CAMPO MAGNETICO
Può essere generato da un corpo magnetizzato (magnetite: magnete naturale) o da un filo percorso da
corrente.
I magneti perdono la loro magnetizzazione si surriscaldati o se si scuotono violentemente.
Si riconosce dalla capacità di attrarre polvere di ferro, che si dispone visualizzando le linee di campo ( ogni
elemento si dispone parallelamente al campo).
Analogie con il campo elettrico:
o Generato da più magneti.
o Poli di segno uguale si respingono e opposto si attraggono.
o Corpo magnetico di prova (ago magnetico).
o Le linee di campo con un magnete a bara somigliano a quelle ottenuta da un dipolo elettrico.
o Tra due poli di una calamita il campo è uniforme e le linee parallele, come in due piastre elettrizzate.
o I due poli di un magnete hanno comportamento opposto.
Differenze con il campo elettrico:
Non è possibile separare i poli e studiarli singolarmente (neanche se si taglia in due il magnete).
Il corpo di prova per eccellenza è un ago magnetico (come quello della bussola) libero di ruotare: un
polo viene respinto e uno attratto. L’equilibrio si raggiunge quando l’ago si dispone nella direzione del
campo (tangente al campo).
Non vi sono linee di forza ma di campo, perchè le linee di forza non sono tangenti al campo, ma
perpendicolari.
Le linee di forza del campo elettrico sono aperte (si può avere un campo radiale), qui sono chiuse.
Non agisce una forza ma una coppia di forze (uguali in modulo, parallele ma discordi).
Equilibrio: quando le forze giacciono sulla stessa retta: Momento della coppia= 0.
M = F * b = F * l * sin
↓
Lunghezza dell’ago: coincide con b se =90°
l
F
b
Come misurarlo?
Nessuna reazione tra due oggetti elettrizzati o tra un oggetto elettrizzato e un magnete.
Quantità di magnetismo attraverso il corpo di prova →(abbandonata)
Analogia con Coulomb: valida solo se un poli molto vicino e uno molto lontano →(abbandonata)
Momento magnetico dell’ago = p(quantità di magnetismo) * l (formula utilizzabile per tutti i corpi che si
comportano come aghi).
↓
abbandonata perchè Oersted scoprì una relazione profonda tra magnetismo ed elettricità: un filo
percorso da corrente (o cariche in moto) genera un campo magnetico, che fa ruotare, ad esempio, un
ago magnetico nelle vicinanze.
Esperimenti di Ampere: se cariche in moto generano un campo magnetico, che a sue volta agisce su
una corrente, anche due correnti possono interagire.
F = 2*107 * i1*i2*l / d → Correnti parallele si attraggono se discordi e si respingono se concordi.
Ampère si spiega il fenomeno dell’interazione fra elettricità e magnetismo attraverso delle correnti
intorno ai magneti, che producono il campo magnetico (diventano solenoidi); l’ago si dispone
perpendicolarmente al flusso di corrente perchè le cariche intorno a lui vanno in quella direzione:
falso! Correnti fittizie.
Difficoltà nello studio del campo magnetico per la grande varietà di sorgenti e corpi di prova. Laplace
suggerì la formula per determinare la forza che si ottiene usare come sorgente un magnete, e come
corpo di prova un tratto di circuito percorso da corrente.
(figura)
→ →
→
F=i*lΛB
↓
vettore intensità
↓
vettore campo magnetico
Il Prodotto vettoriale di due vettori è un terzo vettore di:
direzione perpendicolare al piano individuato da a e b;
verso è quello che dalla sua "punta" appare antioraria la rotazione che porta il vettore a sul vettore b.
In alternativa:
"Regola della mano destra":se il pollice della mano destra
indica il verso del primo vettore (a) che costituisce il prodotto
esterno e l'indice il verso del secondo vettore (b), allora il dito
medio, disposto ortogonalmente al palmo della mano, indica
il verso del vettore prodotto vettoriale.
Così abbiamo una forza e non una coppia, perchè nel magnete è immerso solo un lato del circuito.
= i * B * l * sin
Formula di Biot-Savarat: B = 0/2 * I/d
Modulo: F
Formula di Laplace con dentro sostituita la formula di Biot-Savarat da la formula di Ampère se i due fili
sono paralleli ( = 90°). Il vettore campo della prima formula è riferito ad un campo magnetico
prodotto da un’altra corrente (in questo caso un altro filo), quindi troviamo il prodotto delle due
intensità di corrente.
