Fisica Generale II
Esercitazione B-tutorato 10-2003
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ESERCIZI CON SOLUZIONE
POTENZIALI ELETTRICI
1. Una carica elettrica q0 = +1 mC si trova nell’origine di un asse mentre una carica negativa
q1= −4 mC si trova nel punto di ascissa –1 m. Sia Q il punto dell’asse dove il campo elettrico si annulla e P il punto di ascissa positiva dove il potenziale elettrico si annulla. Il rapporto xQ /xP vale
(A) 1/3
(B) 1/2
(C) 1
(D) 2
(E) 3
Risposta. La situazione dei campi elettrici è schemaE0
E1
tizzata nella seguente figura:
q
q0
A destra di q0 (ascisse positive) i due campi E0 ed E1
1
hanno verso opposto e la loro somma si può annulla0 xP
xQ
−1
re. Il punto xQ si trova come radice positiva
E1
E0
dell’equazione (dove le ascisse sono in metri)
q0
q1
E 0 = E1
=
xQ2 + 2 xQ + 1 = 4 xQ2
xQ = 1 m
2
2
xQ (xQ + 1)
Tra le due cariche, i due campi hanno lo stesso verso e non si possono annullare. A sinistra di q1,
|E1| è sempre maggiore di |E2| . Perciò il punto trovato è l’unico in cui il campo si annulla. Imponiamo l’annullamento del potenziale: si hanno due soluzioni (differenze delle ascisse tra P e le cariche di uguale segno o di segno opposto)
− q1 /q 0 = ( x P + 1) / x P
4 x P = x P + 1 = xP = 1 / 3 m
q0
q1
+
=0
− q1 /q 0 = −( x P + 1) / x P
−4 x P = x P + 1 = x P = −1 / 5 m
xP
xP + 1
Prendendo quella con ascissa positiva si ha xQ/xP = +3
2. Un dipolo elettrico, inizialmente orientato lungo
E
y
l’asse x, è costituito da uno ione monovalente positivo,
ϕ
e = 1.6(10−19) m, e uno negativo alla distanza
d/2
x
−10
d = 3(10 ) m.
ed
−e
Il dipolo viene posto in un campo elettrico uniforme die
ed
retto verso la direzione positiva dell’asse y con
5
E = 2(10 ) V/m. Se il dipolo può orientarsi nel campo
elettrico la sua energia potenziale diminuisce di
(A) 2eEd
(B) eEd
(C) eEd/2
(D) eEd/3
(E) eEd/4
Risposta. La carica positiva si sposta di d/2 nella direzione del campo elettrico il quale compie su
questa un lavoro eE d/2, pari a quello compiuto sulla carica negativa, e complessivamente uguale
alla perdita di energia potenziale del dipolo edE = 9.6(10−24) J (risposta B). L’energia potenziale del
dipolo si può scrivere come prodotto scalare tra il campo elettrico E e momento di dipolo qd cambiato di segno: energia potenziale = −E⋅ed = − Eed cos ϕ Tale energia è minima quando campo elettrico e momento di dipolo sono paralleli e massima quando sono antiparalleli.
3. Tre cariche con il segno mostrato in figura e con
Q = 10−6 C sono fisse sull'
asse delle x. La carica centrale è
a una distanza d=1m dalle cariche laterali. Una carica −q
(e massa m) libera di muoversi normalmente all'
asse x si
trova inizialmente in y0 sopra la carica centrale ad una distanza di 1 m dalla stessa.
