Capitolo 6 Guide d`onda

Capitolo 6
Guide d’onda
6.1
EqM per la guida d’onda
Abbiamo visto che usando in maniera appropriata un’antenna lineare è possibile ottenere una buona direzionalità nella emissione delle onde E.M.. Emissioni ancora più direzionali potrebbero essere ottenute con configurazioni geometriche dell’antenna più complicate o con sistemi composti da piu’ antenne
lineari opportunamente spaziate.
Viene da chiedersi se non sia possibile convogliare tutta l’energia E.M.
emessa da una sorgente in un’unica direzione. Il problema che si vuole affrontare, in particolare, è quello di una propagazione direzionale e confinata
di un’ onda E.M.. Il metodo più utile per confinare i campi propagativi dell’
onda è quello di realizzare una struttura guidante con pareti metalliche, un
tubo metallico: in tale modo, infatti, si sfrutta il fatto che i campi propagativi si attenuano entro un conduttore secondo una legge esponenziale del
tipo:
~
~ = 0)|e−x/δ
|E(x)|
= |E(x
(6.1)
~
dove x indica la profondità entro il materiale conduttore, E(x
= 0) è il
~
campo elettrico dell’ onda all’ ingresso del materiale conduttore, E(x)
è il
campo elettrico dell’ onda alla profondità x e δ rappresenta lo spessore di
conduttore dopo il quale il campo si è attenuato di un fattore e; tale spessore
viene indicato con il termine profondità di pelle ed il suo valore dipende sia
dalle caratteristiche del conduttore, ovvero dalla sua conduttività σ, sia dalla
frequenza dell’ onda e.m., secondo la relazione:
δ=
s
2ǫ0 c2
σω
(6.2)
75
76
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
La profondità di pelle per un buon conduttore, quale è il rame, assume valori
di ∼ 6 · 10−10 m per frequenze di ∼ 5 · 1015 Hz, cioè nell’ ultravioletto,
di ∼ 6 · 10−9 m per frequenze di ∼ 5 · 1013 Hz, cioè nell’ infrarosso, di
∼ 7 · 10−7 m per frequenze di ∼ 3 · 1011 Hz, cioè nella regione delle microonde
e di ∼ 6 · 10−5 m per frequenze di ∼ 3 · 105 Hz, cioè nella regione delle onde
lunghe.
Utilizzando una parete metallica per definire il volume entro il quale
far propagare le onde E.M. si ottiene l’ azione guidante voluta, dal momento
che una qualunque componente dell’ onda che si propaghi perpendicolarmente alla superficie metallica si smorzerà rapidamente entro di essa e la
sola componente parallela all’ asse della guida sopravviverà, imponendo cosı̀
di fatto una direzione di propagazione. Un altro effetto della azione guidante di una struttura metallica consiste nel fatto che i campi che si trovano
all’ interno di essa rimangono ivi contenuti, assicurando il confinamento dell’
energia associata all’ onda ed impedendo, altresı̀, che campi esterni vengano
a interferire con quelli da trasmettere.
Tenendo conto che le dimensioni trasversali dei tubi metallici sono
dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda dell’onda E.M. che si vuole
trasmettere, per motivi pratici parleremo di tubi delle dimensioni di qualche
cm, e di conseguenza di onde centimetriche. L’interesse ad avere sorgenti
intense di onde E.M. con lunghezza d’onda dell’ordine del centimetro fu stimolato soprattutto dalla richiesta di localizzare oggetti in movimento (aerei)
a distanza, tramite riflessione di onde E.M. di lunghezza d’onda inferiore alla dimensione dell’oggetto. Se si fossero utilizzate onde E.M. di lunghezza
d’onda maggiore (decina di metri), l’intensità delle onde riflesse sarebbe stata
trascurabile.
Studiamo quindi il problema della propagazione di un’onda E.M. in
un tubo metallico rettilineo e di sezione costante, con pareti di spessore
trascurabile e conducibilità infinita. Vedremo poi come correggere per queste
ipotesi non fisiche. Supponiamo che all’interno del tubo sia contenuto un
mezzo materiale isotropo non dispersivo, con costante dielettrica ǫ = ǫr ǫ0 ,
dove ǫr è la suscettività elettrica relativa, e con permeabilità magnetica µ =
µr µ0 , dove µr è la suscettività magnetica relativa. Utilizzeremo le EqM
macroscopiche in un mezzo materiale:
~ = ρlibere
∇·D
(6.3)
~ = 0
∇·B
(6.4)
~
~ = − ∂B
∇×E
∂t
(6.5)
6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA
~
~ = ~jcond + ∂ D
∇×H
∂t
77
(6.6)
~ e campo main cui sono stati introdotti i vettori spostamento elettrico D
~ per tenere conto degli effetti dovuti al mezzo materiale, lasciando
gnetico H
inalterata la struttura delle sorgenti (ρlibere e ~jcond ). Nel caso semplice che
trattiamo porremo:
~ = ǫr ǫ0 E
~ = ǫE
~
D
(6.7)
~ = µr µ0 H
~ = µH
~
B
(6.8)
~ = ρ ~j
E
(6.9)
dove ρ è la resistività specifica del mezzo materiale.
Vogliamo studiare, in particolare, se è possibile propagare un’onda
E.M. lungo l’asse della guida senza perdite. Si vede subito che questa condi~ che si propaga sia, in ogni istante
zione fisica impone che il campo elettrico E
ed in ogni punto del contorno, normale alla superficie, cioè:
~ × ~n = 0
E
(6.10)
Questa condizione assicura che non ci sono perdite di potenza per effetto
Joule sulle pareti. Dalla (6.9) si vede che la condizione (6.10) ammette solo
~j ortogonale in ogni punto alla superficie del contorno della guida, ipotizzata
per ora come una pura superficie geometrica, di “spessore” nullo.
Supponiamo di propagare onde E.M. armoniche rispetto al tempo, che
variano cioè in ogni punto rispetto al tempo come eikct , dove k è il numero
d’onda nel vuoto, cioè ω = kc. Consideriamo un sistema di assi cartesiani
ortogonali in cui l’asse z coincida con l’asse della guida e consideriamo una
~ eB
~ per t = 0 e z = 0 (cioè la sezione della guida
configurazione dei campi E
~
~ 0 . Sarà:
a z = 0), che chiameremo E0 e B
~ 0 (x, y) = E0x (x, y)~i + E0y (x, y)~j + E0z (x, y)~k
E
(6.11)
~ 0 (x, y) = B0x (x, y)~i + B0y (x, y)~j + B0z (x, y)~k
B
(6.12)
e
Questi vettori rappresentano i campi che entrano attraverso la prima faccia
della struttura guidante e che si vogliono far propagare, senza perdite, lungo
la guida.
78
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
Chiediamoci se è possibile propagare lungo l’asse z le configurazioni
(6.11) e (6.12) con una velocità di fase vf . Poniamo cioè per il numero d’
onda che caratterizza la propagazione entro la guida:
α =
ω
kc
=
vf
vf
(6.13)
Si precisa che vf è diverso da c, ovviamente, in quanto non siamo nel vuoto,
√
ma sarà anche diverso, come vedremo, da c/ ǫr µr , cioè la velocità di propagazione nel mezzo materiale infinito, non limitato dalle pareti conduttrici.
