ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2003
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
■
PROBLEMA 1
Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.
a) Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in
T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.
b) Considerato il tetraedro regolare T v avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le
lunghezze degli spigoli di T e T v e il rapporto fra i volumi di T e T v.
c) Condotto il piano ␣, contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e posto che uno
spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.
d) Considerata nel piano ␣ la parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti
A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali e trovare l’equazione di p.
e) Determinare per quale valore di s la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta EA ha area
兹苶
2
ᎏᎏ cm2.
3
■
PROBLEMA 2
2x ⫹ 1
È assegnata la funzione f (x) ⫽ ᎏ
ᎏ, dove m è un parametro reale.
x 2 ⫹ m ⫹ °m°
a) Determinare il suo dominio di derivabilità.
b) Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per x ⫽ 1.
c) Studiare la funzione f (x) corrispondente al valore di m così trovato e disegnarne il grafico ␥ in un piano
riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo aver stabilito quanti sono esattamente i
flessi di ␥ ed aver fornito una spiegazione esauriente di ciò.
d) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dal grafico ␥, dall’asse x e dalla retta di equazione x ⫽ 1.
■
1
QUESTIONARIO
Dopo aver fornito la definizione di “rette sghembe”, si consideri la seguente proposizione: «Comunque si
prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono
sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe». Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
1
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2
Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.
3
Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in al苶B
苶. Dal punto A si può però accedere al
cun modo, così da impedire una misura diretta della distanza A
punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pur rimanendo impossibile misurare direttamente
苶, è tuttavia possibile misurare la distanza 苶
AP
苶. Disponendo degli strumenti di misura necessari
la distanza 苶
PB
e sapendo che P non è allineato con A e B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la distanza A
苶B
苶.
4
Il dominio della funzione f (x) ⫽ ln{兹x
苶⫹
苶苶
1 ⫺ (x ⫺ 1)} è l’insieme degli x reali tali che:
A) ⫺1 ⬍ x ⱕ 3;
B) ⫺1 ⱕ x ⬍ 3;
C) 0 ⬍ x ⱕ 3;
D) 0 ⱕ x ⬍ 3.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta effettuata.
5
6
7
La funzione 2x 3 ⫺ 3x 2 ⫹ 2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta
l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione
è positivo o negativo.
La derivata della funzione f (x) ⫽
giustificare l’affermazione.
冕e
x2
0
⫺t 2
dt è la funzione f v(x) ⫽ 2xe ⫺x . Eseguire tutti i passaggi necessari a
4
Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1:
1, 2, 3, …, n ⫺ 1, n,
moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta uguale
a:
1
A) ᎏᎏ n 2(n ⫹ 1)2 ;
4
1
B) ᎏᎏ n(n 2 ⫺ 1);
3
1
C) ᎏᎏ n(n ⫹ 1)(n ⫹ 2)(3n ⫹ 1);
24
1
D) ᎏᎏ n(n 2 ⫺ 1)(3n ⫹ 2).
24
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta operata.
8
x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x ⫺ y ⫽ 2. Il numero x 3 ⫺ y 3:
A) è divisibile per 2 e per 3.
B) è divisibile per 2 ma non per 3.
C) è divisibile per 3 ma non per 2.
D) non è divisibile né per 2 né per 3.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.
9
Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.
10
Il valore dell’espressione log2 3 ⭈ log3 2 è 1. Dire se questa affermazione è vera o falsa e fornire una esauriente spiegazione della risposta.
Durata massima della prova: 6 ore
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
2
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SOLUZIONE DELLA PROVA D’ESAME
CORSO DI ORDINAMENTO • 2003
■
PROBLEMA 1
D
a) Detto s lo spigolo del tetraedro T, si ha che AK e DK sono le al兹苶
3
tezze di due facce di T (figura 1) e misurano s ᎏᎏ . Le altezze
2
AK e DK sono anche bisettrici e mediane. L’altezza DH cade nel
1
兹苶
3
苶K
苶 ⫽ ᎏᎏ A
苶K
苶 ⫽ s ᎏᎏ . L’albaricentro del triangolo ABC, quindi H
3
6
tezza DH si può calcolare con il teorema di Pitagora applicato al
2
triangolo DHK (figura 2): risulta D
苶H
苶 ⫽ s ᎏᎏ .
3
䊳 Figura 1.
冪莦莦
A
1 兹苶
3
Il volume risulta: V ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ s 2 ⭈ s
3
4
C
K
H
B
Le altezze del tetraedro si incontrano nel punto O, centro della sfera inscritta in T,
che ha raggio OH ⫽ OP ⫽ r.
