Corso di Geometria I - A.A. 2015/16 Esercizi per la sedicesima

Corso di Geometria I - A.A. 2015/16
Esercizi per la sedicesima settimana
Esercizio 16.1 Calcolare il seguente determinante, utilizzando il metodo
basato sulla riduzione per righe della matrice.


1 −1
4
−2 −5
 −3 4 −10 9 16 


1
11 −4 −9 
det 
 2

 1
6
12
5 −3 
−5 2 −24 −5 22
Esercizio 16.2 Determinare quali dei seguenti sistemi lineari omogenei ammette infinite soluzioni ed in tal caso, trovarle tutte.



x + x3 = 0


9x
+
8x
−
3x
=
0

 1
 x1 + x2 + x3 − x4 = 0
1
2
3
x2 + x4 = 0
5x1 + 6x2 + x3 = 0
x1 + x3 − x5 = 0
1)
2)
3)

 x1 + x2 = 0


9x1 + 3x2 − 4x3 = 0
x2 − x4 + x5 = 0

x3 + 2x4 = 0
Esercizio 16.3 Stabilire per quali valori di h i seguenti sistemi, in tre e
quattro incognite, rispettivamente, ammettono infinite soluzioni


hx2 + x3 = 0


 x1 + 2x3 = 0

x2 + 2x3 + x4 = 0
hx1 − x3 = 0
1)
,
2)
(h + 1)x1 = 0



5x1 + 4x2 + hx3 = 0

2x2 + x3 + 3x3 = 0


 
 
1
0
0





0 , E2 =
1
0 . Inoltre
Esercizio 16.4 Siano E 1 =
e E3 =
0
0
1
sia a = 2E 1 + E 2 + 2E 3 e b = E 1 + E 2 − E 3 . Determinare i valori del
parametro reale t in modo che il vettore d = tE 1 − tE 2 + E 3 sia tale che
l’unica terna di numeri reali x, y e z tali che xd + ya + zb = 0 sia la terna
x = 0, y = 0 e z = 0.
Esercizio 16.5 Sia V uno spazio vettoriale su K finitamente generato con
dim V = n. Mostrare che l’insieme Alt(V ) delle forme n-lineari alternate
di V , dotato della naturale operazione di somma e di moltiplicazione per
scalare degli spazi di funzioni a valori in K, è uno spazio vettoriale su K
finitamente generato e ne si determini la dimensione.
Si sottolinea anche che, sulla base del materiale discusso nelle lezioni
svolte fino alla sedicesima settimana, è possibile affrontare fin da ora un
1
2
qualunque esercizio fra quelli del Cap. II (con l’eccezione degli Es. 2.1,
2.9, 2.12, 2.13), del Cap. III (con l’eccezione degli Es. 3.15, 3.16, 3.17) e
del Cap. IV fino all’esercizio 4.47 escluso (con l’eccezione degli Es. 4.35 e
4.46), del libro
E. Abbena, E. Bargero e S. Garbiero, Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, Levrotto & Bella, Torino, 1990.