~ eB
~ saranno allora descritti, in ogni punto P interno alla
I campi E
guida e ad ogni istante t, dalle equazioni:
~
E(x,
y, z, t) = E0x (x, y)~i + E0y (x, y)~j + E0z (x, y)~k ei(kct
− αz)
~
B(x,
y, z, t) = B0x (x, y)~i + B0y (x, y)~j + B0z (x, y)~k ei(kct
− αz)
h
h
i
i
(6.14)
(6.15)
Data la (6.14), la condizione (6.10) diventa:
~ 0 × ~n = 0
E
(6.16)
Con le posizioni (6.14) e (6.15), le (6.5)– (6.6) in cui si ponga ~jcond = 0, e si
utilizzino le (6.7), (6.8), diventano:
k
∂B0z
+ iαB0y = iǫr µr E0x
∂y
c
∂B0z
k
−iαB0x −
= iǫr µr E0y
∂x
c
∂B0x
k
∂B0y
−
= iǫr µr E0z
∂x
∂y
c
∂E0z
+ iαE0y = −ikcB0x
∂y
∂E0z
−iαE0x −
= −ikcB0y
∂x
∂E0x
∂E0y
−
= −ikcB0z
∂x
∂y
e le (6.3)–(6.4), in cui si ponga ρlibere = 0:
(6.17)
(6.18)
79
6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA
∂E0x
∂E0y
+
− iαE0z = 0
∂x
∂y
∂B0x
∂B0y
+
− iαB0z = 0
∂x
∂y
(6.19)
Di queste ultime possiamo non tenere conto poichè sono una conseguenza delle (6.17) e (6.18). Risolvendo le prime due delle (6.17) e (6.18)
rispetto a E0x , E0y , B0x , B0y , si ottiene:
"
#
∂E0z
i
∂B0z
E0x = − 2 α
+ kc
λ
∂x
∂y
#
"
∂E0z
∂B0z
i
− kc
E0y = − 2 α
λ
∂y
∂x
#
"
i
k ∂E0z
∂B0z
B0x = 2 ǫr µr
− α
λ
c ∂y
∂x
#
"
k ∂E0z
∂B0z
i
+ α
B0y = − 2 ǫr µr
λ
c ∂x
∂y
(6.20)
dove per semplicità si è posto:
λ2 = ǫr µr k 2 − α2
(6.21)
supponendo λ2 6= 0.
Sostituendo le (6.20) nell’ultima equazione delle (6.17) e (6.18), si ha
che queste risultano soddisfatte se:
∂ 2 E0z
∂ 2 E0z
+
+ λ2 E0z = 0
∂x2
∂y 2
(6.22)
∂ 2 B0z
∂ 2 B0z
+
+ λ2 B0z = 0
∂x2
∂y 2
(6.23)
Consideriamo ora la condizione al contorno (6.16). Con riferimento alla figura
6.1, se indichiamo con ~τ il versore tangente al contorno della guida nel punto
(x, y, 0) e con ~n il versore normale, si ha evidentemente ~n = ~k × ~τ .
Ricordando l’espressione del doppio prodotto esterno (A.5) avremo:
~ 0 × ~n = E
~ 0 × (~k × ~τ ) = (E
~ 0 · ~τ )~k − (E
~ 0 · ~k)~τ
E
80
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
Figura 6.1:
e quindi dovremo avere, separatamente:
~ 0 · ~k) = E0z = 0
(E
~ 0 · ~τ ) = 0
(E
sul contorno
sul contorno
(6.24)
(6.25)
Indicando con dx/ds e dy/ds i coseni direttori della tangente al contorno s,
la condizione (6.25) equivale a:
E0x
dx
dy
+ E0y
= 0
ds
ds
(6.26)
Sostituendo nella (6.26) le prime due delle (6.20) in cui si sia posto E0z = 0,
ricaviamo:
∂B0z dy
∂B0z dx
kc
−
∂x ds
∂y ds
!
= 0
(6.27)
Ricordando che i coseni direttori della normale ~n al contorno s sono rispetdy
dx
tivamente dn
= dy
e dn
= − dx
, la condizione al contorno (6.26) diventa:
ds
ds
dB0z
= 0
dn
sul contorno
(6.28)
Da un punto di vista fisico il fatto che l’unica condizione iniziale (6.16) si
trasformi nelle due condizioni (6.24) e (6.28) corrisponde al fatto che il campo
elettrico totale è costituito da due componenti, una di tipo “elettrostatico”
ed una di tipo “indotto”.
Il problema della propagazione di onde E.M. entro un tubo cilindrico
riempito con un mezzo dielettrico omogeneo è dunque ridotto all’integrazione
delle equazioni differenziali (6.22) e (6.23), con le rispettive condizioni al
contorno (6.24) e (6.28). Ricavate E0z e B0z , le (6.20) forniscono le altre
~ eB
~ e le condizioni al contorno risultano soddisfatte.
componenti di E
6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA
81
Fra le soluzioni del sistema considerato sono particolarmente importanti quelle in cui è nulla la componente assiale B0z del campo magnetico,
oppure quelle in cui è nulla la componente assiale E0z del campo elettrico.
Le prime sono dette onde di tipo elettrico o trasversali magnetiche (T.M.);
le seconde sono dette onde di tipo magnetico o trasversali elettriche (T.E.).
Si fa notare che, secondo questa terminologia, le onde E.M. che si propagano nello spazio indefinito, privo di sorgenti, sarebbero trasversali elettriche e
magnetiche (T.E.M.).
Per le onde di tipo elettrico il problema si riduce a determinare la
componente assiale E0z del campo elettrico soddisfacente alla (6.22) e alla
condizione al contorno (6.24). Dopo ciò, le altre componenti del campo
saranno date da:
iα ∂E0z
iα ∂E0z
E
=
−
0y
λ2 ∂x
λ2 ∂y
k ∂E0z
i
k ∂E0z
i
B0y = − 2 ǫr µr
= 2 ǫr µr
λ
c ∂y
λ
c ∂x
E0x = −
B0x
(6.29)
Le onde T.M. vengono generate da conduttori penetranti in una estremità
della guida in modo da simulare un dipolo elettrico oscillante parallelo all’
asse z di propagazione.
Per le onde di tipo magnetico il problema si riduce, invece, a determinare la componente assiale B0z del campo magnetico soddisfacente alla
(6.23) con la condizione al contorno (6.28). In tal caso le altre componenti
del campo saranno date da:
ikc ∂B0z
λ2 ∂y
iα ∂B0z
= − 2
λ ∂x
ikc ∂B0z
λ2 ∂x
iα ∂B0z
= − 2
λ ∂y
E0x = −
E0y =
B0x
B0y
(6.30)
Le onde T.E. vengono generate facendo penetrare nella guida, attraverso
una sua estremità, dei conduttori simulanti un dipolo magnetico oscillante
parallelo all’ asse z di propagazione.
I vari casi di onde T.M. e T.E. (più l’ onda T.E.M., qualora esistente,
cosa non vera nel caso particolare delle guide d’ onda) costituiscono un insieme di campi completo per la descrizione di una perturbazione E.M. qualsiasi
entro una guida o una cavità.
Le equazioni (6.22) e (6.23) con le relative condizioni al contorno (6.24)
e (6.28) sono una vecchia conoscenza della Fisica Matematica. Se consideriamo una membrana elastica piana con l’orlo fisso (un tamburo) ed indichiamo
con ~z(x, y) lo spostamento lungo la normale al piano di un punto qualsiasi della membrana, otterremo che la membrana vibrerà secondo l’equazione
82
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
(6.22), con z al posto di E0z , e la condizione al contorno z = 0. Se volessimo,
invece, studiare le vibrazioni di una membrana con il bordo libero, ma vincolato a spostarsi solo perpendicolarmente al piano della membrana (i piatti
di una batteria musicale), otterremmo l’equazione (6.23) con z al posto di
B0z con la condizione al contorno (6.28).
