Fisica generale – Indice degli esercizi svolti 3

Fisica generale – Indice degli esercizi svolti
Questi esercizi sono stati svolti durante le esercitazioni di preparazione agli esami e durante le
correzioni degli stessi esami dal tutor dott. Gianluca Pagnoni, quindi quasi tutto quel che è riportato è
farina del suo sacco.
Per tradizione sono indicate e devono essere considerate le seguenti costanti:
g=9,81 m /s 2
(accelerazione di gravità terrestre)
=6,67⋅10−11 N⋅m 2 / kg2
(costante di gravitazione universale)
R Terra =6 370 km
(raggio della Terra)
Nel caso servisse la massa della Terra (e, in generale, quella di un qualunque pianeta), bisogna
utilizzare la legge di gravitazione universale:
F =m⋅g=⋅
m⋅M Terra
R 2Terra
⇒ M Terra =
g⋅R 2Terra

=
9,81⋅6 3702⋅103 
6,67⋅10
11
2
=5,97⋅1024 kg
Fisica generale L-A
Compito del 26/03/2007 .................................................................................................................................. 2
Compito del 14/07/2008 ..................................................................................................................................
2
Compito del 08/09/2008 .................................................................................................................................
2
Compito del 08/01/2009 .................................................................................................................................. 3
Compito del 24/02/2009 .................................................................................................................................. 3
Compito del 22/04/2009 .................................................................................................................................
4
Compito del 18/06/2009 .................................................................................................................................. 5
Compito del 12/01/2010 ..................................................................................................................................
5
Compito del 14/06/2010 ..................................................................................................................................
7
Compito del 15/02/2011 ..................................................................................................................................
7
Compito del 20/06/2011 ..................................................................................................................................
9
Compito del 07/07/2011 ................................................................................................................................
13
Compito del 25/07/2011 ................................................................................................................................
16
Compito del 07/09/2011 ................................................................................................................................
20
Compito del 21/12/2011 ................................................................................................................................
24
Compito del 09/01/2012 ................................................................................................................................
27
1 / 29
Fisica generale L-A
Compito del 26/03/2007
Se il pinguino può muoversi significa che c'è attrito (altrimenti il movimento sarebbe impossibile),
quindi la tavoletta si muove rispetto al pinguino. Dato che la tavoletta si muove anche rispetto al lago
ghiacciato, perché tra i due non c'è attrito, allora il pinguino si muove con velocità uguale e contraria a
quella della tavoletta (risposta b)).
Compito del 14/07/2008
Scalarmente, il lavoro è esprimibile sempre come L=F⋅S . A forza e spostamento uguale
corrispondono lavori uguali, quindi per spostare punto materiale e sfera rigida è necessario compiere
lo stesso identico lavoro.
Compito del 08/09/2008
Trattandosi di un urto, in ogni caso si conserva la quantità di moto (il sistema è isolato). Quando l'urto
è elastico, in particolare, si conserva l'energia meccanica (dunque l'energia cinetica).
a) Nel caso di urto elastico, separando le componenti x e y:
iniz
iniz
fin
fin
fin
fin
p 1x  p 2x =p 1x  p 2x ⇒ 60=4p 2x ⇒ p 2x =2 kg⋅m/s
iniz
iniz
fin
fin
fin
fin
p 1y  p 2y =p 1y  p 2y ⇒ 00=−3 p 2y ⇒ p 2y =3 kg⋅m/s
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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Compito del 08/01/2009
L'urto è evidentemente anelastico, quindi si conserva la sola quantità di moto (e non anche l'energia
cinetica, cosa che avviene quando l'urto è elastico). Allora:
m1 v=m1 m2 
v
v
v
⇒ m1 =m 2
⇒ m1 =m2
2
2
2
 =m 
La F
a (che contiene la massa inerziale) dà origine alla legge di gravitazione universale
F =
mM
R
2
, che sostanzialmente ha la stessa forma. In essa, quindi, le masse dei corpi celesti
sono inerziali (a)).
Le masse gravitazionali sono quelle misurate staticamente, con un esperimento analogo a quello di
Cavendish. Anche se esse sono proporzionali e talvolta identiche alle masse inerziali, si tratta
comunque di grandezze distinte, perché di origine diversa (statica e dinamica).
La quantità di moto (che si suppone si dovrebbe perdere) è compensata dalle masse perse per
caduta.
Compito del 24/02/2009
a) FALSO: a parità di forza, servirebbe uguaglianza tra gli spostamenti, ma il punto c) dimostra che
s2=2 s1 .
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b) FALSO: v 1=
s1
s2
2 s1
s1
; v 2=
=
=
=v 1
t
2t 2t t
a
a
2
2
s2=v⋅2  t=  2  t
 t 
2
2
F 2 =2 m⋅a
F 1 =m⋅a
c) VERO:
;
F
F
F
2
2
2
⇒ s2 =
⋅4 t =
 t  =2s1
⇒ s1 =
⋅ t
m
2⋅m
2⋅2 m
s1=v⋅ t=
Astronauta e astronave sono in equilibrio, anche separatamente.
Compito del 22/04/2009
a) FALSO: il teorema delle forze vive definisce l'energia cinetica: LAB =T B−T A .
b) FALSO: il teorema delle forze vive vale per tutte le forze, comprese quelle di attrito.
c) VERO
 è una proprietà del centro di massa derivata dal teorema di HuygensKO=KG G −O×Q
2
Steiner I r =I gMd , che ha la stessa struttura algebrica.
 =⋅I
Si può dimostrare sapendo che intercorre la relazione K
 tra il momento angolare e il momento
v =×P