La carica mobile
(A) si muove verso la carica centrale fino a raggiungerla
(B) si allontana indefinitamente lungo l'
asse y
y
y0
−q
(C) sta+Q
ferma
d
−Q
+Q
x
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(D) si allontana inizialmente dall'
asse delle x ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un
moto oscillatorio
(E) si avvicina inizialmente all'
asse delle x ma poi torna nella posizione iniziale compiendo un moto
oscillatorio
Risposta. Quando la carica −q è molto vicina all'
asse delle x (y<<d) prevale la repulsione della carica negativa centrale; quando è molto lontana (y>>d), prevale l'
attrazione essendo complessivamente
la carica sull'
asse x positiva. Poiché il campo elettrico cambia direzione, vi è certamente un punto
lungo l'
asse delle y dove si annulla. Il punto di equilibrio è quello dove il campo elettrico si annulla,
ovvero dove è nulla la derivata del potenziale elettrico generato dalle cariche Q
V ( y) = Q
−1
+
y
2
2
y + d2
dV
1
2y
=Q 2 −
dy
y
y2 + d 2
(
)
3/ 2
dV
=0
y2 + d 2 = 3 2 y
y 2 + d 2 = 22 / 3 y 2
dy
Perciò la massa mobile si allontanerà inizialmente dall'
asse x; raggiungerà e passerà il
punto di equilibrio. Poiché l'
energia potenzia- Ep
energia
le iniziale Ep = –qV(y0) è negativa e l'
potenziale all'
infinito è nulla, la carica mobile
non ha sufficiente energia per allontanarsi indefinitamente e tornerà indietro compiendo
un moto oscillatorio non armonico (il potenziale dovrebbe per questo avere un andamento parabolico).
y=±
d
2
2/3
d
−1
≈ ±1.305d
y
Il problema si poteva risolvere anche in modo sintetico. Si verifica tracciando i vettori delle forze
alto. La casulla carica mobile generate dalle cariche fisse che per q0=d la risultante è diretta verso l'
rica non può perciò stare ferma, né può allontanarsi indefinitamente perché l'
energia potenziale iniziale (immediatamente calcolabile in modo numerico) è minore di quella all'
infinito.
4. Calcolare il campo elettrico a distanza r di un filo infinitamente lungo, posto lungo l’asse x, con
una densità lineare di carica ρ1 (in C/m). Calcolare la differenza di potenziale tra due punti a distanza R ed R0 dal filo.
Risposta. In qualunque punto P il campo elettrico sarà
E
diretto normalmente al filo in quanto non vi è ragione
r
per cui il campo abbia una componente nel verso delle x
r
crescenti piuttosto che nel verso delle x decrescenti.
Sempre per ragioni di simmetria, il modulo di E avrà lo
stesso valore E(r) in ogni punto a distanza r dal filo.
Come superficie su cui applicare la legge di Gauss prenh
diamo quella di un cilindro di raggio r che ha per asse il
E
filo e altezza h. Il flusso di E è diverso da zero solo attraverso la superficie laterale (2πrh) ed è proporzionale alla carica ρlh contenuta nel cilindro:
ρh
ρ1
Φ (E) = 2πrhE (r ) = 1
E (r ) =
ε0
2πε 0 r
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Le superfici equipotenziali sono cilindri che hanno per asse il filo. La differenza di potenziale tra
una superficie cilindrica a distanza R e una a distanza R0 è
R0
R
ρ
V ( R) − V ( R0 ) =
E (r )dr = 1 ln 0
R
2πε 0
R
Per R0→∞, la differenza di potenziale V(R)−V(R0) diventa infinita; non ha perciò senso, in questo
caso, assumere come riferimento il punto all’infinito.
5. Il potenziale elettrico è nullo nel baricentro di un triangolo equilatero di
A
lato 1 cm e nei tre vertici ABC della figura vale VA= −7 V, VB=−2 V, VC=9
V; la componente Ex del campo elettrico nel baricentro è stimata essere (in
y
kV/m)
(A) 0
(B) −1.1
(C) −1.2
(D)1.2
(E) 1.6
Risposta. Il campo elettrico nella direzione x è il rapporto incrementale camx
biato di segno tra differenza di potenziale tra due punti con la stessa ordinata
B
C
(yB=yC=y*) e differenza di ascisse:
E x = −(V ( xC , y*) − V ( x B , y*)) / (x C − x B ) = −1.1 kV/m
Per calcolare Ey si può utilizzare A ed il baricentro (stessa ascissa) oppure uno di questi due punti e
il punto centrale di BC, a cui si assegna il potenziale (VB+VC)/2. Si ottengono i campi elettrici medi.
ENERGIA ELETTROSTATICA CAPACITÀ E CONDENSATORI
6. Se un protone (carica e) ha raggio r = 1.2(10−15) m, la sua energia elettrostatica è pari a circa (1
MeV= 1.6(10−13) J).
