50 Esercizi per le vacanze per le classi seconde

50 Esercizi per le vacanze per le classi seconde del Liceo Scientifico
Prof. Andrea Sartorio
Si consiglia di diluire il lavoro nel corso dell’estate e di svolgere gli esercizi
nell’ordine in cui sono proposti. É stato scelto un ordine preciso per gli esercizi
in modo che ciascuno riveda in giorni diversi gli stessi argomenti. É molto IMPORTANTE che si cerchi di risolvere correttamente tutti gli esercizi, cercando
eventualmente la regola necessaria sugli appunti presi durante l’anno.
Esercizio 1 - espressioni algebriche
2
2
2
x+y
−2y 3
y−x
− x22y−y2 − 2y−2x
) : x y+xy
( 2x+2y
2xy+4y 2
2y(2x−y)
[sol: (x+y)(x−y)
2]
Esercizio 2 -espressioni algebriche
xy 2 −y 3 x2 +4y 2 −4xy
x−y
2y
2y+2y 2 · 2y 2 −3xy+x2 : ( x+2y−xy−2 + y 2 −1 +
x+y
2+2y−x−xy )
[sol: (x−2y)(2−x)(y−1)
]
4
Esercizio 3 - radicali
Risolvi
la seguente
espressione
con radicali:
q
q
q
x2 +x−2
x2 −1
:
3
x+2
x+1
·
6
x2 −4
x+1
q
2 (x−2)
[sol: 6 (x+2)
]
(x+1)2
Esercizio 4 - equazioni e discussione di equazioni
Risolvi ed eventualmente discuti le seguenti equazioni:
1
2
(3x+1)(x−2)−(2x+1) x−1
2 = (2x+3)(x−1)+ 4 (x−2)+(x−3) +(x+3)(3−x)
a2 (x − 1) − 2a(x + 1) = 3x + 1
[sol: x = 64;a = −1, indet; a = 3, imp; a 6= −1 ∧ a 6= 3...]
Esercizio 5 - disequazioni
3
2x(3x2 −1)
+ 16 ≤ (2x−1) −(1−6x)(2x+3)
− 5x
3
4
5x
4x2 +1
≥1
[sol:x ≥ 1;−1 ≤ x ≤ − 14 ]
Esercizio 6 - espressioni trigonometriche
Risolvi le seguenti espressioni e razionalizza i risultati:
√
3sin120◦ +3cos240◦ +tg150◦ +tg(−30◦ )
tg60◦ +sin210◦
√
√
2
π
π
7π
√
sin π
3 − 3cos 6 +2 3tg 3 +tg 4
3
π
sin 3π
2 −cosπ+sin 3
1
√
[sol:− 24+4
33
3
√
;3 3]
Esercizio 7 - algebra dei radicali
Svolgi
le√
seguenti√espressioni
con
√
√ radicali:
√
4
162√− 4 32 +√5 3 16 − 3 54 +√3 250
(4 + 2)2 − (2 2 − 1)2 − 3(4 2 + 2)
√
√
[sol: 4 2 + 12 3 2;3]
Esercizio 8 - sistemi lineari
Risolvi
i seguenti sistemi utilizzando il metodo che ritieni pi opportuno:

