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Serie 29: Elettrodinamica IV
C. Ferrari
Esercizio 1 Conduttore con cavità
Considera un conduttore (un metallo) con una cavità (per esempio una calotta sferica). In un conduttore tutta la carica elettrica si trova sulla superficie e il campo
elettrico all’interno del conduttore è nullo. Dimostra che il campo elettrico all’interno della cavità è nullo.
Procedimento:
1. Prendi una superficie S e con il teorema di Gauss dimostra che la carica sulla
superficie interna della cavità è nulla: quindi su di essa ci possono cariche ma
le cariche positive devono essere uguali a quelle negative.
2. Se ci sono cariche sulla superficie interna allora ci saranno delle linee di forza
del campo elettrico dalle cariche + alle cariche −. Considera allora una curva
C che passa in parte nel conduttore e in parte nella cavità. Ricordando che
~ = ~0, con il teorema sulla circuitazione dimostra
all’interno del conduttore E
che il campo elettrico è nullo anche nella cavità.
+
+
+
+
S
+
+
+
~ =?
E
C
?
+
? −−
++
++
+
+
−
−
+
+
+
+
+
+
Osservazione: Questo esercizio mostra che, in generale, per determinare il campo
elettrico non basta il teorema di Gauss ma è necessario utilizzare entrambi i teoremi
sul campo elettrico.
Applicazione pratica: La proprietà dimostrata in questo esercizio è utilizzata per
proteggere apparecchi particolarmente delicati dai campi elettrici: si parla di gabbia
di Faraday.
1
Esercizio 2 Campo elettrico sulla superficie di un conduttore e capacità
1. Dimostra che il campo elettrico sulla superficie di un conduttore ha intrensità
E = εσ0
dove σ è la densità superficiale di carica.
2. Determina la capacità di un conduttore sferico con carica elettrica q.
3. Approssimando i bordi del conduttore raffigurato qui sotto a delle sfere, dimostra che la densità di carica superficiale soddisfa
σ1 R1 = σ2 R2 .
➁
R1
➀
R2
➀
➁
Dove è più intenso il campo elettrico (per una data distanza dal conduttore)?
Esercizio 3 Conduttori
1. Una sfera metallica cava è caricata elettricamente con un potenziale elettrostatico di 400 V rispetto al terreno (ϕ = 0 V) e ha una carica di 5,0 · 10−9 C.
Determina il potenziale elettrico al centro della sfera.
2. Qual è la carica di una sfera conduttrice di raggio 0,15 m se il potenziale
elettrostatico della sfera è 1500 V e ϕ = 0 V all’infinito?
Esercizio 4 Condensatore piano
Il concetto di capacità può essere esteso a un sistema di conduttori. Consideriamo il
caso di due conduttori aventi carica +q e −q, se ϕ1 e ϕ2 sono i potenziali elettrostatici
rispettivi e ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 la loro differenza di potenziale, la capacità del sistema è
definita da
q
C=
.
∆ϕ
Questo dispositivo è chiamato condensatore. Un caso particolare di condensatore è
il condensatore piano formato da due piani conduttori paralleli posti ad una distanza
d.
1. Determina la differenza di potenziale tra le placche di un condensatore piano
se quest’ultime si trovano ad una distanza d.
2
2. Dimostra che la capacità di un condensatore piano vale
C = ε0 A
d
dove A rappresenta l’area di un piatto del condensatore.
3. Un condensatore in un circuito integrato di memoria centrale (RAM) ha una
capacità di 55 fF. Se è carico a ∆ϕ = 5,3 V, quanti elettroni in eccesso ci sono
sulla sua placca negativa? Se la distanza tra le placche vale 1,0 mm quanto
vale l’area delle placche?
Esercizio 5 Particelle accelerate
1. Qual è la velocità finale di un elettrone accelerato da una differenza di potenziale elettrostatico di 12 V se la sua velocità iniziale è di 103 m/s?
2. Un protone possiede una velocità iniziale di 3 · 105 m/s quando lascia una
placca negativa di un condensatore piano. Determina la differenza di potenziale
elettrostatico del condensatore affiché il protone si fermi esattamente prima
dell’impatto con la placca positiva.
3. Un’acceleratore lineare di particelle possiede una differenza di potenziale elettrostatico di 800 kV. Determina la velocità finale di un elettrone accelerato
partendo da fermo.
Esercizio 6 Elettroni in un condensatore piano
~ diretto verso l’alto e di intensità 2 · 103 N/C, si
Un campo elettrico uniforme E,
instaura tra due piatti orizzontali di lunghezza L = 10 cm e distanti d = 2 cm. Un
elettrone viene proiettato tra i due piatti dall’estremità sinistra del piatto inferiore
(caricato positivamente). La velocità iniziale ~v0 dell’elettrone forma un angolo di
θ = 45◦ con il piatto inferiore e ha una norma di v0 = 6 · 106 m/s.
1. Qual è il vettore accelerazione dell’elettrone? Esprimilo rispetto ad un sistema
di coordinate precedentemente introdotto.
2. L’elettrone colpirà uno dei due piatti?
3. Se sı̀, quale piatto e a che distanza dall’estremità sinistra?
3
Esercizio 7 Energia del campo elettrico
1. Determina la densità di energia del campo elettrico sulla superficie di una sfera
conduttrice di raggio 6,85 cm e carica 1,25 nC.
2. Dimostra che l’energia del campo elettrico contenuta in un condensatore piano
vale
Ees = 1 q∆ϕ = 1 C(∆ϕ)2 .
2
2
Esercizio 8 Equazione di Poisson
~ = −grad ϕ si ottiene l’equazione di
~ = ρ eE
Verifica che dalle equazioni div E
ε0
Poisson per il potenziale elettrostatico
ρ
△ϕ = − ε0
che permette, in principio, di determinare il potenziale conosciuta la densità carica.
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