(A) 0.6 MeV
(B) 1.6 MeV
(C) 1.11 MeV
(D) 0.314MeV
(E) 3.0 MeV
Risposta. In prima approssimazione, si può utilizzare la formula dell’energia per la sfera conduttri1 e2 1 e2
ce carica,
=
≈ 0.6 MeV che differisce poco (~20%) dalla formula calcolabile per
2 C 2 4πε 0 r
l’energia della sfera uniformemente carica
3e 2
20πε 0 r
εr2=1
7. Un condensatore è formato da due piastre piane di area
S = 0.1 m2 distanti d = 1 cm. Lo spazio tra le armature è pieno
per 3/4 di olio (εr1 = 5, d1 = 0.75 cm) e per il restante 1/4 d’aria
εr1=5
(εr2 ≈ 1, d2 = 0.25 cm).
La capacità del condensatore è pari a circa
(A) 0.47 nF
(B) 314 pF
(C) 111 pF
(D) 5.31 nF
(E) 221 pF
Risposta. Possiamo pensare al condensatore come costituito da un condensatore
ε ε S
ε ε S
C1 = o r1 in serie con C2 = o r 2
d1
d2
La capacità C del condensatore complessivo è
C=
(C1−1
+ C2−1 ) −1
= ε 0S
d1
ε r1
+
d2
εr2
−1
=
d2 = 0.25 cm
d1 = 0.75 cm
ε o Sε r1ε r 2
≈ 221pF
d 2ε r1 + d1ε r 2
8. Una sfera metallica isolata caricata con 6 nC assume un potenziale di 200 V rispetto a terra. La
sua capacità è di
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(A) 30 pF
(B) 0.3 nF
(C) 3.33 nF
(D) 0.33 µF
Risposta. Per definizione di capacità C si ha C = Q/V= 30 pF
4
(E) 333 pF
9. Un grande condensatore a facce piane e parallele porta una carica di 9.6 nC quando la differenza
di potenziale tra le armature è di 120 V. Sapendo che la superficie delle armature del condensatore è
S = 160 cm2, e il condensatore si trova in aria, la densità dell’energia del campo elettrico all'
interno
del condensatore. (NB: la costante dielettrica dell’aria è circa uguale alla costante dielettrica del
vuoto):
(A) 1152 nW/m2 (B) 20.4 mJ/m3
(C) 1.13 eV/m3
(D) 1.15 µJ/m3
(E) 580 nJ/m3
Risposta. Il campo elettrico all'
interno del condensatore è E=σ/ε0=Q/ε0S e la densità di energia
1
U E = ε 0 E 2 = 0.02036 J/m3
2
Si noti che il voltaggio non serve. Tuttavia, indicata con d la distanza tra le armature si poteva procedere anche alla seguente maniera:
1 QV
C = Q /V = ε0S / d
d = ε 0 SV / Q U E =
2 Sd
Ovviamente, sostituendo l’espressione di d si ritrova la formula iniziale; se il calcolo viene fatto approssimando valori intermedi trovati si possono avere differenze nell’ultima cifra significativa (risposta B). Si noti che la risposta A è dimensionalmente errata.
10. Due condensatori uguali con C = 1 µF sono collegati come in figura
ad un generatore di tensione continua con V = 5 V. Dopo che viene chiuso l’interruttore S, l’energia elettrostatica immagazzinata, rispetto
all’energia iniziale
(A) diventa 1/4
(B) si dimezza
(C) resta uguale (D) quadruplica
(E) raddoppia
Soluzione La capacità iniziale è C/2 e la corrispondente energia
C
V
C
S
1 C 2
V . L’energia finale è
2 2
CV 2 / 2 , ossia doppia di quella iniziale.