−O , allora:
d'inerzia e ricordando che in un punto P che ruota 
v =×P

−O 

2


v⋅t=⋅k×P −O⋅r
I r =I g Md
2
v
 P −O ⋅r
⋅I
 r =
⋅I g ⋅Md

⋅t =⋅k×
P −O
P −O
v

2
v
KO= KG   P −O×
⋅Md
 r=
⋅k×
⋅t
2
;
P −O
P −O
v
M⋅v
2

⋅t=P −O⋅k×
r
KO=KG P −O×
⋅d
2 ⋅
2
P −O
P −O
v




K
=
K
P
−O×
Q
=P

−O ×
O 
 G
2
P −O


Il vincolo è che abbiano lo stesso allungamento :
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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F 1 F 2 −mg=0
mg
F
=
1
−k 1 x−k2 x−mg=0
3
;
2
mg
F 2= mg
x=−
3
3k
Compito del 18/06/2009
Un'esplosione è equivalente ad un urto è anelastico, quindi si conserva solo la quantità di moto e non
l'energia cinetica:
M
M
v
v
2
2 2
M
M
v=
v
2
2 2
v 2=v
M v=
a) VERO: le masse m dei pianeti sono ininfluenti, infatti singolarmente bisogna eguagliare la forza
centripeta alla forza di attrazione gravitazionale del Sole (massa M):
2
m ac =m
v
Mm
= 
2
R
R
Essendo M costante, a velocità uguale corrisponde raggio uguale dell'orbita.
Compito del 12/01/2010
“Senza scivolare” significa che la velocità del centro di massa è uguale alla velocità di spostamento,
quindi si applica la condizione legata al momento d'inerzia per i corpi rigidi che hanno un moto con
asse di rotazione che rimane parallelo a se stesso:
 e
v centro dimassa =v spostamento ⇒ M u =I ̈=I ̇
Sapendo che un disco è un cilindro con altezza ridotta: I cilindro =
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
1
2
Mr .
2
5 / 29
c. L'energia potenziale è uguale alla somma dell'energia cinetica dovuta alla rotazione dei due dischi,
più l'energia cinetica dovuta alla traslazione:
Non essendoci attrito tra piattaforma e suolo, il movimento del bambino sopra alla piattaforma causa il
moto della piattaforma stessa rispetto al suolo.
Trattandosi di un sistema isolato (piattaforma+bambino), si conserva la quantità di moto:
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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Compito del 14/06/2010
Il vincolo è R=mg+ma: ogni persona è soggetta sia al proprio peso, sia alla forza impressa alla massa
dall'accelerazione dell'ascensore verso l'alto.
Compito del 15/02/2011
a) FALSO: l'urto è anelastico, dunque l'energia cinetica non si conserva.
b) FALSO: i veicoli non si muovevano lungo la stessa retta d'azione, quindi l'eventuale moto
successivo all'urto si svolgerà su una retta determinata dalla regola del parallelogramma.
c) VERO: l'urto è anelastico, dunque si conserva solo la quantità di moto.
d) FALSO: l'urto è anelastico, dunque l'energia meccanica non si conserva.
Un punto focale del problema è che agisce la forza peso , e basta: trascurando l'attrito dell'aria è come
se si fosse nel vuoto.
a) FALSO: dovendo trascurare l'attrito dell'aria si è come nel vuoto, quindi non è persa energia per
attrito dovuto a rotazione.
a =m 
g , quindi
b) VERO: agendo la sola forza peso, l'accelerazione di entrambi i corpi è m 
l'accelerazione non dipende dalla massa cioè il moto è lo stesso (purché i due corpi partano con
medesima velocità iniziale). Dato che entrambi partono con la stessa velocità e che la pallottola
raggiunge il bersaglio, allora anche la palla di cannone raggiunge il bersaglio.
c) FALSO: poiché il moto è lo stesso, allora per percorrere distanze uguali si impiegano tempi uguali,
quindi i due corpi arrivano assieme a colpire il bersaglio.
d) FALSO: (vedi punto b).
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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compensa p
p
La forza centrifuga
responsabile del moto.
è
apparente,
quindi
non
è
La forza peso e la forza di tensione della fune si devono
combinare fino a formare un moto circolare uniforme:
quindi, la forza peso deve essere bilanciata da una forza
opposta, che la compensi.
Negli estremi è tutta energia potenziale. Nel punto mediano l'energia potenziale diventa tutta energia
cinetica.
 
Si tratta di un problema di equilibrio: R=
0 .
B è fermo perché c'è attrito statico, che non lo lascia muovere fino a che non viene superato il valore
massimo della massa di A per cui l'attrito viene vinto.
Per trovare la velocità orbitale si eguagliano la legge di gravitazione universale con la legge del moto
circolare uniforme (esprimendo entrambe come accelerazioni):
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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2
GM

v
GM
=
⇒ v=
=7,03 km/s
2
Rh
Rh
Rh
Per trovare la velocità di fuga, invece, si eguagliano l'energia cinetica con l'energia potenziale
gravitazionale:

1
Mm
GM
2
m v f =G⋅
⇒ vf = 2
=  2⋅v=9,94 km/s
2
Rh
Rh
L'energia cinetica necessaria a spostare il satellite è pari alla variazione di energia potenziale tra le
due orbite:
1
Mm
GMm
2
m v −G⋅
=−
2
R h
Rh
GMm
GMm
GMmh
9
 E=−

=
=2,25⋅10 J
2 R2 h 2Rh 2Rh R 2h 
E=
Si considera l'orbita geostazionaria lungo il piano dell'equatore, a 36 000 km di quota. L'orbita è
percorsa in un tempo pari all'orbita terrestre.
2Rh s
T
⇒
{
Rhs =42⋅106 m
hs =36⋅106 m
=
⇒  E=−

