esercizio 63, è più realistico assumere che il calore durante la
combustione sia ceduto per 2/3 a volume costante e per il rimanente 1/3 a pressione costante
(ciclo Sabathè): in tale ipotesi, assumendo di nuovo ne=1.15 ed nc=1.3, calcolare il
rendimento ed il lavoro utile del ciclo.
T2
p2
MPa K
17.5 566
p2’
T2’ p3
T3
P4
T4
η
MPa K
MPa K
MPa K
=
97.8 3170 97.8 4099 10
3061 0.49
L
kJ/kg
1992
ESERCIZIO 66
In un impianto a vapore della potenza W = 2000 kW il fluido motore evolve reversibilmente
secondo un ciclo di Rankine a vapore surriscaldato tra le temperature di ammissione inturbina
si 300 °C (a 70 bar) e quella nel condensatore di e 40 °C. Determinare il rendimento del ciclo
semplice e di quello con uno spillamento rispettivamente a 50, 30, 5, 2 bar.
Si assuma che le condizioni dell’acqua in uscita dal rigeneratore siano pari a quelle di liquido
saturo.
Suggerimento: per la soluzione, si può fare uso del programma RACY
[0.37; 0.379; 0.388; 0.398; 0.396]
ESERCIZIO 67
In un impianto a vapore, supposto reversibile, della potenza di 5000 kW circola vapore
prodotto alla pressione p3 = 20 bar ed alla temperatura T3 = 300 °C da un generatore di vapore
che brucia 2000 kg/h di combustibile (potere calorifico inferiore 30000 kJ/kg).
L’acqua entra nel generatore a 40 °C.
Determinare il rendimento del generatore di vapore, il rendimento del ciclo, la portata di
vapore e la portata massica unitaria in kg/kJ.
[0.93; 0.32; 0.547 kg/s; 1.09x10-4 kg/kJ (0.39 kg/kWh)]
e-17
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZI RISOLTI
Nella seguente sezione sono riportati alcuni esercizi della tipologia di quelli presentati nelle
precedenti sezioni, risolti in maniera dettagliata.
Per quello che riguarda i dati relativi agli stati termodinamici delle sostanze si è fatto
riferimento alle tabelle riportate sui principali testi ed al programma CATT.
Gli esercizi risolti, pur non esaurendo completamente la tipologia degli esercizi di
termodinamica, cercano di coprire le varie parti del programma svolto e possono risultare un
buon banco di prova per verificare il livello raggiunto nella prepazione. Per tale motivo sono
inseriti in coda agli altri. Alcuni degli esercizi presentati sono anche relativi alla trasmissione
del calore.
Come si vedrà, alcune soluzioni sono state redatte da studenti: nel ringraziare nuovamente chi
ha voluto dare il proprio contributo, si invitano altri a fare altrettanto in vista di successive
versioni di questa raccolta.
TERMODINAMICA DEGLI STATI
ESERCIZIO 68
Un sistema compie un ciclo termodinamico costituito da tre trasformazioni. Durante il primo
processo il lavoro è 5 kJ e il calore scambiato è 23 kJ. Nella seconda trasformazione non vi è
lavoro in gioco e il calore scambiato è -50 kJ. La terza trasformazione è adiabatica.
a.
b.
Trovare la variazione di energia relativa ad ogni trasformazione
Trovare il lavoro in gioco nelle terza trasformazione
SOLUZIONE
a. Si può applicare il primo principio della termodinamica ad ogni trasformazione del ciclo,
per cui
∆U12 = Q12 - L12
∆U23 = Q23 - L23
∆U31 = Q31 - L31
In relazione al ciclo completo, la variazione di energia interna è nulla, quindi:
∆U12 + ∆U23 + ∆U31 = 0
Quindi
∆U12 = 23 - 5
∆U23 = -50 - 0
∆U31 = - (∆U12+∆U23) = -(18-50) = 32 kJ
Il lavoro scambiato nella terza trasformazione, essendo Q31=0, vale L31=-32 kJ.
ESERCIZIO 69
La variazione di entalpia specifica ∆h durante la liquefazione del fusione del ghiaccio alla
temperatura di 0 °C ed alla pressione di 1.01 bar è pari a 333.39 kJ/kg.
e-18
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Dato un sistema che consiste di acqua e ghiaccio in equilibrio alla temperatura di 0°C ed alla
pressione di 1.01 bar, in contatto termico con l’ambiente alla temperatura di 20 °C,
determinare, per il processo di fusione di 2 kg di ghiaccio a 0 °C e 1.01 bar la variazione di
entropia di
a. ghiaccio
b. ambiente
c. ghiaccio + ambiente
SOLUZIONE
Il processo è ovviamente irreversibile per il fatto che il calore si trasmette a causa di una
differenza di temperatura finita tra l’ambiente ed il ghiaccio.
Per prima cosa consideriamo il ghiaccio. Questo subisce una trasformazione internamente
reversibile perché subisce una trasformazione che avviene a pressione ed a temperatura
costanti. Per questo processo isotermo e isobaro si ha che
Q12 = ∆H = m ⋅ ∆h = 2 ⋅ 333.39 = 666.78 kJ
a.
e la variazione di entropia del ghiaccio risulta essere
⋅2
Q
m∆h 2 ⋅ 333.39
1 ⋅2
∆S = ∫ (δQ / T )rev = ∫ δQ = 12 =
=
= 2.4411 kJ/kg
⋅1
T ⋅1
T
T
273.15
Per determinare la variazione di entropia dell’ambiente si tratta di sostituire il sistema
acqua-ghiaccio a 0°C con un recipiente a 20 °C al quale l’ambiente cede 666.78 kJ.
L’ambiente in questo caso subirebbe un processo reversibile per il quale
− 666.78
Q 
∆Senvir =   =
= −2.2745 kJ/K
 T  rev 273.15 + 20
c. La variazione di entropia dell’intero sistema ghiaccio+ambiente è quindi data da:
∆Stot = ∆S + ∆Senvir = 2.4411 − 2.2745 = 0.1666 kJ/K
b.
Come era chiaro quindi, per il sistema ghiaccio+ambiente si ha un processo globalmente
irreversibile con aumento di entropia.
Una interessante questione si potrebbe porre a questo punto. Dato il sistema descritto
nell’esercizio appena svolto, ferma restando la temperatura dell’ambiente di 20 °C, potrebbe il
processo di fusione del ghiaccio essere compiuto in maniera reversibile?
La risposta è affermativa, purchè si inserisca tra le due sorgenti termiche in questione, quella a
20 °C e quella a 0 °C, una macchina operante secondo un ciclo di Carnot.
In questo caso l’ambiente cederebbe più calore, una parte del quale verrebbe sfruttato per
produrre lavoro, ed il rimanente ceduto alla sorgente fredda per fondere il ghiaccio. Come si
può facilmente provare, la variazione di entropia dell’intero sistema sarebbe nulla, come deve
essere per un processo reversibile.
e-19
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
SISTEMI APERTI
ESERCIZIO 70
Una pompa riceve all’ingresso una portata G = 0.5 kg/s di acqua come liquido saturo a 27,0
°C; all’uscita si misura una pressione di 7 Mpa. Considerando l’acqua un fluido
incomprimibile con densità ρ = 1000 kg/m3, si determini:
a) la potenza meccanica per unità di portata nell’ipotesi di processo adiabatico reversibile;
b) l’incremento di temperatura corrispondente ad un rendimento di compressione del 50%;
SOLUZIONE
a) Essendo la trasformazione isoentropica abbiamo che, nell’ipotesi di velocità e quota
rispettivamente uguali tra monte e valle:
p − p1
− Ls = 2
ρ
p1 = pvs (27°C ) = 0,0360
bar
Ls = −
7,00 ⋅10−6 − 0,0360 ⋅105
1,00 ⋅103
= − 7,00 ⋅103 J / kg
Ws = G ⋅ Ls = 0.50 ⋅ 7,00 ⋅103 = 350
. kW
Notare che per un fluido incomprimibile, essendo ds=c dT/T, la variazione di temperatura è
nulla in una trasformazione isoentropica.
b)
La potenza reale è data da
W = Ws / η p = 7,00 ⋅103 / 0.5 = 14,0 ⋅103 W
Il bilancio di energia sulla pompa è dato da:
− Ls = h2 − h1 = c ⋅ (T2 − T1 ) + v ⋅ ( p2 − p1 )
− Ls + v ⋅ ( p1 − p2 ) − Ls ⋅ (1 − η p )
=
= 1,7K
c
c
è facile verificare che in questo caso il processo è irreversibile, essendo il sistema adiabatico e
T 
∆s = c ln  2  > 0
 T1 
T2 − T1 =
ESERCIZIO 71
Una caldaia deve produrre una portata G = 50 t/h di vapore saturo secco alla pressione di 20
bar. L’acqua viene introdotta alla pressione di 20 bar ed alla temperatura di 20 °C.
Determinare la potenza termica richiesta. [Wt = 37.7 MW]
SOLUZIONE (Redatta dallo studente Renato Lison)
Si parte dall’equazione di bilancio dell’energia nella sua forma più generale:
d (U + Ec + E p )
=Wt − Wm +∑ Gi (ui + eci + e pi ) −∑ Gu (uu + ecu + e pu )
dt
i
u
e-20
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
e la si specializza in base alle circostanze. Essendo le pareti della caldaia rigide la potenza
meccanica utile raccolta è nulla. Dato che si tratta di un caso stazionario, il primo termine è
nullo. Si suppone infine di poter trascurare le variazioni di energia cinetica e potenziale, e si
ottiene
0=WT − 0 + ∑ Ge he − ∑ Gu hu
e
u
e poiché si tratta di un sistema aperto a regime con un solo ingresso ed una sola uscita, dal
bilancio di massa si ha
Ge =Gu = G
e quindi
WT = G (hu −he )
dal programma di calcolo CATT si ha
hu (p = 2 MPa ; x = 1 ) = 2799,515 kJ/kg
he (p = 2 MPa ; T = 20 °C) = 85,821 kJ/kg
da cui infine (tenuto conto che la portata va convertita in kg/s)
50000
(2799.15 − 85.821)= 37.69MW
WT = G (hu −he ) =
3600
ESERCIZIO 72
Per un compressore si conoscono i seguenti dati:
• fluido: aria (considerato gas ideale con calore specifico costante);
• condizione di ingresso: T1 = 16°C, p1 = 1,00 bar;
• condizione di uscita: p2 = 4.00 bar
• rendimento isoentropico: 0.650
• variazioni di energia potenziale e cinetica trascurabili;
• sistema adiabatico;
• portata di fluido G = 0.03 kg/s
Calcolare il lavoro e la potenza di compressione, e la temperatura di uscita.
SOLUZIONE
Considerando il sistema aperto e a regime, il bilancio di energia nel compressore porge (la
seconda uguaglianza è verificata solo per un gas ideale con calore specifico costante):
l ' = − (h2 − h1 ) = − c p (T2 − T1 )
il lavoro di compressione può essere calcolato a partire dal lavoro isoentropico, che a sua
volta è noto una volta nota la temperatura finale della compressione reversibile.
Per una trasformazione adiabatica e reversibile (quindi isoentropica), denotando con il pedice
2s lo stato finale
T2 s  p2 s 

=
T1  p1 
k −1
k
k −1
T2 s  p2 s  k
0.4 / 1.4
 = 289 ⋅ (4,00)
= 
= 429 K
T1  p1 
dalla definizione di rendimento isoentropico si ottengono la temperatura di uscita ed il lavoro
reali
e-21
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ηc =
c ⋅ (T2 i − T1 )
(T − T1 )
l 'id
= p
= 2i
l'
c p ⋅ (T2 R − T1 ) (T2 R − T1 )
da cui
1
(T2i − T1 ) = 289 + 1 ⋅ (429 − 289 ) = 505 K
ηc
0,650
Una volta nota T2, il lavoro reale è ottenibile anche direttamente dal bilancio di energia
l ' = − c p ⋅ (T2 R − T1 ) = − 1,01 ⋅ (505 − 289 ) = − 218 kJ/kg
T2 R = T1 +
La potenza di copmpressione è infine data da
Wm = G l ' = 0.03 ⋅ 218 = 6.55 kW
ESERCIZIO 73
In un compressore (sistema aperto a regime) si comprime una portata volumetrica (valutata
all’ingresso) Q = 50 m3/h di azoto (R = 296.8 J/kg K, k = cp / cv = 1.4, che si può considerare
un gas perfetto con cp costante) a partire dalle seguenti condizioni iniziali: p1= 100 kPa, T1=
20 °C, fino alla pressione finale p2 = 620 kPa. Le variazioni di energia cinetica e potenziale
sono trascurabili.
Valutare la potenza di compressione, la temperatura finale del gas, la potenza termica
scambiata con l’ambiente e la portata volumetrica in uscita nel caso di compressione
adiabatica reversibile in due stadi con rapporto ottimale di compressione e refrigerazione
intermedia fino alla temperatura iniziale.
Tracciare inoltre le trasformazioni sul diagramma T-s (assumere entropia nulla per T = 200 K,
p = 1000 kPa).
SOLUZIONE (Redatta dallo studente Fabrizio Leverone)
Bisogna innanzitutto convertire la portata volumetrica in unità SI
m3
m3
= 50
= 0.0139 m3/s
GV 1⋅ = 50
h
3600 s
La portata massica (che rimane costante) è data da
G
p
100000
= 0.016 kg/s
G= V 1 = GV 1 ⋅ 1 = 0.0139
v1
RT1
296.8 ⋅ 293.15
La pressione intermedia ottimale si ricava dalla radice quadrata del prodotto delle pressioni
iniziale e finale:
pi = p1 p2 = 249 kPa
La potenza di compressione è data dalla somma dei contributi delle due trasformazioni
adiabatiche (si ha quindi N=2 nella formula seguente):
NRk  kkN−1 
Wc = G ⋅ l 'ad 2 = −G ⋅
T1  rp − 1 =
k − 1 

 10.4.4⋅2 
2 ⋅ 296.8 ⋅ 1.40
− 0.016 ⋅
− 1 = −2,90 kW
293.15 6.2
0.4


Dato che il rigeneratore riporta la temperatura al valore iniziale, per ottenere la temperatura
finale basta calcolarla tenendo conto solo dell’ultima trasformazione adiabatica la quale
avviene sempre con temperatura iniziale di 20 °C ma con rapporto di compressione
rp 2 = rp1 = p2 pi ≈ 2,5 :
e-22
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
T2 = T1
k
rpk2−1 = 293.15 1.4 2.50.4 = 380 K
La potenza scambiata con l’ambiente è dovuta solo alla trasformazione isobara di
raffreddamento. Per altro, il calore scambiato in questa fase è uguale al lavoro compiuto sul
gas nel primo stadio di compressione
Rk  kk−1 
Wt = G ⋅ l 'ad 1 = − G ⋅
T1  rp1 − 1 = − 1.44 kW
k − 1 