Il momento magnetico.
Se, invece di un filo rettilineo, nel campo magnetico c’è una spira, anche su di essa agisce una coppia di forze
che la fa ruotare: si puó considerare un dipolo magnetico. Convenzionalmente, consideriamo il polo nord della
spira il lato in cui si vede la corrente girare in senso antiorario.
(figura)
I lati orizzontali, di lunghezza b, formano un angolo con il campo magnetico e sono percorsi da correnti di
verso opposto: le due forze hanno verso opposto e, per la formula di Laplace, tendono ad allontanare i due lati
e quindi a deformare la spira.
I lati verticali, di lunghezza a, subiscono entrambi una F = B * I * a, che mette la spira in rotazione.
Momento meccanico della spira = Forza * braccio = B * I * a * b * sin = B * I * S * sin:
dipende dalle caratteristiche del campo, quelle della spira e la sua posizione. La spira smette di
ruotare quando questo momento è nullo, quindi quando è perpendicolare al campo magnetico.
Momento magnetico della spira: ms= I * S: è un vettore perpendicolare alla superficie della spira,
rivolto verso chi vede la spira ruotare in senso antiorario. Tale formula si generalizza per qualunque
forma di una spira.
→ →
Il momento meccanico allora diventa M = ms * B * sin = ms Λ B
Il campo magnetico non agisce solo su intere correnti, ma anche su una singola carica, purchè si muova.
Seconda legge dell’elettrodinamica o Forza di Lorentz:
→ →
→
→
→
→ →
F = i*l Λ B = ΔQ/ΔT * v*ΔT Λ B = q*v Λ B
↓
legame: tratto di conduttore percorso da corrente (insieme di elettroni)
Se si tratta di un elettrone q = -e; se si tratta di una corrente q = - n*e (somma delle forze di Lorentz
esercitate su ogni particella).
La forza di Lorentz non né acceleratrice né frenante, ma deflettente: fa cambiare di direzione la velocità:
v ┴ B: la forza ha intensità massima, essendo il seno uguale a 1, ed è perpendicolare sia a v che a
B, quindi anche allo spostamento: funge da forza centripeta; il lavoro fatto dal campo magnetico sulla
carica è nullo (non c’è variazione di velocità, e quindi di energia cinetica).La carica assume un moto
circolare uniforme sul piano di v (tangente alla circonferenza) e di F (radiale).
Conosciamo:
- la forza
- l’accelerazione (= F/m)
- il raggio (a = F/m = V²/r → r = V*m / q*B): più è intenso il campo magnetico, minore è
la curvatura.
- il periodo (= 2r / V = 2 m/q*B): non dipende dalla velocità!
- la frequenza
v ∕∕ B: la forza di Lorentz è nulla, essendo il seno uguale a 0. Il campo magnetico non ha alcun effetto
sulle cariche.
V obliqua rispetto a B: in questo caso, la velocità della carica si puó scomporre in una componente
v┴ perpendicolare al campo e una componente v∕∕ parallela al campo. La risultante è un moto
elicoidale (circolare con traslazione: il raggio non cambia ma la carica si sposta).
Quando una particella carica si muove in una regione in cui ci sono sia un campo elettrico che un campo
magnetico:
→
→ → →
Somma vettoriale delle due forze: F = q * (E + vΛB).
↓
↓
campo elettrico
campo magnetico
Su questo principio si basa il funzionamento del Ciclotrone, il primo acceleratore di particelle mediante
campi elettrici, nato con lo scopo di studiare la costituzione subatomica e subnucleare della materia. Il primo
Ciclotrone fu inventato nel 1930 dallo statunitense Lawrence.
I campi elettrici devono essere molto intensi e lunghissimi per far raggiungere alle particelle velocità vicine a
quella della luce: dunque non sarebbe possibile costruire un acceleratore rettilineo, ma viene utilizzata la forza
di Lorentz per mantenere la particella in un orbita circolare, negli anelli di accumulazione.
.