2
GM
3 GMT
⇒ Rh s  =
Rhs
4 2
GMmh s−h 
GMm
GMm

=
=7,9⋅109 J
2 R hs  2 Rh s  2RhRh s 
Compito del 20/06/2011
a) FALSO: la forza di attrito, in ogni istante, agisce sul punto di contatto che ha velocità nulla (s=0)
perché il rotolamento è senza strisciamento, quindi l'attrito non compie lavoro , cioè non sottrae
energia al moto.
b) VERO: se non c'è attrito non si dissipa energia, quindi il moto è perpetuo.
c) FALSO: la forza di attrito è una forza consequenziale al moto e non può provocarlo; in questo caso,
oltretutto, la forza di attrito è assente, quindi non può causare il moto.
I due satelliti, per avere posizione relativa costante, devono avere la stessa velocità angolare  . Per
entrambi bisogna eguagliare la forza di attrazione gravitazionale con la forza centripeta del moto
circolare:
2
−m r=−
Mm
r
2

cioè = 
M
r
3
Si deduce immediatamente che, per avere  costante, l'unica possibilità è che r1 =r 2, cioè che i
pianeti percorrano la stessa orbita: infatti la velocità angolare dipende solo dal raggio del moto
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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circolare e non dalla massa degli oggetti che la percorrono.
Le masse tendono a rimanere ferme rispetto al SdR della strada sotto al camioncino, quindi le molle si
allungano: rispetto al SdR del camioncino, le masse di muovono all'indietro.
{
−kx1 −mac =0 ⇒ x =2 x
2
1
−kx2−2 mac=0
Dopo la rottura delle molle, le due masse si muovono allo stesso modo: infatti, per entrambe
l'accelerazione è a=a c , cioè quella (relativa) del camioncino.
Per la conservazione dell'energia:
1
1
1
m v 20 = mV 2 MV 2mgh .
min
2
2
2
Per la conservazione della quantità di moto:
m v0
Risolvendo il sistema:
v0
min
min
=
=mV MV .

M m
2 gh con v 0v 0min .
M
Bisogna scrivere solo le equazioni , tenendo conto che quando m si trova sul piano inclinato sono
entrambi in movimento: M con velocità V, m con la propria velocità v 0 sommata alla velocità relativa
al SdR del piano inclinato (che trasla di moto rettilineo uniforme, dato che l'impatto da i due corpi è
assimilabile ad un urto elastico: infatti si conserva la quantità di moto). Scriviamo le equazioni rispetto
al SdR della Terra :
{
1
1
1
m v20 = M V 2  m vx V 2 v 2y mgh
rel
rel
2
2
2
mv 0 =MV mv xrel V 
v 0 =2 v 0
min
v x =v x V
[
]
rel
v y =v y rel=v x rel⋅tg 
Perché un campo di forza ammetta potenziale, esso deve essere irrotazionale:
 =0 ⇒
∇×F
∣
∂U
∂x
Fx
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
∣
∂U
∂U
∂U
∂ y = ∂ x F y − ∂y F x=0 cioè
Fy
∂U
∂U
F y=
F ⇒ b =c
∂x
∂y x
10 / 29
Non basta: bisogna eguagliare componente a componente:
{
{
1
∂U
U = ax2 bxyf y 
∂x
2
;
∂U ;
1
F y =cxdy=
U =cxy dy2 g x
∂y
2
F x =axby =
{
∂U
=bxḟ y 
∂y
∂U
=cy ġ x
∂x
Eguagliando il primo sistema con l'ultimo:
{
b=c
1
b =c
b =c
g= ax2
axby =cy ġ x  ; ax=ġ x ;
2
1
cxdy=bx ḟ y 
dy= ḟ y 
f = dy 2
2
{
{
Quindi il potenziale si scrive: U =
1 2
1
ax bxy dy2 .
2
2
Soluzione alternativa. Dopo aver trovato b=c si integra la funzione su
un percorso generico da (0,0) a (x,y):
y
(x,y)
 =axby
F
 ibxdy
 j
Fx
Fy
1
Nel tratto 1 si integra Fx (y=0=cost.):
∫
U 1=
(0,0)
x
[
x ;0
]
x2
x2
F x d x=
 axby d x= a
bxy =a
2
2
0
0 ;0
∫
2
(x,0) x
Nel tratto 2 si integra Fy (x=cost. diversa da zero):
∫
U 2=
[
x; y
y2
F y d y=
bxdyd y = bxyd
2
x; 0
∫
]
y
y2
=bxyd
2
0
Il potenziale è la somma dei due contributi (essendo conservativo il percorso di integrazione è
arbitrario): U =U 1 U 2=
1 2
1
ax bxy dy 2 .
2
2
Se la forza è centrale si può scrivere:
{
y
F x =axby
ab =f x ; y 
axby=f
x
;
y⋅x
x
F y =cxdy
;
;
x
cxdy=f x ; y⋅y
 x ; y=f x ; y ⋅
c d=f x ; y 
F
r =f x; y ⋅x iy j
y
{
{
{
{
b=c
b=c
y
x
y
x
;
ab =c d
ab =b d
x
y
x
y
{
b=c
a=d
b=c =0
y x
Eguagliando componente a componente:
;
a=d
b⋅
−
=0
x y

allora: U =


{
generalmente ≠0
1
1
a x 2y 2 = a r2 .
2
2
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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Si osserva che, nel caso di campo centrale, le superfici equipotenziali sono dei cerchi (infatti il
potenziale è un paraboloide).
T −mg=0 ⇒ x = m g=0,049 m
0
T −kx0 =0
k
{
Tirando la massa verso il basso e rilasciandola, ci sarà una forza di richiamo.
Il punto x0 è il punto di equilibrio (centro di oscillazione del moto armonico).
{
mg−T 2=ma
−T 2 =ma−mg
1
2 a
1
T 2 R−T 1 R=I ̇= MR
2k
2
R ; T 2−T 1= Ma ; a
⋅x=0
2
M
2 m
T 1−k x 0 x=0
T 1 =mgkx
mg=kx 0
{
2
Dato che l'espressione generica del moto armonico semplice è ẍ x=0 si trovano:
=

