Sfera dielettrica in E uniforme

Sfere ed ellissoidi dielettrici hanno la peculiarità che
E,P e D sono uniformi all’interno e fra loro paralleli
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5-1
Esempi
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Calcolo del campo all’interno di una sfera dielettrica
immersa in un campo elettrico uniforme E0
a
E0
Equazione di Laplace per il potenziale
1  2 V
1
 
V 
1
 2V
(r
) 2
0
 sin 
 2 2
2
2
r r
r
r sin   
  r sin  
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Il problema ha simmetria azimutale attorno alla direzione del
campo esterno (che prendiamo lungo l’asse z). Possiamo quindi
limitarci a cercare soluzioni che non dipendono da .
Il problema è simile a quello della sfera conduttrice con
una differenza sulle condizioni al contorno
 per il conduttore V=costante sulla superficie della sfera
 per il dielettrico si devono soddisfare le condizioni al
contorno per E
Cerchiamo la soluzione sotto la forma
U (r )
V (r ,  ) 
P( )
r
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dU
U
d 
dP 
P 2  2
 sin 
0
dr
r sin  d 
d 
2
Dividiamo per UP
r 2 d 2U
1
d 
dP 

 sin 
0
2
U dr
P sin  d 
d 
Dato che il termine a sinistra è solo funzione di r mentre
quello di destra è solo funzione di  entrambi devono essere
uguali a delle costanti l1l2 = 0
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5-5
2
2
r dU
 l1
2
U dr
1
d 
dP 
 sin 
  l2  l1
P sin  d 
d 
Questa equazione differenziale ha soluzioni regolari
e periodiche se la costante
l1 = n(n+1) dove n è un intero positivo o nullo.
In tal caso le soluzioni sono i polinomi di Legendre
Pn(cos )
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Po (cos  )  1
P1 (cos  )  cos 
1
P2 (cos  )  (3 cos 2   1)
2

Verificare per n=0 (banale) e per n=1 (facile)
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5-7
I polinomi di Legendre sono fra loro ortogonali
1
 P ( x) P ( x)dx  0
n
m
per n  m
1
1
2
1 P ( x)dx  2n  1
2
n
ed è quindi possibile scrivere qualunque funzione di  sotto forma
di serie di Pn
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5-8
Per l’equazione radiale abbiamo quindi
d 2U n(n  1)

U 0
2
2
dr
r
Poniamo U = A ra. Troviamo facilmente per sostituzione
a(a1) = n(n+1) che ha due soluzioni per a:
n(n  1) a
a (a  1)r 
r 0
2
r
 a (a  1)  n(n  1)
a 2
 a  n  1 oppure a  n
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5-9
d U n(n  1)

U 0
2
2
dr
r
2
Le soluzioni per V sono quindi
a) V = A rn
b) V = B r-n-1
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regolare nell’origine
regolare all’infinito
5-10
La soluzione più generale per il potenziale elettrostatico
si scrive quindi sotto forma di serie

V (r , )   ( An r n  Bn r ( n1) ) Pn (cos  )
n 0
in cui A e B vanno scelti in base alle condizioni al contorno.
Esempio: campo elettrico uniforme in direzione z.
Resta solo il termine n=1 con A1=-E0 e tutti i B=0
Infatti
V   E0 r P1 (cos  )   E0 r cos    E0 z
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5-11
Sfera dielettrica
Condizioni al contorno per r = a. Sulla superficie di separazione
la continuità dev’essere soddisfatta per
• la componente normale di D (divergenza = 0)
• la componente tangenziale di E (rotore = 0)
Dn(int)  Dn( ext )
( int )
t
E
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E
( ext )
t
5-12
Le soluzioni saranno
per r  a
V1   An r n Pn (cos  )
campo esterno
n
per r > a
V2   ( Bn r n  Cn r ( n1) ) Pn (cos  )  E0 rP1 (cos  )
n
Con le condizioni seguenti per r = a
V
1) radiale  
r
continua
1 V
2) tangenzial e 
r 
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continua
5-13
Dev’essere Bn = 0 per n > 1 altrimenti il potenziale diverge come
r2 all’infinito. Inoltre anche B1 = 0
Utilizzando la due condizioni per r = a troviamo per n > 1
 1nAn a n   2 (n  1)Cn a  ( n 1)
An a n  Cn a ( n 1)

 1n   2 (n  1)  impossibile
pertanto per n > 1
An  Bn  Cn  0
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5-14
Per n=1 otteniamo infine
A1   E0  C1a 3
1 A1   2 E0  2 2C1a 3
Moltiplicando la prima per 22 e sommando
2 2 A1  2 2 E0  2 2C1a 3
 1 A1   2 E0  2 2C1a 3

(2 2   1 ) A1  3 2 E0
E1 
3 E0
1
2
2
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5-15
Se all’esterno siamo nel vuoto o in aria 2 = 0
pertanto 1/2  r è la costante dielettrica relativa
del dielettrico
3E0
E1 
r  2
Il campo elettrico è quindi uniforme e diretto
nella direzione di z come il campo esterno all’infinito.
Per il termine in C1 abbiamo
 r 1
C1  a
E0
r  2
3
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5-16
Il termine in C1 corrisponde a un potenziale di dipolo
cos 
Vdip  C1 2
r
con un momento


3  r 1
p  4  0C1  4  0  a
E0
r  2
Verifichiamo per consistenza che integrando il vettore
P sul volume della sfera otteniamo p.
La polarizzazione è data da


 r 1 
P   0 ( r  1) E1  3 0
E0
r  2
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5-17
Moltiplicando il vettore P (costante!)
per il volume della sfera otteniamo
proprio p

 4 3
 r 1 
3  r 1
p    a 3 0
E0  4  0 a
E0
r  2
r  2
3

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5-18
Se avessimo assunto a priori P = costante
allora la densità di cariche di polarizzazione
sulla superficie della sfera sarebbe stata sp = P cos .
Utilizzando il risultato ottenuto per la sfera conduttrice
sappiamo che questa distribuzione di carica
crea un campo uniforme al suo interno


P
EP  
3 0
Il campo nel dielettrico è quindi la sovrapposizione del
campo esterno e di questo campo



P
E1  E0 
3 0
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5-19
e usando


P   0 ( r  1) E1
otteniamo di nuovo


3E0
E1 
r  2

 r 1 
P  3 0
E0
r  2
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5-20
Possiamo vedere facilmente che se r >> 1 il campo elettrico
è quasi normale alla superficie della sfera, come se questa fosse
un conduttore. Per r  a dall’interno della sfera

E  
  A1 cos 
r
1 
E||  
 A1 sin 
r 
Immediatamente all’esterno della sfera invece
E    r A1 cos 
E||  A1 sin 
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Eext   r Eint
E
E||ext  E||int
E||
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