p
e
11. Tra le armature del condensatore della figura, distanti d = 1 cm, vi è una differenza di potenziale di V = 2 kV. All’istante t = 0 un protone (mp ≈ 1.67 × 10−27 kg) +
lascia l’armatura positiva e contemporaneamente un elettrone (me ≈ 9.11×10−31
+
kg) lascia quella negativa. Le due particelle s'
incontreranno ad una distanza
+
+
dall’armatura positiva pari a circa
(A) 0.5 cm
(B) 0.25 cm (C) 0.5 mm (D) 0.05 mm
(E) 5 µm
1 cm
Risposta. Il campo elettrico tra le armature vale E = V / d e la forza agente sia
protone sia su elettrone (carica e ≈1.6×10−19 C) vale in modulo F = qE . Le accelerazioni di protone
ed elettrone valgono ap = F / mp , ae = F / me . Indicati con t il tempo prima della collisione e con
dp, de le distanze coperte da protone ed elettrone si ha
ap
F / mp
1
1
2d
m
d = d p + d e = a p t 2 + ae t 2 t =
dp = d
=d
≈d e ≈5 m
2
2
a p + ae
a p + ae
F / mp + F / me
mp
Al risultato si poteva arrivare anche sinteticamente considerando che gli spazi percorsi sono inverme
samente proporzionali alle masse e che perciò d p = d
. A denominatore è lecito trascurare
mp + me
la massa dell'
elettrone rispetto a quella del protone, di circa 2000 volte maggiore.
−
−
−
−
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ESERCIZI CON RISPOSTA
1. L’energia di un condensatore di 0.04 F è di 0.5 J quando la sua differenza di potenziale è di
(A) 2 V
(B) 5 V
(C) 10 V
(D) 25 V
(E) 50 V
2. Tra i punti A e B vi è una differenza di potenziale di 120 V e i condensatori hanno i seguenti valori: C1 = 0.3 µF, C2 = 0.4 µF, C3 = 0.2 µF. La carica
sull’armatura del condensatore C1 è pari a circa
(A) 1 µC
(B) 2 µC
(C) 4 µC
(D) 11 µC
(E) 24 µC
3. Un condensatore da 6 µF è in serie con un condensatore da 12 µF. La capacità complessiva è di
(A) 2µF
(B) 4 µF
(C) 6 µF
(D) 8 µF
C1
C2
C3
A
120 V
B
(E) 12µF
asse delle x mentre una ca4. Una carica puntiforme positiva di 3 µC é posta nel punto origine dell'
rica puntiforme negativa di −1µC é posta nel punto di ascissa x1 = 1 m. La proiezione sul piano del
disegno della superficie equipotenziale con V = 0 é qualitativamente del tipo
−1µC
3µC
(A)
(B)
V=0
V=0
−1µC
3µC
(C)
(D)
V=0
V=0
3µC
−1µC
3µC
−1µC
(E) La superficie si riduce al solo punto dell'
asse delle x compreso tra le due cariche dove il potenziale si annulla
5. Un condensatore da 20µ F è caricato con 600µ C ed acquista una differenza di potenziale pari a
(A) 0.033 V
(B) 0.03 V
(C) 3 V
(D) 30 V
(E) 33 V
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6. L'
energia potenziale di una carica di 1 mC portata su di una sfera di raggio R = 1 m é di circa
(A) 4.5 kJ
(B) 9 kJ
(C) 2.25 kJ
(D) 1.125 kJ
(E) _______
7. Un condensatore a facce piane e parallele di area 1 m2 poste nel vuoto a distanza di 1 mm viene
caricato con 0.6 µC e quindi staccato dal generatore. Se tra le due armature del condensatore carico
viene inserito un dielettrico con εr = 2, la differenza tra energia potenziale finale ed iniziale del
condensatore
(A) é nulla
(B) é negativa e pari all'
energia iniziale
(C) é positiva e pari all'
energia iniziale
(D) é negativa e pari all'
energia finale
(E) é positiva e pari all'
energia finale
+e
A
0.2 nm
−e
8. Due cariche +e ed una −e (e=1.6×10−19 C) sono poste su tre vertici di un quadrato di lato 2(10−10) m come in figura. Il potenziale
elettrico del quarto vertice A vale ( 1 / 4πε 0 =9×109 N m2 C−2)
(A) 7.2 V
(B) 9.3 V
(C) 4.65(1010) V
(D) 1.48 (1010) V (E) 1.1(1010) V
+e
9. Considerando l'
elettrone (me=9.11×10−31 kg) dell'
atomo di idrogeno in moto su di un'