2
2k
=0,67 s
=9,43 rad/s da cui segue T =

M 2 m
Se si taglia la fune, cambia solo l'equazione della parte sinistra della carrucola:
{
mg−T =ma ;
TR=I ̇
{
mg−T =ma
2m
1
; a=
g=4,36 m/s^2 conservativa perché la forza che la
T = Ma
M 2 M
2
genera è costante (forza di gravità).
Quindi:
1
2
m v =mah ⇒ v=  2a h=4,17 m/s
2
Soluzione alternativa. Si può applicare la conservazione dell'energia meccanica:
m g h=

1
1
1
1
2⋅2 m
2
2
2
2
m v  I  = m v  M v ⇒ v=
gh= 2 a h=4,17 m/s
2
2
2
2
M 2M
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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Compito del 07/07/2011
l+Δl
k⋅ l=m 2 l l ⇒  l=
m 2 l
ω
k
2
k−m 
a. FALSO: il sistema è isolato, quindi il momento angolare del sistema si conserva.
b. FALSO: il momento d'inerzia è legato alla geometria delle masse ed aumenta quando le masse
vengono allontanate dal riferimento di rotazione (come in questo caso: allargando le braccia si
allontanano le relative masse dall'asse di rotazione scelto). Quindi il momento d'inerzia aumenta.
 =I 
 =cost. e I
c. VERO: un corpo che ruota ha momento angolare K
 . In questo caso K
 deve diminuire.
aumenta, quindi per la proporzionalità inversa la velocità angolare 
A'B' ha velocità media superiore perché il peso accelera il moto; anche quando decelera nei tratti in
salita, la velocità media rimane superiore. AB, invece, è sul piano, quindi il moto è costante e non
accelera mai.
a.
{
m
g
T = ma
mM
;
mg−T =ma
mM
T=
g
mM
{
a=
E=
b. Si applica la conservazione dell'energia meccanica :
1
1
M v 2M  m v2m mgz=cost.
2
2

1
2
M m v
2
Derivando (v 2 è il quadrato di una funzione, quindi bisogna fare la derivata di una funzione composta):
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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

dE 1
dv
dE 1
dv2
= M m
−mgv=0 ; dt = 2 M m⋅ 2 v⋅ dt −mgv=0
dt
2
dt
M m⋅v⋅a−mg v=0 ; a=

mM
r
2
=m 2 r
=
2
T
P =mg
mM
P = 2
RT
}
Alla fine: T =
}
⇒ g=


2 3
quindi T = 4  r
M
P
M
= 2 quindi  M =g R 2
T
m
RT
4  2 r3
g R 2T
2
 
2
⇒  3=
T
r
M
m
g
mM
=...=39,...s
1
mM
2
m v −
2
r
2
mM
v
 2 =m
r
r
E=
Per la conservazione dell'energia meccanica:
}
⇒ E=−
1 mM

.
2
r
L'energia aumenta al crescere del raggio.

v= 
M
: il raggio diminuisce e la velocità aumenta.
r
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
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Si conserva la quantità di moto perché l'urto è
anelastico, ma la velocità finale è relativa alle
tre masse considerate assieme:
d
d'
s
m v=M A M BC mv f
v
MA
m
x
v
MA m
'
MBC
z
x
MA m
vf
m
v=1,661 m/s
M AM BC m
z
MBC
vf
vf =
z
MBC
x
{
F =M BC a BC
(la forza di attrito è la stessa che causa l'accelerazione del blocco MA )
F =M A mg
aBC =
M A m
g
M BC
{
s
∫ F F
Per il teorema delle forze vive:
1
s=
2 g

M BC
M A M BC m

0
1
T ds= 2
M A mv '2
F T =M A maBC
mv=M A m v '
m
M A m

2
; F F T ⋅s=
1
m2
v2
2 M A m
v 2 =0,402 m
d '=d−s=0,6−0,402m=0,198 m
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
15 / 29
Compito del 25/07/2011
Entrambi i corpi si muovono con componente verticale del moto caratterizzata da accelerazione
uniforme (accelerazione di gravità g), indipendentemente dalla massa dei corpi . La componente
orizzontale (proiettile sparato orizzontalmente, bersaglio lasciato cadere) è ininfluente nel problema;
quindi il proiettile centrerà sempre il bersaglio.
L'unico limite è dato dallo spazio di caduta: se è troppo breve, entrambi toccano terra e il proiettile
può non raggiungere il bersaglio, perché il moto non può proseguire nel terreno.
a. FALSO: le accelerazioni sono uguali, a prescindere dalle masse;
b. FALSO: non serve una velocità particolare: si spostano allo stesso livello;
c. VERO;
d. FALSO (per esclusione).
 =m 
Si imposta la F
a con la forza gravitazionale a livello del suolo (senza considerare h), per trovare
una relazione tra i dati disponibili:
m g=⋅
M Terra m
2
R Terra
2
⇒ g⋅R Terra=⋅M Terra
Si eguaglia la forza gravitazionale alla forza centripeta per trovare la velocità:
−⋅
M Terra m
R Terra h
=−m⋅
2
v
2
2
R Terrah
⇒ v=
⋅M Terra
R Terrah
Utilizzando la relazione trovata prima si sostituisce e calcola:
v=