Si sapeva quindi che ambedue le equazioni ammettevano soluzioni non
nulle soltanto per valori discreti del parametro λ2 , detti autovalori, dipendenti
dalla forma del contorno s della sezione del tubo. Le soluzioni corrispondenti
ad un dato autovalore si chiamano autofunzioni. Si può dimostrare che λ2 è
un numero reale e positivo; dalla (6.21), ricordando la (6.13), si ha:
α2 =
k 2 c2
= ǫr µr k 2 − λ2
vf2
(6.31)
da cui risulta che vf2 è reale. Però, affinchè in corrispondenza dell’autovalore
λ2 si abbia un’onda non smorzata, deve essere α, e quindi anche vf , reale.
Ciò richiede che sia ǫr µr k 2 − λ2 ≥ 0, e quindi:
k ≥ √
λ
ǫr µr
(6.32)
la quale mostra che esiste un valore minimo di k, cioè della frequenza ν =
kc/(2π), al di sotto della quale nessuna propagazione è più possibile nella
guida. Se λ20 è il più piccolo degli autovalori della (6.22) o (6.23), nel tubo
si possono propagare soltanto onde di frequenza ν superiore, o tutto al più
eguale, alla frequenza νc , che diremo critica, espressa dalla relazione:
νc =
λ0 c
√
2π ǫr µr
(6.33)
Ogni modo di propagazione, identificato da un autovalore λ, avrà poi una
frequenza di taglio, definita da una relazione analoga alla (6.33) ove a λ0
si sostituisca il corrispondente valore di λ, al di sotto della quale il modo
non può propagarsi nel tubo senza smorzarsi, in quanto α diventa complesso.
L’andamento di α, ovvero della corrispondente quantità normalizzata all’
unità per ν → ∞, in funzione della frequenza è indicato qualitativamente
nella figura 6.2, ove sono rappresentati solamente i primi cinque generici modi
di propagazione e le relative frequenze di taglio sono indicate con νi (i=0,
..., 4). Si può riconoscere che per ogni frequenza assegnata, maggiore della
frequenza critica, c’é solo un numero finito di modi che si possono propagare,
indicati in figura dai punti sulle rette verticali di equazione ν = cost disegnate
per due generici valori di ν diversi da νi .
6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA
83
Figura 6.2:
Dalla (6.31), per vf reale, si ricava ancora:
c
c
kc
1
q
> √
= √
(6.34)
2
2
2
λ
ǫr µr 1 −
ǫr µr
ǫr µr k − λ
2
ǫr µr k
√
dalla quale risulta che variando k dal valore λ/ ǫr µr ad ∞, la vf , sempre
√
√
decrescendo, varia da +∞ al valore c/ ǫr µr . Ora c/ ǫr µr è la velocità di
propagazione in un mezzo dielettrico identico a quello contenuto nel tubo e
che riempia tutto lo spazio. Ne segue che la velocità di propagazione delle
onde nel tubo è superiore a quella delle onde libere (non guidate) in un
dielettrico identico a quello contenuto nel tubo stesso e che riempia tutto lo
spazio. In particolare, se il dielettrico nel tubo è il vuoto, allora detta velocità
supera la velocità della luce nel vuoto. Questo risultato non contraddice la
teoria della relatività poichè si tratta di velocità di propagazione della fase,
che è una grandezza geometrica, mentre nella teoria della relatività si intende
la velocità di propagazione di un segnale fisico, quindi di una velocità di
gruppo.
Fissato un autovalore di λ, ad ogni valore di k corrisponde un valore
di α, e quindi un valore della velocità di propagazione di fase vf dato dalla
(6.34). D’altra parte è impossibile realizzare fisicamente un generatore con k
esattamente definito, ma sarà più realistico parlare di un intervallo (k, k+dk),
in corrispondenza al quale avremo un intervallo di valori di α, (α, α+dα), che
si può scrivere anche come (α, α+ dα
dk). Consideriamo ora la sovrapposizione
dk
delle onde appartenenti al piccolo intervallo (k, k + dk). Questo insieme di
onde è detto gruppo di onde, e la quantità vg , definita dalla relazione:
vf = √
vg = c
dk
dα
(6.35)
84
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
è detta velocità di gruppo. Ora risulta:
dk
α
=
dα
ǫr µr k
(6.36)
e quindi:
vg
cα
c
=
= √
ǫr µr k
ǫr µr
s
1 −
c
λ2
< √
≤ c
2
ǫr µr k
ǫr µr
(6.37)
che mostra che la velocità di gruppo è minore della velocità della luce. Si ha
inoltre che vf e vg sono legate dalla relazione:
vg vf =
6.2
6.2.1
c2
ǫr µr
(6.38)
Esempi di propagazione in guide d’onda
con contorno definito
Guida d’onda a sezione rettangolare
Il caso più semplice che si può presentare è quello di una guida d’onda a
sezione rettangolare i cui lati indichiamo con a e b. Assumeremo uno dei
vertici del rettangolo sezione come origine degli assi, con gli assi x e y diretti
rispettivamente secondo i lati di lunghezza a e b, come indicato in figura 6.3.
Le equazioni (6.22) e (6.23) sono dello stesso tipo di quella risolta per la pro-
Figura 6.3:
pagazione di onde libere in coordinate cartesiane (vedi paragrafo 4.2.1 ), anzi
più semplici in quanto in due dimensioni (x, y) e con l’unica differenza che
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO85
abbiamo indicato con λ2 (anzichè con ω 2 /c2 ) la costante reale. Procedendo
esattamente allo stesso modo col criterio della separazione delle variabili e
passando direttamente all’espressione con funzioni trigonometriche, si trova
facilmente che, per onde di tipo elettrico (B0z =0) la soluzione sarà:
E0z = (A cos px + B sin px) (C cos qy + D sin qy)
(6.39)
con A, B, C, D costanti per ora arbitrarie, con dimensione di un campo
elettrico, e con
p2 + q 2 = λ 2
(6.40)
Rispetto alle onde libere le cose cambiano ora. Mentre nel caso della
(4.13) non c’erano condizioni al contorno da rispettare, e quindi tutti i valori di ω erano permessi, il soddisfacimento della (6.24) sul contorno cambia
radicalmente la situazione. Dobbiamo avere:
per x = 0 ed x = a, y arbitrario
E0z = 0
(6.41)
per y = 0 ed y = b, x arbitrario
ne segue che deve essere A = 0, C = 0, ed inoltre pa = mπ, qb = nπ, da cui
p = mπ/a, q = nπ/b, con m, n numeri interi. Si ha dunque:
mπ
nπ
E0z = C1 sin
x sin
y
(6.42)
a
b
con C1 costante (complessa) arbitraria con dimensione di un campo elettrico.
Ricordando la (6.40) si deducono per λ2 gli autovalori:
λ2mn = π 2
m2
n2
+
a2
b2
!
(6.43)
In figura 6.4 è riportato, in vista tridimensionale, l’insieme degli autovalori
λ2mn per m=0, ... 10 e n=0, ... 10, avendo supposto a = 10 unita’, b = 5
unita’.
