ESERCIZI - Sfogliami

MAΘHMA
scienza conoscenza
2BCLS
STATISTICA
E
PROBABILTÀ
RIVISTA IV FEBBRAIO 2017
LICEO DA VIGO
indice
S T A T IS T IC A E P R O BA BI L I T À
1. Introduzione alla Statisica
(frequenza)
2. Grafico Statistico
3. Medie statistiche e scelta del
valor medio
4. La probabilità
5. La probabilità ed i suoi
teoremi
6. La redazione
INTRODUZIONE ALLA STATISTICA
(FREQUENZA).
INDICE:
➢ Che cos' è la statistica.
➢ L'indagine statistica.
➢ La classificazione di una popolazione e di una unità statistica.
➢ La costruzione e la classificazione delle tabelle statistiche.
➢ Le tabelle di frequenza.
➢ Esercizi.
➢ English glossary.
➢ La Statistica di Trilussa.
Silvia C.
Caterina D'.
Lorenzo M.
Che cos'è la statistica.
La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi, ossia di quei fenomeni che richiedono
numerose osservazioni e lo studio di un fenomeno collettivo inizia con una indagine (o ricerca)
statistica.
L'insieme a cui si riferisce una indagine statistica si dice popolazione statistica. Al suo interno viene
scelto un campione, che è la parte presa in considerazione, questa rappresenta l'intero gruppo e
quando un' indagine statistica ha molte campionarie, risulta meno costosa e si svolge in meno
tempo.
Quando, invece si fa un rilevamento su tutta la popolazione, si dice censimento.
La statistica si può dividere in induttiva e descrittiva: la statistica induttiva è lo studio dei metodi di
passaggio da campione a popolazione, mentre quella descrittiva si serve di alcuni degli strumenti
matematici utilizzati per descrivere i dati relativi a un certo gruppo scelto come popolazione.
L'indagine statistica.
Ogni indagine statistica si può sintetizzare in tre fasi:
- La rilevazione dei dati, si fa una raccolta dei dati statistici relativi al fenomeno considerato
utilizzando schede, questionari, registri, supporti informatici; questa raccolta può essere sia diretta
che indiretta. I dati ottenuti vengono sottoposti allo spoglio, che consiste nel loro ordinamento
secondo caratteristiche comuni e, dove possibile, correggendo degli errori. Successivamente si
passa alla loro rappresentazione su tabelle.
- L'elaborazione dei dati, questi vengono trattati con procedimenti
matematici che tengono conto degli obbietti dell'indagine.
- L'interpretazione dei risultati, questo permette di stabilire se sono stati raggiunti gli obbiettivi
prefissati dall'indagine statistica. Se sì l'indagine è conclusa, altrimenti occorre riprenderla con le
opportune correzioni.
La classificazione di una popolazione e di una unità statistica.
Si dice unità statistica ogni elemento della popolazione considerata.
Ogni unità statistica di una certa popolazione è classificata in base ad un carattere ed alle modalità
che tale carattere presenta. Un carattere può essere qualitativo, se le sue modalità sono espresse da
attributi; quantitativo, se le sue modalità sono espresse da numeri.
Ad esempio una popolazione statistica potrebbe essere l'insieme dei ragazzi di un quartiere, l' unità
statistica sarà uno dei ragazzi del quartiere, il suo carattere qualitativo potrebbe essere il colore dei
suoi capelli, il suo carattere quantitativo, invece, potrebbe essere la sua altezza.
La costruzione e la classificazione delle tabelle statistiche.
I dati statistici, dopo la loro raccolta e spoglio, debbono essere riportati in apposite tabelle, nelle
quali si perdono certe informazioni relative alle singole unità statistiche rilevate, ma se ne ottengono
altre sul fenomeno collettivo nel suo complesso.
Di queste tabelle statistiche ne distinguiamo due tipi: le serie e le seriazioni.
● Le serie
Si chiama serie ogni tabella statistica che si ricollega a modalità qualitative.
Tra le serie statistiche assumono particolare importanza:
1) Le serie storiche in cui il carattere qualitativo del fenomeno collettivo è distribuito nel tempo
(mesi, giorni);
2) Le serie geografiche in cui il carattere qualitativo del fenomeno collettivo è distribuito nello
spazio (stati, regioni, province, città).
● Le seriazioni
Si chiama seriazione ogni tabella statistica che si ricollega a modalità quantitative.
