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Conduttori in equilibrio elettrostatico
In un conduttore in equilibrio, tutte le cariche “di conduzione” sono in equilibrio
Se una carica di conduzione è in equilibrio, in quel punto il campo elettrico è nullo
r
r
F = qE = 0
carica libera in equilibrio.
(ce ne sono ovunque)
Il campo elettrico è nullo in tutto il volume del conduttore
Quindi il potenziale elettrico ha lo stesso valore in ogni punto del conduttore
r r
dV = − E ⋅ ds = 0
B
V B − V A = ∆ V AB
r r
= − ∫ E ⋅ d s =0
perché E=0
A
La carica netta su un conduttore si distribuisce sulla sua superficie
+
+
+
+
+
F
+
+
+
+ +
dipende dal fatto che il campo elettrico è nullo nel volume
del conduttore (v. Teorema di Gauss, fra poco)
Il campo elettrico può essere diverso da zero solo sulla
superficie, dove è necessariamente ortogonale
Conduttori in equilibrio elettrostatico
Le linee di forza sono ortogonali alla superficie,
in quanto superficie equipotenziale, ovvero
perché altrimenti le cariche di conduzione sulla
superficie non sarebbero in equilibrio.
Presenza di un campo elettrico esterno.
Il campo elettrico, all’equilibrio, rimane nullo internamente al conduttore.
Ciò avviene grazie ad un’opportuna redistribzione delle cariche alla superficie.
campo generato
dalle cariche indotte
q
+
r
EEXT
r
EIND
- -
+
campo generato
dalla carica esterna q
+
+
P
+
+
Conduttore neutro isolato: qTOT=0
Flusso del Campo Elettrico
Flusso di E attraverso una superficie dA.
dΦ E = EdS cos θ
Φ E = ∫ dΦ E = ∫ E cos θ dS
θ
S
θ
S
θ: angolo fra il campo elettrico e la normale alla
superficie.
dS
grandezza scalare
Il flusso ha un segno che dipende da cosθ ovvero dalla scelta del verso positivo.
Per una superficie chiusa si assume positivo il verso uscente (convenzione)
Flusso di una carica puntiforme posta al centro di una superficie sferica.
dS
q
dΦ E = EdS
con E (modulo) costante
Φ E = ∫ dΦ E = ∫ E cos θ dS = ∫ E dS
S
S
Φ E = ES
S
poiché
E=
1
q
4πε 0 r 2
S = 4πr
2
si trova
Φ E = ES =
q
ε0
q > 0 flusso uscente (positivo)
q < 0 flusso entrante (negativo)
Calcolo del flusso per una carica puntiforme all’interno in una superficie chiusa generica
Se si immagina una sup. chiusa concentrica S’, interna ad S,
ci si convince che:
dS
dS’
Φ′E = Φ E
ma
ΦE =
q
ε0
⇒ Φ ′E =
q
ε0
infatti le linee di forza passanti per dS passano anche per dS’
sup. esterna
Analogamente si dimostra che una carica esterna alla superficie dà ΦE=0
Teorema di Gauss
Distribuzione di carica qualsiasi in una superficie chiusa generica
Per il principio di sovrapposizione:
Φ E = Φ E1 + Φ E 2 + Φ E 3 + Φ E 4
q3
q1
ΦE =
q2
Φ
q4
E
q1 + q 2 + q 3
ε0
=
q INT
ε0
=
0
q INT
ε0
Teorema di Gauss
Proprietà fondamentale del campo elettrico. E’ una delle 4 equazioni di Maxwell
SA
SB
SC
Quanto vale il flusso uscente
del campo elettrico
dalle 4 superfici in figura?
SD
Applicazioni del Teorema di Gauss
La carica in un conduttore in equilibrio
si distribuisce sulla superficie esterna.
Campo elettrico sulla superficie di un conduttore carico:
sup. “infinitesima“
ΦLAT=0
E omogeneo su dS (sup. infinitesima)
E ortogonale ad S (sup. equipotenziale)
dq
1 dq
dΦ = EdS =
⇒E=
ε0
ε 0 dS
ΦBASE INF.=0
σ =
dq
dS
E =
è la densità superficiale di carica
σ
ε0
Applicazione del Teorema di Gauss: distribuzione sferica di carica
r
si consideri una sfera di raggio R, con carica q
a simmetria sferica
Per simmetria
• E è diretto radialmente (entrante o uscente secondo q)
• il modulo E(r) è uniforme su S e ortogonale ad S:
R
Φ E (r ) = E (r )S (r )
q
E(r ) =
4πε0 r 2
1
V (r ) =
1 q
4πε0 r
(r > R)
All’esterno della sfera il campo elettrico è
identico a quello che si avrebbe se tutta la
carica fosse puntiforme e concentrata al centro.
(r > R)
Applicazione del Teorema di Gauss: distribuzione sferica di carica
Che succede all’interno della sfera (r < R) ?
distinguiamo 2 casi estremi.
A) carica distribuita uniformemente sulla superficie (ad es. sfera conduttrice isolata)
E (r ) = 0
Φ E (r ) = E (r )S (r ) = 0
V (r ) = V (R)
per r < R
B) carica distribuita uniformemente nel volume.
Φ E (r ) = E (r )S (r ) =
Q (r )
ε0
E (r ) =
ρ
r
3ε 0
E (r ) =
Q
r
4πε 0 R 3
per r < R
Applicazione del Teorema di Gauss: distribuzione sferica di carica
Riassumendo
carica distribuita unif. su una superficie sferica
 0