′
Dalle (6.29) e scrivendo λ2 C1 al posto di C1 , abbiamo in conclusione
le seguenti soluzioni di tipo elettrico (T.M.):
mπ
nπ
mπ
′
cos
x sin
y
E0x = −iC1 αmn
a
a
b
nπ
mπ
nπ
′
E0y = −iC1 αmn
sin
x cos
y
b
a
b
nπ
mπ
′
x sin
y
E0z = C1 λ2mn sin
a
b
k nπ
mπ
nπ
′
B0x = iC1 ǫr µr
sin
x cos
y
c b
a
b
mπ
nπ
k mπ
′
cos
x sin
y
B0y = −iC1 ǫr µr
c a
a
b
B0z = 0
(6.44)
86
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
Figura 6.4:
ove, in virtù della (6.31) è:
2
αmn
= ǫr µr k 2 − λ2mn ,
αmn =
q
ǫr µr k 2 − λ2mn
(6.45)
Dalle prime due delle (6.44) si riconosce che è soddisfatta la condizione al
contorno (6.25) sulle componenti tangenziali del campo elettrico. La presenza
dell’ unità immaginaria nella espressione di alcune componenti sta ad indicare
una differenza di fase spaziale (o temporale) di π/2 tra tali componenti ed
E0z .
Considerando le espressioni (6.44) delle componenti dei campi dell’
onda T.M. si possono fare alcune osservazioni. Si può notare innanzi tutto
che per m = 0 e n = 0 anche E0z = 0 e tutte le componenti trasversali si
annullano, ovvero che i valori piu’ piccoli di m e n per un’ onda T.M. devono
essere entrambi maggiori di zero.
Una seconda osservazione riguarda l’ orientazione relativa dei vettori
~
~
~0 e B
~ 0 . Come è facile verificare, il prodotto
E e B, ovvero dei vettori E
~
~
~
~
scalare E · B = E0 · B0 = 0, cosa che indica come entro la guida sia possibile
propagare, lungo l’ asse della stessa e senza perdite, un campo incidente con
vettore induzione magnetica perpendicolare sia alla direzione di propagazione
che al vettore campo elettrico, mentre quest’ ultimo non è più perpendicolare
alla direzione di propagazione. Entro la guida i vettori: vettore d’ onda α~k,
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO87
~ eB
~ non formano più una terna destrorsa, come, invece avviene sia nello
E
spazio libero che in un mezzo materiale infinito.
Con semplici calcoli è anche immediato verificare che per i campi dell’
onda T.M. non vale più una semplice relazione tra i moduli dei vettori, quale
~ = c|B|
~ nel caso dello spazio vuoto o |E|
~ = c/√ǫr µr |B|
~ nel caso di un
|E|
mezzo materiale.
Per terminare queste considerazioni sulle componenti dei campi di un’
onda T.M., se si considera l’ espressione del vettore di Poynting entro la guida
si ottiene:
~ = ǫc2 E
~ ×B
~ = ǫc2 E
~0 × B
~ 0 e2i(kct−αz)
S
k
iC1,2 λ2mn ǫr µr
(6.46)
!
mπ
mπ
mπ
nπ
sin
x cos
x sin2 y +
c a
a
a
b
!
mπ
nπ
nπ
nπ
k
,2
2
2
sin
x sin y cos y +
+ ~j iC1 λmn ǫr µr
c b
a
b
b
k
− ~k C1,2 αmn ǫr µr
c#
"
2
mπ 2
nπ
nπ
mπ
nπ
mπ
x sin2 y +
x cos2 y
cos2
sin2
a
a
b
b
a
b
~0 × B
~ 0 = ~i
E
Le componenti trasversali del vettore di Poynting sono immaginarie pure e
non danno contributo al flusso di energia mediato sul tempo; la componente
~ invece, fornisce il valor medio della densità di flusso di potenza
assiale di S,
lungo la guida. Le componenti trasversali, inoltre, si annullano sul bordo, in
virtù delle condizioni al contorno, assicurando il confinamento dell’ energia
all’ interno della guida.
In figura 6.5 sono riportate le dipendenze delle tre componenti di
~ 0 e delle due non nulle di B
~ 0 da x e y separatamente: le tre curve si
E
riferiscono a m=1, 2, 3 e n=1, 2, 3 rispettivamente e fanno riferimento a
valori delle dimensioni dei lati del rettangolo sezione a = 10 unita’, b = 5
unita’. Come è già stato osservato, le componenti trasversali soddisfano la
condizione sulla componente tangenziale del campo elettico sul bordo della
sezione della guida.
In figura 6.6 sono riportati i grafici bidimensionali delle tre componenti
~
di E0 per m=1, n=1, nell’ipotesi a=10 unità e b=5 unità.
In figura 6.7 è riportato l’ andamento sulla sezione della guida della
componente longitudinale del vettore di Poynting per m=1 e n=1, m=1 e
n=2 e per m=2 e n=1 nell’ipotesi a=10 unità e b=5 unità. Si può osservare
88
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
come la distribuzione dell’ energia sulla sezione non sia uniforme, ma tenda
a presentare dei massimi locali, la cui posizione dipende dai valori di m e n:
i modi T.M. che si propagano nella guida distribuiscono, cioè, la loro energia
in modo da occupare spazialmente in maniera diversa la guida.
In figura 6.8 è riportato l’ andamento sulla sezione della guida delle tre
componenti del vettore di Poynting per m=1 e n=1, nell’ipotesi a=10 unità
e b=5 unità. Si può osservare come il flusso di energia secondo le direzioni
trasversali x e y risulti essere in parte positivo ed in parte negativo, in modo
tale che il suo valore netto sulla sezione, puntuale o mediato sul tempo,
risulta nullo. Come già accennato, le componenti trasversali del vettore di
Poynting non contribuiscono al flusso netto di energia E.M. nella guida: al
più, nel caso di un modo o di una combinazione lineare di modi con campi
longitudinali complessi si può avere un flusso di energia medio trasversale.
Tuttavia, siccome si tratta di un flusso circolatorio, esso costituisce in realtà
solo energia immagazzinata (si vedano più oltre le cavità risonanti) e non ha
in pratica una grande importanza.
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO89
Figura 6.5:
90
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
Figura 6.6:
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO91
Figura 6.7:
92
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
Figura 6.8:
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO93
Per avere soluzioni di tipo magnetico (T.E.), dobbiamo porre E0z = 0
e possiamo sempre scrivere B0z , in analogia alla (6.39), come:
B0z = (A cos px + B sin px) (C cos qy + D sin qy)
(6.47)
sempre con la condizione (6.40). La condizione al contorno (6.28) si traduce
in:
∂B0z
∂x
∂B0z
∂y
= 0
= 0
per x = 0 ed x = a, y arbitrario
per y = 0 ed y = b, x arbitrario
(6.48)
Sarà quindi B = 0, D = 0, p = mπ/a, q = nπ/b, e quindi, dalle (6.30) si
otterranno le seguenti soluzioni di tipo magnetico:
mπ
nπ
nπ
′
cos
x sin
y
E0x = iC2 kc
b
a
b
mπ
mπ
nπ
′
E0y = −iC2 kc
sin
x cos
y
a
a
b
E0z = 0
mπ
nπ
mπ
′
sin
x cos
y
B0x = iC2 αmn
a
a
b
nπ
mπ
nπ
′
B0y = iC2 αmn
cos
x sin
y
b
a
b
mπ
nπ
′
B0z = C2 λ2mn cos
x cos
y
(6.49)
a
b
′
dove C2 è al solito un fattore costante complesso arbitrario, e gli autovalori
λ2mn di λ2 sono definiti ancora dalla (6.43) e (6.45).
Nel caso delle onde T.E. si può osservare che i più piccoli valori di m e
n accettabili sono (0,1) o (1,0) a seconda di quale dei due lati del rettangolo
sia maggiore. Si possono poi ripetere considerazioni analoghe a quelle fatte
per le onda di tipo elettrico per quanto riguarda l’ orientazione dei vettori α~k,
~ e B,
~ la relazione tra i moduli dei vettori E
~ e B,
~ l’ espressione del vettore di
E
Poynting entro la guida. Tali osservazioni saranno, poi, valide anche per un’
onda qualunque entro la guida, espressa nella base dell’ insieme delle onde
T.M. e T.E..