I triangoli rettangoli KOH e KOP sono congruenti, allora KO è la bisettrice di
␥
兹苶
3
␥
HK̂P⫽␥. Considerando il triangolo OHK, si può scrivere: r⫽H
苶苶
K ⭈tgᎏᎏ⫽s ᎏᎏ⭈tgᎏᎏ,
2
6
2
苶H
D
苶
ma tg␥ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 2兹2苶, da cui, attraverso le formule di bisezione si giunge a:
苶K
H
苶
␥
兹苶
s
2
tg ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . In definitiva risulta: r ⫽ ᎏᎏ .
2
2
2兹6苶
1
兹苶
3
La superficie del tetraedro è: S ⫽ 4 ⭈ ᎏᎏ s ⭈ ᎏᎏ s ⫽ s 2 兹3苶 ⫽ r 2 ⭈ 24兹3苶.
2
2
冢
P
O
冣
D
P
O
a
H
K
冪ᎏ莦23ᎏ莦 ⫽ ᎏ兹12ᎏ2苶 s ⫽ r ⭈ 8兹3苶, da cui segue: V ⫽ ᎏ13ᎏ ⭈ S ⭈ r.
3
3
䊱 Figura 2.
b) HP è uno spigolo del tetraedro T v, con riferimento al triangolo HPK, nel quale si nota che
␥
H
苶苶
P
␥
␥
HK
苶
苶
KĤP ⫽ KP̂H ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ , si ha: ᎏᎏ ⫽ ᎏ
HP
苶⫽2⭈H
苶K
苶 ⭈ sen ᎏᎏ . Dal valore di tg ᎏᎏ si ricava
␥ 苶
2
2
2
2
sen ␥
cos ᎏᎏ
2
␥
1
兹苶
1
3
s
1
苶P
苶 ⫽ 2 ⭈ s ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ , da cui si ha: V v ⫽ ᎏᎏ V.
sen ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ . Allora sv ⫽ H
D
2
兹苶
3
6
兹苶
3
3
27
c) Con riferimento alla figura 3, detto F il punto medio di AB, allora DF e CF sono le mediane delle facce ADB e ACB rispettivamente, il triangolo DFC è quindi isoscele e l’altezza EF è anche mediana: il piano ␣ interseca CD nel punto medio E. AE è
la mediana della faccia CAD, BE è la mediana della faccia CBD,
quindi ABE è isoscele e la mediana EF è anche altezza. Dal
teorema di Pitagora per AEF :
E
苶F苶 ⫽ 兹A
苶E
苶苶2苶
⫺苶
苶F苶苶2苶 ⫽
A
冪莦莦冢 莦莦冣 莦莦冢莦莦冣
s
兹3苶 2
sᎏ ⫺ ᎏ
2
2
2
兹苶
2
⫽ s ᎏᎏ .
2
䊳 Figura 3.
3
E
C
A
F
B
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d) Scelto il sistema di riferimento con origine nel punto F, asse delle ascisse coincidente con la retta orientata AB, asse delle ordinate coincidente con la retta orientata FE (figura 4), si scrive l’equazione della
s
s
兹苶
2
parabola y ⫽ ax 2 ⫹ bx ⫹ c, passante per i punti A ⫺ ᎏᎏ ; 0 , B ᎏᎏ ; 0 , E 0; s ᎏᎏ .
2
2
2
冦
冢
冢 冣 冢 冣
冢 冣 冢 冣
冣 冢 冣 冢
冣
冦
s 2
s
2兹2苶
0 ⫽ a ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ b ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ c
a ⫽ ⫺ ᎏᎏ
2
2
s
2
2苶 x 2 ⫹ s ᎏ
2 .
2兹ᎏ
兹ᎏ
苶
s
s
Risulta: 0 ⫽ a ⭈ ᎏᎏ ⫹ b ⭈ ᎏᎏ ⫹ c
b⫽0
y⫽⫺ᎏ
s
2
2
2
兹苶
2
c ⫽ s ᎏᎏ
兹苶
2
2
s ᎏᎏ ⫽ c
2
y
E
A
B
F
x
䊴 Figura 4.
2
1
e) L’area del segmento parabolico ABE è A1 ⫽ ᎏᎏ ⭈ A
苶B
苶⭈E
苶F苶, l’area del triangolo ABE risulta A2 ⫽ ᎏᎏ ⭈ A
苶B
苶⭈E
苶F苶.