⋅M Terra
g
9,81
6
3
=R Terra⋅
=6,3⋅10 ⋅
6 =7,566⋅10 m/s
R Terrah
R Terrah
6,30,5⋅10
Il moto del foglio verso destra provoca una forza sempre verso destra, per cui anche il cilindro deve
muoversi nella stessa direzione della forza impressa .
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
16 / 29
Bisogna scomporre il tempo di ritorno  in due parti, una relativa al moto di caduta della pietra
(rettilineo uniformemente accelerato) e una relativa al moto di salita del suono (rettilineo uniforme):
=caduta  suono
I due moti si scrivono in funzione dei tempi per poi poterli uguagliare e ricavare h, che è comune:
1
h−h uomo= g 2caduta , h−h uomo=suono⋅v suono =−caduta ⋅v suono
2
Eguagliando si ottiene una equazione di secondo grado di variabile
caduta :
1
1
2
2
g  caduta=−caduta ⋅v suono ; g  cadutav suono caduta −v suono =0
2
2

1
−v suono± v 2suono 4⋅ g v suono 
2
−340 m/s± 3402 m 2 /s2 2⋅9,81 m/s2⋅340 m/ s⋅2s
caduta =
=
g
9,81 m/s 2
{
caduta =−71,26 s (non accettabile)
caduta =1,945s (accettabile)
1
2
1
1
h= g  2cadutahuomo = ⋅9,81 m/ s 2⋅1,9452 s 21,80 m=20,36 m
2
2
SOLUZIONE ALTERNATIVA.
{
1 2
gt
2 caduta
h '=v salita⋅t salita ;
=t caduta t salita
h '=
{
t caduta =
tsalita=

2 h'
g
h'
v salita
=t caduta t salita
; =t caduta t salita=

2h '
h'

g
vsalita

1
2
⋅h '
⋅ h '−=0 (equazione di II grado nella variabile h')
vsalita
g
−
h '=
 
2
2
4⋅


g
g vsalita
2
=4,306  m ; h=h '1,80 m=20,34 m
v salita
Se v suono=0 si ha che =caduta =2 s , quindi si approssima:
1
1
h *= g  2h uomo= ⋅9,81 m/ s 2⋅22 s 21,80 m=21,42 m
2
2
L'errore percentuale riferito all'altezza reale h è:
=
 h h*−h  21,42−20,36 m
=
=
=0,052=5,2 %
h
h
20,36 m
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
17 / 29
La molla compie sul blocco un lavoro pari all'energia potenziale che essa ha accumulato per effetto
della compressione:
1
1
N
L molla= k⋅ l 2= ⋅20
⋅9 cm 2=90 N⋅cm=0,9 J
2
2
cm
La forza di attrito compie lavoro in proporzione al peso del corpo, opponendosi allo spostamento del
corpo stesso:
L attrito=m g ⋅ l =5 kg⋅9,81
N
⋅0,2⋅−0,03 m =−0,294 J
kg
Per il teorema delle forze vive:
T = Lmolla Lattrito
v=




2 L mollaL attrito 
2 0,90,294J
N⋅m
m
=
=0,49
=0,49 2 ⋅m=0,49 m/s
m
5 kg
kg
s
Tutta l'energia cinetica deve essere dissipata dalla forza di attrito:
2
2 2
1
1 v
0,24 m /s
m v 2=m g ⋅ x ;  x=
=
=0,0612 m
2
2 g  2⋅0,2⋅9,81 m /s 2
SOLUZIONE ALTERNATIVA.
LL attrito
0,606 N⋅m
1
 x=
=
=0,0618 m
2
m v =LL attrito=L arresto=m g ⋅ x ;
m g
N
2
5 kg⋅9,81 ⋅0,2
kg
La palla ha un effetto (la forza ha un momento che provoca una rotazione). Non è puro rotolamento .
C'è attrito. La velocità v cala finché non si annulla e diventa puro rotolamento (quando la forza di
attrito non compie più lavoro) all'infinito, perché non si dissipa energia.
Si applica il teorema dell'impulso:
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
18 / 29
{∫
t
0
2
2
F⋅ R dt=F⋅ R⋅ t =
3
3
{
F⋅ t=m v 0
2
2
F⋅ t⋅ R m v0⋅ R 5 v
t
;
3
3
0
 0=
=
=
I G⋅̇0 dt=I G⋅ 0
IG
2
3R
0
sfera
m R2
5
F⋅ t=m v 0
∫
{
−F r =m a
F r R=I G⋅̇ ;
{
̇=
a=−
Fr
m
;
FrR
5F r
=
IG
2 mR
{
v=v 0 −
=
sfera
5F r
2 mR
Fr
m
⋅t
⋅t−0
Per il rotolamento puro bisogna imporre v RP =⋅R :
{
v RP =v 0 −
v RP =⋅R=
Fr
m
5F r
2mR
⋅t RP
5
⋅t RP − 0⋅R
5
5
v
; v RP = v0 −vRP − v 0 =
2
3
21 0
2
2
5 v0
1
1
1 2
1
m 25 v0 19
2 1
2
2
2
2
T i= m v 0  I G 0 = m v 0  ⋅ m R ⋅
= m v 0 ⋅
=
m v20
2
2
2
2 5
3R
2
5
9
18
 
Lattr =T i−T f =
Fisica generale L-A – Esercizi svolti


19
1
1
64
m v20 −
m v2RP  I G 2RP =
m v 20
18
2
2
63
19 / 29
Compito del 07/09/2011
La velocità di fuga è quella velocità la cui energia cinetica associata eguaglia il potenziale
gravitazionale. Calcolando la velocità nei due casi si trova l'altezza di lancio:
{
m M Terra
1
m v 2fT
2
;
1