È ovvio che, tanto per le soluzioni T.E. quanto per le soluzioni T.M.,
per avere le componenti del campo E.M. dappertutto nella guida occorre moltiplicare ciascuna delle (6.44) e (6.49) per il fattore di propagazione
ei(kct−αmn z) . Dovendo αmn essere reale, affinchè l’onda non sia smorzata, dalla (6.45) si deduce che la guida non può trasmettere tutte le frequenze. Per
ogni onda, caratterizzata dalla coppia di numeri interi m e n, vi è dunque un
valore minimo di k, compatibile con una propagazione senza smorzamento;
questo valore minimo definisce per ogni tipo di onda la frequenza di rottura,
al di sotto della quale non vi può più essere propagazione. Supposto a > b,
94
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
la più piccola delle frequenze di rottura, o frequenza critica νc , corrisponde
al valore:
π
λ10
= √
kmin = √
ǫr µr
a ǫr µr
per cui, ricordando che ν =
νc =
(m = 1, n = 0)
(6.50)
kc
,
2π
c
√
2a ǫr µr
(6.51)
Esaminando le (6.44) e (6.49), si vede che per ν di poco superiore a νc , avremo
onde di tipo (6.47), cioè T.E., non di tipo T.M., che sono identicamente
eguali a zero. Cioè le onde di frequenza di poco superiore a quella critica
che si propagano nel tubo sono di tipo T.E.. Affinchè nel tubo a sezione
rettangolare si propaghino anche onde di tipo T.M. è necessario che k superi
il minimo autovalore corrispondente alla (6.22) con valori dei campi non
identicamente nulli, e cioè:
π
λ11
= √
k ≥ √
ǫr µr
ǫr µr
s
1
1
+ 2
2
a
b
(6.52)
e quindi
c
ν ≥ √
2 ǫr µr
s
1
1
+
a2
b2
(6.53)
Si osserva infine che, assegnato un valore di k maggiore del valore minimo
(6.50), si possono propagare nel tubo un numero finito di onde di tipo elettrico
e di tipo magnetico e precisamente tutte le onde corrispondenti agli autovalori
λmn di λ per cui è verificata la (6.32).
6.2.2
Guida d’onda a sezione circolare
Consideriamo ora una guida d’onda costituita da un cilindro circolare di
~
raggio a e, assumendo come asse z l’asse del cilindro, riferiamo i campi E
~ interni ad esso ad un sistema di coordinate cilindriche r, ϕ, z, come
e B
indicato in figura 6.9. Come nel caso precedente, assumeremo che i campi
~ eB
~ dipendano dal tempo t e dalla coordinata z per mezzo del termine di
E
propagazione ei(kct−αz) . Nel piano (r, ϕ) esprimeremo invece i campi mediante
le componenti Er , Eϕ , Br , Bϕ . Le (6.14) e (6.15) saranno quindi riscritte
come:
~ ϕ, z, t) = E0r (r, ϕ)~ir + E0ϕ (r, ϕ)~iϕ + E0z (r, ϕ)~k ei(kct
E(r,
h
i
− αz)
(6.54)
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO95
Figura 6.9:
~ ϕ, z, t) = B0r (r, ϕ)~ir + B0ϕ (r, ϕ)~iϕ + B0z (r, ϕ)~k ei(kct
B(r,
h
i
− αz)
(6.55)
Con un po’ di facile ginnastica matematica si ottengono le equazioni:
"
#
∂E0z
1 ∂B0z
i
+ kc
E0r = − 2 α
λ
∂r
r ∂ϕ
#
"
1 ∂E0z
∂B0z
i
− kc
E0ϕ = − 2 α
λ
r ∂ϕ
∂r
#
"
i
k 1 ∂E0z
∂B0z
B0r = 2 ǫr µr
− α
λ
c r ∂ϕ
∂r
#
"
k ∂E0z
1 ∂B0z
i
+ α
B0ϕ = − 2 ǫr µr
λ
c ∂r
r ∂ϕ
(6.56)
analoghe alle (6.20) e in cui è sempre λ2 = ǫr µr k 2 − α2 . Si ricavano ancora,
ricordando l’espressione del laplaciano trasverso (cioè nelle coordinate x e y)
in coordinate polari ∇2 f = ∂ 2 f /∂x2 + ∂ 2 f /∂y 2 = ∂ 2 f /∂r2 + 1/r ∂f /∂r +
1/r 2 ∂ 2 f /∂ϕ2 , le equazioni:
∂ 2 E0z
1 ∂E0z
1 ∂ 2 E0z
+
+
+ λ2 E0z = 0
∂r 2
r ∂r
r 2 ∂ϕ2
(6.57)
1 ∂B0z
1 ∂ 2 B0z
∂ 2 B0z
+
+
+ λ2 B0z = 0
∂r 2
r ∂r
r 2 ∂ϕ2
(6.58)
analoghe alle (6.22) e (6.23). Le condizioni al contorno che vanno associate
rispettivamente alle (6.57) e (6.58) sono:
E0z = 0
per r = a
(6.59)
96
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
∂B0z
= 0
∂r
per r = a
(6.60)
Potremo considerare onde di tipo magnetico (E0z = 0) o di tipo elettrico
(B0z = 0) ponendo eguale a zero i primi o rispettivamente i secondi membri
nelle parentesi delle (6.56). Le equazioni (6.57) e (6.58) erano state già trovate
∂2
(con la complicazione di un termine aggiuntivo con ∂z
2 ) nel paragrafo 4.2.2
relativo alla propagazione di onde libere in coordinate cilindriche e si era
già visto il metodo della separazione delle variabili per ottenere due integrali
particolari e quindi l’integrale generale dalla combinazione lineare dei due
integrali particolari. Più precisamente, esprimendo E0z o B0z come prodotti
delle due funzioni R(r) e Φ(ϕ), le (6.57) e (6.58) vengono soddisfatte dalle
equazioni:
1 dR
d2 R
+
+
dr 2
r dr
n2
λ − 2 R = 0
r
2
!
d2 Φ
+ n2 Φ = 0
2
dϕ
(6.61)
(6.62)
con n numero intero. Si era già visto che la (6.61) è l’equazione differenziale di Bessel di ordine n, di argomento λr, che ammette come soluzioni
la funzione di Bessel Jn (λr) e la funzione di Neumann Nn (λr) (cfr. Appendice F). Avevamo già visto che Nn (λr) non è regolare per r = 0, che
è per altro una coordinata possibile per la propagazione nella guida (l’asse
del cilindro). Le soluzioni accettabili per le (6.57) e (6.58) saranno quindi
del tipo Jn (λr) (An cos nϕ + Bn sin nϕ) con An e Bn costanti arbitrarie.
Consideriamo onde di tipo elettrico:
E0z = E0 Jn (λr) (An cos nϕ + Bn sin nϕ)
(6.63)
con la condizione al contorno (6.59). Essa richiede che:
Jn (λa) = 0
(6.64)
e se indichiamo con ξn1, ξn2 , ξn3 , ..., ξnj , gli zeri positivi (non nulli) della
funzione Jn (λr) (cfr. la figura F.1), disposti in ordine crescente, la condizione
(6.64) è soddisfatta ponendo:
(e)
λ = λnj =
ξnj
a
(n = 0, 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ...)
(6.65)
(e)
che fornisce gli autovalori λnj del parametro λ per le onde di tipo elettrico.
