ALGEBRA I: ALTRI ESERCIZI DI ARITMETICA MODULARE
(1) Risolvere il sistema di congruenze
(
3x ≡ 735574 mod 10
35x ≡ 95 mod 15
.
(2) (Questo non è un esercizio ma è pasquale) Ecco come calcolare la Pasqua nel periodo
1900 and 2099. Ricordo che la Pasqua cade la prima Domenica dopo la prima una piena
di Primavera (periodo 22 Marzo- 25 Aprile). Si fissa l’anno A e si ponga
a ≡ A mod 19
b ≡ A mod 4
c ≡ A mod 7
d ≡ 19a + 24 mod 30
e ≡ 2b + 4c + 6d + 5 mod 7
Allora la Pasqua cade o il 22+d+e Marzo o il (d+e-19) Aprile.
(3) Risolvere il sistema lineare
(
4x + 3y ≡ 5 mod 39
40a + 3043b ≡ 47 mod 39
(4) Dimostrare che 1100 divide 1110 − 1.
(5) Dimostrare che 444444444444444444443 non è un quadrato. Più in generale dimostrare
che nessun quadrato ha come ultima cifra 2 o 3.
(6) Dimostrare che 3 è il solo numero primo tale che p2 + 2 è primo.
(7) Dimostrare che se n è un quadrato dispari n ≡ 1 mod 4. Sesurne che nessun numero
della forma 1111 · · · 111 è un quadrato perfetto.
h−2
(8) Dimostrare che se m è dispari e n = 2h , h ≥ 3, Allora m2
≡ 1 mod n.
(9) Dimostrare che se n = p1 . . . ph e λ(n) = mcm(φ(p1 ), . . . φ(ph )), allora
aλ(n) ≡ 1
mod n
per ogni a tale che MCD(a, n) = 1.
(10) Dimostrare che se n = p1 . . . ph e λ(n) = mcm(φ(p1 ), . . . φ(ph )), allora
ahλ(n)+1 ≡ a mod n
per ogni h ≥ 0.
(11) Abbamo visto che se p è primo ap ≡ p mod p per ogni intero a. Verificare che a561 ≡ a
mod 561 per ogni intero a. Possiamo concludere che 561 è primo?.
(12) Mostrare che se p è primo e p − 1 = 2h m con m dispari, e p non divide a, allora o esiste i
i
con 0 ≤ i ≤ h − 1 tale che a2 m ≡ −1 mod p oppure am ≡ 1 mod p.
P
j
(13) Sia m un intero positivo. Dimostrare che m = H
j=1 j 2 con j ∈ {0, 1}. Tale espresP
sione si chiama espansione binaria di m. Dimostrare che se mt = tj=1 j 2j , m ≡ mt ,
mod 2t+1 .
1
2
ALGEBRA I
(14) Fissiamo n e a e calcoliamo ricorsivamente la successione a0 resto della divisione di a
modulo n, ai resto della divisione di a2i−1 modulo n. Mostrare come usare questa successione e l’espansione binaria di m per calcolare am modulo n (questa si chiama elevazione
rapida a potenza).
(15) Calcolare 290 mod 91 e dedurne che 91 non è primo. Similmente calcolare 2322 mod 323
e dedurne che 323 non è primo.