= m v 2fH
R Terra h 2

R Terra
m M Terra
=
{
v fH =
1
v
2 fT
2  M Terra
=v 2fT ;
R Terra
4⋅2 M Terra
=v 2fT
R Terra h
{
{
1
1
v
; v fH = 2 v fT
2 fT
R Terra h=4⋅R Terra
h=3⋅R Terra
v fH =
Il moto del punto A è uniforme. Il moto del punto B è uniformemente decelerato.
{
dv
=0 dato che v=cost.
dt
dv 40−0
aB =
=
=−8 cm /s2
dt
0−5
aA =
Bisogna, per prima cosa, calcolare il tempo impiegato da B per raggiungere la velocità richiesta. Il
moto di B è uniformemente decelerato, quindi:
v B =v 0 aB t *B ⇒ t*B =
vB −v 0 30−40 cm/ s
=
=1,25 s
aB
−8 cm/ s2
Il moto di A è uniforme, quindi:
sA =v A⋅t *B =30 cm/ s⋅1,25 s=37,5 cm
sB =s0 v 0 ta2Bt
Sapendo che la velocità di B è v B =v 0 aB t B =40−8 t , si integra tra gli estremi temporali:
t=10
∫
sB =
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
t=0
10
40−8 t dt=[ 40t−4 t2 ]0 =400−400−00=0
20 / 29
T1
1
{
T 1 T 2 =
2
{
T 1 T 3 =T S1
T 1 R=T 3 R
3
{
T 3 T 4 =
4
{
T 4 F =T S2
T 4 R=F R
TS2
TS1
2
1
T3
T4
4
3
T2
F
Wg
2
T 1 R=T 2 R
Wg
2
T 3 R=T 4 R
⇒ T 1=T 2 =T 3 =T 4 =F =
W
Wg
4
Wg
m
m
R
vpf
vsf
vpi=60 cm/s
{
a. Trattandosi di un urto elastico,
si conservano la quantità di moto
 e l'energia cinetica T (oltre
Q
al momento angolare, che però in
questo caso non si considera).
{
 Q
 =Q
 Q

Q
pi
si
pf
sf
T piT si=T pf T sf
m v pi 0=m −v pf m v sf
1
1
1
1
m v2pi 0= m v 2pf 
m v2sf  I  2
v pi =v sf −v pf
2
2
2
2
2
v2
;
2
2
2
2
2 sf
I = mR 2
m v pi =m v pf m v sf  m R
5
5
R2
2
v
sf
 2= 2
R
Fisica generale L-A – Esercizi svolti


{
21 / 29
{


v pi =vsf −v pf ⇒ v 2pi=v 2sf v 2pf −2 v sf v pf
;
2
v 2sf v 2pf −2 v sf v pf =v2pf v 2sf  v 2sf
5
{
{
v pf =v sf −v pi
2 2
v 2 v 2sf −2 v i v sf =0 (eq. in vsf )
5 sf
v pf =v sf −v pi

12
v −2 vi v sf =0
5 sf
{
b. Il raggio d'inerzia si calcola come:
{
v pf =vsf −v pi =−10 cm/s
v sf1=0 non accett.
;
vsf =50 cm/s
5
vsf2=2⋅ v i=50 cm/s
12

I
=
=
M

2
m R2
5
2
=R⋅
=1 cm⋅0,632=0,632 cm
m
5

c. Il punto materiale dopo l'urto la verso della velocità opposto (negativo) al verso iniziale del suo
moto, a causa dell'urto elastico contro la sfera.
a. REGOLA GENERALE : bisogna mettere tutto in funzione di x e dx e integrare sui vari tratti di
curva (dato che hanno equazioni differenti).
AB ( y=−2 x 26 x )
dy
dx
Calcolo di
Calcolo del
infinitesimo:
lavoro
dy
=2 ; dy=2 dx
dx
dL=6 xy dx3 x2 dy
dL=6 xy dx3 x2 dy
Va tutto espresso in x e dx:
2
dL=F x dxF y dy
dL=6 x −2 x 6 x  dx3 x −4 x6dx
dL=6 x⋅2 x dx3 x 2⋅2 x dx
dL=−24x 3 54 x2 dx
dL=18 x2 dx
B
Calcolo del lavoro:
∫
LAB =
O
∫
dy
=−4 x6 ; dy=−4 x6dx
dx
Va tutto espresso in x e dx:
 P

dL=F⋅d
LPO =
BA ( y=2 x )
dL
P
LAB =−
2
2
∫
dL=
A
2
∫
−24x 3 dx
0
54 x2 dx
0
24 4 2 54 3 2
[ x ]0  3 [ x ]0=48J
4
A
∫
LBA =
LAB =
B
0
∫ 18x dx
dL=
2
2
18 3 0
[ x ]2=−48 J
3
Per ottenere il lavoro complessivo bisogna sommare i lavori svolti sui vari tratti:
L TOT =LAB LBA =48−48J=0 J (la forza potrebbe essere conservativa)
b. Per verificare che la forza sia conservativa se ne calcola il rotore:
∣
i
= ∂
∇×F
∂x
Fx
j
∂
∂y
Fy
∣∣
i
k
∂ = ∂
∂x
∂z
F z 6 xy
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
j
∂
∂y
3 x2
∣
k
∂
∂
∂
2
∂
∂
2