Per la portata volumetrica in uscita basta il volume specifico con i nuovi dati:
RT
GV 2 = G ⋅ v2 = G ⋅ 2 = 10.3m 3 kg
p2
650
600
550
500
2
450
i1
T (K )
400
350
300
1
i2
250
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
s (kJ/kg K )
Nota: l’allievo può verificare che la potenza di compressione è ottenibile anche mediante
l’espressione
Wc = − N G ⋅ c p (T2 − T1 )
ESERCIZIO 74
Una portata G = 0.2 kg/s di vapore d’acqua entra in una turbina alla pressione di 45 bar ed alla
temperatura di 750 °C. Il rapporto tra le pressioni di ingresso e di uscita è pari a 10. Il
rendimento isoentropico vale 0.85; determinare:
a) il lavoro specifico e la potenza ottenuti
b) la temperatura finale
c) l’entropia specifica finale.
SOLUZIONE
Facendo uso delle tabelle dell’acqua, si valutano dapprima le condizioni finali per una
espansione ideale (isoentropica)
h1 = 4020 kJ/kg
s1 = 7,67 kJ/kg K
Stato 1:
h2s = 3180 kJ/kg
p2 = 4,5 bar
s2s = s1
Stato 2s:
Lo stato finale nella espansione reale può essere valutato utilizzando l’espressione del
rendimento isoentropico
h −h
ηT = 2 1 = 0,85
h2 s − h1
h2 = h1 + ηT ⋅ (h2 s − h1 ) = 4020 + 0,85 ⋅ (3180 − 4020) = 3,31 ⋅ 103 kJ/kg
Dal bilancio di energia sulla turbina (sistema adiabatico, aperto ed a regime) si ottiene il
lavoro erogato e quindi la potenza
e-23
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
l ' = (h1 − h2 ) = 4020 − 3310 = 710 kJ/kg
Wm = G l ' = 0.2 ⋅ 710 = 142 kW
Conoscendo l’entalpia della corrente in uscita e la pressione si ha infine:
s2 = 7,90 kJ/kg K
Stato 2: T2 = 418 °C
e-24
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
CICLI TERMODINAMICI
ESERCIZIO 75
Un motore termico opera tra due sorgenti termiche, una alla temperatura di 400 °C e quella
inferiore alla temperatura di 50 °C.
Il motore produce 7.5 kW di potenza e scarica sulla sorgente a temperatura inferiore una
potenza termica di 9 kW
a. Trovare il rendimento del motore termico
b. E’ il processo in questione reversibile?
SOLUZIONE
a. Applicando il primo principio della termodinamica al motore termico abbiamo:
WTh = WTc + WM = 9.0 + 7.5 = 16.5 kW
il rendimento del motore è quindi
W
7.5
η= M =
= 0.455
WTh 16.5
Il rendimento di un motore che operasse in maniera reversibile tra le stesse due sorgenti
termiche dovrebbe essere funzione soltanto delle temperature di queste ultime, essendo in
particolare
T
323.15
ηrev = 1 − c = 1 −
= 0.520
Th
673.15
dal momento che η < ηrev, si può concludere che il motore opera seguendo un ciclo
irreversibile con produzione entropica.
b.
ESERCIZIO 76
In un ciclo il vapore entra in turbina alla pressione di 20 bar ed alla temperatura di 400°C. La
pressione nel condensatore è di 0,2 bar e il liquido esce dal condensatore in condizioni di
saturazione. Assumendo che le trasformazioni che subisce il fluido all’interno della turbina e
della pompa siano adiabatiche e reversibili:
a) Determinare le condizioni in tutti i punti del ciclo
b) Calcolare il calore ed il lavoro scambiato in ogni trasformazione e nel ciclo
c) Calcolare il rendimento del ciclo
d) Confrontare il rendimento del ciclo in esame con quello del Ciclo di Carnot equivalente
SOLUZIONE
a) Con riferimento ai dati del programma CATT, o al diagramma di Mollier del vapor d’acqua
saturo, possiamo rappresentare i dati relativi al ciclo nella successiva tabella (in cui la
coppia di dati a partire dai quali si ricavano le altre variabili è evidenziata in colore):
Stato
1
2
3
4
p, bar
0.2
20.0
20.0
0.2
T, °C
60.06
60.6
400.0
60.06
x
0.0
0.8896
h, kJ/kg
251.4
253.4
3247.6
2349.3
s, kJ/kgK
0.8320
0.8320
7.1271
7.1271
Note
s2=s1
s4=s3
h2, dato in genere non reperibile nelle tabelle, può essere ricavato dalla equazione
wx = -v (p2-p1)
e-25
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
che permette di determinare il lavoro per unità di massa che si spende nel caso di
compressione reversibile di un liquido, quindi
h2 = h1 - wx = h1 + v1(p2 - p1) = 251.4 + 0.001017 x (2000 - 20) = 253.4 kJ/kg
b) Gli scambi termici e i lavori relativi alle singole trasformazioni sono:
q12 = 0
(l’)12 = h1 - h2 = -2.0 kJ/kg
q23 = h3 - h2 = 2994.3 kJ/kg
(l’)23 = 0
q34 = 0
(l’)34 = h3 - h4 = 898.3 kJ/kg
q41 = h1 - h4 = -2097.9 kJ/kg
qtot = ∑ qi = 896.3 kJ/kg
(l’)41 = 0
(l’)tot = ∑ l'i = 896.3 kJ/kg
c) Il rendimento del ciclo si valuta come
(l' )tot
896.3
= 0.299
2994.2
qin
dato che il lavoro della pompa (1-2) è trascurabile ed h2 è molto vicino ad h1, il rendimento è
anche calcolabile con buona approssimazione come
(l ') h − h
η = 34 ≅ 3 4 = 0.2998
q23 h3 − h1
che consente di evitare il calcolo di h2
d) Il rendimento del Ciclo di Carnot equivalente tra la temperatura minima e la temperatura
massima del presente ciclo è:
(273.15 + 60.0) = 0.505
T
ηCarnot = 1 − c = 1 −
(273.15 + 400)
Th
η=
=
ESERCIZIO 77
Si consideri un ciclo Rankine internamente reversibile a vapore surriscaldato per il quale
siano state fissate la temperatura del vapore all’ingresso della turbina e la pressione di
condensazione. Quale è l’effetto dell’aumento di pressione nel generatore di vapore su:
lavoro della pompa
lavoro turbina
calore in caldaia
calore condensatore
rendimemnto del ciclo
titolo vapore uscita turb.
(a) aumenta
(a) aumenta
(a) aumenta
(a) aumenta
(a) aumenta
(a) aumenta
(b) diminuisce
(b) diminuisce
(b) diminuisce
(b) diminuisce
(b) diminuisce
(b) diminuisce
(c) resta lo stesso
(c) resta lo stesso
(c) resta lo stesso
(c) resta lo stesso
(c) resta lo stesso
(c) resta lo stesso
SOLUZIONE
Le seguenti conclusioni possono essere verificate facendo uso del diagramma T-s e di quello
di Mollier e dei calcoli svolti nell’esercizio precedente (per farsi un’idea, si può fissare la
temperatura di ammissione del vapore in turbina a 500 °C e la pressione nel condensatore a
0.05 bar).
• il lavoro della pompa cresce in quanto cresce la pressione di uscita
e-26
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
• il lavoro della turbina aumenta perché cresce il salto di pressione relativo all’espansione;
sul piano h-s il punto 3 ha praticamente la stessa entalpia, mentre l’entalpia del punto 4
decresce;
• Il calore fornito in caldaia diminuisce anche se di molto poco; infatti h3 subisce una lieve
diminuzione (bisogna tenere conto che il vapore nel punto 3 è vicino alle condizioni di gas
ideale e quindi l’entalpia ha una debole dipendenza dalla pressione) ed h2 aumenta un po’;
• Il calore trasferito nel condensatore diminuisce in quanto, a parità di h1, h4 diminuisce. Nel
piano T-s si vede che a parità di temperatura diminuisce il ∆s.
• Il rendimento del ciclo aumenta in quanto il calore ceduto in caldaia resta praticamente
constante, mentre il lavoro in turbina aumenta; (in termini di temperature medie
termodinamiche del fluido si ha che a parità di quella inferiore cresce quella superiore).
• Il titolo del vapore all’uscita della turbina diminuisce perché il punto 4 si sposta verso
sinistra sul piano T-s o h-s.
ESERCIZIO 78
Aria alla temperatura di 300 K ed alla pressione di 100 kPa entra nel compressore di un
impianto a turbina a gas che opera seguendo un ciclo di Brayton. Il flusso di massa è di 5 kg/s
e la temperatura massima che raggiunge l’aria è di 1200 K.
Supposto che il rapporto di compressione sia 4, determinare:
a) Il rendimento dell’impianto assumendo ideali la compressione e l’espansione;
b) La potenza in uscita, sempre in condizioni ideali;
c) Se il compressore e la turbina non operano in condizioni ideali, quale dovrebbe essere il
rendimento isoentropico di ciascun componente per non avere lavoro utile?
d) Quali dovrebbero essere, per questo caso le temperature in uscita dalla turbina e dal
compressore?
SOLUZIONE
I cicli ideale e reale sono rappresentati nel sottostante diagramma T-s del gas ideale.
a) Nel caso del ciclo ideale, le temperature incognite T2s e T4s si trovano alla seguente
maniera:
p 
T2 s = T1 ⋅  2 
 p1 
k −1
k
= 300 ⋅ 40.4 /1.4 = 445.8 K
e-27
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
k −1
p k
T4 s = T3 ⋅  4  = 1200 ⋅ 0.250.4 / 1.4 = 807.5 K
 p3 
Il rendimento del ciclo ideale è dato da
T1
300
= 1−
= 0.3271
T2
445.8
b) La potenza in uscita è data da
W = G ⋅ ltot
dove
kR
(T3 − T4 s + T1 − T2 s ) =
ltot = (h3 − h4 s ) + (h1 − h2 s ) =
k −1
 8.3143 
= 3.5 ⋅ 
 ⋅ (1200 − 807.5 + 300 − 445.8) = 247.6 kJ / kg
 29 
Quindi
W = 5 ⋅ 247.6 = 1238 kW
η = 1−
c) Affinchè il lavoro netto in uscita sia nullo, il lavoro ottenuto in turbina deve uguagliare
quello speso nel compressore. Deve quindi essere
(h3 − h4 s )⋅ηe = (h2 s − h1 )
ηc
quindi
h −h T −T
ηe ⋅ηc = 2 s 1 = 2 s 1 = 0.3715
h3 − h4 s T3 − T4 s
Per cui nel caso particolare in cui si abbia ηe = ηc
ηe = ηc = 0.3715 = 0.6095
d) T2 e T4 sono trovati mediante le relazioni:
T −T
 445.8 − 300 
T2 = T1 + 2 s 1 = 300 + 
 = 539.2 K
ηc
 0.6095 
T4 = T3 + ηe ⋅ (T4 s − T3 ) = 1200 + 0.6095 ⋅ (807.5 − 1200 ) = 960.8 K
ESERCIZIO 79
Aria entra in un compressore di un impianto a turbina a gas con rigenerazione, mostrato nella
successiva figura
e-28
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
alla temperatura di 300 K ed alla pressione di 100 kPa. Il rapporto di compressione è 4 e la
temperatura massima nel ciclo è 1200 K. Il flusso di massa è di 8 kg/s.
I rendimenti isoentropici del compressore e della turbina sono rispettivamente 0.85 e 0.9,
mentre il rigeneratore è ideale.
Deteminare
a) La potenza netta in uscita
b) Il rendimento del ciclo
SOLUZIONE
Per prima cosa si calcolano pressione e temperatura in ogni punto del ciclo come definiti in
figura.
p4 = p1 = 100 kPa
p2 = p3 =4 p1 = 400 kPa
e assumendo per l’aria k=1.4
p 
T2 s = T1 ⋅  2 
 p1 
p 
T4 s = T1 ⋅  4 
 p3 
k −1
k
k −1
k
= 300 ⋅ 40.286 = 445.8 K
= 1200 ⋅ 0.250.286 = 807.54 K
T2 s − T1
445.8 − 300
= 300 +
= 471.53 K
ηc
0.85
T4 = T3 + (T4 s − T3 )⋅ηe = 1200 + (807.54 − 1200)⋅ 0.9 = 846.79 K
T2 = T1 +
Dato che le portate negli stati 2 e 4 sono uguali, che il gas è considerato ideale con cp costante,
e che il rigeneratore è considerato ideale, ne segue che il flusso caldo esce dal rigeneratore alla
temperatura del flusso freddo ed il flusso freddo esce alla temperatura iniziale del flusso
caldo. In altri temini si ha
T4* = T2 = 471.53 K
e
T2* = T4 =846.79 K
La potenza netta in uscita è
Wm = G ⋅ [(h3 − h4 ) − (h2 − h1 )] = G ⋅ c p ⋅ [(T3 − T4 ) − (T2 − T1 )] =
= 8 ⋅ 1.0035 ⋅ [(1200 − 846.79 ) − (471.53 − 300)] = 1458.5 kW
b) Il rendimento del ciclo è pari a
e-29
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
η=
(h3 − h4 ) − (h2 − h1 ) = (T3 − T4 ) − (T2 − T1 ) = 0.514
(h3 − h2* )
(T3 − T2* )
ESERCIZIO 80
Un ciclo di refrigerazione utilizza il fluido R-12 per rimuovere 6 kW da un recipiente a bassa
temperatura a -7°C; la temperatura dell’ambiente è di 38°C.
Occorre notare che quando il calore è “rimosso” da un recipiente a bassa temperatura il fluido
operativo deve essere ad una temperatura più bassa, mentre nel condensatore, quando il calore
è trasferito dal fluido operativo all’ambiente, la temperatura del fluido deve essere superiore a
quella dell’ambiente. Una differenza di temperatura di 3 K è quindi richiesta a questo scopo
sia nell’evaporatore che nel condensatore. Il rendimento isoentropico del compressore vale ηc
= 0.75 e il suo rendimento elettro-meccanico è pari a ηm = 94%.
a) Descrivere il ciclo in un diagramma pressione-entalpia;
b) Trovare il coefficiente di prestazione (COP);
c) Determinare la portata di fluido necessaria;
d) Determinare la potenza richiesta dalla rete per azionare il compressore.
SOLUZIONE
a) Poiché una differenza di temperatura di 3 K è richiesta nello scambiatore, la temperatura di
evaporazione è di -10°C e la temperatura di condensazione è di 41°C. La pressione
superiore del ciclo si trova a partire dalla temperatura di condensazione (41 °C) e,
consultando le tabelle o mediante il programma CATT risulta essere 0.9845 Mpa. La
pressione inferiore viene determinata a partire dalla temperatura di evaporazione ( -10 °C)
e risulta essere 0.2191 Mpa. Se assumiamo che lo stato 1 sia quello di vapore saturo (a
bassa temperatura) e lo stato 3 quello di liquido saturo (ad alta temperatura), le relative
proprietà sono riportate nella successiva tabella, dove le caselle corrispondenti ai dati di
ingresso sono evidenziate in grigio.
p
T
h
s
x
stato
MPa
°C kJ/kg kJ/kg K
1
0.2191 -10
183.2 0.7019 1
Satur. Vapor
2s 0.9845 49.03 209.8 0.7019
Superh. Vapor
2
0.9845 60.6
218.7 0.7289
Superh. Vapor
3
0.9845 41
75.6
0.275
0
Satur. Liquid
4
0.2191 -10
75.6
0.2931 0.3117 Two-phase
l’entalpia del punto finale della compressione reale (h2) è stata ricavata dalla definizione di
rendimento isoentropico
ηc =
h2 s − h1
h2 − h1
h2 =h1 +
h2 s − h1
209.8 − 183.2
=183.2 +
= 218.7 kJ/kg
ηc
0.75
b) Il coefficiente di prestazione (COP) è dato da
COP =
QC h1 − h4 183.2 − 75.6
=
=
= 3.03
L h2 − h1 218.7 − 183.2
e-30
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
c) la portata di fluido necessaria è ottenibile dal bilancio dell’evaporatore:
WF = G (h1 − h4 )= 6 kW
G=
WF
6
=
= 0.056 kg/s
h1 − h4 183.2 − 75.6
d) La potenza ideale richiesta dal compressore è data da
Wm ,id = G (h2 s − h1 )= 0.056 (209.8 − 183.2) = 1.49 kW
e quella assorbita dalla rete elettrica, tenuto conto di tutti i rendimenti
W
1.49
Wm = m ,id =
= 2.11 kW
ηcηm 0.75 ⋅ 0.94
l’allievo può verificare che quest’ultimo risultato era ottenibile più rapidamente anche tramite
Wm =
Wf
COP ηm
ESERCIZIO 81
Si consideri un ciclo Otto avente i seguenti parametri:
• condizioni all'ingresso p1= 1 bar, T1 = 30 °C;
• rapporto di compressione volumetrico rv= v1/v2 = 8/1
• calore ceduto al fluido nella fase di combustione qc= 1400 kJ/kg
Si assuma che il fluido di lavoro sia aria (gas ideale con calore specifico costante) con
R= 287 J/kg K, k = 1.400. Tracciare il ciclo sui diagrammi p,v e T,s e calcolare le condizioni a
fine compressione (p2,T2), a fine combustione (p3,T3) e a fine espansione (p4,T4), il rendimento
ed il lavoro utile (tutte le trasformazioni vanno considerate reversibili).
SOLUZIONE (Redatta dallo studente Fabrizio Leverone)
2.0E+07
1.5E+07
1.0E+07
5.0E+06
0.0E+00
0.00
0.50
1.00
v (m3/kg)
e-31
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
500
1000
1500
s (kJ/ kg K)
Per calcolare i dati di fine compressione (punto 2) utilizziamo l’equazione delle adiabatiche
pv k = cost . Da essa ricaviamo con semplici passaggi le espressioni di p e T in funzione dei
dati a noi disponibili:
T2 = T1rv1− k = 696 K
p2 = p1rv−k = 1,83 MPa
Per il punto 3, conseguenza di una combustione isovolumica, utilizziamo il primo principio
della termodinamica. Esso ci dice che la variazione di energia interna è uguale al calore
scambiato con l’esterno in quanto per le trasformazioni isocore il lavoro scambiato con
l’esterno è uguale a zero, dunque:
qc = cv (T3 − T2 ) ⇒ T3 =
p3 = p2
qc
+ T2 = 2647 K
cv
T3
= 6,98 MPa
T2
Per l’ultima trasformazione (3-4) basta riutilizzare le formule impiegate nel punto 1:
T4 = T3rv1−k = 1152 K
p4 = p3rv− k = 0,38 MPa
Il rendimento del ciclo è dato dal rapporto tra il lavoro utile e il calore ceduto al sistema ed in
questo caso l’apporto di calore si ha esclusivamente in fase di combustione. Calcoliamo
dunque prima il lavoro utile il quale, come si può vedere anche dal grafico p-v, è l’area
racchiusa dal tracciato delle quattro trasformazioni. Per calcolare tale area si procede
calcolando l’integrale del lavoro per ogni trasformazione tra i rispettivi estremi e stando
attenti al verso in cui avvengono. Questa non è altro che la somma dei lavori scambiati con
l’esterno, presi con il segno proprio ed osservando che le uniche trasformazioni dove si
produce lavoro sono le due adiabatiche risulta evidente come risolvere il problema:
lu = l12 + l34 = cv [(T1 − T2 ) + (T3 − T4 )]= 791 kJ
Adesso possiamo calcolare il valore del rendimento:
e-32
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
η=
lu
= 0.565
qc
Nota: Il ciclo Otto di riferimento è quello in cui si fanno le maggiori approssimazioni rispetto
al ciclo termodinamico effettivo. Questo fa sì che il rendimento calcolato sia notevolmente
superiore a quello reale (che oscilla intorno a 0.35). Nel motore a scoppio vi sono inoltre
notevoli perdite meccaniche.
e-33
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
SCAMBIATORI DI CALORE
ESERCIZIO 82
In uno scambiatore di calore il fluido freddo è acqua che entra a 15 °C ed esce a 25 °C, mentre
il fluido caldo è R134a, che entra a 14 bar e 80 °C ed esce in condizioni di liquido saturo a 52
°C. La portata massica dell’R134a è 5,0 kg/min.
Si determini:
a) la portata massica dell’acqua
b) la generazione di entropia
SOLUZIONE
I bilanci di energia e di entropia nello scambiatore sono:
Gw ⋅ h1 + GR ⋅ h3 = Gw ⋅ h2 + GR ⋅ h4
Gw ⋅ s1 + GR ⋅ s3 + S gen = Gw ⋅ s2 + GR ⋅ s4
Stato 3: vapore surriscaldato:
Stato 4: liquido saturo:
h3 = 457,1 kJ/kg
h4 = 274,5 kJ/kg
a) Dal bilancio di energia
G ⋅ (h − h ) 5,0 ⋅ (457,1 − 274,5)
Gw = R 3 4 =
= 0,363
c ⋅ (T2 − T1 ) 60 ⋅ 4,187 ⋅ (25 − 15)
s3 = 1,803 kJ/kg K
s4 = 1,246 kJ/kg K
kg/s
b) Dal bilancio di entropia
S gen = Gw ⋅ (s2 − s1 ) + GR ⋅ (s4 − s3 ) = Gw ⋅ c ⋅ ln
T2
+ GR ⋅ (s4 − s3 ) =
T1
298 5,0
+
⋅ (1,246 − 1,803) = 5,46 W/K
288 60
Si nota che, come prevedibile, vi è generazione di entropia: lo scambio termico con differenze
finite di temperatura è un fenomeno irreversibile.
= 0,363 ⋅ 4,187 ⋅ ln
ESERCIZIO 83
Una portata GR = 10 kg/min di R134 in fase di vapore surriscaldato a 10 bar, entra in uno
scambiatore di calore in cui si raffredda e condensa fino alla condizione di liquido saturo a 10
bar.
La potenza termica è trasferita ad una portata di aria Ga = 80 kg/min (cp=1,01 kJ/kg K), che
entra nello scambiatore a 60 °C ed alla pressione di 1 bar. Si supponga che il deflusso dell’aria
sia isobaro (ovvero, con perdite di carico trascurabili). Si determini la temperatura dell’aria in
uscita. Si determini inoltre se lo scambiatore può funzionare nelle condizioni suddette.
SOLUZIONE
Bilancio di energia sullo scambiatore
GR ⋅ h1 + Ga ⋅ h3 = GR ⋅ h2 + Ga ⋅ h4
p1 = 10 bar ,
p2 = 10 bar ,
T1 = 60 °C ⇒ h1 = 441,3 kJ/kg
x2 = 0
s1 = 1.781 kJ/kg K
⇒ h2 = 255,4 kJ/kg s2 = 1.188 kJ/kg K T2 = 39.4 °C
e-34
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Ga ⋅ (h3 − h4 ) = GR ⋅ (h2 − h1 )
Ga ⋅ c p ⋅ (T3 − T4 ) = GR ⋅ (h2 − h1 )
T4 = T3 −
GR
⋅ (h2 − h1 )
Ga ⋅ c p
10
⋅ (255,3 − 441,3)= 83 °C
80 ⋅ 1,01
Notare che, dato che nelle formule risolutive compare solo il rapporto delle portate, non è
necessario riportare le medesime in unità SI.
T4 = 60 −
Il bilancio entropico dello scambiatore è
GR ⋅ s1 + Ga ⋅ s3 + S gen = GR ⋅ s2 + Ga ⋅ s4
quindi
S gen = GR ⋅ (s2 − s1 ) + Ga ⋅ (s4 − s3 ) = GR ⋅ (s2 − s1 )+ Ga ⋅ c p ⋅ ln
=
T4
=
T3
10
80
356.15
⋅ (1.188 − 1.781)+ ⋅ 1.01 ⋅ ln
= = − 0.0988 + 0.0899 = − 0.0089 kW/K
60
60
333.15
quindi lo scambiatore, pur non violando il primo principio della T.D., non è in grado di
funzionare perché viola il secondo principio. Del resto, sarebbe sorprendente se l’R134a,
condensando, cedesse spontaneamente del calore a una corrente di acqua a temperatura
superiore … una circostanza di cui il primo principio non tiene assolutamente conto.
e-35
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
TRASMISSIONE DEL CALORE
ESERCIZIO 84
Una certa quantità di carbone giace disposta in posizione orizzontale su una superficie. Lo
spessore dello strato di carbone è di 2 metri. Tale letto genera una quantità volumetrica di
calore pari a 20 W/m3. La temperatura del carbone è uniforme.
La temperatura dell’ambiente T∞ è pari a 25 °C e il coefficiente di scambio termico tra la
massa di carbone e il gas è pari a 5 W/m2 K. Calcolare la temperatura della superficie
superiore della massa di carbone. La superficie inferiore è isolata.
SOLUZIONE
Espressa per unità di superficie il calore trasmesso dalla massa di carbone all’ambiente è pari
a
W
q' ' = q H = 20 ⋅ 2 = 40 2
m
Il calore scambiato attraverso la superficie a temperatura Tw si può determinare grazie alla
legge
q' ' = α ⋅ (Tw − T∞ )
da cui si ricava che
q' '
40
Tw = T∞ +
= 25 +
= 25 + 8 = 33 °C
α
5
ESERCIZIO 85
Consideriamo una parete di laterizio di spessore s=0.25 m. Il laterizio ha una conducibilità
pari a 0.4 W/mK. Tale parete separa due ambienti, a temperatura Ti e Te pari rispettivamente a
20 °C e 0°C. Supposto che i coefficiente di scambio termico lato esterno e lato interno siano
αi = 10 W/m2 K e αe = 25 W/m2 K, calcolare:
a) la conduttanza della parete
b) il flusso termico disperso
c) le temperature delle due estremità della parete
SOLUZIONE
a) Applicando la definizione si ha
m2 K
1 1 s 1
1 0.25 1
= + +
= +
+
= 0.64
u αi k α e 10 0.5 25
W
da cui
W
u = 1.56 2
mK
b) Nota la conduttanza della parete si può valutare il flusso termico q”: si ha che
q" = u ⋅ (Ti − Te ) = 1.56 ⋅ 20 = 31.25 W/m2
c) La potenza termica ceduta dal fluido interno alla parete interna è:
q" = αi ⋅ (Ti − T1 )
quindi
e-36
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
q"
31.25
= 20 −
≈ 16.9 °C
αi
10
quella ceduta dalla parete esterna al fluido esterno è invece
q" = α e ⋅ (T2 − Te )
e quindi
q" 31.25
T2 = Te +
=
= 1.25°C
αe
25
T1 = Ti −
ESERCIZIO 86
In una barra cilindrica di un materiale metallico del diametro di 3 cm è presente una
generazione volumetrica di calore pari a qs=106 W/m3 che supponiamo uniformemente
distribuita. La barra è lambita da un gas alla temperatura Ta = 30 °C con coefficiente di
scambio termico α = 100 W/m2K (convezione forzata). Calcolare:
a) la temperatura superficiale Tp della barra;
b) la potenza termica ceduta dal gas per unità di lunghezza;
SOLUZIONE
a) Scriviamo l’equazione di bilancio energetico relativa a tutta la barra, che vale in condizioni
di regime che definisce l’uguaglianza tra la potenza termica prodotta e la potenza termica
scambiata con il fluido.
qs ⋅ π ⋅
D2
⋅ l = π ⋅ D ⋅ l ⋅ h ⋅ (Tp − Ta )
4
da cui si può ricavare la temperatura di parete
T p = Ta +
qs ⋅ D
3 ⋅ 10−2 ⋅ 106
= 30 +
= 105°C
4α
400
b) la potenza termica ceduta dalla barra per unità di lunghezza si valuta in maniera abbastanza
semplice come
(
D2
3 ⋅ 10− 2 )
q' = π ⋅
⋅ qs = π
⋅ 106 ≈ 707 W / m
4
4
2
e-37
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZI ASSEGNATI NEI COMPITINI
ESERCIZIO 87 (1994, gruppo A)
In un sistema aperto a regime fluisce una portata G=2 kg/s di vapor d'acqua inizialmente nelle
condizioni: p1= 2 bar, x1=1.
Il fluido subisce le seguenti trasformazioni:
• 1-2 compressione adiabatica reversibile fino a p2=5 MPa;
• 2-3 raffreddamento isobaro fino a x3=0.86.
Tracciare le trasformazioni sul diagramma allegato e determinare:
a. il valore di T2 e T3;
b. la potenza meccanica necessaria per effettuare la compressione;
c. il calore scambiato per unità di tempo durante la fase 2-3;
d. la potenza necessaria e la temperatura finale T2' del vapore se la fase di compressione (12') avviene in una macchina reale con rendimento isoentropico ε =0.8 fino alla pressione
p2' =p2.
DOMANDA OPZIONALE
e. Determinare le condizioni finali T4 e x4 se, a partire dalle condizioni 3, il fluido viene
fatto laminare (trasformazione irreversibile, adiabatica in cui non si raccoglie lavoro
utile) in una valvola fino a pressione p4 =0.01 MPa.
[825 K; 535 K; -1696 kW; -1980 kW; -2120 kW, 916 K; 320K, 0.99]
ESERCIZIO 88 (1994, gruppo B)
In un sistema aperto a regime fluisce una portata G=5 kg/s di ammoniaca inizialmente nelle
condizioni: p1= 2 MPa, x1=0.9.
Il fluido subisce le seguenti trasformazioni:
• 1-2 riscaldamento isobaro fino a T2= 400 K;
• 2-3 espansione adiabatica reversibile fino a p3=1.4 bar.
Tracciare le trasformazioni sul diagramma allegato e determinare:
a. il calore scambiato per unità di tempo durante la fase 1-2;
b. la potenza meccanica erogata nell'espansione;
c. il valore di x3 e di T3
d. la potenza erogata e il titolo finale x3' del vapore se la fase di espansione (2-3') avviene in
una macchina reale con rendimento isoentropico ε =0.9 fino alla pressione p3' = p3.
DOMANDA OPZIONALE
Determinare le condizioni finali T4 e x4 se, a partire dalle condizioni 1, il fluido viene fatto
laminare (trasformazione irreversibile, adiabatica in cui non si raccoglie lavoro utile) in una
valvola fino a pressione p4 =1 bar.
[1680 kW;
1855 kW;
0.945, 247 K; 0.97, 247 K; 0.975, 236 K]
ESERCIZIO 89 (1994, gruppo A)
Un cilindro, dotato di un pistone per cui si possono trascurare massa e attrito con la parete,
contiene una massa M=0.05 kg di azoto nelle seguenti condizioni iniziali:
p1= 2 bar T1=300 K.
Il sistema subisce la seguente trasformazione ciclica:
• 1-2 compressione adiabatica fino a p2= 15 bar;
• 2-3 espansione isovolumica fino a p3=p1.
• 3-1 dilatazione isobara fino a tornare nelle condizioni iniziali.
e-38
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Assumendo di poter considerare il fluido un gas ideale con calore specifico costante, tracciare
(approssimativamente) uno schema del ciclo sul diagramma p-v e determinare:
a. il valore di T2;
b. il lavoro scambiato durante la fase 1-2;
c. lavoro totale scambiato durante il ciclo;
d. il calore totale scambiato durante il ciclo.
Dati per l'azoto: R= 297 J/kg K, cp= 1041 J/kg K, k=1.40.
[534 K; -8705 J; -5312 J; -5312 J]
ESERCIZIO 90 (1994, gruppo B)
Un cilindro, dotato di un pistone per cui si possono trascurare massa e attrito con la parete,
contiene una massa M=0.02 kg di elio nelle seguenti condizioni iniziali:
p1= 15 bar T1=300 K.
Il sistema subisce la seguente trasformazione ciclica:
• 1-2 espansione adiabatica fino a p2= 2 bar;
• 2-3 contrazione isobara fino a v3=v1.
• 3-1 compressione isovolumica fino a tornare nelle condizioni iniziali.
Assumendo di poter considerare il fluido un gas ideale con calore specifico costante, tracciare
(approssimativamente) uno schema del ciclo sul diagramma p-v e determinare:
a. il valore di T2;
b. il lavoro scambiato durante la fase 1-2;
c. lavoro totale scambiato durante il ciclo;
d. il calore totale scambiato durante il ciclo.
Dati per l'elio: R= 2073 J/kg K, cp= 5192 J/kg K, k=1.667.
[134 K; 10.3 kJ; 6.46 kJ; 6.46 kJ]
ESERCIZIO 91 (1995, gruppo A)
Gb
5
2
Gb
4
3
Ga
1
Ga
Nel sistema aperto a regime indicato nel diagramma scorrono i seguenti fluidi:
- Ramo 1-2-3: Ga=0.3 kg/s di R-22 avente le seguenti condizioni:
punto 1: x1=1, p1=0.11 MPa;
punto 2: T2=360 K
punto 3: x3=0
- Ramo 4-5: Gb= 0.4 kg/s di acqua avente le seguenti condizioni:
punto 4: p4 = 1 bar, t4 = 20°C.
e-39
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
La trasformazione 1-2 è adiabatica reversibile (ovvero, isoentropica); la trasformazione 2-3
avviene a pressione costante (ovvero p3 = p2); la trasformazione 4-5 avviene a pressione
costante (ovvero p4 = p5). La superficie esterna dello scambiatore di calore 2-3-4-5 è rigida ed
adiabatica.
Determinare:
la temperatura T1;
La potenza assorbita dal compressore, W12;
la pressione p2;
la potenza termica scambiata tra i due fluidi nello scambiatore, Q 23 ;
la temperatura di uscita dell'acqua T5.
Tracciare inoltre la trasformazione 1-2-3 sul diagramma allegato.
[235 K; -20.4 kW; 1.6 MPa; -61.5 kW; 445 K]
ESERCIZIO 92 (1995, gruppo A, facoltativo)
Determinare le condizioni finali del fluido R-22 prelevato nelle condizioni T6= 460 K, p6 = 5
MPa se lo stesso viene fatto espandere attraverso una valvola (dispositivo dalla superficie
rigida schematizzabile come adiabatico) fino alla pressione atmosferica (p7 = 100 kPa). Le
variazioni di energia cinetica e potenziale possono essere considerate trascurabili. Tracciare la
trasformazione 6-7 sul diagramma allegato.
[la trasformazione è isoentalpica; la temperatura finale vale circa 425 K]
ESERCIZIO 93 (1995, gruppo A)
In un sistema chiuso cilindro pistone con rapporto di compressione volumetrico rv = V3/V1 =
20:1 dell'aria (approssimabile come un gas ideale a cp costante, con R= 287 J/kg K, k= 1.400)
avente le seguenti condizioni iniziali:
p1 = 35 bar, V1 = 20 cm3 , T1 = 700 K;
subisce le trasformazioni reversibili indicate nel seguito:
1-2: riscaldamento isobaro con q12 = 700 kJ/kg;
2-3: espansione adiabatica reversibile.
Determinare:
il lavoro totale scambiato nella fase 1-2, L12;
la temperatura e il volume specifico nel punto 2 (T2,v2);
il lavoro totale scambiato nella trasformazione 2-3, L23;
la temperatura e la pressione nel punto 3 (T3,p3).
[70 J; 1397 K, 0.115 m3/kg; 210 J;
556 K, 0.14 MPa]
e-40
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZIO 94 (1995, gruppo B)
Ga
1
Ga
3
2
4
Gb
5
Gb
Nel sistema aperto a regime indicato nel diagramma scorrono i seguenti fluidi:
- Ramo 1-2-3: Ga= 15 kg/s di vapor d'acqua avente le seguenti condizioni:
punto 1: T1=900 K, p1= 1.2 MPa;
punto 2: x2= 1
punto 3: x3=0
- Ramo 4-5: Una portata incognita Gb di acqua avente le seguenti condizioni:
punto 4: p4 = 1 bar, T4 = 20°C.
punto 5: p5 = 1 bar, T5 = 25°C.
La trasformazione 1-2 è adiabatica reversibile (ovvero, isoentropica); la trasformazione 2-3
avviene a pressione costante (ovvero p3 = p2). La superficie esterna del condensatore
(scambiatore di calore) 2-3-4-5 è rigida ed adiabatica.
Determinare:
La potenza erogata dalla turbina, W12;
la pressione p2;
la temperatura T2 (dare una stima);
la potenza termica scambiata tra i due fluidi nello scambiatore, Q 23 ;
la portata di acqua necessaria perché la temperatura di uscita sia limitata a 25 °C.
Tracciare inoltre la trasformazione 1-2-3 sul diagramma allegato.
[17.4 MW; 16 kPa; 350 K; -35.3 MW; 1690 kg/s]
ESERCIZIO 95 (1995, gruppo B, facoltativo)
Determinare le condizioni finali del fluido prelevato nel punto 1 del problema precedente se lo
stesso viene fatto espandere attraverso una valvola (dispositivo dalla superficie rigida
schematizzabile come adiabatico) fino alla pressione atmosferica (p6 = 100 kPa). Le variazioni
di energia cinetica e potenziale possono essere considerate trascurabili. Tracciare la