3
2
1
1
1
L’area delimitata dalla parabola e dalla retta EA è quindi: A ⫽ ᎏᎏ ⭈ (A1 ⫺ A2) ⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⭈ A
苶B
苶⭈E
苶F苶 ⫽
2
2
6
2
1
1
兹苶
2
s 兹2苶
兹苶
2
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⭈ s ⭈ ᎏᎏ s ⫽ ᎏᎏ , che risulta pari a ᎏᎏ cm2 quando s ⫽ 2兹2苶 cm.
2
6
2
24
3
冢
冢
冣
4
冣
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■
PROBLEMA 2
2x ⫹ 1
a) La funzione f (x) ⫽ ᎏ
ᎏ, dove m è un parametro reale si può scrivere come:
2
x ⫹ m ⫹ °m°
冦
2x ⫹ 1
ᎏ
ᎏ,
x 2 ⫹ 2m
f (x) ⫽
2x ⫹ 1
ᎏᎏ
,
x2
per m ⬎ 0
, f (x) è derivabile
per m ⱕ 0
x 僆 R,
冦 x 僆 R ⫺ {0},
per m ⬎ 0
.
per m ⱕ 0
2x 2 ⫺ 2x (2x ⫹ 1)
f v(1) ⫽ ⫺ 4 ⫽ 0.
b) Per m ⱕ 0 risulta: f v(x) ⫽ ᎏᎏ
x4
2(x 2 ⫹ 2m) ⫺ 2x (2x ⫹ 1)
4(m ⫺ 1)
⫽ 0 m ⫽ 1.
Per m > 0 risulta: f v(x) ⫽ ᎏᎏᎏ
f v(1) ⫽ ᎏᎏ
2
2
(x ⫹ 2m)
(1 ⫹ 2m)2
2x ⫹ 1
c) La funzione da studiare è: f (x) ⫽ ᎏ
ᎏ . La funzione è definita su tutto R. Le intersezioni con gli assi
x2⫹2
1
1
sono: A ⫺ ᎏᎏ ; 0 con l’asse delle ascisse, B 0; ᎏᎏ con l’asse delle ordinate.
2
2
冢
冣
冢 冣
Si ha inoltre: lim f (x) ⫽ 0⫺ e lim f (x) ⫽ 0⫹. Il grafico ha l’asintoto orizzontale y ⫽ 0.
xA⫺⬁
xA⫹⬁
2(x 2 ⫹ 2) ⫺ (2x ⫹ 1) ⭈ 2x
⫺2(x 2 ⫹ x ⫺ 2)
⫺2(x ⫹ 2)(x ⫺ 1)
ᎏ⫽ᎏ
ᎏ,
La derivata prima risulta: f v (x) ⫽ ᎏᎏᎏ
⫽ᎏ
2
2
(x ⫹ 2)
(x 2 ⫹ 2)2
(x 2 ⫹ 2)2
冢
冣
1
f v (x) ⱖ 0 ⫺2 ⱕ x ⱕ 1, quindi (vedi anche figura 5) si ha un minimo nel punto m ⫺2; ⫺ ᎏᎏ ed un
2
massimo nel punto M (1; 1).
fv(x) <
–2
+
1
<
max
f(x)
min
䊴 Figura 5.
Studiando la derivata seconda si ottiene:
(2x ⫹ 1)(x 2 ⫹ 2) ⫺ 2(x 2 ⫹ x ⫺ 2) ⭈ 2x
2(2x 3 ⫹ 3x 2 ⫺ 12x ⫺ 2)
f w (x) ⫽ ⫺ 2 ⭈ ᎏᎏᎏᎏ
⫽ ᎏᎏᎏ
,
2
3
(x ⫹ 2)
(x 2 ⫹ 2)3
f w (x) ⱖ 0 2x 3 ⫹ 3x 2 ⫺ 12x ⫺ 2 ⱖ 0, l’equazione non si scompone con la regola di Ruffini, ma si osserva che, per il teorema fondamentale dell’algebra, ha al massimo tre radici, quindi tre flessi. I risultati ottenuti in precedenza per i limiti negli estremi del dominio ed i valori dei punti di massimo e di minimo
permettono di determinare che i flessi devono essere almeno tre. In definitiva i flessi sono proprio tre.
In conclusione si può tracciare il grafico della funzione (figura 6).
y
M(1; 1)
A(– 1
–; 0)
2
B(0; 1
–)
2
O
B
x
1
m(–2; ––)
2
䊴 Figura 6.