 x+y =4−z
x + 2y = z − 3

6+y =x+z
(2x − 1)(y + 3) + 5y − 3 = 2x(y + 4) − 6
12x + 17 = 7y
y−x x+y
3x−y
2 − 9 =
6
2x + y − 4 = 0
[sol:(2;-1;3) ; (-2;-1) ; (1;2)]
Esercizio 9 - applicazione di sistemi
Calcola la misura degli angoli α, β e γ di un triangolo sapendo che α è il
triplo di β e che la misura di γ supera di 36◦ la somma degli altri due angoli.
[sol: 54;18;108]
Esercizio 10 - applicazione di sistemi
Determina l’equazione della retta r passante per i punti A(-2;-13) e B(5;8).
Rappresentala sul piano cartesiano. Ricava la retta parallela a r e passante per
C(0;1). (ricorda che due rette parallele...)
[sol: y=3x-7; 3x-y+1=0]
Esercizio 11 - la retta sul piano cartesiano
Ricava il valore di k in modo che la retta y = (k − 1)x + 3k sia parallela a
4x + y + 2 = 0. In seguito disegna le due rette sul piano cartesiano.
[sol: k=-3]
Esercizio 12 - applicazione di sistemi
Rappresenta la parabola γ : y = −x2 + 6x − 1 e la retta r : y = 3x − 11
sul piano cartesiano. Ricava le intersezioni tra retta e parabola con un procedimento algebrico.
[sol: P(5;4), Q(-2;-17)]
Esercizio 13 - la retta sul piano cartesiano
Ricava le rette passanti per le seguenti coppie di punti:
punti della prima retta A(2;3) B(-2;6)
2
punti della seconda retta A(-1;0) B(7;8)
Dopo aver scritto le equazioni delle due rette, disegnale sul piano cartesiano
e calcola algebricamente il punto di intersezione.
[sol: y = − 34 x + 92 ;...;P(2;3)]
Esercizio 14 - test a risposta multipla
x
2
Data l’equazione 2 −x
= 0, quali fra le seguenti sono soluzioni (può esserci
x
più di una risposta)?
1) x = 0
2) x = −1
3) x = 2
4) x = 12
5) x = 4
[sol: x=2;x=4]
Esercizio 15 - applicazione dei sistemi
Calcola il volume di un cono in cui il doppio del raggio supera di 1 cm la
misura dell’altezza e sapendo che il rettangolo avente come dimensioni le misure
di raggio e altezza ha un’area di 15cm2 .
[sol: V = 15πcm3 ]
Esercizio 16 - disequazioni
Risolvi le seguenti disequazioni
x+3
4−3x
x−2 + 1 ≤ 2−x
1
2x
≤
1
x−1
[sol: x < 2 ∨ x ≥ 5;−1 ≤ x < 0 ∨ x > 1]
Esercizio 17 - eq. di secondo grado
Risolvi la seguente disequazione:
x
4
8
x−2 − x+2 = x2 −4
[sol: x=0]
Esercizio 18 - disequazioni
x4 + 5x3 − 6x2 > 0
2x3 + x2 − 5x + 2 ≤ 0
[sol: x < −6 ∨ x > 1; x ≤ −2 ∨
1
2
≤ x ≤ 1]
Esercizio
19 - sistemi di disequazioni
2x − 3 < (x + 1)2 − x(x − 1)
x2 − 4x + 3 ≥ 0
3
[sol: −4 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 3]
Esercizio 20 - radicali
Calcola
il campo
dei seguenti radicali
q di esistenza
q
√
√
√
4
3−x
1
3
−x ;
x2 − 4 + 5 − x + 3 x
x2 +4 ;
[sol: x ≤ 3;x 6= 0; x ≤ −2 ∨ 2 ≤ x ≤ 5]
Esercizio 21 - radicali
Trasporta
tutti i fattori possibili fuori del segno della radice
q
18a5 x7
x4 +6x2 +9
q
4
x4 +x4 b4
32
[sol:
q
√
3a2 x3 2ax x
1+b4
;
2
x +3
2
2 ]
Esercizio 22 - radicali
Risolvi
laqseguente espressioni
con radicali:
q
q
q
6 a2 −1
1
1
a
3
6
a ·
a2 +a2 +2 ·
a4 (a2 −1)4 ·
a4 −1
[sol:
√
6 2
a +1
a(a2 −1) ]
Esercizio 23 - trigonometria
Determinare il seno e la tangente dell’angolo α ∈ [ 3π
2 ; 2π] sapendo che
cosα = 13 .
[sol:
√
√
−2 2
3 ;−2 2]
Esercizio 24 - radicali doppi
Trasforma
i seguenti
radicali doppi in una somma di radicali semplici:
p
p
√
√
15
p5 + 2√ 6
p8 − 2
√
5
−
24
8
−
60
p
p
√
√
2− 3
3+ 5
[sol:
√
3+
√ √
√ √
√ √
√
2; 5 − 3; 3 − 2; 5 − 3;
√
√
√
√
6− 2
2
; 10+
]
2
2
Esercizio 25 - equazioni di secondo grado
Risolvi la seguente
equazione con coefficienti irrazionali
√
x2 + 2x − 2√ 2 √
−2=0
[sol: −2 − 2; 2]
Esercizio 26 - trigonometria
Determinare il coseno e la tangente dell’angolo α ∈ [ π2 ; π] sapendo che
sinα = 72 .
√
√
[sol: − 3 7 5 ;− 2155 ]
Esercizio 27 - applicazione dei sistemi sistemi
4
In un rettangolo la differenza tra il doppio dell’altezza e la metà della base
è di 7 cm. L’area della figura misura 78 cm2 . Calcola il perimetro.
[2p = 37]
Esercizio 28 - trigonometria
b l’ipotenusa AC misura 39 e la
Dato il triangolo rettangolo ABC retto in B,
.
Ricavare
le
misure
dei
due
cateti
e
l’area
del triangolo.
tgγ = 12
5
[sol:...;...;A=270]
Esercizio 29 - trigonometria
√
Data una circonferenza di diametro AB = 10, la corda AC misura 5 3.
b
Ricavare la corda BC e la misura dell’angolo C OB.
[sol:5;60◦ ]
Esercizio 30 - la circonferenza
Data una circonferenza di centro O e una sua corda AB, dopo aver costruito
il punto medio M sulla corda, prolunga AB da entrambi gli estremi ottenendo
i punti C e D in modo tale che AC ∼
= BD. Dimostra che i punti C e D sono
equidistanti dal centro.
Esercizio 31 - equazioni parametriche
Determina per quale valore di k la seguente equazioni ha radici opposte:
5kx2 − 2(k − 1)x + k5 = 0
In seguito determina k affinché la somma dei reciproci delle radici sia 12.
[soluzione non accettabile; k=-5]
Esercizio 32 - equazioni di secondo grado
Risolvi√la seguente√equazione con coefficienti irrazionali:
x2 − 2 √3x −√2 − 2√ 6 = 0
[sol: − 2; 2 3 + 2]
Esercizio 33 - disequazioni
Risolvi
 2 2il seguente sistema:
x (x +4)