orbita circolare di raggio 5.3(10−11) m attorno al nucleo 1H (carica e=1.6×10−19 C,
frequenza di rotazione è di
(A) 6.6(1015) Hz
(B) 1.16(1016) Hz
(C) 3.7(1015) Hz
1
=9×109 N m2 C−2), la
4πε o
(D) 2.7(1011) Hz
(E) 1.0(1013)Hz
10. Un condensatore isolato consiste di due piatti metallici separati da uno strato d'
aria tra i quali si
ha inizialmente una differenza di potenziale di 12 000 V. Se tra i piatti si inserisce una lamina di vetro (εr =2.3) la differenza di potenziale
(A) aumenta di una quantità proporzionale allo spessore della lamina
(B) aumenta proporzionalmente alla separazione lamina-armature
(C) non cambia
(D) diminuisce e cambia di un fattore minore o uguale a 2.3
(E) diminuisce cambiando di un fattore maggiore o uguale a 2.3
elettrone
su
giù
sinistra
destra
11. In una sfera metallica piena e con carica positiva è scavata una
cavità sferica come in figura. Un elettrone al centro della cavità è
spinto dal campo elettrico delle cariche della sfera
(A) a destra
(B) a sinistra
(C) in su
(D) in giù
(E) da nessuna parte
12. Tre elettroni sono collocati ai vertici di un triangolo equilatero di lato 0.2 nm. Il potenziale elettrico nel baricentro del triangolo vale
(A) −21.6 V
(B) −37.4 V
(C) −43.2 V
(D) −24.9 V
(E) −49.9 V
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13. Un protone (massa = 1.67 ×10−27 kg, carica = 1.6×10−19 C) si trova inizialmente fermo sull'
armatura positiva di un condensatore nel vuoto che ha una differenza di potenziale di 100 V. La velocità
con cui il protone raggiunge l'
armatura negativa del condensatore è di circa
(A) 36000 km/h
(B) 140 km/s
(C) 99 km/s
(D) 199 km/s
(E) 3(105) km/s
14. Un elettrone (me=9.1×10−31 kg, q= 1.6×10−19 C) é sparato orizzontalmente tra i piatti del condensatore della figura, a livello della armatura negativa, con una velocità v0 = 2.965×106 m/s. Se la distanza tra le
armature é di d = 5 mm e la differenza di potenziale tra queste é di 20
V, quale distanza orizzontale ∆x compierà l'
elettrone prima di raggiungere l'
armatura positiva?
(A) 0.79 cm
(B) 1.12 cm
(C) 1.79 cm
(D) 3.16 cm
∆x
v0 d
e
(E) 8.94 cm
15. Una carica Q è al centro di un guscio sferico conduttore il cui raggio interno vale 0.055 m e
quello esterno 0.075m . Se il campo elettrico alla distanza di 1 m vale 345 N/C (diretto verso
l’esterno) il potenziale elettrico a 0.065 m dal centro vale (in V)
(A) 0
(B) 4600
(C) 5300
(D) 9800
(E) 11 500
16. Il campo elettrico in un condensatore a facce piane parallele di area uguale a 2 m2 è di 2.85
kV/cm quando la sua differenza di potenziale è di 120 V e le armature sono nel vuoto. La distanza
tra le armature è di
(A) 2 mm
(B) 0.42 mm
(C) 3.6 cm
(D) 3.0 mm
(E) ________
17. Un protone (mp=1.67⋅10−27 kg, q=1.6⋅10−19 C) viene accelerato da una differenza di potenziale
di 150 kV e urta frontalmente un atomo di carbonio (massa ≈ 12 mp) che è in moto verso il protone
con energia cinetica pari a quella del protone stesso. Se dopo l’urto i due corpi procedono assieme,
la loro velocità comune sarà di circa
(A) 0.4 m/µs
(B) 1.0 m/µs
(C) 1.5 m/µs
(D) 1.8 m/µs
(E) 5.4 m/µs
18. La differenza di potenziale che aumenta l’energia cinetica di un protone (m=1.67 10−27 kg, q=e )
di 4.3(10−15) J vale
(A) 0.27 MV
(B) 0.13 MV
(C) 13 kV
(D) _______
(E) 27 kV
19. Un lungo cavo coassiale ha come conduttore interno un cilindro di raggio R1=0.1 cm e come
conduttore esterno un cilindro cavo di raggio interno R2= 0.3 cm ed esterno R3=0.5 cm. Il conduttore interno porta una carica di 5(10−6) C/m mentre quello esterno porta una carica di –5 (10−6) C/m.