5
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d) L’area richiesta (figura 7) si ottiene dall’integrale:
A⫽
冕
2x ⫹ 1
ᎏ dx ⫽
1 ᎏ
0⫺ᎏᎏ x 2 ⫹ 2
2
1
冕
1
2x
ᎏ dx ⫹
1 ᎏ
2
0⫺ᎏᎏ x ⫹ 2
2
冕
1
2x
1
⫽ 1ᎏ
ᎏ dx ⫹ ᎏᎏ
2
A 0⫺ᎏ2ᎏ x ⫹ 2
2
冢
冕
冕
1
1
0⫺ᎏᎏ
2
1
ᎏ
ᎏ dx ⫽
2
x ⫹2
1
ᎏᎏ
dx ⫽
1
x 2
0⫺ᎏᎏ
2
ᎏᎏ ⫹ 1
兹2苶
1
冢
冣
冕
1
2x
1
ᎏ dx ⫹ ᎏᎏ
1 ᎏ
2
0⫺ᎏᎏ x ⫹ 2
兹苶
2
2
1
ᎏᎏ
兹苶
2
ᎏᎏ
dx,
1
x 2
0⫺ᎏᎏ
2
ᎏᎏ ⫹ 1
兹2苶
冕
1
冢
冣
冣
1
x
ma d ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ dx , allora
兹苶
2
兹苶
2
冤
冥
A ⫽ ln(x 2 ⫹ 2)
1
1
⫺ᎏᎏ
2
2
兹苶
x
⫹ ᎏᎏ arctg ᎏᎏ
2
兹苶
2
冤
冥
1
1
⫺ᎏᎏ
2
2
2
2
4
兹苶
兹苶
兹苶
⫽ ln ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ arctg ᎏᎏ ⫹ arctg ᎏᎏ ⫽ 0,963193.
2
2
4
3
冢 冣
冢
冣
y
O
1
x
䊴 Figura 7.
■
1
QUESTIONARIO
Due rette si dicono sghembe se non giacciono su uno stesso piano. La proposizione è falsa. Considerando
infatti le rette r, s, e t su cui giacciono gli spigoli di un parallelepipedo (figura 8), si verifica facilmente che
r e s sono sghembe, s e t sono sghembe, ma r e t non lo sono, in quanto incidenti in un vertice del parallelepipedo.
t
s
r
䊴 Figura 8.
2
In generale si ottiene un quadrilatero sezione convesso, con i seguenti casi particolari:
a) se il piano è parallelo alla base, il quadrilatero sezione è un quadrato;
b) se il piano è parallelo ad un lato del quadrato di base, il quadrilatero sezione ha due lati paralleli e due
no, si ottiene un trapezio isoscele;
c) se il piano è parallelo ad una diagonale del quadrato di base, si ottiene un romboide.
6
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3
Con riferimento alla figura 9 si misura direttamente la distanza AP, quindi si misurano con un goniometro
gli angoli ␣ e ␥, posti nei vertici A e P ai quali è possibile accedere e dai quali è visibile anche B. Si ricava
indirettamente l’angolo  posto nel vertice B:  ⫽ ⫺ ␣ ⫺ ␥.
AB
A
苶
苶
苶P
苶
苶P
A
苶 ⭈ sen ␥
Per il teorema dei seni: ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ AB ⫽ ᎏᎏ .
sen ␥
sen 
sen 
B
`
a
_
A
4
P
䊴 Figura 9.
Il dominio della funzione f (x) ⫽ ln{兹x
苶⫹
苶苶
1 ⫺ (x ⫺ 1)} si ottiene ponendo l’argomento del logaritmo
苶⫹
苶苶
1 ⫺ (x ⫺ 1) ⬎ 0 兹x
苶⫹
苶苶
1 ⬎ (x ⫺ 1). La disequazione è verificata per:
maggiore di zero, quindi 兹x
冦 xx ⫺⫹ 11 ⬍ⱖ 00 傼 冦 xx ⫺⫹ 11 ⱖ⬎ 0x ⫺ 2x ⫹ 1 冦 xx ⬍ⱖ 1⫺ 1 傼 冦 xx ⱖ⫺13x ⬍ 0 冦 xx ⬍ⱖ 1⫺ 1 傼 冦 x0 ⬍ⱖ x1 ⬍ 3
2
2
quindi le soluzioni sono: ⫺ 1 ⱕ x ⬍ 1 傼 1 ⱕ x ⬍ 3 ⫺ 1 ⱕ x ⬍ 3, ovvero la risposta B è esatta.