(e)
q
(e)2
Ponendo αnj =
ǫr µr k 2 − λnj e tenendo conto delle (6.56) in cui sia
stato posto B0z = 0, si ottengono le relazioni esplicite di E0r , E0ϕ , B0r , B0ϕ :
6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO97
(e)
E0φ =
αnj
(e)
J ′ (λ r) (An cos nϕ + Bn sin nϕ)
(e) n nj
λnj
(e)
1 αnj
(e)
Jn (λnj r) (−An sin nϕ + Bn cos nϕ) n
−iE0 (e)2
r
λnj
(e)
E0z = E0 Jn (λnj r) (An cos nϕ + Bn sin nϕ)
E0r = −iE0
B0r = E0
iǫr µr k
(e)
J (λ r) (−An sin nϕ + Bn cos nϕ) n
(e)2 rc n nj
λnj
B0φ = E0
−iǫr µr k ′ (e)
Jn (λnj r) (An cos nϕ + Bn sin nϕ)
(e)
λnj c
(6.66)
Si puo’ verificare che la condizione al contorno per il campo elettrico tangenziale e’ soddisfatta, in quanto E0r = E0ϕ = 0 per r = a. Come si può
~0
facilmente verificare, anche in questo caso il prodotto scalare del vettore E
~ 0 è nullo, mentre E
~ 0, B
~ 0 e αnj ~k non formano più una terna
col vettore B
destrorsa. É poi, nuovamente vero che non esiste più una semplice relazione
~0 e B
~ 0 e che il flusso di energia netto è dato dalla
tra i moduli dei vettori E
sola componente longitudinale del vettore di Poynting.
In figura 6.10 è riportato l’andamento in funzione della coordinata
radiale e di quella angolare di E0z , nonchè il grafico bidimensionale di E0z
nel caso in cui si considera J1 (λr) con λ = ξ11 /a, con una dimensione radiale
a pari a 10 unità.
Nel caso di onde di tipo magnetico avremo:
B0z = B0 Jn (λr) (A′n cos nϕ + Bn′ sin nϕ)
(6.67)
con la condizione al contorno (6.60), la quale richiede che sia:
Jn′ (λa) = 0
(6.68)
Se indichiamo ora con ηn1 , ηn2 , ηn3 , ..., ηnj , ... gli zeri positivi non nulli,
disposti in ordine crescente, della Jn′ (λr) (cfr. la figura F.2), gli autovalori di
λ, per le onde di tipo magnetico, saranno
ηnj
(m)
(n = 0, 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ...)
(6.69)
λ = λnj =
a
(m)
q
(m)2
con i corrispondenti valori αnj
=
ǫr µr k 2 − λnj . Sostituendo tali espressioni nella (6.56) in cui sia stato posto E0z = 0, si ottengono le
espressioni esplicite di E0r , E0ϕ , B0r , B0ϕ , non riportate esplicitamente per
brevità.
98
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
Figura 6.10:
6.3. CAVO COASSIALE
99
Tanto nel caso di onde T.M. che T.E. esiste dunque una successione
doppiamente infinita di autovalori del parametro λ, ciascuno caratterizzato
da due numeri interi, per i quali si ha propagazione lungo la guida. Per le
onde T.M. il più piccolo autovalore di λ è λe01 = ξa01 ≃ 2.4
e quindi
a
(e)
νmin =
1.2 c
√
πa ǫr µr
(6.70)
Per le onde T.E., se indichiamo con η0 il più piccolo degli zeri ηnj della (6.68),
si ha:
η0 c
(m)
(6.71)
νmin =
√
2πa ǫr µr
Ma qui, contrariamente a quello che avviene per gli zeri ξnj delle Jn (λr), il
più piccolo degli zeri delle Jn′ (λr) non è η01 bensı́ η11 ≃ 1.841, come si può
dimostrare da alcune relazioni di ricorrenza delle Jn′ (λr) e Jn (λr) (cfr. la
figura F.2), per cui risulta η11 < ξ01 . Ne segue che mentre per le onde T.M.,
quella di più bassa frequenza che si può propagare nel tubo è la T.M.01 ,
per le onde T.E. sarà la T.E.11 , e la prima a propagarsi al di sopra della
frequenza critica sarà la T.E.11 , diversamente dal caso della guida a sezione
rettangolare ove il primo modo di propagazione e’ di tipo T.E.01 o T.E.10 .
6.3
Cavo coassiale
Col nome di cavo coassiale si intende un tubo limitato da due cilindri metallici
circolari e coassiali che serve a guidare un’onda E.M. che si propaga nello
spazio anulare tra i due cilindri.
Indicheremo con a il raggio del cilindro esterno, con b il raggio di
quello interno e riferiremo al solito i campi interni alla guida a coordinate
cilindriche r, ϕ, z, con z asse della guida.
Analogamente al caso precedente, il problema si riduce ancora a determinare la soluzione delle (6.61) e (6.62) con le rispettive condizioni al
contorno:
E0z = 0
per r = a, r = b
(6.72)
e
∂B0z
= 0 per r = a, r = b
∂r
(6.73)
Ma qui l’asse z non è più compreso nel dominio di propagazione dell’onda e
quindi non è più necessario imporre la condizione che la funzione R(r) definita
100
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
dall’equazione differenziale (6.61) sia regolare per r = 0, ma solamente per
b ≤ r ≤ a. In questo caso le soluzioni sono le funzioni di Bessel Jn (λr) e
di Neumann Nn (λr) di ordine n. Possiamo perciò prendere come soluzione
della (6.61) una combinazione lineare a coefficienti costanti delle suddette
funzioni, ponendo:
R(λr) = C Jn (λr) + D Nn (λr)
(6.74)
Per le onde di tipo T.M. avremo allora:
E0z = E0 [C Jn (λr) + D Nn (λr)] (An cos nϕ + Bn sin nϕ) (6.75)
con la condizione (6.72). Ne segue che deve essere:
C Jn (λa) + D Nn (λa) = 0
C Jn (λb) + D Nn (λb) = 0
(6.76)
Queste equazioni, lineari omogenee in C e D, sono compatibili soltanto
quando il loro determinante è nullo, cioè:
Jn (λa) Nn (λb) − Jn (λb) Nn (λa) = 0
(6.77)
I valori accettabili per λ, cioè gli autovalori di λ, sono le radici dell’equazione
trascendente (6.77), che disposte in ordine crescente indicheremo con βn1 ,
βn2 , βn3 , ..., βnj . Avremo allora:
C
Nn (βnj a)
Nn (βnj b)
= −
= −
D
Jn (βnj a)
Jn (βnj b)
(6.78)
e potremo assumere:
2
E0z = E0 βnj
[Nn (βnj a) Jn (βnj r) − Jn (βnj a) Nn (βnj r)]
(Anj cos nϕ + Bnj sin nϕ)
(6.79)
con Anj , Bnj costanti arbitrarie. Sostituendo nelle (6.56), in cui si sia posto
~0 e B
~ 0 che definiscono il modo
B0z = 0, si ottengono le altre componenti di E
di propagazione. Si puo’ verificare che anche in questo caso le componenti
tangenziali del campo elettrico si annullano sulle pareti metalliche del cavo.
Per le onde di tipo T.E. avremo analogamente:
B0z = B0 [C ′ Jn (λr) + D ′ Nn (λr)]
(An cos nϕ + Bn sin nϕ)
con la condizione al contorno (6.73).