∂ z = ∂ z 6 xy j ∂ x 3 x k− ∂ y 6 xy k− ∂z 3 x i=
0
22 / 29


i=0 la forza è conservativa
=0 j6 x k−6
x k−0
Calcolo del potenziale:
{
{
∂U
x2
=6 xy
U
=
F
dx=6⋅
⋅yc 1 =3 x 2 yf y
x
∂x
2
;
;
∂U
2
2
F y=
=3 x 2
U = F y dy=3 x ⋅yc 2 =3 x yg x 
∂y
F x=
∫
∫
{
∂U
=3 x2 ḟ y 
∂y
∂U
=6 x y ġx
∂x
Per trovare le costanti si eguagliano i risultati del primo e del terzo sistema:
{
{
3 x2 =3 x2 ḟ y  ; ḟ y=0 ⇒ U =3 x2 y
ġ x=0
6 x y=6 x y ġ x
 =M⋅
aG lungo gli assi cartesiani:
Bisogna scomporre la F
{
F x =F =M⋅aGx
F y =0=M⋅aGy (da questo sistema si ricavano le accelerazioni, poi si integra per velocità e spazi)
{
{
{
F
F
F t2
v Gx=
⋅t
x
=
G M⋅2
M ;
M
;
aGy =0
v Gy=0
y G =L
aGx =
Si tratta di un moto di rotazione con asse (perpendicolare al piano xy, passante per G) sempre
parallelo a se stesso:
M G=I⋅̇=I⋅̈
F cos ⋅L=
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
1
3F
M L2
M⋅ 2 L2 ⋅̈ ; F L cos =
cos 
; ̈=
⋅
̈
12
ML
3
23 / 29
Compito del 21/12/2011
Perché la posizione resti fissa rispetto alla superficie terrestre l'orbita deve essere equatoriale e il
moto circolare del satellite deve avere la stessa velocità angolare della Terra (cioè lo stesso periodo di
rotazione: T =24⋅3 600 s ).

Calcolando che g=
m⋅M Terra
R Terra h2
M Terra
⇒ M Terra =
R 2Terra

3
R Terra h=
=m 2 R Terrah =m
⋅g
R2Terra

4 2
g R 2Terra
=

3
R Terrah 
si sostituisce sopra per ricavare h:

T2
2
 
2
T
9,81⋅6 3702⋅106⋅24⋅3 6002
4 2
=42 221km
h=42221−6370 km=35852 km
a. VERO: la forza centrifuga è una forza apparente che si manifesta nei SdR che ruotano rispetto a un
SdR inerziale. La forza centrifuga F =m  2 r è posizionale e dipende solo da r, quindi ammette il
∫ F dr=∫ m  r dr= 12 m  r
potenziale U  r=
2
2 2
.
b. FALSO: la forza centrifuga è una forza apparente, non reale.
c. FALSO: la forza centrifuga è una forza conservativa.
Impostando le equazioni cardinali della dinamica, in ciascun caso la risultante delle forze esterne è la

medesima (cioè la sola forza F), per cui il teorema del moto del centro di massa ( R
e
=m aCM
 )
assicura che esso si muove nello stesso modo. L'unica differenza è che il disco a. non ruota ma trasla
solo, mentre il disco b. ruota perché la forza ha un braccio rispetto al suo centro di massa.
 =M 
Si applica la F
a :
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
24 / 29
F −f attrito=M a
Il moto ha asse di rotazione sempre parallelo a se stesso, quindi si può usare l'equazione del
e
momento ( M u =I⋅̇ ) della dinamica dei sistemi:
M
f attrito⋅RF⋅0= I ⋅̇
=
R
1
2 a
MR
2
R
F
1
a 1
M R 2⋅ = M R a
2
R 2
{
F −f attrito =Ma
2 F
⇒ a=
1
3 M
f attrito = M a
2
fattrito
Quando c'è rotolamento senza strisciamento si può far equivalere lo spostamento lineare a quello
angolare (ragionamento valido per spostamenti, velocità e accelerazioni):
̇=
Già trovata: f attrito=
a
2 F
=
.
R 3 MR
1
1
Ma= F .
2
2
y=tg ⋅x
L
y
x
θ
l/2
h

2
 
l
h= L −
2
2
l
2
tg =
h
=
M
M
=
area
l
h⋅
2
(densità superficiale)
∫ r dm=∫ r ⋅ dS , dove dm è l'elemento infinitesimo di massa, cioè la
Il momento d'inerzia è I =
2
2
densità superficiale per l'elemento infinitesimo di superficie ( dS=2 y dx : i rettangoli infinitesimi sono
alti 2 y e spessi l'infinitesimo dx ). Usando x invece di r perché ho intenzione di integrare in x
(avendo affettato il triangolo a partire dall'origine degli assi in tante fettine trasversali):
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
25 / 29
h
I
=
∫ x ⋅⋅2 y dx
2
0
h
=
∫ x ⋅⋅2 tg ⋅x dx
2
0
h
∫ x dx
3
= 2 tg ⋅
0
l
2 M h4
= 2⋅ ⋅
⋅
2h lh
4

 
2
M
l
=
⋅ L2 −
2
2
xG
1
x⋅ dS
M
1
=
⋅2 tg ⋅
M
=
∫
h
∫
=
2
x2 dx
0
1
l
2 M h3
⋅2⋅ ⋅
⋅
M
2h lh
3

2
 
2
l
= ⋅ L2 −
3
2
Per il teorema di Huygens-Steiner:
I r =I G Md2 ⇒ I G =I r−Md 2

 
M 2
M 2
4
1
l
I G=
h −Md 2=
h −M⋅ h2 =
M L2 −
2
2
9
18
2
2
Si tratta di un moto circolare uniformemente accelerato. Bisogna esprimere lo spazio percorso in
funzione dell'angolo al centro  :
s=2 
Si può scrivere una catena di relazioni tra l'angolo al centro  , la velocità angolare  e
l'accelerazione angolare  :
at =v̇=s̈ = 2  ̈=2  ̇=2 
⇒ 2 ̈=2  ⇒ ̇=⋅t ⇒ =
1 2
t
2
Avendo noto il comportamento durante il primo secondo di rotazione, si ricava che:
1=
1
⋅12 =2 n=10[rad ] ⇒ =20[rad /s]
2
Sapendo quale angolo è percorso in funzione del tempo e avendo messo in relazione l'angolo al
numero di giri, è sufficiente calcolare il numero di giri totali percorsi dopo 2 secondi e sottrarre il
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
26 / 29
numero di giri percorsi nel primo secondo:
}
1
⋅12=2  n