E (r ) =  1 Q
 4πε r 2
0

 1
 4πε

0
V (r ) = 
 1
 4πε 0
Q
R
Q
r
r<R
r>R
carica distributita unif. in un volume sferico
1 Q
 ρ
r
=
r
2
 3ε
4πε 0 R

0
E (r ) = 
 1 Q
 4πε 0 r 2
 1

 4πε 0
V (r ) = 
 1
 4πε 0
Q  3R 2 − r 2 


3 
R 
2

Q
r
r<R
r>R
Applicazioni del teorema di Gauss
Campo elettrico generato da una distribuzione di carica piana, omogenea e infinita:
per simmetria, E uniforme sulle due facce del
cilindro ...
++++++++++++++++++++++++++++
2 EdS =
dq
ε0
⇒
E=
σ
2ε 0
σ1
σ2
σ
E=
+
=
2 ε 0 2ε 0 ε 0
lamina isolante
come si concilia questo risultato con ciò che
sappiamo sul campo alla sup. di un conduttore?
σ1
+++++++++++++++++
+++++++++++++++++
σ2
lamina conduttrice isolata
E=
σ1
σ
σ
+ 2 =
2 ε 0 2ε 0 ε 0
con σ1 = σ2 = σ
Applicazione del Teorema di Gauss: filo rettilineo infinito, unif. carico
con densità lineare di carica λ
Per simmetria, il campo elettrico E
•
•
è radiale (entrante o uscente secondo q)
il modulo dipende solo dalla distanza r dal filo,
ovvero E=E(r) è uniforme su S e ortogonale ad S:
flusso nullo sulle due basi, resta:
Φ E (r ) = E (r )S L (r )
sup. laterale
r
E(r ) =
1 λ
2πε0 r
Condensatori
oggetto formato da
• due conduttori (armature) tali che
• la carica rispettivamente sull’uno è opposta quella sull’altro
Q
esempi di
condensatore
−Q
Q
−Q
Per convenzione:
Q
∆V = V+ − V−
è detta “carica del condensatore”
si chiama “potenziale del condensatore”
e si indica semplicemente con
V
Condensatori
morsetto
armature
Rappresentazione schematica di un condensatore:
Q
=C
∆V
è detta Capacità del condensatore. Si osserva (e si dimostra)
che dipende solo dalla geometria (e dal dielettrico), non da Q
in genere si scrive
[C ] = C = F
V
Farad
C=
Q
V
grandezza scalare, definita positiva.
Con questa definizione
Com’è possibile che C non dipenda da Q?
[ε 0 ] =
F
m
Capacità di un condensatore piano.
Armature costituite da superfici piane parallele.
Linee di forza del campo elettrico come in figura.
Trascurando il campo ai bordi si ricava un’espressione
semplice per la capacità.
+Q
∆ V = Ed =
-Q
Detta S la superficie delle armature e d la loro distanza.
σ
Qd
d =
ε0
ε 0S
C =
Q
V
⇒
C = ε0
S
d
(in vuoto)
Es. Se d=1mm, calcolare S affinché sia C=1F in vuoto. [S=113 km2]. Una capacità di 1F è enorme
supercondensatori?
Effetto di un “mezzo” sulla capacità di un condensatore
Condensatore isolato (Q costante)
+Q
+Q
V '< V
V
-Q
-Q
introducendo un “dielettrico” fra le armature di un condensatore isolato la ddp diminuisce
d’altronde Q ' = Q (isolato).
Pertanto C ' =
Q
> C
V′
C′
= εR
il rapporto
C
misura la costante dielettrica relativa
C ' = ε R C