≤0

x+1


x4 +6x2
x2 −4
≥1
[sol: x¡-2]
Esercizio 34 - disequazioni
Risolvi
il seguente sistema di disequazioni:

7
−
x
+ x2 > 0


x3 −8x2 −9x
x2 +4
≥0
5
sol:[−1 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 9]
Esercizio 35 - equazioni parametriche
Determina per quale valore di k la seguente equazione 2x2 − 7x + 4k = 0 ha:
1) radici reali
2) radici concordi
3) radici reciproche
49
[sol:k ≤ 49
32 ;0 < k ≤ 32 ,k = 1/2]
Esercizio 36 - dimostrazione
Dato il parallelogramma ABCD, si indichi con O il punto di intersezione
delle diagonali. Scelti i punti E su OB e F su OD in modo che OE ∼
= OF , si
dimostri che i triangoli AEB e CFD sono congruenti. In seguito dimostra che i
segmenti AE e CF appartengono a rette parallele.
Esercizio 37 - trigonometria
b ha il sinα = 2 e il perimetro uguale a 10. DeIl triangolo ABC retto in B
3
termina la misura dell’ipotenusa. (Suggerimento: indica AC = x...)
[sol:AC = 32 (5 −
√
5)]
Esercizio 38 - dimostrazione
Dopo aver ripassato i vari teoremi sulle corde, svolgi la seguente dimostrazione:
In una circonferenza si considerino due corde congruenti AB e BC. Dib
mostrare che il segmento OB è bisettrice dell’angolo ABC.
Esercizio 39 - equazioni con radicali
Risolvi la seguente
equazione
contenente coefficienti irrazionali:
√
√
3x(x − 1) + 6x = 6
√
[sol:−
6
3 ; 1]
Esercizio 40 - dimostrazione
Disegna una circonferenza di centro O, un diametro AB e due corde AE e
AF , tali che AB sia la bisettrice dell’angolo F AE. Dimostra che le corde AE e
AF sono congruenti.
Esercizio 41 - dimostrazione
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, traccia l’altezza AH e la parallela
per H al lato AB; la perpendicolare per C a BC interseca tale parallela in P.
Dimostra che AHCP è un rettangolo.
Esercizio 42 - dimostrazione
In una circonferenza di centro O disegna due diametri AB e CE. Traccia la
corda ED perpendicolare ad AB. Dimostra che AB è parallelo a CD. (è sufficiente dimostrare che gli angoli alterni interni DCO e COB sono congruenti...)
Esercizio 43 - circonferenza
Ricava le misure dei lati di un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza
sapendo che due lati opposti sono congrunti e che due lati consecutivi sono in
6
rapporto 5 : 4 e sommati misurano 45 cm. (ricorda un teorema sui quadrilateri
circoscritti...)
[sol: 20;25;30;25]
Esercizio 44 - trigonometria
b l’ipotenusa AC misura 6 e sinγ =
Dato il triangolo ABC retto in B,
Ricavare la misura dei cateti e l’altezza BH relativa all’ipotenusa.
1
3.
√ √
[sol:2;4 2; 4 3 2 ]
Esercizio 45 - trigonometria
Determinare il seno e il coseno della angolo α ∈ [0; π] sapendo che tgα = 32 .
√
[sol: 2 1313 ;...]
Esercizio 46 - trigonometria
√
Dato il triangolo scaleno ABC con α = 30◦ e β = 45◦ , AC = 8 2. Determinare la misura degli altri due lati. (suggerimento: traccia l’altezza CH...).
√
√
[sol: 8;4( 6 + 2)]
Esercizio 47 - parabola
Ricava la parabola passante per i punti A(1;1), B(-1;-5) e C(-3;-7). Rappresentala sul piano cartesiano.
[sol:y = 12 x2 + 3x − 52 ]
Esercizio 48 - dimostrazione
Data la circonferenza di centro O e diametro AB, prolunga AB di un segmento BE congruente al raggio e poi traccia la retta per B tangente alla circonferenza. Individua su tale retta un punto V e disegna l’ulteriore tangente VF
alla circonferenza. Dimostra che l’angolo FVE è il triplo dell’angolo BVE.
Esercizio 49 - teoremi della circonferenza
Data una circonferenza di centro O e una corda AB, l’angolo ABO misura
34◦ . Individua un punto C sulla circonferenza e determina la misura dell’angolo
ACB.
[due soluzioni: 56◦ ; 124◦ ]
Esercizio 50 - quadrilateri circoscritti
Completa la seguente tabella in modo che tutti i quadrilateri siano circoscrivibili ad una circonferenza:
Quadrilatero
quadr. 1
quadr. 2
quadr. 3
quadr. 4
lato AB
12
√4
2
25,6
lato BC
16
....
√
5 2
....
7
lato CD
....
9
....
22,3
lato AD
5
21
√
3 2
11,5
[sol:21;imp;...;...]
8