Soluzione prova scritta di Statistica Traccia A
docente: I. Oliva
26/2/2014
Le soluzioni fanno riferimento ai soli esercizi pratici.
Per le domande a risposta aperta
e quelle a risposta multipla, si faccia riferimento ad un testo di Statistica o alle dispense
rilasciate dal Docente durante lo scorso a.a.
Esercizi
1. Si supponga che il numero di chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino
telefonico sia una variabile casuale di Poisson con paramentro d'intensitá pari a
Supponendo, inoltre, che il centralino sia in grado di soddisfare non piú di
5.
10 chiamate
al secondo, determinare la probabilitá di trovare il centralino occupato. Quanto vale
tale probabilitá se il valore atteso si riduce a
4 punti ]
2?
Commentare il risultato. (8 CFU/10
CFU) [
La distribuzione di probabilitá della variabile aleatoria di Poisson é
λx e−λ
x! , per
P (X = x) =
x = 0, 1, 2, . . .
La probabilitá di trovare il centralino occupato corrisponde alla probabilitá che al
centralino arrivino piú di 10 chiamate in un determinato secondo:
P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 −
10
X
P (X = j)
j=0
=1−
10
X
λj e−λ
j=0
j!
= 1 − (0, 0067 + 0, 0337 + 0, 0842 + 0, 1404 + 0, 1755 + 0, 1755
+0, 1462 + 0, 1044 + 0, 0653 + 0, 0363 + 0, 0181) = 0, 0137.
2. Un'azienda stipula un contratto per vendere barattoli di marmellata da
500 g.
La
quantitá di marmellata messa in ciascun barattolo é predeterminata meccanicamente
ed é distribuita come una normale con media
σ = 25 g.
µ = 551, 25 g
e deviazione standard
Si supponga che i barattoli siano in metallo, il cui peso é una variabile
aleatoria normale
N (90, 64).
Un ispettore pesa i barattoli pieni e scarta quelli con
1
peso lordo inferiore a
590 g.
Qual é la percentuale di barattoli scartati? [
4 punti ] (8
CFU/10 CFU)
Facciamo le seguenti posizioni:
peso netto:
X ∼ N (µ1 , σ1 2 )
tara:
Y ∼ N (µ2 , σ2 2 )
dove
µ1 = 551, 25, µ2 = 90, σ1 = 25, σ2 = 8.
normali
dove
indipendenti, allora il peso lordo sará v.a.
µ3 = µ1 +
µ2 e σ32
=
σ12
+
Poiché peso netto e tara sono v.a.
normale:
T = X +Y ∼ N (µ3 , σ3 2 ),
σ22 .
Determinare la percentuale di barattoli che l'ispettore scarta equivale a determinare
la probabilitá che i barattoli abbiano peso lordo inferiore a
che si ottiene standardizzando
T
590 g,
ossia
P (T < 590),
e determinando sulle tavole il corrispondente valore
della funzione di ripartizione.
Il risultato é
P (T < 590) = P (Z < −1.95) ∼ 2%.
3. Un'indagine recente, condotta su un campione casuale di
80 cittadini residenti, ha evi-
denziato che la spesa media bisettimanale per l'utilizzo dei mezzi di pubblico trasporto
ammonta a
15 e.
Da indagini precedenti era emerso che tale spesa puó essere con-
siderata come una variabile aleatoria normale con varianza pari a
(a) Determinare l'intervallo di condenza al livello del
5 e2 .
99% e commentare il risultato
40
e spiegare cosa succede all'intervallo di condenza se il campione aumenta di
5 punti ]
unitá. (8 CFU/10 CFU) [
Nel caso in esame, il campione é pari a
n = 80
e dalla traccia si evince che la
varianza data é quella corretta, quindi la formula per la risoluzione dell'esercizio
é
dove
h
σ
σ i
X̄ − z(α/2) √ , X̄ + z(α/2) √ ,
n
n
X̄ é la media campionaria data data traccia, α é il livello di condenza
z(α/2) si ottiene dalle tavole per la normale standard ed in questo caso
2, 58.
dato e
vale
(b) Determinare quanto debba essere grande il campione casuale se si desidera ot-
tenere un intervallo di condenza di ampiezza 1.3. (Hint: porre uguale all'ampiezza
ssata la dierenza tra gli estremi di un generico intervallo di condenza e risolvere l'equazione rispetto ad n.) (8 CFU) [2 punti ]
2
Sia
A
l'ampiezza dell'intervallo di condenza, allora
σ
σ
X̄ + z(α/2) √ − X̄ + z(α/2) √ = A
n
n
σ
2z(α/2) √ = A
n
!2
2 ∗ σ ∗ z(α/2)
n=
∗
A
n∼
= .79
Sostituendo gli opportuni valori, si ottiene
4. Su un campione di giovani tra i 20 ed i 25 anni é stato rilevato il dato
X =numero
di libri letti in un anno, ottenendo i seguenti dati campionari
Numero
4
5
5
2
6
1
4
Supponendo che la popolazione sia normalmente distribuita, si puó confutare l'ipotesi
di un editore che il numero medio di libri letti in un anno sia pari a 2, con un livello
di signicativitá di
0.05?
(10 CFU) [
Test d'ipotesi bilaterale, con
4 punti ]
H0 : µ = µ0 = 2
e
H1 = µ 6= µ0 .
Dai dati si ricava:
x̄ =
S2 =
1
n−1
4+5+5+2+6+1+4
= 3.857
7
n
X
(xi − x̄)2 = 3.142 ⇒ S = 1.77
i=1
α = 0.05
La regione di riuto é {T : T < −tn−1,α/2 e T > tn−1,α/2 }. In
√
(x̄ − µ0 )/(S/ n) = 2.77 appartiene alla regione critica, quindi
questo caso,
T =
si riuta l'ipotesi
nulla.
5. I valori inseriti nella seguente tabella riguardano le stature per un gruppo di padri e
gli (in centimetri):
3
Padri
(X)
Figli
(Y )
165
167
170
169
180
181
172
171
179
180
174
176
168
171
181
179
173
174
176
180
170
173
178
176
176
178
Determinare il coeciente di correlazione e calcolare i paramentri relativi alla retta di
regressione nel caso in cui
Y
4 punti ]
sia la variabile dipendente. (8 CFU/10 CFU) [
Si chiede di calcolare il coeciente di correlazione
PN
− µX )(yi − µY )
.
PN
2
2
(y
−
µ
)
(x
−
µ
)
i
i
Y
X
i=1
i=1
r = qP
N
i=1 (xi
Eettuando gli opportuni calcoli, si ottiene
Si ha anche che
r = 0, 916.
cov(X, Y ) = 18, 93, var(X) = 24, var(Y ) = 20, 83
La retta di regressione é, in questo caso,
Y = aX + b,
dove
b = cov(X, Y )/var(X) = 0, 854, a = µY − b ∗ µX = 26, 375.
4