trasformazione 1-6 sul diagramma allegato.
[la trasformazione è isoentalpica; la temperatura rimane pressochè invariata]
ESERCIZIO 96 (1995, gruppo B)
In un sistema chiuso cilindro pistone con rapporto di compressione volumetrico rv = V1/V2 =
12:1 dell'azoto (approssimabile come un gas ideale a cp costante, con R= 296.8 J/kg K, k=
1.400) avente le seguenti condizioni iniziali:
p1 = 1 bar, V1 = 400 cm3 , t1 = 20 °C;
e-41
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
subisce le trasformazioni reversibili indicate nel seguito:
1-2: compressione politropica con n = 1.2;
2-3: riscaldamento isovolumico con q23 = 1500 kJ/kg.
Determinare:
il lavoro totale scambiato nella fase 1-2, L12;
il calore totale scambiato nella fase 1-2, Q12;
la temperatura e il volume specifico nel punto 2 (T2,p2);
la temperatura e la pressione nel punto 3 (T3,p3).
[-128 J;
-63.4 J;
481.8 K, 1.97 MPa;
2495 K, 10.2 MPa]
ESERCIZIO 97 (1996, gruppo A)
G
G
1
4
A
B
Wa
Wt
2
Wb
3
Nel sistema aperto a regime rappresentato nella figura scorre una portata G = 2.7 t/h di
ammoniaca avente le seguenti condizioni:
punto 1: x1 = 1, p1 = 2 bar;
punto 2: p2 = 7 bar;
punto 4: T4 = 360 K, p4 = 14 bar.
La trasformazione 1-2 è adiabatica reversibile (ovvero, isoentropica);
la trasformazione 2-3 avviene a pressione costante (ovvero p3 = p2) e durante essa viene
ceduta all’esterno una potenza termica Wt = - 79 kW.
Tracciare la trasformazione del fluido sul diagramma allegato e determinare:
1) La potenza totale necessaria per la compressione (Wa + Wb)
2) le temperature T2 T3;
3) la potenza totale necessaria per la compressione nello stadio B nel caso che anche tale
compressione avvenga isoentropicamente fino alla stessa pressione finale;
4) la temperatura di uscita dell’ammoniaca nell’ipotesi di cui al punto precedente.
[-228 kW;
340 K, 298 K;
-75.7 kW;
350 K]
ESERCIZIO 98 (1996, gruppo A)
In un sistema chiuso cilindro pistone con rapporto di compressione volumetrico rv = V3/V1 =
4:1 dell'argon (approssimabile come un gas ideale a cp costante, con R= 208.2 J/kg K, k= 1.66)
avente le seguenti condizioni iniziali:
p1 = 3 bar, V1 = 10 cm3 , T1 = 300 K;
subisce le trasformazioni reversibili indicate nel seguito:
1-2: riscaldamento isovolumico con q12 = 7 kJ/kg;
2-3: espansione adiabatica reversibile.
e-42
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Determinare:
A) la temperatura e la pressione nel punto 2 (T2,p2);
B) il lavoro totale scambiato nella trasformazione 2-3, L23;
C) la temperatura e la pressione nel punto 3 (T3,p3).
[322 K, 3.21 bar; 2.93 J;
129 K, 0.32 bar]
ESERCIZIO 99 (1996, gruppo A, facoltativo)
1
3
2
Uno scambiatore di calore a miscelamento, rappresentato nel diagramma, si trova in
condizioni stazionarie ed ha la superficie esterna adiabatica e rigida. In esso scorre ammoniaca
avente le seguenti caratteristiche:
punto 1: vapore surriscaldato, G1 = 1.6 kg/s, p1 = 2 MPa T1 = 390 K;
punto 2: liquido sottoraffreddato, G2 = 0.4 kg/s, p2 = 0.5 MPa, h2 = 220 kJ/kg
punto 3: p3 = 0.5 MPa
Ricavando le proprietà mancanti dal diagramma allegato, determinare la portata e le
condizioni termodinamiche (temperatura ed eventalmente titolo) del fluido all’uscita (punto
3).
[2 kg/s; 278 K, x=0.93]
ESERCIZIO 100 (1996, gruppo B)
G
G
4
1
A
B
Wa
Wt
2
Wb
3
Nel sistema aperto a regime rappresesentato nella figura scorre una portata G = 8.1 t/h di
acqua avente le seguenti condizioni:
punto 1: T1 = 527 °C, p1 = 10 MPa;
punto 2: p2 = 1 MPa
punto 4: x4 = 0.96, p4 = 2 kPa
La trasformazione 1-2 è adiabatica reversibile (ovvero, isoentropica);
la trasformazione 2-3 avviene a pressione costante (ovvero p3 = p2) e durante essa viene
ceduta al fluido una potenza termica Wt = 1.3 MW.
Tracciare la trasformazione del fluido sul diagramma allegato e determinare:
e-43
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
1)
2)
3)
4)
La potenza totale erogata dalle due turbine (Wa + Wb);
le temperature T2 T3 T4;
il rendimento isoentropico di espansione dello stadio B;
il titolo in uscita nel caso che la espansione nello stadio B avvenga isoentropicamente fino
alla stessa pressione finale.
[3.5 MW; 471 K, 771 K, 291 K; 0.85; 0.87]
ESERCIZIO 101 (1996, gruppo B)
In un sistema chiuso cilindro pistone con rapporto di compressione volumetrico rv = V2/V1 =
1:12 dell'anidride carbonica (approssimabile come un gas ideale a cp costante, con R= 188.99
J/kg K, k= 1.28) avente le seguenti condizioni iniziali:
p1 = 1 bar, V1 = 400 cm3 , T1 = 20 °C;
subisce le trasformazioni reversibili indicate nel seguito:
1-2: compressione isoterma;
2-3: riscaldamento isovolumico con q23 = 40 kJ/kg.
Determinare:
A) il calore ed lavoro totali scambiati nella fase 1-2, L12 e Q12
B) la pressione nel punto 2 (p2);
C) la temperatura e la pressione nel punto 3 (T3,p3);
[-96 kJ, -96 kJ; 12 bar; 352 K, 14.4 bar]
ESERCIZIO 102 (1996, gruppo B, facoltativo)
1
3
2
Uno scambiatore di calore a miscelamento, rappresentato nel diagramma, si trova in
condizioni stazionarie ed ha la superficie esterna adiabatica e rigida. In esso scorre acqua
avente le seguenti caratteristiche:
punto 1: liquido sottoraffreddato, G1 = 0.64 kg/s, p1 = 1 bar, h1 = 120 kJ/kg;
punto 2: vapore surriscaldato, G2 = 1.36 kg/s, p2 = 200 bar; T2 = 607 °C;
punto 3: p3 = 1 bar
Ricavando le proprietà mancanti dal diagramma allegato, determinare la portata e le
condizioni termodinamiche (temperatura ed eventalmente titolo) del fluido all’uscita (pto 3).
[2 kg/s; 227 K, 0.90]
e-44
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
ESERCIZIO 103 (1997, gruppo A)
Gr
Ga
1
2
4
Wm
C
5
T
3
Nel turbocompressore rappresentato in figura, tutta la potenza meccanica erogata dalla turbina
ad aria T viene utilizzata per azionare il compressore C per il fluido R134a, montato
coassialmente. L’aria che aziona la turbina viene preventivamente fatta attraversare una
valvola di laminazione (che ha superficie esterna rigida ed adiabatica) per ridurne la pressione.
Tutti i componenti possono essere considerati adiabatici, lavorano in condizioni stazionarie e
le variazioni di energia cinetica e potenziale sono trascurabili. Sono noti i seguenti dati:
Lato turbina
Fluido: aria, approssimabile come gas ideale con cp costante (R= 287 J/kg K, k= 1.4), portata
Ga = 0.4 kg/s
• punto 1: T1 = 700 °C, p1 = 10 bar;
• punto 2: p2 = 6.8 bar ;
• punto 3: p3 = 1 bar;
• rendimento isoentropico della turbina ηt = 0.85
Lato compressore
Fluido: R-134a (per le proprietà vedi il diagramma allegato).
• punto 4: x4 = 1, T4 = - 20 °C;
• punto 2: p5 = 7 bar;
• rendimento isoentropico del compressore ηc = 0.8.
Determinare:
1. Le temperature T2 e T3;
2. la potenza meccanica erogata dalla turbina (WmT)
3. la portata di fluido nel compressore, Gr;
4. la variazione di entropia dell’aria, s3-s1;
Tracciare inoltre, qualitativamente, le trasformazioni dell’aria su un diagramma T-s e quella
dell’R-134a sul diagramma allegato.
[973.15 K, 624 K;
138 kW;
3.25 kg/s; 223.8 J/kg K]
ESERCIZIO 104 (1997, gruppo A)
In una tubazione rigida in acciaio di lunghezza L = 1 m, raggio esterno RE = 10 mm e spessore
s = 1 mm, scorre una portata G = 0.01 kg/s di miscela bifase acqua-vapore avente le seguenti
caratteristiche in ingresso: pressione p1 = 2 bar e titolo x1 = 1.
Il sistema si trova in condizioni stazionarie. In prima approssimazione, si può trascurare la
caduta di pressione e porre in uscita p2=p1. Anche le variazioni di energia cinetica e potenziale
possono essere trascurate. Dato il piccolo valore dello spessore rispetto al raggio, la tubazione
può essere approssimata ai fini dello scambio termico come una parete piana di superficie A =
2 π RM L, dove il raggio medio RM è pari a RE-s/2. I coefficienti di scambio all’interno ed
e-45
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
all’esterno valgono rispettivamente αE = 1200 W/m2 K e αI = 5000 W/m2 K. La conducibilità
termica dell’acciaio vale k = 40 W/m K. La temperatura dell’aria esterna è TE = 20 °C.
Determinare, utilizzando il diagramma allegato, il titolo del vapore saturo in uscita
[circa 0.73 (la potenza scambiata vale 5.2 kW)]
ESERCIZIO 105 (1997,entrambi i gruppi, facoltativo)
In una turbina adiabatica, in condizioni stazionarie, si espande dell’elio (gas ideale con cp
costante, R= 2077 J/kg K, k= 1.667), dalle condizioni iniziali p1 = 13.6 bar, T1 = 900 °C alla
pressione finale p2 = 1 bar. La variazione di entropia tra ingresso ed uscita vale s2-s1= 1015
J/kg K. Determinare il rendimento isoentropico della turbina.
[0.88; le temperature di uscita ideale e reale sono rispettivamente 413 K e 502 K]
ESERCIZIO 106 (1997, gruppo B)
Nel turbocompressore rappresentato in figura, tutta la potenza meccanica erogata dalla turbina
a vapore T viene utilizzata per azionare il compressore C per argon, montato coassialmente.
L’argon in uscita dal compressore viene successivamente refrigerato isobaricamente fino a
riportarlo alla temperatura T3. Turbina e compressore possono essere considerati adiabatici, lo
scambiatore ha pareti rigide. Il complesso lavora in condizioni stazionarie e le variazioni di
energia cinetica e potenziale sono trascurabili. Sono noti i seguenti dati:
G ar
Gv
3
1
Wm
C
T
Wt
4
S
2
Lato turbina
Fluido: vapore acqueo (per le proprietà vedi il diagramma allegato).
• punto 1: T1 = 400 °C, p1 = 40 bar;
• punto 2: p2 = 1 bar;
• rendimento isoentropico della turbina ηt = 0.8
Lato compressore
Fluido: argon approssimabile come gas ideale con cp costante (R = 208.2 J/kg K, k= 1.667),
portata Gar = 0.5 + N/20 kg/s
• punto 3: p3 = 1 bar, T3 = - 20 °C;
• punto 4: p4 = 4 bar;
• punto 2: p5 = 4 bar, T5 = - 20 °C;
• rendimento isoentropico del compressore ηc = 084.
Determinare:
1. La temperatura T4;
2. la potenza meccanica assorbita dal compressore (WmC)
3. la potenza termica ceduta nello scambiatore, Wt;
4. la portata di vapore necessaria nella turbina, Gv;
e-46
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
5. la variazione di entropia dell’argon, s5-s3;
Tracciare inoltre, qualitativamente, le trasformazioni dell’argon su un diagramma T-s e quella
del vapore sul diagramma allegato.
[524 K; -138.4 kW; -138.36 kW; 0.22 kg/s; -288.6 J/kg K]
ESERCIZIO 107 (1997, gruppo B)
In una tubazione rigida in rame di lunghezza L = 10 m, raggio esterno RE = 7 mm e spessore s
= 1 mm, scorre una portata G = 0.015 kg/s di miscela bifase di R134a avente le seguenti
caratteristiche in ingresso: pressione p1 = 2 bar e titolo x1 = 0.3.
Il sistema si trova in condizioni stazionarie. In prima approssimazione, si può trascurare la
caduta di pressione e porre in uscita p2=p1. Anche le variazioni di energia cinetica e potenziale
possono essere trascurate. Dato il piccolo valore dello spessore rispetto al raggio, la tubazione
può essere approssimata ai fini dello scambio termico come una parete piana di superficie
superficie A = 2 π RM L, dove il raggio medio RM è pari a RE-s/2. I coefficienti di scambio
all’interno ed all’esterno valgono rispettivamente αE = 230 W/m2 K e αI = 5000 W/m2 K. La
conducibilità termica del rame vale k = 400 W/m K. La temperatura dell’aria esterna è TE = 20
°C.
Determinare, utilizzando il diagramma allegato, il titolo del vapore saturo in uscita
[circa 0.6 (la potenza scambiata vale 0.9 kW)]
ESERCIZIO 108 (1998)
G1
1
3
S
G2
2
T
Wm
4
G3
La turbina a vapore adiabatica rappresentata in figura lavora in condizioni stazionarie ed è
alimentata da vapore surriscaldato che viene precedentemente regolato in temperatura
iniettando acqua fredda nello scambiatore a miscelamento a monte della turbina stessa. Sono
noti i seguenti dati:
• punto 1: T1 = 20 °C, p1 = 200 bar;
• punto 2: T2 = 650 °C, p2 = 200 bar ; G2 = 0.8 kg/s
• punto 3: T3 = 600 °C, p3 = 200 bar;
• punto 4: p4 = 1 bar;
• rendimento isoentropico della turbina ηt = 0.89
Determinare:
5. La portata di acqua necessaria, G1 ;
6. la potenza meccanica erogata dalla turbina (WmT)
7. le condizioni (temperatura T4 ed eventualmente titolo x4) del vapore in uscita.
8. L’entropia del vapore in uscita, s4.
e-47
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Tracciare inoltre, la trasformazione 2-3-4 del vapore sul diagramma allegato.
La tabella seguente riporta le proprietà del fluido nei punti 1-4, più quelle del punto 4i in cui
terminerebbe la espansione ideale (adiabatica e reversibile), il cui stato è definito dalla
pressione p4 e da s4i=s3. Per l’acqua in ingresso, l’entalpia può anche essere stimata con
sufficiente approssimazione con h = c p T = 4.2 ⋅ 20 = 84 kJ/kg .
Soluzione
Dati per il vapore nelle condizioni richieste (i valori di input sono evidenziati in grigio)
T
p
v
u
h
s
x
3
°C
MP m /kg
kJ/kg kJ/kg kJ/kg
a
K
1. 20
20 0.000992 82.75 102.6 0.2922
Compressed Liquid
8
2. 650 20 0.01969 3281 3675 6.658
Dense Fluid (T>TC)
3. 600 20 0.01818 3174 3538 6.505
Dense Fluid (T>TC)
4i. 99.62 0.1 1.455
2211 2357 6.505 0.858 Liquid Vapor Mixture
9
4 99.62 0.1 1.55
2332 2487 6.854 0.917
Dati di saturazione alla pressione di 1 bar
99.62 0.1 0.00104 417.3 417.4 1.303 0 Saturated
3
Liquid
99.62 0.1 1.694
2506 2675 7.359 1 Saturated
Vapor
Il bilancio dello scambiatore di calore a miscelamento risulta in
G1 h2 −h3
=
G2 h3 −h1
da cui si calcola facilmente la portata di acqua, G1 = G2
h2 −h3
h3 −h1
= 0.032 kg/s
Notare che il rapporto tra le portate è indipendente dal cognome dello studente. La potenza
erogata dalla turbina è data da
W ' m = G3 (h3 − h4 ) = η t (G1 + G 2 )(h3 − h4i ) = 874.4 kW
La entalpia nel punto 4 può essere ricavata dalla definizione di rendimento isoentropico.
ηT =
h4 −h3
h4i − h3
⇒ h4 = h3 + ηT (h4i − h3 )
Nota quest’ultima e la pressione in uscita, è possibile ricavare (dal diagramma o dalle tabelle)
le altre proprietà del vapore. In particolare per il titolo si ha:
x4 =
h4 −hl
hv − hl
= 0.917
ESERCIZIO 109 (1998)
Una parete piana in lamiera di acciaio (di conducibilità termica kp = 40 W/m K) di superficie
A = 11.8 m2, di spessore sp = 1 mm, separa due ambienti a temperatura rispettivamente TI = 20
°C e TE = -5 °C. I coefficienti di scambio all’esterno ed all’interno valgono rispettivamente
αE = 40 W/m2 K e αI = 15 W/m2 K. Il sistema si trova in condizioni stazionarie e lo scambio
termico può essere considerato monodimensionale. Determinare:
e-48
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
1. lo spessore di materiale isolante sis (di conducibilità termica kis = 0.1 W/m K) che è
necessario mettere sulla faccia esterna della parete per limitare la potenza termica
scambiata attraverso la parete stessa al valore Wt = 1.18 kW;
2. la temperatura T’ della faccia interna dello strato di isolante.
Soluzione
La conduttanza e la resistenza termica di parete sono date da
U=
Wt
T − TE
⇒ RT = I
TI − TE
Wt
e per una parete piana la resistenza termica totale può essere ottenuta sommando le resistenze
termiche in serie:
 1
sp
s
1
RT = RI + R p + Ris + RE = 
+
+ is +
 Aα I A k p A k is Aα E