Un ciclotrone è formato da due elettrodi
cavi (in cui è fatto il vuoto) a forma di
semicerchio, su cui sono presenti dei
solchi all’interno dei quali si muove la
particella; tra i due D il campo elettrico
varia in modo sinosuidale, mentre
all’interno è nullo. Il tutto è immerso in
un campo magnetico perpendicolare
alle basi delle D. La particella, in questo
caso l’elettrone, viene inizialmente
attratto dalla lastra positiva, ma non si
ferma su di essa grazie alla forza di
Lorentz, che fa variare di direzione la
velocità nel senso opposto. La velocità
aumenta sempre di più, e con essa il raggio (traiettoria a spirale), finche non viene raggiunta la velocità scelta
o finisce lo spazio: a questo punto la particella viene espulsa lungo la tangente alla curva che sta percorrendo.
Lo spettrografo di massa permette di separare gli isotopi (differente numero di neutroni, quindi peso
diverso) dagli elementi chimici, a seconda della traiettoria. Poiché il raggio dipende dalla massa, particelle con
uguale velocità e carica immerse in uno stesso campo magnetico hanno traiettorie (raggio di curvatura)
diverse a seconda della massa.
Le particelle attraversano una camera di ionizzazione (condensatore attraversato da un fascio di elettroni, che
urtano contro le particelle e le ionizzano tutte con la stessa carica) e un selettore di velocità, che viene
superato solo dalle particelle non deviate dal campo elettrico e magnetico perché la fenditura alla fine è
piccola; ne escono particelle con la stessa velocità (E/B).
Selettore di velocità: se si annulla la forza totale (q*E + q*v*B = 0 → in modulo q*E = q*v*B),
troviamo il valore della velocità delle particelle che non subiscono effettivamente alcuna forza (la forza
magnetica dipende dalla velocità) e, e proseguire indisturbate per inerzia: v = E / B.
Fm
E
q
Fe
Se voglio la forza magnetica (che è perpendicolare al campo
magnetico) uguale e opposta alla forza elettrica (che è parallela al
campo elettrico), in modo che devi le particelle nel verso opposto
rispetto al campo elettrico, allora il campo magnetico deve essere
perpendicolare al campo elettrico, entrante (perché deve vedere v
ruotare verso B in senso antiorario).
Nel caso della figura il campo magnetico è entrante.
La particelle attraversano poi un campo magnetico, che vengono deviate a seconda della massa. Alla fine si
trova un contatore che verifica la posizione con cui arrivano.
Thompson scoprí come misurare il rapporto carica/massa di una particella: fece attraversare un tubo a vuoto
da un fascio di raggi catodici, e osservo la posizione in cui colpivano una lastra fotografica posta al termine del
tubo.
L
+
q-
k
E
V0
d
Fel
Il raggio di elettroni viene deviato verso la lastra positiva in presenza del solo campo elettrico. Il moto è
parabolico:
- X = V0 * t → t = X / V 0
- Y = ½ * a * t² = ½ * q/m * E * t² = e*E / 2m * X²/V² : è la deviazione.
Quando esce dal campo di muove di moto rettilineo uniforme lungo la tangente nel punto k; perchè esca dal
campo bisogna imporre: - X = L
-Y=d
→ e / m = 2d*V² / E*L². Trovo allora E (ad esempio con il teorema di Gauss), e la velocità, mettendo
prima del sistema un selettore di velocità, che faccia entrare nel tubo solo particelle con v = E/B.
Il magnetismo nella materia. Le sostanze si comportano diversamente in un campo magnetico; la
permeabilità magnetica del vuoto o del mezzo si usa per classificare le proprietà magnetiche delle sostanze.
È simile alla costante dielettrica: 0
nel mezzo e quello nel vuoto.
Le sostanze si classificano in:
* r = La permeabilità relativa è il rapporto fra il campo magnetico
Diamagnetiche (r < 1): vengono debolmente respinte dai poli di una calamita. Si oppongono al
flusso di campo magnetico che le attraversa e al loro interno il campo è un po’ più debole.
Paramagnetiche (r > 1): vengono debolmente attratte. Il campo che le attraversa viene
debolmente facilitato ed è leggermente rafforzato.
Ferromagnetiche (r
rafforzato.
>> 1): vengono fortemente attratte. Il campo al loro ’interno è notevolmente
Le sostanze si comportano diversamente in un campo magnetico perchè hanno al loro interno una diversa
disposizione dei dipoli elementari (il magnetismo dipende dal moto degli elettroni intorno al nucleo).