(6.80)
101
6.3. CAVO COASSIALE
Sarà pertanto:
C ′ Jn′ (λa) + D ′ Nn′ (λa) = 0
C ′ Jn′ (λb) + D ′ Nn′ (λb) = 0
(6.81)
da cui segue
Jn′ (λa) Nn′ (λb) − Jn′ (λb) Nn′ (λa) = 0
(6.82)
che è l’equazione trascendente che determina gli autovalori del parametro
λ, che, disposti in ordine crescente, indicheremo con γn1 , γn2 , γn3, ..., γnj .
Avremo ora:
C′
Nn′ (γnj a)
Nn′ (γnj b)
=
−
=
−
(6.83)
D′
Jn′ (γnj a)
Jn′ (γnj b)
e pertanto potremo assumere:
2
B0z = B0 γnj
[Nn′ (γnj a) Jn (γnj r) − Jn′ (γnj a) Nn (γnj r)]
′
A′nj cos nϕ + Bnj
sin nϕ
(6.84)
′
con A′nj , Bnj
costanti arbitrarie. Sostituendo nelle (6.56), in cui si sia posto
~0 e B
~ 0 e si puo’ verificare
E0z = 0, si ottengono le altre componenti di E
che le componenti tangenziali del campo elettrico si annullano sulle pareti
metalliche del cavo.
Concludendo, anche per i cavi coassiali vi è per ogni intero n (n =
0,1,2,3,...) una successione di infiniti autovalori del parametro λ. Inoltre ad
ogni valore di n e di j corrisponde un valore minimo di k per il quale la
propagazione del tipo di onda considerata è possibile. Si può osservare che,
a parità di raggio esterno a, le frequenze critiche corrispondenti ai modi di
oscillazione di un cavo coassiale costituiscono un insieme più denso di quello
della guida d’onda a sezione circolare e quindi il cavo coassiale è più adatto
alla trasmissione di segnali analizzabili in serie di Fourier.
Una particolarità del cavo coassiale è che, a differenza di quanto succede in una guida d’ onda, in esso il modo TEM è non solo possibile ma
anche dominante: tale modo è privo di frequenza di taglio, perchè per esso
il numero d’ onda αnj è sempre reale e coincide con il valore caratteristico
~ = c/n|B|
~ e,
del mezzo indefinito. Per tale modo vale anche la relazione |E|
~ B
~ e αnj~k formano una terna destrorsa.
come ovvio, i vettori E,
Per completezza possiamo osservare che il modo TEM non puo’ sussistere in una guida formata da un solo conduttore perchè, possedendo solamente componenti dei campi trasversali alla direzione di propagazione, per
essi devono valere le equazioni di Maxwell:
~ 0T EM = 0, ∇t · E
~ 0T EM = 0,
∇t × E
(6.85)
102
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
dove ∇t indica l’ operatore vettoriale ∇ ove si considerino le sole compo~ 0T EM è soluzione di un problema
nenti trasversali. Questo vuole dire che E
elettrostatico bidimensionale, per cui oltre alle già menzionate relazioni sul
numero d’ onda e sui moduli del vettori, siccome la superficie del cilindro
metallico della guida deve essere equipotenziale, il campo elettrico all’ interno è identicamente nullo. Non è dunque possibile sostenere il modo TEM
con una struttura costituita da un unico conduttore, ma è necessario avere
due o più superfici cilindriche distinte, come per il cavo coassiale e la linea
di trasmissione a fili paralleli.
6.4
Attenuazione lungo una guida d’onda reale
Finora abbiamo trattato il problema della propagazione di onde E.M. con
interessanti conseguenze, ma con ipotesi non fisiche, in particolare una: che
lo spessore del conduttore fosse eguale a zero. Chiediamoci quale sia l’effetto
di pareti metalliche di spessore finito, costituite da buoni conduttori metallici
(con ρ piccola, ma non nulla).
Il valore grande ma limitato della conducibilita’ σ del metallo fa si’ che
la profondita’ di pelle dello stesso, δ, sia diversa da zero, benche’ piccola, e
che, come conseguenza, il campo elettrico dell’ onda penetrando nella parete
metta in movimento gli elettroni di conduzione, liberi di muoversi con relativa
facilita’, dissipando per effetto Joule una parte della energia e.m. dell’ onda.
Nel caso delle guide d’onda ideali trattato fino ad ora E0z si annulla
sulla superficie, senza penetrare in essa. In realtà, si può dimostrare che, se
σ è grande, la costante di propagazione α conterrà dei piccoli termini addizionali, reali ed immaginari. Indicando, cioè, con α0 anzichè α, la costante
di propagazione nel caso della guida ideale trattata in precedenza, sarà:
α = α0 + ζλ + iβλ
(6.86)
dove ζλ è una correzione ininfluente, che diventa importante solo alla frequenza di taglio del modo considerato, dove α = 0, e βλ può essere considerato
come la costante di attenuazione della potenza trasmessa nella guida:
P (z) = P (0) e−2βλ z
(6.87)
ζλ e βλ dipendono dal particolare modo considerato. Si può dimostrare che
βλ è data dalla formula:
βλ =
s
i
ǫr 1 C (ν/νλ )1/2 h
ξλ + ηλ (ν/νλ )2
µr σδλ 2∆ 1 − ν 2
ν2
λ
(6.88)
103
6.5. CAVITÀ RISONANTI
dove νλ è la frequenza critica del modo considerato, corrispondente all’autovalore λ, C è la lunghezza del contorno della guida, ∆ la sezione della guida,
σ la conducibilità e δλ la profondità di pelle alla frequenza critica considerata, ξλ e ηλ numeri puri dell’ordine di grandezza dell’unità. Si fa notare che
ηλ per i modi T.M. è nulla.
Il calcolo dei parametri adimensionali ξλ e ηλ nella (6.88) può essere effettuato senza complicazioni di principio. Ad esempio, per la guida
rettangolare ed il modo T E01 , i valori sono ξ01 = a/(a+b) e η01 = 2b/(a+b).
Il comportamento di βλ in funzione di ν/νλ è rappresentato in figura
6.11. L’attenuazione minima si ha per una frequenza superiore a quella
Figura 6.11:
critica. Per i modi T.E. i valori relativi di ξλ e ηλ dipendono dal contorno
della guida e da λ, e quindi non è possibile fare considerazioni generali sulla
frequenza alla quale si ha l’attenuazione
√ minima. Per i modi T.M., invece, il
3 νλ . Ad alte frequenze l’attenuazione
minimo si ha sempre per νmin =
1/2
varia come ν . Come ordine di grandezza, in una guida con pareti di
rame βλ corrisponde ad una lunghezza di attenuazione dell’ordine di qualche
centinaio di metri (200–400 m) nella regione di frequenza delle microonde.
Va osservato che l’ approssimazione nella quale viene valutato il parametro
βλ come rappresentato nella figura (6.11) non e’ piu’ valida per frequenze
molto prossime al valore di taglio, ove βλ tende ad infinito sia per modi T.M.
che per modi T.E., cosa fisicamente impossibile.
6.5
Cavità risonanti
Affrontiamo ora il problema di studiare la risonanza di onde E.M. nel caso
tridimensionale. In altre parole chiediamoci se è possibile immagazzinare
104
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
l’energia E.M. in un volume delimitato da una superficie chiusa metallica
conduttrice. La risposta è affermativa e consideriamo per semplicità il caso
ideale già affrontato con le guide d’onda, e cioè spessore dei conduttori nullo
e conducibilità infinita. È immediato constatare che anche in questo caso la
condizione al contorno affinchè non ci sia dissipazione di energia per effetto
Joule è che in ogni punto della superficie chiusa sia soddisfatta la condizione
(6.16).
Consideriamo una guida d’onda di sezione rettangolare chiusa da due
piani perpendicolari all’asse z, posti nell’origine e ad una distanza d.