(
)




L’equazione suddetta contiene come unica incognita lo spessore dell’isolante che è dato da

 1 sp
1 
sis = k is  A RT −  +
+
 = 0.0158 m



 α I k p α E 
Infine, la temperatura della faccia interna della parete è ottenibile come
sp
Ti − T '
1
=
+
Wt
Aα I A k p
⇒ T ' = Ti −
Wt
A
 1 sp 
 +  = 13.3 °C
αI kp 


ESERCIZIO 110 (1998)
Una superficie orizzontale di area A = 0.28 m2 ed emissività ε = 0.19 irraggia verso il cielo
sereno notturno (temperatura Tc = -40 °C). Il coefficiente di convezione tra aria e superficie
vale α = 14.7 W/m2 K. La parte inferiore della superficie è adiabatica. Determinare il valore
della temperatura dell’aria Ta per cui la superficie, in condizioni stazionarie, si trova a Ts = 0
°C. La costante di Stefan-Boltzmann vale σ = 5.67x10-8 W/m2 K4.
Soluzione
La superficie, in equilibrio termico, riceve calore per convezione dall’aria circostante e lo
dissipa verso il cielo.
Il bilancio energetico risulta in
(
)
(
A ε σ Ts4 − Tc4 = α A Ta − Ts
)
il risultato è indipendente dall’area della superficie
Ta = Ts +
(
)
ε σ Ts4 − Tc4
= 275.06 K =1.9 °C
α
ESERCIZIO 111 (1998, facoltativo)
Si vuole comprimere, in condizioni stazionarie, con un compressore adiabatico di rendimento
isoentropico ηc = 0.935, una portata G = 0.03 kg/s di elio (gas ideale con cp costante, R= 2077
J/kg K, k= 1.667), dalle condizioni iniziali p1 = 1 bar, T1 = 20 °C alle condizioni finali p3 =
6.8 bar, T3 = 150 °C. Determinare la potenza meccanica necessaria e la potenza termica da
asportare nel raffreddamento isobaro che segue la compressione. Tracciare qualitativamente le
trasformazioni su un diagramma T-s.
Soluzione
e-49
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Per un compressore a regime e per un gas ideale con calore specifico costante si ha
W ' m = − G (h2 −h1 ) = − G c p (T2 −T1 )
la temperatura di fine compressione può essere ottenuta dalla definizione di rendimento
isoentropico
ηC =
T2i −T1
⇒
T2 − T1
R
 p  cp
T2i = T1  2  = 631.2 K
 p1 
T −T
T2 = T1 + 2i 1 = 654.7 K = 381.6 °C
ηC
da cui si ha la potenza meccanica
W 'm = G c p (T1 −T2 ) = - 56.3 kW
la potenza termica asportata durante la refrigerazione isobara successiva alla compressione è
data da
Wt = G (h3 −h2 ) = G c p (T3 −T2 ) = − 36.1 kW
e-50
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICI
APPENDICE 1 – Soluzioni degli esercizi 1-30 (a cura dello studente Leonardo Caruso)
Questa raccolta di soluzioni è limitata a esercizi che non richiedono una soluzione
esclusivamente grafica o che sono specifici per il calcolatore. Eventuali note sono riportate
all’interno di ogni esercizio. I riferimenti sono ai capitoli delle dispense
Esercizio n°2
Utilizzando la legge di Stevin (Cap. I) Pa = Patm + ρgh
= 40.9 MPa
Esercizio n°3
Utilizzando la portata volumetrica ( Cap. I) G = wA da cui D =
4G
=7m
πw
Esercizio n°4
L’ossido nitroso si può considerare un gas ideale. Dalla relazione tra energia interna,
temperatura e volume (Cap. I)
du = cv dT + Bu dv = cv dT per un gas ideale
quindi u2 − u1 = cv (T2 − T1 ) ⇒ u 2 = cvT = 80880 J/kg
si ha inoltre
1
ec = w 2 = 12.5 J/kg ,
e p = gh = 1177 J/kg
2
Esercizio n°5
In un sistema chiuso il lavoro di dilatazione è dato da (Cap. I)
L12 = ∫ pdV = p1 ∫ dV = p1 (V2 − V )1 = 4 ⋅105 ⋅ (0.36 − 0.15) = 84 kJ
V2
V2
V1
V1
notare che non è necessario moltiplicare per la massa del sistema, dato che il volume indicato
è quello totale e non quello specifico.
Esercizio n° 6
Il lavoro di dilatazione (analogamente al caso precedente) sarà
V2
V2 dV
V 
 0.36 
L12 = ∫ pdV = cost ∫
= p1V1 ln 2  = 4 ⋅105 ⋅ 0.15 ⋅ ln
 = 52.5 kJ
V1
V1 V
V
0
.
15