5
La funzione f (x) ⫽ 2x 3 ⫺ 3x 2 ⫹ 2 è una cubica, quindi ha al più tre intersezioni con l’asse delle ascisse. La
derivata prima risulta: f v(x) ⫽ 6x 2 ⫺ 6x ⱖ 0 per x ⱕ 0 e x ⱖ 1. Lo schema di figura 10 mostra che per x ⫽ 0
si ha un massimo e per x ⫽ 1 si ha un minimo.
y
+
0
<
1
+
(0; 2)
max
min
䊴 Figura 10.
(1; 1)
Risulta poi f (0) ⫽ 2 e f (1) ⫽ 1, quindi le coordinate dei punti di
massimo e di minimo sono, rispettivamente: M (0; 2) e m(1; 1).
Considerato che la funzione è continua in tutto R e che lim f(x) ⫽
xA⫾⬁
⫽ ⫾ ⬁, se ne deduce che la funzione interseca l’asse delle x in un
solo punto, di ascissa negativa, come risulta anche dal grafico di figura 11.
䊳 Figura 11.
x
冕
g(x)
6
Posto g (x) ⫽ x 2 la funzione f (x) è una funzione composta e risulta: f (x) ⫽ (g (x)) ⫽
e ⫺t dt. La deriva0
ta risulta: f v(x) ⫽ v(g(x)) ⭈ g v(x).
2
Si ha: g v(x) ⫽ 2x, mentre, per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene: v(g (x)) ⫽ e ⫺(g(x)) ,
2
4
quindi f v(x) ⫽ 2x ⭈ e ⫺(g(x)) f v(x) ⫽ 2x ⭈ e ⫺x .
7
2
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7
In generale risulta:
(1 ⫹ 2 ⫹ … ⫹ n)2 ⫽ 12 ⫹ 22 ⫹ … ⫹ n 2 ⫹ 2(1 ⭈ 2 ⫹ 1 ⭈ 3 ⫹ … ⫹ 1 ⭈ n ⫹ 2 ⭈ 3 ⫹ … ⫹ 2 ⭈ n ⫹ … ⫹ (n ⫺ 1) ⭈ n)
冢
n
冣
冢
n
2
冱 k ⫽冱 k2⫹2
k⫽1
k⫽1
0
冣
n
1
hk
hk ⫽ ᎏᎏ
冱
冱
2
k⫽h
k⫽h
冤冢
n
冣
2
n
冥
冱 k ⫺冱 k2 .
k⫽1
k⫽1
Valgono le seguenti relazioni, che si dimostrano facilmente per induzione:
n
n (n ⫹ 1)
1
k
⫽
ᎏ
ᎏ
e
k 2 ⫽ ᎏᎏ n (n ⫹ 1)(2n ⫹ 1).
冱
冱
2
6
k⫽1
k⫽1
n
n (n ⫹ 1)
冱 hk ⫽ ᎏ2ᎏ 冤冢ᎏ2ᎏ冣 ⫺ ᎏ6ᎏ n (n ⫹ 1)(2n ⫹ 1)冥 ⫽ ᎏ24ᎏ n (n 2 ⫺ 1)(3n ⫹ 2).
k⫽h
0
Si ha infine:
1
2
1
1
La risposta D è
quella esatta.
8
Considerando che (x 3 ⫺ y 3) ⫽ (x ⫺ y)(x 2 ⫹ xy ⫹ y 2) ⫽ 2(x 2 ⫹ xy ⫹ y 2), allora (x 3 ⫺ y 3) è divisibile per 2.
Inoltre x ⫺ y ⫽ 2 y ⫽ x ⫺ 2 x 2 ⫹ xy ⫹ y 2 ⫽ 3x 2 ⫺ 6x ⫹ 4, che equivale a: 3(x 2 ⫺ 2x ⫹ 1) ⫹ 1, che non è
divisibile per 3. La risposta esatta è B.
9
Sono le possibili combinazioni di 3 oggetti scelti tra 88 (i 90 numeri dell’urna, tranne 1 e 90). Le possibili
88
88 ⭈ 87 ⭈ 86
88!
⫽ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫽ 109 736.
cinquine sono quindi: C88,3 ⫽
3
1⭈2⭈3
3! ⭈ 85!
冢 冣
10
Per la definizione di logaritmo: 2 ⫽ 3log3 2 ⫽ (2log2 3)log3 2 ⫽ 2log2 3 ⭈ log3 2 1 ⫽ log2 3 ⭈ log3 2.
8
© Zanichelli Editore, 2006