Come si è visto nel caso della guida d’ onda rettangolare, le componenti dei campi risultano essere stazionarie nelle dimensioni trasversali della
guida. Pensando di estendere la trattazione fatta in quel caso anche alla
terza dimensione, per ottenere onde stazionarie, e dunque confinamento, anche lungo l’asse z, si deve ipotizzare che nella cavita’ si abbiano dei campi
longitudinali del tipo:
Ez = E0z (x, y) [F sin rz + G cos rz]
Bz = B0z (x, y) [F sin rz + G cos rz]
(6.89)
(6.90)
(6.91)
nel caso di onde T.M. e T.E. rispettivamente, con E0z (x, y) dato dalla (6.39)
e B0z (x, y) dato dalla (6.47), e relazioni analoghe per le altre componenti dei
campi, in completa analogia con la trattazione delle guide d’ onda a sezione
rettangolare. E’ immediato verificare, allora, che r deve essere eguale a o π/d
con o numero intero e F e G devono essere posti eguali a zero rispettivamente
per onde T.M. e onde T.E., per evitare perdite ohmiche sulle pareti metalliche
poste in z = 0 e z = d. Gli autovalori relativi alle soluzioni (degeneri, come
noto) (6.91) saranno dati da:
λ2mno = π 2
m2
n2
o2
+
+
a2
b2
d2
!
(6.92)
corrispondenti alle frequenze:
νmno
c
=
√
2 ǫr µr
m2
n2
o2
+
+
a2
b2
d2
!1/2
ed alle autofunzioni, nel caso di onde T.M.:
nπ
oπ
mπ
x sin
y sin z
a
b
d
mπ
nπ
oπ
sin
x cos
y sin z
a
b
d
Ex = −i Cmno αmno cos
Ey = −i Cmno αmno
(6.93)
105
6.5. CAVITÀ RISONANTI
mπ
nπ
oπ
x sin
y cos z
a
b
d
nπ
oπ
mπ
x cos
y sin z
ǫr µr sin
a
b
d
mπ
nπ
oπ
ǫr µr cos
x sin
y sin z
a
b
d
Ez = Cmno λ2mno sin
Bx = i Cmno
By = −i Cmno
(6.94)
ovvero, nel caso di onde T.E.:
mπ
x
a
mπ
′
Ey = −i Cmno
kc sin
x
a
mπ
′
x
Bx = i Cmno
αmno sin
a
mπ
′
By = i Cmno
αmno cos
x
a
mπ
′
Bz = Cmno
λ2mno sin
x
a
′
Ex = i Cmno
kc cos
nπ
y
b
nπ
cos
y
b
nπ
cos
y
b
nπ
sin
y
b
nπ
sin
y
b
sin
oπ
z
d
oπ
sin z
d
oπ
sin z
d
oπ
sin z
d
oπ
sin z
d
sin
(6.95)
ove la soluzione completa sara’ data dal prodotto delle componenti (6.94) o
(6.95) per il fattore temporale e−iωt .
Notiamo due aspetti delle soluzioni trovate. Se paragoniamo la (6.93)
con la (4.15), notiamo che, mentre le onde libere possono avere qualsiasi
valore di ω, quelle risonanti in una scatola chiusa da pareti metalliche possono
avere soltanto valori discreti della frequenza, dipendenti dai tre interi m, n,
o. Ancora, ricordando la (6.37) si può considerare l’onda stazionaria in una
scatola come l’onda propagantesi in una guida con k esattamente uguale a
√
λmn / ǫr µr , e quindi vg = 0, con l’ulteriore condizione, per le componenti
trasversali, di avere un nodo per z = 0 e z = d.
É evidente dalle (6.94) che la condizione al contorno relativa alle
componenti tangenziali del campo elettrico (6.25) è soddisfatta in quanto
sulle pareti terminali, in z = 0 e z = d, le componenti E0x e E0y si annullano,
mentre la componente E0z , essendo perpendicolare a tali pareti, si attenua nel
metallo in base alla profondità di pelle δ del materiale specifico, idealmente
nulla. Si è ottenuta, adesso, una completa simmetrizzazione delle espressioni
delle componenti dei campi, come logico dal momento che in questo caso non
vi è più una direzione privilegiata, quella di propagazione.
Un ragionamento analogo vale anche per cavita’ risonanti a sezione
circolare, ottenute chiudendo una guida d’ onda circolare con due piani metallici perpendicolari all’ asse del cilindro e posti a distanza d uno rispetto
all’ altro. Le espressioni delle componenti dei campi potranno essere ottenute
da quelle della corrispondente guida d’ onda moltiplicandole per un termine
cos oπ
z o cos oπ
z in modo da ottenere la condizione di stazionarieta’ voluta
d
d
106
CAPITOLO 6. GUIDE D’ONDA
anche lungo l’ asse del cilindro, cioe’, per le componenti longitudinali dei
campi si avra’ esplicitamente:
oπ
z
d
oπ
= B0 Jn (λnj )[An cos nϕ + Bn sin nϕ] sin z
d
Ez = E0 Jn (λnj )[An cos nϕ + Bn sin nϕ] cos
(6.96)
Bz
(6.97)
(6.98)
per onde T.M. e T.E. rispettivamente, con l’ opportuno significato della
costante λnj in ciascun caso. I corrispondenti autovalori avranno espressione:
λ2mno
s
=
τnj
a
2
+
oπ
d
2
(6.99)
dove τnj indica lo zero della corrispondente funzione di Bessel di prima specie
(onde T.M.) o della sua derivata prima (onde T.E.) ed a indica il raggio della
sezione circolare della cavita’ cilindrica.
Come per il caso delle guide d’onda, una cavità reale, con spessore finito e conducibilità σ non infinita, non si comporterà come la schematizzazione
descritta. L’effetto che ci si può aspettare è che le frequenze di risonanza νmno
definite dalla (6.93) non siano esattamente definite, ma abbiano un certo allargamento, dovuto alla dissipazione dell’energia E.M. per effetto Joule sulle
pareti.
Per caratterizzare una cavità risonante si definisce il fattore di merito
o fattore Q, definito come:
energia immagazzinata nell′ interno della cavita′
=
energia persa per ciclo
energia immagazzinata nell′ interno della cavita′
= ω
(6.100)
energia persa per secondo
Q = 2π
Dal teorema della conservazione dell’energia, indicata con U, e dalla definizione di Q si ricava che:
dU
ωU
= −
dt
Q
(6.101)
da cui
U(t) = U(0) e
−ωt
Q
(6.102)
cioè se si immagazzina al tempo t = 0 l’energia U(0) nella cavità, essa decade esponenzialmente con una costante inversamente proporzionale a Q.
6.5. CAVITÀ RISONANTI
107
La (6.102) significa che le oscillazioni del campo elettrico nella cavità sono
smorzate con la legge:
−ωt
E(t) = E0 e 2Q e−iωt
(6.103)
in cui si è tenuto conto che U ∝ E 2 .
Ricordando la trattazione svolta per il dipolo oscillante smorzato (paragrafo 5.3) si trova in maniera del tutto analoga che la curva di risonanza
di una cavità è una Lorentziana del tipo:
| E(ω) |2 = cost ·
1
(ω − ω0 )2 + (ω0 /2Q)2
(6.104)
Il parametro ω0 /2Q determina, come è noto, la larghezza della Lorentziana,
e quindi una cavità sarà tanto più efficace quanto più Q è grande. Per
cavità con pareti di rame si arriva a valori di Q di 104 . Usando materiali
superconduttori (σ → ∞) si può arrivare a valori di Q 2–3 ordini di grandezza
superiori.