 1
Esercizio n° 7
Il lavoro di dilatazione (analogamente al caso precedente) sarà
V2
V2 const
p V − p1V1
L12 = ∫ pdV = ∫
dV = p1V1n ∫ V − n dV = 2 2
n
V1
V1
V
1− n
con
V 
p2 = p1  1 
 V2 
e quindi
n
e-51
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
n
1.4

 1


 V1 
0.15 
1

5
5
L12 =  p1V2   − p1V1 
= 4 ⋅10 ⋅ 0.36 ⋅ 
= 44.3 kJ
 − 4 ⋅10 ⋅ 0.15 ⋅
 0.36 

 1 − n 
 1 − 1.4
 V2 
Esercizio n°9
Dalla definizione di volume specifico (Cap. I) si giunge al volume iniziale e quello finale,
rispettivamente indicati nelle soluzioni come
V1 = Mv1 = 1,5 ⋅ 83,54 ⋅10 −3 = 0,125 m 3
V2 = Mv2 = 1,5 ⋅ 21,34 ⋅10 −3 = 0,0032 m 3
il valore di n può essere determinato risolvendo l’ equazione esponenziale
pv n = const ⇒ p1v1n = p2 v2n
ln p1 + n ln v1 = ln p2 + n ln v2
p
ln 2 
p1 
n= 
= 1.18
v1 

ln

 v2 
che poteva essere anche risolta numericamente, es. con il risolutore di Excel.
Il lavoro infine è
v2
v2 const
p v − p1v1
L1→ 2 = M ∫ pdv = M ∫
dv = M 2 2
=
n
v1
v1
v
1− n
1
= 1.5 ⋅ (1 ⋅ 106 ⋅ 21.34 ⋅ 10− 3 − 200 ⋅ 103 ⋅ 83.54 ⋅ 10− 3 ) ⋅
= −57.9 kJ
1 − 1.18
Esercizio n°10
Allo stato 2 si giunge a un volume dato da
p v 300 ⋅ 0.019
m3
v2 = 1 1 =
= 0.038
p2
150
Kg
il lavoro specifico sarà dato dalla somma dei lavori delle singole trasformazioni
v2
v3
v 
l13 = l12 + l23 = ∫ pdv + ∫ pdv = p1v1 ln 2 ) + p2 (v3 − v2 ) =
v1
v2
 v1 
= 3 ⋅ 105 ⋅ 0.019 ln 2 − + 15 ⋅ 104 ⋅ 0.019 = 1.1 kJ/kg
Esercizio n°11
Applicando il I principio della Termodinamica (Cap. I) si ottiene
L = Q − U = (85 − 800) ⋅103 = 50 kJ
Esercizio n°12
a)
In un sistema aperto a regime, per una compressione reversibile, il lavoro da fornire
per unità di massa sarà dato da
p2
p 
kJ
 0.4 
l '12 = − ∫ vdp = − p1v1 ln 2  = − 0.1 ⋅10 6 ⋅1.5 ln
 = −208
p1
kg
 0.1 
 p1 
b)
In tal caso si ha
p2
kJ
L = − ∫ vdp = −v( p2 − p1 ) = − 1.5 ⋅ (400 ⋅10 3 − 0.1 ⋅10 6 ) = − 400
p1
kg
e-52
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Esercizio n° 13
a) Dato che il contenitore è a pareti rigide, l’effetto del mulinello non comporterà alcuna
variazione del volume dell’aria, ed essendo il contenitore chiuso non varierà neppure il
volume specifico. Quindi
1
m3
v2 = v1 = = 0.83
ρ
kg
b) Applicando il I principio della Termodinamica e considerando che
l12 = 0 (contenitore rigido)
∆u = q12 =
W∆t 40 ⋅ 20 ⋅ 60
kJ
=
= 200
Vρ
0.2 ⋅1.2
kg
Esercizio n°14
Applicando il I principio della Termodinamica si ottiene:
1 → 2 : U 2 − U1 = Q12 − ∆L , V1 = V2 , ∆L = 0
2 → 3 : U 3 − U 2 = Q23 − ∆L , ∆L = p2 (V3 − V2 )
Da cui
1
V3 − V1 =
(Q23 + U 2 − U 3 )
p2
U 2 = Q12 + U1
1
V3 − V1 =
(Q23 + Q12 + U1 − U 3 ) = −5.625 m 3
p2
notare che l’ultima relazione poteva essere ricavata applicando direttamente il I principio alla
trasformazione 2-3.
Esercizio n°15
Essendo un sistema chiuso a regime si ha
dQ = dL , ovvero Wt = Wm + Wel
La potenza meccanica erogata dal motore può essere calcolata come (ricordare che il omento
va espresso in N/m e la velocità angolare in rad/s)
500 ⋅ 2π
Wm = MΩ = 2 ⋅ 9.8 ⋅
= 1025.7 W
60
la potenza termica scambiata dal motore è la somma algebrica delle potenze elettrica e
meccanica
Wt = Wm + Wel = 1025.7 − 1500 = − 474 W
dove il segno negativo indica che il calore viene ceduto all’esterno. Si ha quindi
Q = Wt ⋅ ∆t = − 1,7 MJ
la temperatura del motore può essere calcolata da
Wt = hA(Tc − Ta )
W
Tc = Ta t = 114.8 °C
hA
Esercizio n°16
Poiché abbiamo un ciclo termodinamico possiamo dire che
∆U = 0 , Qciclo = Lciclo
calcoliamo quindi
e-53
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Lciclo = L12 + L23 + L31
essendo la trasformazione 2-3 isovolumica si ha L23 = 0 ; è noto inoltre che L31 = 150 kJ e
infine
V2
p 
1
L12 = ∫ pdV = p1V1 ln 1  = 1⋅105 ⋅1.5 ⋅ ln  = −103 kJ
V1
2
 p2 
si ha quindi
Ltot = Qtot = 47 kJ
Esercizio n°18
Considerando Ar come un gas ideale
pV 200 ⋅105 ⋅ 5 ⋅10 −3
pV = MRT → M =
=
= 1.639 kg
RT
293 ⋅ 208.18
il volume occupato in condizioni normali è ottenibile tramite la medesima legge
MRT 1.639 ⋅ 208.18 ⋅ 273.15
pV = MRT → V =
=
= 0.932 m 3
p
1 ⋅105
Esercizio n°19
Considerando l’ azoto un gas perfetto si ha
pV = MRT
M g
F
5 ⋅ 9.8
p = pe + pc = pe + e = pe + p 2 = 97 ⋅103 +
= 103.23 kPa
πD
π ⋅ 0.0025
S
4
e
pV 103.23 ⋅103 ⋅ 2 ⋅10−3
M=
=
= 1.864 kg
RT
296.8 ⋅ 373.15
Esercizio n°21
MV
ed impostando le equazioni si ottiene
M


Mv M v

V = Vl + Vv
 Mv = M l vl + M v vv
v = l l + v v
M
M

→
→
8
8
 Vv = V
 M v vv = Mv
 v = 10 ⋅ M v vv
10
10


8⋅ M



Considerando x =
ed essendo anche
Ml
= (1 − x)
M
 v = (1 − x)vl + xvl
10

x)vl + xvv = xvv
→
−
(
1
8
 v = xvv
8
10

x=
vl
10
vv − vv + vl
8
=
0.001121
10
⋅ 0.194045 + 0.001127
8
= 0.022
e-54
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Utilizzeremo la legge di Stevin per calcolare ∆p
gh
2 ⋅ 9,8
∆p = p10 m − p0 m = ρl ghl + ρ v ghv ≅ l =
= 17391 Pa
vl
0,001191
Esercizio n°22
V
1
1
 0.1
 

− vl )
=
− 0.000757  ⋅ 
 = 0.3
M
vg − vl  10.79
  0.029132 − 0.000757 
kJ
h = hl + x(hg − hl ) = 56.799 + 0.3 ⋅ (196.568 − 56.799) = 98.73
kg
la soluzione può anche essere verificata tramite il programma CATT.
v = vl + x(v g − vl ) → x = (
Esercizio n°23
V
  1
v = vl + x(v g − vl ) → x =  − v f  ⋅ 
M
  vv − v f

1

 =  0,1 − 0.001658  ⋅ 
= 0.51

  1,5
−
0
.
1285
0
.
0016




Esercizio n°24
Nel caso che i calori specifici siano costanti, si ottiene:
kJ
∆h = c p ∆T = 1039.15 ⋅ (1100 − 300) = 831
kg
kJ
∆u = cv ∆T = (1100 − 300) ⋅ 742 = 593
kg
T2 c p
p2 R
T
p
1100
13 ⋅105
J
dT − ∫
dp = c p ln( 2 ) − R ln( 2 ) = 1039 ln(
) − 296.91ln(
) = 588
∆s = ∫
5
T1 T
p1 P
T1
p1
300
1⋅10
kg K
Utilizzando la relazione polinomiale che lega cp alla temperatura si ha invece, dopo aver
sviluppato gli integrali (v. dispense, Cap.III)
β
γ
δ
ε


∆h = R α T2 − T1 + T22 − T12 + T23 − T13 + T24 − T14 + T25 − T15  =882.1J/kg
2
3
4
5


∆u = ∆h − ∆( pv) = ∆h − R∆T = 644.6 J/kg
(
)
(
) (
)
(
) (

γ
δ
ε
T
∆s= R α ln 2 + β T2 − T1 + T22 − T12 + T23 − T13 + T24 − T14
T1
2
3
4

(
) (
)
(
) (
)
) − R ln pp

 = 649.6 J/kg K
 1
2

Esercizio n°25
Si calcolano i valori della pressione e della temperatura ridotte
p
T
2
373
pr =
Tr = =
=
= 0,18
= 0,92
pc 11.28
Tc 405.4
dal diagramma di Fig.8, Cap.III, si ottiene approssimativamente Z = 0.9.
con l’utilizzo del programma CATT si ha
pv 2 ⋅106 ⋅ 0.08248
Z=
=
= 0.905
RT 488.38 ⋅ 373.15
Esercizio n°26
Tracciando una trasformazione isovolumica sul diagramma p-v è facile convincersi che
• se v < vcrit lo stato finale è liquido;
e-55
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
• se v > vcrit lo stato finale è vapore surriscaldato.
Dato che per l’acqua si ha vcrit = 0.0031 m3/kg, ne segue che nel caso a) (v = 0.0015 m3/kg) lo
stato finale è liquido, mentre nel caso b) (v = 0.0150 m3/kg) lo stato finale è vapore
surriscaldato.
Esercizio n°27
La massa è nota una volta noto il volume specifico
V
Mv = V → M =
v
Per il gas ideale si ha quindi
RT 518.46 ⋅ 298.15
v=
=
= 0.00773 m 3 /kg
7
p
2 ⋅10
V
0.5
M= =
= 64.7 kg
v 0.0773
Mentre nello stesso caso, prendendo il valore di v dalle tabelle, si ha
V
0.5
v = 0.00637 m 3 /kg ⇒ M = =
= 78.5 kg
v 0.0637
La differenza è dovuta al fatto che nelle condizioni specificate il metano si discosta
leggermente dalle condizioni di gas ideale.
Per il vapore saturo, dal CATT
V
0.5
v = 0.00382 m 3 /kg ⇒ M = =
= 130.9 kg
v 0.0382
lo stesso valore poteva essere determinato, dopo aver ricavato vl e vg dalle tabelle
dell’ammoniaca, tramite
v = vl + x(v g − vl )
Esercizio n°28
È una trasformazione reversibile isoterma, e, dato che il vapore è saturo, anche isobara;
mediante il programma CATT o le tabelle termodinamiche si ottengono i seguenti valori
p1=0.1 MPa, T1=400 K, x1=1, u1=2506 kJ/kg, s1=7.35 kJ/kg K, v1=1.694 m3/kg
p2=0.1 MPa, T2=400 K, x2=0, u2=414.13 kJ/kg, s2=1.306 kJ/kg K, v2=0.001443 m3/kg
si ha inoltre
 du = dq − dl  u 2 − u1 = q12 − l12