V

V
'
=

εR

Se il condensatore non è isolato (ad es. collegato ad una batteria) cambiano diverse cose,
ma resta il fatto che
C ′ = ε RC
Energia immagazzinata in un condensatore
dL EST = dq ⋅ V
Lavoro compiuto da una forza
esterna per separare le cariche
Qdq
=
C
dL EST
+Q
+++++++++++++++
V
dq
1
1 Q2
1
U = QV =
= CV
2
2 C
2
2
-Q
Per un condensatore piano:
U =
ε0
2
E 2 ⋅ Sd
densità di energia
Densità di energia (potenziale)
immagazzinata nel campo elettrico:
u =
ε0
2
volume
E2
In presenza di un campo elettrico, lo spazio possiede un’energia per unità di volume
Risultato del tutto generale, benché introdotto in un caso particolare.
Condensatori collegati in parallelo.
Condensatori in parallelo (collegati fra la stessa ddp). Capacità equivalente.
∆V
Q1
Q2
Q3
la ddp V è la stessa ai capi di tutti i condensatori
Se consideriamo il tutto come un unico condensatore (equivalente) esso possiede
una carica Q=Q1+Q2+Q3+... e la stessa ddp pari a V.
Q Q1 + Q2 + Q3 + ...
C= =
= C1 + C 2 + C 3 + ...
V
V
C = C1 + C2 + C3 + ... = ∑ Ck
k
capacità equivalente di più condensatori collegati in parallelo
Condensatori collegati in parallelo.
L’equivalenza appena vista vale da tutti i punti di vista. Per esempio, l’energia
immagazzinata nei condensatori in parallelo è la stessa del condensatore equivalente
Q1
V
Q2
C1
Q3
C2
C3
U = U1 + U 2 + U 3 + ...
1
1
2
U1 = C1V
U 2 = C2V 2 ... da cui
2
2
1
1
1
1
2
2
2
U = C1V + C2V + C3V + ... = (C1 + C2 + C3 + ...)V 2
2
2
2
2
1
U = CeqV 2
2
Condensatori collegati in serie.
C1
C2
Q
C3
Q
-Q
V1
Condensatori in serie. Capacità equivalente:
Q
-Q
V2
-Q
V3
Q è la stessa per tutti (v.)
Q = Q1 = Q2 = Q3
Se consideriamo il tutto come un unico condensatore (equivalente) esso possiede
una carica Q=Q1=Q2=Q3 e d.d.p. V=V1+V2+V3 ...
V = V1 + V2 + V3 + ...
Q Q Q Q
=
+
+
+ ... ⇒
C C1 C 2 C 3
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
C C1 C 2 C 3
Nota: la capacità di una serie di condensatori è sempre minore della più piccola delle capacità
Nota 2: le formule per serie e parallelo di condensatorei sono scambiate
rispetto alle analoghe formule per le resistenze elettriche (v.)