2
⇒ nx =n2 −n1=
4−1=3 n=15[ giri]
1
4

2
n2 = ⋅2 =2  n2
2
n=
Compito del 09/01 /2012
Bisogna supporre che la costante di gravitazione universale =6,67⋅10−11 non sia nota, perché non
indicata nei dati del problema . Anche il periodo di rivoluzione terrestre T =365⋅24⋅3600 s non è noto,
ma a quanto pare viene “reso noto” a voce durante l'esame.
m g=
m Terra
m Terra m
R 2Terra
⇒=g
mTerra m Sole
v2
4 2 R 3
=
⇒ mSole =
=
2
2
R
R
T
R 2Terra
m Terra
4 2 R 3
g
2
R Terra
mTerra
=...=1,97⋅10 30 kg
T2
g e alla forza di trascinamento
I corpi all'interno dell'ascensore sono soggetti alla forza peso m 
−mg . Tutto quello che si trova nel SdR dell'ascensore si comporta come se non fosse soggetto a
forze, per cui, indipendentemente dalla direzione, il moto di un oggetto lanciato è rettilineo e uniforme ,
sia prima, sia dopo l'urto con il soffitto.
La situazione richiesta è possibile nel punto di massimo della velocità . Infatti, scrivendo
l'accelerazione come componenti tangenziale e radiale: 
a=s̈ t 
ṡ2
n
 . Nel punto in cui è massima la

velocità ( 
v =ṡ t ⇒v=ṡ ) si annulla la sua derivata ( s̈=0 ), per cui nell'accelerazione rimane solo la
componente radiale che è quella che permette al moto di essere curvilineo senza alcuna componente
v⊥
a ).
tangenziale, come indicato nella figura B (infatti deve essere 
Nel punto di distacco si conserva l'energia meccanica e si annulla il vincolo di appoggio sulla
superficie sferica:
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
27 / 29
{
v2
R
⇒ N =3 mg cos −2 mg
1
mgR=mgR cos  m v2
2
mg cos−N =m
2
⇒ dist=48,19 gradi
3
N =3 mg cosdist−2 mg=0 ⇒ cos dist =
Nel punto del distacco si conserva l'energia meccanica:
mgR=mgR cosdist 
1
m v2 ⇒ v= 2 gR 1−cos  dist=6,53 m/s
2
Le componenti della velocità determinano le informazioni su direzione e verso:
v x =v cos dist =4,35 m/s , v y =−v sen dist=−4,87 m/s
In un campo di forze conservativo, la forza è il gradiente di un potenziale:
 x; y ;z =−∇ V =− ∂V i−
 ∂V j− ∂V k =−5 y 2 i−10xy z3  j3

F
yz2 k
∂x
∂y
∂z
 1 ; 2; 3=−20 i7 j54 k ⇒ F 1 ;2 ;3 = 202 7 2542=  3365=58 N
F
Il lavoro in un campo di forze conservativo è la differenza di potenziale tra il punto finale e il punto
iniziale di spostamento:
L=U 1 ;2 ;3 −U 0 ;0 ; 0=34−0=34 J
Il lavoro calcolato lungo il percorso indicato si ottiene integrando sui due segmenti (nel primo bisogna
sostituire y=2 x e quindi anche dy=2 dx per avere l'integrale in una sola variabile):
1 ;2 ;0
∫
L=
1 ;2; 0
∫
=
0 ;0 ;0
1
∫
=
0
 0; 0; 0
1 ;2 ;3
∫

F⋅dP

1 ;2 ;0
1 ;2 ;3
[−5 y 2 dx−10 xy dy3 yz 2 dz ]∫
1 ;2 ;0
3
[−5⋅4 x 2 dx−10 x⋅2 x⋅2 dx ]∫
[
=−
Fisica generale L-A – Esercizi svolti
60 3
x
3
]
 x=0
[−5⋅22 dx−10⋅1⋅2 dy3⋅2 z 2 dz ]=
1
∫
6 z 2 dz=
0
 x=1

F⋅dP
=
0
3
∫ 6 z dz =
−60 x 2 dx
2
0
 z= 3
[ 2 z3 ] z= 0=[ −20 ] [ 54−0 ] =
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 =m 
Per calcolare l'allungamento massimo non si può usare la F
a perché la forza della molla varia
con lo spostamento; invece rimane costante l'energia meccanica:
m1 g⋅ l=
2 m1 g
1
k⋅ l2 ⇒  l=
=0,098 m
2
k
Considerando anche l'attrito bisogna tenerne conto come un agente dissipativo dell'energia potenziale
gravitazionale:
m1 g⋅ l=
2m1 − m2 g
1
2
k⋅ l  m2 g⋅ l ⇒ l=
=0,0862 m
2
k
{
m 1 g−T =m1 ÿ=m1 a
ẋ
⇒ −kx−x 0  m1 − m2
⋅g=m 1m2 ⋅a
ẋ
∣ẋ∣
−kx−x0 T −m 2 g
=m2 ẍ=m 2 a
∣ẋ∣
Se =0 e si fa un cambio di variabile z=x−x 0−
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

m1g
:
k
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