 Tds = dq →  q = T ( s − s )
2
1
 12

l12 = ∫ pdv = p (v2 − v1 ) L12 = Ml12 = − 42.3 kJ
v2
v1
∆U = M (u 2 − u1 ) = − 522 kJ
Q12 = ∆U + L12 = −564 kJ
∆S = M (s2 − s1 ) = −1.51 kJ/K
si può anche verificare che (essendo la trasformazione isoterma)
Q
∆S = 12
T
Esercizio n°29
Si ha a che fare con un sistema chiuso. Ovviamente T2=T1=298.15 K.
e-56
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
La temperatura nello stato finale 3 può essere ottenuta da
1− k
1− k
k −1 R
T3 p3 k = T2 p2 k
= = 0.2893
k
cp
−
R
cp
− 0.289
p 
 20 
T3 = T2  2  = 298.15 ⋅  
= 125.3 K
 1 
 p3 
(Notare che in tali condizioni il modello di gas ideale potrebbe cadere in difetto).
Il volume finale v3 è dato da
RT 287 ⋅ 125.3
v3 = 3 =
= 0.36 m 3 /kg
5
p3
1 ⋅ 10
(Notare: nella formula per il calcolo di T, in cui compare il rapporto delle pressioni, non è
stato necessario convertire le medesima in Pa; è stato invece necessario convertire la
temperatura in K; nella formula per il calcolo di v invece la conversione della pressione in Pa
è indispensabile)
Il lavoro si trova sommando i contributi delle trasformazioni isoterma e adiabatica
p 
R
(T2 − T3 )
l13 = l12 + l23 = − RT1 ln  2  +
−
p
k
1
 1
k=
cp
cp
=
= 1.407
cv R − c p
 20 
l13 = − 287 ⋅ 298.5 ⋅ ln  + 705 ⋅ (298.15 − 125.3) = −135 kJ/kg
 1 
notare che il lavoro ha un contributo negativo (compressione isoterma) ed uno positivo
(espansione adiabatica): il primo predomina sul secondo, come ci si può rendere conto
tracciando le traformazioni in un diagramma p-v.
Il calore viene scambiato solo nella prima trasformazione ed è dato da
p 
q13 = q12 = − RT1 ln  2  = −256 kJ/kg
 p1 
Esercizio n°30
La pressione interna è la somma di quella esterna più il contributo dovuto al peso del
mantello:
Mg
500000 ⋅ 9.81
pi = pe +
= 980 ⋅ 100 +
= 98000 + 3900 = 1019 hPa
2
πR
π 202
il dislivello nella guardia idraulica può essere determinato tramite la legge di Stevin
p − pi
3900
∆L = e
=
= 0.397 m
ρ H 2O g 1000 ⋅ 9.81
e la massa di metano contenuta è data da
pV
p π D2
M= i = i
H = 12400 kg
RT RT 4
nel caso in cui la pressione atmosferica aumenta, aumenta anche la pressione interna ed il
volume si riduce in ragione inversamente proporzionale alla pressione
e-57
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
V ' H ' pi
=
=
V
H
pi
⇒ H'= H
pi
1019
= 15
= 14.16 m
pi '
1079
∆H = H − H ' = 0.83 m
invece, il dislivello nella guardia idraulica, che dipende solo dalla differenza di pressione tra
interno ed esterno, e quindi dal peso del mantello, rimane invariato.
e-58
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICE 2 - Equazioni di stato per i gas ideali e per i liquidi incomprimibili
pV =nM ℜT
pV =M RT
pv=RT
R=c p − cv k =
cp=
cp
cv
Rk
R
cv =
k −1
k −1
du = cv (T ) dT
dh = c p (T ) dT
dT
dv
+R
T
v
dT
dp
ds = c p
−R
T
p
ds = cv
Liquidi incomprimibili
v = cost.
c p = cv = c
du = c(T ) dT
dh = c(T ) dT + v dp
dT
ds = c(T )
T
e-59
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICE 3 - Trasformazioni reversibili per i gas ideali con calori specifici costanti:
lavoro e calore scambiati
(N.B.: le variazioni dei termini di energia cinetica e potenziale vengono considerate
trascurabili)
LAVORO DI DILATAZIONE REVERSIBILE (gas ideale)
2
l12 =∫ p dv , rV = v2 / v1 , rP = p2 / p1
1
Trasfor-mazione v2
v1
ISOTERMA
T = cost
rP
POLI-TROPICA
pvn = cost
 T  n −1
v1 1 
 T2 
ISOCORA
v = cost
v1
1
T2
T1
p2
p1
rV
T1 rV1− n
p1 rV− n
T1 rP
p1
T2
T1
l12
−RT ln rP =
=RT ln rV
p1v1− p2 v2
=
n −1
R
(T1−T2 )=
=
n −1
RT1
(
=
1−rV1− n )
n −1
0
q12
q12 =l12
R 

 cv −
 (T2 −T1 )
 n −1
cv (T2 −T1 )
e-60
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
LAVORO DI COMPRESSIONE/ESPANSIONE REVERSIBILE IN SISTEMI APERTI A
REGIME (gas ideale)
2
l '12 = − ∫ v dp , rV = v2 / v1 , rP = p2 / p1
1
n −1
a=
n
k −1 R
a=
=
k
cp
per trasformazione adiabatica
Trasformazione
ISOTERMA
T = cost
v2
v1
rP
POLITROPICA
pvn = cost
v1 rp n
ISOCORA
v = cost
v1
−
1
T2
T1
p2
p1
rV
T1 rPa
 T a
p1  2 
 T1 
T1 rP
1
p1
T2
T1
l12
q12
q12 =l12
−RT lnrP =
=RT lnrV
n
( p1v1− p2v2 )=  c p − Rn  (T2 −T1 )
n −1
n −1