In presenza di un campo i dipoli si orientano: nelle sostanze ferromagnetiche si orientano tutti, essendo già
parzialmente ordinati; in quelle diamagnetiche non si orientano tutti, perchè inizialmente erano
disordinatissimi: il momento magnetico risultante (somma fra momento della rotazione e momento magnetico
di Spin) è nullo. Ma non perchè gli elettroni sono fermi!
Il flusso del campo magnetico.
Nel campo elettrico, in presenza di un numero finito di cariche puntiformi, si applica la somma vettoriale della
legge di Coulomb; ma se il numero di cariche è infinito, serve il Teorema di Gauss (Q / 0). Ci
aspetteremmo dunque il flusso del campo magnetico proporzionale alla somma delle cariche magnetiche
(quantità di magnetismo). Tuttavia, non esistono poli magnetici isolati, quindi si annullano: il flusso del
campo magnetico attraverso una superficie è sempre nullo.
Ciò si può spiegare anche facendo riferimento alle linee di forza, che nel campo magnetico sono chiuse, a
differenza di quello elettrico, in cui erano aperte (andavano da una carica all’altra, da un conduttore all’altro): le
linee di forza escono da un polo ed entrano nell’altro → il flusso in un caso è positivo e nell’altro negativo,
quindi si annulla.
Quindi il teorema di Gauss serve solo dal punto di vista concettuale ma non da informazioni sul campo
magnetico.
La circuitazione.
Preso un vettore, la sua circuitazione lungo una linea chiusa è la somma vettoriale tra i prodotti scalari V*ΔL.
→
→
C (v) = Σ(v*ΔL)
Il significato fisico della circuitazione è il lavoro: L = F*S = q*E * S = k * Qq/(ra-rb). In un campo
conservativo, il lavoro non dipende dalla traiettoria ma dalla posizione iniziale e finale.; se la traiettoria è
chiusa, il lavoro è nullo.
Es. Campo elettrico radiale:
c
b
d
Il lavoro è positivo in AB negativo in CD e 0 in BC
e DA. Il lavoro totale è nullo: il campo eletrico è
conservativo.
a
Q
Attraverso la circuitazione si da un’altra definizione di campo conservativo: campo a circuitazione nulla.
Il campo magnetico non è conservativo perchè la circuitazione non è generalmente nulla, ma solo in casi
particolari (ad esempio quando lo spostamento ha verso opposto al campo, o quando vi sono due correnti
generatrici di uguale modulo e verso opposto, o quando non c’è corrente nel filo).
COROLLARIO: Non esistono linee di forza del campo elettrico chiuse: se così non fosse, la circuitazione non
sarebbe nulla perchè lo spostamento sarebbe sempre positivo (stessa direzione del campo, come in quello
magnetico).
Filo percorso da corrente che genera un campo magnetico:
→
→
→
C (B) = Σ(B*ΔL) = B* (ΔL1+ΔL2+...ΔLn) =
→
→
→
= B * 2πr = μ0/2π * i/r * 2πr = μ0 * i :
È l’analogo del teorema di Gauss: come il flusso del vettore campo elettrico è
proporzionale alla somma delle cariche interne, così la circuitazione del vettore
campo magnetico è proporzionale alla somma delle correnti concatenate.
Il limite della circuitazione per n(numero delle suddivisioni)→∞, quindi per Δx→0, è un integrale
che mi da precisamente il risultato.
Il Solenoide è equivalente al condensatore perché genera un campo
magnetico uniforme al suo interno, trascurabile all’esterno. Se viene
immerso in un campo magnetico, ruota e si dispone con le linee di
forza parallele al campo magnetico esterno.
Si considera convenzionalmente polo Nord quello da cui si vede la
corrente girare in senso antiorario.
Teorema della circuitazione:
racchiuda il vettore campo:
→
C (B) = μ0 * i. Nel caso della spira mi conviene prendere un rettangolo che
Circuitazione fuori: trascurabile
Circuitazione
nulla
→
→
Circuitazione
nulla
→
C (B) = Σ(B*ΔL) = B* L= μ0 * i = μ0 * N * i
↓
ogni spira viene considerata un piccolo circuito elettrico
B = μ0*N*i / L