La differenza di potenziale tra un punto a distanza d= 0.3 cm dall’asse del cavo e un punto sull’asse
del cavo vale
(A)−98.9 kV
(B)−62.4 kV
(C) 0
(D)−31.4 kV
(E) ___________
20. Un condensatore con C= 2 µF è inizialmente isolato e con una differenza di potenziale V=1000
V ai suoi estremi. Il condensatore carico viene poi collegato ad un condensatore uguale e scarico.
La differenza
∆E= energia elettrostatica iniziale del condensatore − energia elettrostatica finale complessiva dei
due condensatori
è pari a
(A) 0.25 J
(B) 0.5 J
(C) 1.0 J
(D) 2.0 J
(E)____ J
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21. I potenziali elettrici nei punti del piano attorno all’origine hanno i valori riportati in tabella. La componente Ex del campo elettrico
nell’origine vale
(A) −5V/m
(B) −10V/m
(C) 5 V/m
(D) 10 V/m
(E) _______ V/m
8
x
0m
−1 m
1m
0
0
y
0m
0m
0m
−1 m
1m
V(x,y)
75 V
85 V
65 V
70 V
80 V
22. La carica di un condensatore con C = 0.01 F passa da 1 C a 0.5 C. L'
energia del condensatore
diminuisce di
(A) 18.75 J
(B) 37.5 J
(C) 75 J
(D) 150 J
(E) 300 J
23. L'
energia immagazzinata in un condensatore di 5 µF con una differenza di potenziale di 500 V
vale
(E) indeterminata
(A) 0.625 J
(B) 0.25 cal
(C) 2.5 J
(D) 2.5(10-3)J
24. Due protoni (mp=1.67 10−27 kg, carica 1.6⋅10−19 C) in un nucleo di nickel sono distanti circa
4×10−15 m. La loro energia potenziale vale (in MeV)
(A) 3.92
(B) 0.576
(C) 1.44
(D) 0.36
(E) 0.157
25. Nell'
esperimento di Millikan una goccia di olio di 2µm di raggio e densità relativa all’acqua di
0.85 é tenuta sospesa tra i piatti orizzontali di un condensatore quando é applicato un campo elettrico discendente di 8.72 kV/cm. Quante cariche di un elettrone contiene la goccia?
(A) 2
(B) 5
(C) 7
(D) 10
(E) _________
26. La velocità massima di un elettrone in un tubo da televisore operante a 20 000 V é di circa (me =
9.1×10−31 kg) (si trascurino gli effetti relativistici)
(A) 2.4(106) m/s (B) 5.9(107) m/s (C) 6.2(107) m/s (D) 8.4(107) m/s (E)_________
27. Un condensatore a facce piane e parallele ha un’area di 156 m2. La distanza tra le armature è
d = 0.2 mm e la costante dielettrica del condensatore è εr = 2.26. Se il potenziale è di 75 V la carica
sulle armature vale.
(A) 0.47 mC
(B) 1.01 mC
(C) 9.8 mC
(D) 1.17 mC
(E) _______
28. Una carica q1 = 1.75 (10−6) C è nell’origine e una carica q2=−8.6 (10−7) C è a x=0.75 m. Nel
punto dell’asse x a metà tra le due cariche il potenziale elettrico vale
(A) 2.14 (104) V (B) 5.46 104V
(C) 3.68 104V
(D) 2.74 103 V
(E) 8.29 103V
Fisica Generale II
Esercitazione B-tutorato 10-2003
RISPOSTE AGLI ESERCIZI
Esercitazione B
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(B) 5V
(E) 24 µC
(B) 4 µF
(A)
(D) 30 V
(A) 4.5 kJ
(D) è negativa e pari
alla energia finale
(B) 9.3 V
(A) 6.6(1015) Hz
(D) diminuisce e
cambia di un fattore
minore o uguale a 2/3
(E) da nessuna parte
(B) –37.4 V
(B) 140 km/s
(B) 1.12 cm
(B) 4600
(B) 0.42 mm
(B) 1.0 m/µs
(E) 27 kV
(A) –98.9 kV
(B) 0.5 J
(D) 10 V/m
(B) 37.5 J
(A) 0.625 J
(D) 0.36
(A) 2
(D) 8.4(107) m/s
(D) 1.17 mC
(A) 2.14(104) V
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