Rn
(T1−T2 ) =
=
n −1
Rn
T1(rPa −1)
=−
n −1
cv (T2 −T1 )
v1 ( p2 − p1 ) =
= R (T1−T2 )
e-61
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICE 4 – Proprietà termofisiche dei fluidi.
T
[°C]
20
30
35
40
50
60
70
80
88
90
100
107
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
240
300
341
350
p
vl
vv
hl
hv
sl
sv
3
3
[bar]
[m /Kg]
[m /Kg] [kJ/Kg]
[kJ/Kg]
[kJ/kg K] [kJ/kg K]
0.02337 0.0010017
57.84
83.86
2538.2
0.2963
8.6684
0.04241 0.0010043
32.93
125.66
2556.4
0.4365
8.4546
0.05622 0.0010060
25.24
146.56
2565.4
0.5049
8.3543
0.07375 0.0010078
19.55
167.45
2574.4
0.5721
8.2583
0.12335 0.0010121
12.05
209.26
2592.2
0.7035
8.0776
0.19920 0.0010171
7.679
251.09
2609.7
0.8310
7.9108
0.3116 0.0010228
5.046
292.97
2626.9
0.9548
7.7565
0.4736 0.0010292
3.409
334.92
2643.8
1.0753
7.6132
0.6495 0.0010347
2.536
368.53
2656.9
1.1693
7.5058
0.7011 0.0010494
2.361
376.94
2660.1
1.1925
7.4799
1.0133 0.0010519
1.673
419.06
2676.0
1.3069
7.3554
1.2941 0.0010606
1.331
448.63
2686.8
1.3853
7.2730
1.4327 0.0010700
1.210
461.32
2691.3
1.4185
7.2388
1.9854 0.0010801 0.89150
503.72
2706.0
1.5276
7.1293
2.7013 0.0010908 0.66810
546.31
2719.9
1.6344
7.0261
3.614 0.0011022 0.50850
589.10
2733.1
1.7390
6.9284
4.760 0.0011145 0.39240
632.15
2745.4
1.8416
6.8358
6.181 0.0011275 0.30680
675.47
2756.7
1.9425
6.7475
7.920 0.0011145 0.24260
719.12
2767.1
2.0416
6.6630
10.027 0.0011275 0.19380
763.12
2776.3
2.1393
6.5819
12.251 0.0011415 0.15630
807.52
2784.3
2.2356
6.5036
15.549 0.0011565 0.12720
852.37
2790.9
2.3307
6.4278
33.478 0.0012291 0.05965 1037.60
2802.2
2.7020
6.1406
85.927 0.0014041 0.02165 1345.00
2751.0
3.2552
5.7081
147.89 0.0016476 0.01057 1602.70
2621.0
3.6729
5.3312
165.35 0.0017411 0.00800 1671.90
2567.7
3.7800
5.2177
Tab. I - Proprietà termodinamiche del vapor d’acqua saturo
e-62
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
p
[bar]
0.05
0.07
0.08
1.0
2.0
10.0
15.0
17.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
90.0
100
110
120
130
140
148
150
160
170
180
200
T
vl
vv
hl
hv
sl
sv
3
3
[°C]
[m /Kg]
[m /Kg]
[kJ/Kg]
[kJ/Kg] [kJ/kg K] [kJ/kg K]
32.898
0.0010052
28.19
137.77
2561.6
0.4763
8.3960
39.025
0.0010074
20.53
163.38
2572.6
0.5591
8.2767
41.534
0.0010084
18.10
173.86
2577.1
0.5925
8.2296
99.362
0.0010434
1.694
417.51
2675.4
1.3027
7.3598
120.23
0.0010608
0.8854
504.70
2706.3
1.5301
7.1298
179.98
0.0011274
0.1943
762.61
2776.2
2.1382
6.5828
198.29
0.0011539
0.1317
844.67
2789.9
2.3145
6.4406
204.31
0.0011633
0.1166
871.84
2793.4
2.3713
6.3957
212.37
0.0011766 0.09954
908.59
2797.2
2.4469
6.3367
233.84
0.0012163 0.06663
1008.4
2802.3
2.6455
6.1837
250.33
0.0012521 0.04975
1087.4
2800.3
2.7965
6.0685
263.91
0.0012858 0.03943
1154.5
2794.2
2.9206
5.9735
275.55
0.0013187 0.03244
1213.7
2785.0
3.0273
5.8908
285.79
0.0013513 0.02737
1267.4
2773.5
3.1219
5.8162
303.31
0.0014179 0.02050
1363.7
2744.6
3.2867
5.6820
310.96
0.0014526 0.01804
1408.0
2727.7
3.3605
5.6198
318.05
0.0014887 0.01601
1450.6
2709.3
3.4304
5.5595
324.65
0.0015268 0.01428
1491.8
2689.2
3.4972
5.5002
330.83
0.0015672 0.01280
1532.0
2667.0
3.5616
5.4408
336.64
0.0016106 0.01150
1571.6
2642.4
3.6242
5.3803
341.06
0.0016481 0.01056
1603.1
2620.7
3.6736
5.3305
342.13
0.0016579 0.01034
1611.0
2615.0
3.6859
5.3178
347.33
0.0017103 0.009308
1650.5
2584.9
3.7471
5.2531
352.26
0.0017696 0.008371
1691.7
2551.6
3.8107
5.1855
356.96
0.0018399 0.007498
1734.8
2513.9
3.8765
5.1128
365.70
0.0020370 0.005877
1826.5
2418.4
4.0149
4.9412
Tab. II - Proprietà termodinamiche del vapor d’acqua saturo
e-63
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
v
h
s
[m /kg]
[kJ/kg]
[kJ/kg K]
1 bar
160 °C 1.984
2796.2
7.6601
4.4 bar
170 °C 0.4500
2796.3
6.9815
15 bar
250 °C 0.1520
2923.5
6.7099
260 °C 0.1556
2947.3
6.7550
300 °C 0.1697
3038.9
6.9207
310 °C 0.1731
3061.2
6.9592
320 °C 0.1765
3083.3
6.9967
20 bar
250 °C 0.1114
2902.4
6.5454
300 °C 0.1255
3025.0
6.7696
320 °C 0.1308
3071.2
6.8487
25 bar
500 °C 0.13987
3461.7
7.3240
30 bar
300 °C 0.08116
2995.1
6.5422
350 °C 0.09053
3117.5
6.7471
40 bar
300 °C 0.05883
2962.0
6.3642
430 °C 0.07735
3285.4
6.8745
440 °C 0.07866
3308.3
6.9069
500 °C 0.08634
3445.0
7.0909
70 bar
550 °C 0.05189
3529.6
6.9485
90 bar
460 °C 0.03415
3285.3
6.5252
100 bar
500 °C 0.03276
3374.6
6.5994
550 °C 0.03560
3499.8
6.7564
150 bar
500 °C 0.02080
3310.6
6.3487
160 bar
400 °C 0.01427
2951.3
5.8240
Tab. III - Proprietà termodinamiche del vapor d’acqua surriscaldato
3
e-64
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
k
Pr
cp
ρ
µ
3
(Κg/dm ) (J/Kg K) (Kg/ s m) (W/ m K)
-25
0.9210
-20
0.9203
-10
0.9187
0 (ghiaccio)
0.9164
2040
2.25
0
0.9999
4217
0.001787
0.56
13.44
5
1.0000
4202
0.001514
0.57
11.13
10
0.9997
4192
0.001304
0.58
9.45
15
0.9991
4186
0.001137
0.59
8.13
20
0.9982
4182
0.001002
0.59
7.07
25
0.9971
4179
0.000891
0.60
6.21
30
0.9957
4178
0.000798
0.61
5.49
35
0.9941
4178
0.000720
0.62
4.87
40
0.9923
4178
0.000654
0.63
4.34
50
0.9881
4180
0.000548
0.64
3.57
60
0.9832
4184
0.000467
0.65
3.01
70
0.9778
4189
0.000405
0.66
2.57
80
0.9718
4196
0.000355
0.67
2.23
90
0.9653
4205
0.000316
0.67
1.98
100
0.9584
4216
0.000283
0.68
1.78
Tab. IV - Proprietà termofisiche dell’ acqua a pressione atmosferica
T (°C)
T (°C)
-25
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ρ
(Κg/m3)
cp
(J/Kg K)
µ
(Kg/ s m)
k
(W/ m K)
Pr
1.293
1.247
1.205
1.165
1006
1006
1006
1006
1.71 x 10-5
1.76 x 10-5
1.81 x 10-5
1.86 x 10-5
0.024
0.025
0.025
0.026
0.72
0.72
0.72
0.72
1.060
1008
2.00 x 10-5
0.028
0.70
0.946
1011
2.18 x 10-5
0.032
0.70
Tab. V - Proprietà termofisiche dell’ aria secca
e-65
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Acqua
Alcool etilico
Alcool metilico
Ammoniaca
Anidride carbonica
Anidride solforosa
Argon
Aria
Azoto
Butano
Elio
Esano
Etano
Etilene
Idrogeno
Metano
Neon
Ossido di carbonio
Ossigeno
Ottano
Propano
temp. pressione vol. spec.
critica
critica
critico
K
Mpa
(cm3/g)
647
22.1
3.1
516.5
6.39
3.6
513.2
7.98
3.7
405.4
11.3
4.25
304.3
7.40
2.2
430.8
7.88
150.9
4.86
1.88
133.2
3.77
2.9
125.9
3.39
3.25
425.9
3.65
4.4
5.2
0.228
14.4
508.2
2.99
4.25
305.4
4.94
4.75
282.6
5.85
4.6
33.2
1.30
32.3
190.9
4.64
6.2
44.2
2.7
2.1
132.9
3.50
154.3
5.03
2.3
569.3
2.5
4.25
368.7
4.36
1.94
temp.
tripla
K
273.16
pressione
tripla
kPa
0.611
195.4
216.55
197.68
6.060
517
0.167
63.18
12.5
13.84
7.02
24.57
68.10
54.36
43.1
2.03
0.152
Tab. VI : Dati critici e tripli di alcune sostanze
e-66
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
SOSTANZA
Acetilene, C2 H2
Acqua, H2 O
Alcool etilico C2 H5 OH
Ammoniaca, NH3
Anidride carbonica, CO2
Anidride solforosa, SO2
Argon, Ar
Aria
Azoto, N2
Elio, He
Etano, C2 H6
Etilene, C2 H4
Freon 12 CCl2 F2
Idrogeno, H2
Metano, CH4
Metanolo CH3 OH
Neon, Ne
n-Butano, C4 H10
Ossido di azoto, NO
Ossido di carbonio, CO
Ossigeno, O2
Ottano C8 H18
Propano, C3 H8
µ
R
= cp
/µ
cv
kg/kmol
J/kgK
J/kgK
J/kgK
26,039
18,016
46.069
17,032
44,012
64,066
39,950
28,968
28,014
4,0028
30,071
28,055
120,914
2,0158
16,044
32.042
20,184
58,124
30,007
28,012
31,891
114.23
44,097
319,43
461,70
180.48
488,38
188,99
129,83
208,21
287,13
296,91
2078,0
276,60
296,48
68,77
4126,4
518,46
259.48
412,10
143,04
277,19
296,93
260,83
72.79
188,55
1872.3
2496.3
2130.0
841.8
1410.8
2315.8
1641.8
652.9
1.327
1.078
1.297
1.289
520.3
1003.5
1041.6
5192.6
1766.2
1548.2
312.2
716.5
744.8
3115.6
1489.7
1251.8
1.667
1.400
1.400
1.667
1.186
1.237
14209.1
2253.7
1405.0
1029.9
1716.4
10084.9
1735.4
1145.5
617.9
1573.4
1.409
1.299
1.227
1.667
1.091
1041.3
921.6
1711.3
1679.4
744.5
661.8
1638.5
1490.9
1.400
1.393
1.044
1.126
k
Tab. VII : Proprietà di vari gas ideali (cp, cv e k valutati a 300 K)
e-67
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Temp
cp
K
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
900
1000
1.003
1.005
1.008
1.013
1.020
1.029
1.040
1.051
1.063
1.075
1.087
1.099
1.121
1.142
Aria
cv
0.716
0.718
0.721
0.726
0.733
0.742
0.753
0.764
0.776
0.788
0.800
0.812
0.834
0.855
k
cp
Azoto
cv
k
cp
1.401
1.400
1.398
1.395
1.391
1.387
1.381
1.376
1.370
1.364
1.359
1.354
1.344
1.336
1.039
1.039
1.041
1.044
1.049
1.056
1.065
1.075
1.086
1.098
1.110
1.121
1.145
1.167
0.742
0.743
0.744
0.747
0.752
0.759
0.768
0.778
0.789
0.801
0.813
0.825
0.849
0.870
0.913
0.918
0.928
0.941
0.956
0.972
0.988
1.003
1.017
1.031
1.043
1.054
1.074
1.090
1.400
1.400
1.399
1.397
1.395
1.391
1.387
1.382
1.376
1.371
1.365
1.360
1.349
1.341
Temp
Anidride Carbonica
cv
k
cp
K
Monoss. di Carbonio
cp
cv
k
cp
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
900
1000
1.039
1.040
1.043
1.047
1.054
1.063
1.075
1.087
1.100
1.113
1.126
1.139
1.163
1.185
14.051
14.307
14.427
14.476
14.501
14.513
14.530
14.546
14.571
14.604
14.645
14.695
14.822
14.983
0.791
0.846
0.895
0.939
0.978
1.014
1.046
1.075
1.102
1.126
1.148
1.169
1.204
1.234
0.602
0.657
0.706
0.750
0.790
0.825
0.857
0.886
0.913
0.937
0.959
0.980
1.015
1.045
1.314
1.288
1.268
1.252
1.239
1.229
1.220
1.213
1.207
1.202
1.197
1.193
1.186
1.181
0,743
0,744
0,746
0,751
0,757
0,767
0,778
0,790
0,803
0,816
0.829
0.842
0.866
0.888
1.400
1.399
1.398
1.395
1.392
1.387
1.382
1.376
1.370
1.364
1,358
1,353
1,343
1.335
Ossigeno
cv
k
0.653
0.658
0.668
0.681
0.696
0.712
0.728
0.743
0.758
0.771
0.783
0.794
0.814
0.830
1.398
1.395
1.389
1.382
1.373
1.365
1.358
1.350
1.343
1.337
1.332
1.327
1.319
1.313
Idrogeno
cv
k
9.927
10.183
10.302
10.352
10.377
10.389
10.405
10.422
10.447
10.480
10.521
10.570
10.698
10.859
1.416
1.405
1.400
1.398
1.398
1.397
1.396
1.396
1.395
1.394
1.392
1.390
1.385
1.380
Temp
K
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
900
1000
Temp
K
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
900
1000
Tab. VIII : Valori di cp, cv e k per vari gas ideali in funzione di T
e-68
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
cp
=α + β T +γ T 2 +δ T 3 +ε T 4
R
T espressa in K, equazioni valide da 300 a 1000 K
Gas
α
β x 103
γ x 106
δ x 109
ε x 1012
CO
CO2
H2
H2O
O2
N2
Aria
SO2
CH4
C2H2
C2H4
Gas monatomici*
3.710
2.401
3.057
4.070
3.626
3.675
3.653
3.267
3.826
1.410
1.426
2.5
-1.619
8.735
2.677
-1.108
-1.878
-1.208
-1.337
5.324
-3.979
19.057
11.383
0
3.692
-6.607
-5.810
4.152
7.055
2.324
3.294
0.684
24.558
-24.501
7.989
0
-2.032
2.002
5.521
-2.964
-6.764
-0.632
-1.913
-5.281
-22.733
16.391
-16.254
0
0.240
0
-1.812
0.807
2.156
-0.226
0.2763
2.559
6.963
-4.135
6.749
0
* per i gas monoatomici, es. He, Ne, e Ar, cp è costante in un ampio intervallo di temperatura e pari a 5/2 R
Tab. IX : Espressioni approssimate per il calcolo di cp per gas ideali
e-69
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Liquido
Ammoniaca
Alcool etilico
Glicerina
Mercurio
Refrigerante 12
Acqua
Stato
sat. liq., -20°C
sat. liq., 10°C
sat. liq., 50°C
1 atm, 25°C
1 atm, 10°C
1 atm, 50°C
1 atm, 10°C
1 atm, 315°C
sat. liq., -20°C
sat. liq., 20°C
1 atm, 0°C
1 atm, 27°C
1 atm, 100°C
c (kJ/kgK)
4.52
4.67
5.10
2.43
2.32
2.58
0.138
0.134
0.90
0.96
4.217
4.179
4.218
Tab. X : Valori del calore specifico c per liquidi
Solido
Alluminio
Argento
Ferro
Ghiaccio
Piombo
Rame
T (K)
300
300
300
200
240
273
300
300
400
c (kJ/kg K)
0.903
0.235
0.447
1.56
1.86
2.11
0.129
0.385
0.393
Tab. XI : Valori del calore specifico c per solidi
e-70
P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICE 6 - Unità di misura – Sistema Internazionale
Per caratterizzare un sistema fisico, siamo soliti definirne le proprietà: tali sono ad esempio la
lunghezza, il volume, la temperatura, etc. Misurare vuol dire assegnare mediante una
procedura codificata un numero per rappresentare una proprietà. Alcune misure (es. quelle
di lunghezza sono di tipo diretto, ovvero si va a vedere quante volte un campione (in questo
caso il metro, od un suo multiplo o sottomultiplo) è contenuto nella grandezza da misurare. La
maggior parte delle misure è tuttavia di tipo indiretto, ovvero si misura in realtà una proprietà
correlata in maniera nota a quella da misurare effettivamente: nel caso della temperatura, si
misura la lunghezza di una colonnina di mercurio, o la differenza di potenziale ai capi di un
dispositivo elettronico.
Le unità di misura sono state definite dall’uomo nel corso della storia in maniera caotica e
scoordinata. Soltanto all’inizio dell’800, con la introduzione del sistema metrico decimale, è
iniziato un processo di razionalizzazione e unificazione, che è culminato nella creazione del
Sistema Internazionale di Unità di Misura, indicato semplicemente come sistema SI.
Tale sistema è basato sulla definizione di:
• un numero limitato di grandezze fondamentali, le cui unità sono definite dalla loro stessa
procedura di misura;
• e di grandezze derivate, le cui unità di misura derivano dalle leggi fisiche che le
definiscono.
Ad esempio, una volta definite le unità fondamentali di spazio (il metro, m) e tempo (il
secondo, s), non è necessaria una ulteriore unità fondamentale per la velocità: essendo la
velocità uguale allo spazio diviso il tempo, la sua unità è m/s.
Le grandezze fondamentali di cui abbiamo bisogno sono solo sette: lunghezza (metro, m),
tempo (secondo, s), massa (chilogrammo, kg), temperatura (kelvin, K), corrente elettrica
(ampere, A), ammontare di sostanza (mole, mol), intensità luminosa (candela, cd).
Tra le numerosissime grandezze derivate, quelle che ci interessano maggiormente sono la
forza (newton, N=kg m/s2), il lavoro (joule, J=N m) e la potenza (watt, W=J/s).
Le unità definite con questa procedura hanno il pregio della razionalità, in quanto non
richiedono l’introduzione di fattori di conversione all’interno delle formule; per contro,
talvolta esse sono troppo grandi o troppo piccole rispetto alle grandezze con cui di ha a che
fare in pratica, per cui è necessario usare i loro multipli o sottomultipli. Essi si ottengono
aggiungendo un prefisso alla grandezza. I prefissi definiti variano da 10-18 a 1018 e sono
riportati nella seguente tabella 1.
Prefisso
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
Simb.
E
P
T
G
M
k
Fattore
1018
1015
1012
109
106
103
Prefisso Simb.
etto
h
deca
da
deci
centi
d
c
Fattore Prefisso Simb.
102
milli
m
1
10
micro
µ
nano
n
-1
10
pico
p
-2
10
femto
f
atto
a
Fattore
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
Tabella 1: prefissi per multipli e sottomultipli nel sitema SI.
2
La pressione (forza diviso superficie) ha come unità di misura N/m , detto anche pascal (Pa).
La pressione atmosferica standard equivale a 101325 Pa, per cui nella pratica si usano i
multipli kPa o MPa. E’ molto usato anche il bar (100 kPa) che però non è un multiplo
standard del sistema SI.
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P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
Accanto alle unità SI (il cui uso sarebbe obbligatorio per legge nei documenti ufficiali)
sopravvivono le vecchie unità pratiche, che è necessario convertire con appositi fattori di
conversione (vedi tabelle in appendice 6). Ad esempio, sono unità pratiche di energia la
kilocaloria (1 kcal = 4186 J) ed il chilowattora (1 kWh = 3.6 MJ), la British Thermal Unit (1
BTU= 1016 J).
Per maggiori dettagli si veda ad es. la sezione P del Colombo, Manuale dell’Ingegnere, ed.
Hoepli.
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P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICE 6 - Tabelle di conversione tra unità di misura
a) Unità di forza
Unità di misura
N
1
10-5
9,80665*
0,138
4,44
1N=
1 dina =
1 kgf =
1 pdl** =
1 lbf =
dina
105
1
9,81 105
1,38 104
4,44 105
kgf
0,102
1,02 10-6
1
1,41 10-2
0,4536
pdl
7,23
7,23 10-5
70,9
1
32,1740
lbf
0,225
2,25 10-6
2,205
0,031
1
* valore esatto per convenzione internazionale approssimato a 9,81 nei calcoli pratici
** (lbm ft/s2) Poundal
b) Unità di pressione
Pa
bar
atm
torr
at
Kgf/m2
psi
1
105
101325
133,322
10-5
1
0,01325
1,33 10-3
9,87 10-6
0,987
1
1,31 10-3
7,5 10-3
7,5 10-2
760
1
1,02 10-5
1,02
1,033
1,359 10-3
0,102
102 10-2
1,033 10-4
13,595
1,45 10-4
14,5
14,696
1,93 10-2
98066,5
9,80665
6894,76
0,980665
9,81 10-5
6,89 10-2
0,968
9,68 10-5
6,8 10-2
735,5
7,355 10-2
51,7
1
10-4
7,03 10-2
104
1
703,07
14,22
1,42 10-3
1
Unità di
misura
1 Pa =
1 bar =
1 atm =
1 torr =
(mm Hg)
1 at =
1 kgf/m2
1 psi
(lbf/in2)
c) Unità di energia
Unità di
misura
J
erg
1
1 J=
10-7
1 erg=
1 kgf m= 9,80665
3,6 106
1 kWh=
6
1 Cvh= 2,648 10
1 kcalIT= 4186,8
1,36
1 lbf ft=
1055,06
1 BtuIT=
kgf m
107
1
9,81 107
3,6 1013
2,648 1013
4186,8 107
1,36 107
1055,06 107
kWh
Cvh
kcalIT
lbf ft
BtuIT
0,102
2,78 10-7 3,78 10-7 0,239 10-3
0,783
0,948 10-3
0,102 10-7 2,78 10-14 3,78 10-14 0,239 10-10 0,783 10-7 0,948 10-10
1
2,72 10-6 3,704 10-6 2,34 10-3
7,23
9,3 10-3
3,6 105
1
1,3596
859,845
2,66 106
3,41 103
6
270000
0,735
1
632,4
1,953 10
2509,6
426,9
1,163 10-3 1,58 10-3
1
3,09 103
3,97
-7
-7
-4
0,138
3,77 10
5,12 10
3,24 10
1
1,29 10-3
107,6
2,93 10-4 3,98 10-4
0,252
778,169
1
d) Unità di potenza
Unità di
misura
W
kgf m/s
Cv
kcalIT/h
ft lbf/s
BtuIT/h
1 W=
1 kgf m/s=
1 Cv=
1 kcalIT/h=
1 ft lbf/s=
1 BtuIT/h=
1
9,80665
735,5
1,163
1,36
0,293
0,102
1
75
0,1186
0,138
2,988 10-2
1,36 10-3
1,33 10-2
1
1,58 10-3
1,84 10-3
3,98 10-4
0,8594
8,432
632,4
1
1,166
0,252
0,738
7,23
542,5
0,585
1
0,216
3,414
33,46
2509,6
3,97
4,626
1
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P.Di Marco e A. Franco - Esercizi di Termodinamica Applicata
APPENDICE 6 - Costanti fisiche notevoli
R = 8.31445 ± 0,00034 kJ/kmol K
NA = (6.02293 ± 0,00016) 1026
molecole/kmol
Volume molare del gas ideale in condizioni V0 = 22.4139 ± 0,0006 m3/kmol
normali (1 bar e 273,15 K)
p = 101.325 kPa
Pressione atmosferica standard
(a livello del mare)
Accelerazione standard di gravità
g0 = 9.80665 m/s2
Costante di Stefan-Boltzmann
s = 5.673 10 -8 W/m2 K4
Costante di Planck
h = (6.62517 ± 0,00023) 10-34 J/K
Costante di Boltzmann
k = (1.38045 ± 0,00007) 10-23 J/K
Velocità della luce nel vuoto
c0 = (2.997925 ± 0,000003) 108 m/s
Costante universale dei gas
Numero di Avogadro
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