Il carattere quantitativo di una seriazione si dice:
1) discreto, se le modalità possono essere espresse con un numero finito di valori;
2) continuo, se le modalità possono assumere qualunque valore in un determinato intervallo
(classe).
Un terzo tipo di tabelle sono le tabelle a doppia estrata, queste ci permettono l'osservazione delle
unità statistiche sotto due modalità. Quando entrambe le modalità sono quantitative si hanno tabelle
di correlazione. Se almeno una delle due modalità è qualitativa, si hanno tabelle di contingenza.
Le tabelle di frequenza.
La frequenza di una modalità è il numero di volte in cui quella modalità si presenta.
La frequenza relativa di una modalità è il rapporto tra la frequenza ed il numero delle unità
statistiche che formano la popolazione o il campione desiderati.
La frequenza relativa può essere espressa anche in percentuale, moltiplicandola per 100.
In generale riguardo ai due tipi di frequenze potremmo dire che:
1) La somma delle frequenze assolute è uguale al totale.
2) La frequenza relativa, espressa con un numero decimale o con un numero percentuale, è
compresa tra 0 ed 1.
3) La somma delle frequenze è uguale a uno.
4) L'insieme delle coppie ordinate (modalità qualitativa, frequenza assoluta) si dice distribuzione di
frequenze.
Se vengono forniti le frequenze relative e il numero totale delle unità statistiche, è possibile
calcolare le frequenze di ogni modalità perchè la frequenza di una modalità è il prodotto tra la
frequenza relativa e il numero totale delle unità statistiche.
Esercizi.
Gli alunni di una classe sono stati classifica ti secondo il mezzo di trasporto con cui vanno a scuola.
Abbiamo quindi utilizzato un carattere qualitativo.
Perchè?
Perchè le modalità sono espresse da attributi (il tipo di mezzo) e non da numeri.
In ognuna delle seguenti imdagini statistiche indica quali sono la popolazione, le unità statistiche e
il carattere.Indica, inoltre, se il carettere è di tipo qualitativo o quantitativo.
In una scuola viene svolta un'indagine sul peso degli studenti iscritti.
Popolazione: studenti di quella scuola
Unità statistica: uno studente della scuola
Carattere: il suo peso
Il carattere in questo caso è quantitativo perchè le modalità sono espresse da numeri.
All' interno di un parco naturale viene fatta un' indagine sul tipo di uccelli presenti.
Popolazione: uccelli nel parco
Unità statistica: uno degli uccelli
Carattere: tipo di uccello
Il carattere in questo caso è qualitativo perchè le modalità sono espresse da attributi.
3) Completa le tabelle degli esercizi seguenti.
In una biblioteca sono presenti 1200 volumi
(360; 15%; 420; 20%)
- Sulla rotta Milano – Londra nel 2006 sono transitati 1600 aerei di 4 compagnie.
(7,5%; 360; 25%; 45%)
- Un negozio di abbigliamento ha venduto un modello di cappotto nelle varie taglie.
(6; 35%; 18; 30%)
- Consideriamo la lunghezza e il peso di 8 neonati. Si hanno le seguenti coppie ordinate di dati in
cui il primo valore indica il peso in kg, il secondo la lunghezza in cm: (3,2; 48), (2,9; 49), (2,4; 47),
(2,8; 50), (2,9; 49), (2,7; 48), (3,0; 49), (2,9; 47).
Raggruppa i dati in classi e compla un'opportuna tabella a doppia entrata.
English glossary
statistica: statistics
rilevazione statistica: statistical survey
frequenza: frequency
frequenza relativa: relative frequency
La Statistica di Trilussa.
Sai ched'è la statistica? È na' cosa
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pè me la statistica curiosa
è dove c'entra la percentuale,
pè via che, lì,la media è sempre eguale
puro co' la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:
e, se nun entra nelle spese tue,
t'entra ne la statistica lo stesso
perch'è c'è un antro che ne magna due.
GRAFICO
STATISTICO
MEDIA
MEDIA PONDERATA
DIAGRAMMI CARTESIANI
AREOGRAMMA
CARTOGRAMMA
IDEOGRAMMA
ISTOGRAMMA
ORTOGRAMMA
MARTA C.
ELEONORE G.
NOEMI P.
FRANCESCO V.
Media
In statistica, la media è un singolo valore numerico che descrive
sinteticamente un insieme di dati.
La media aritmetica è il valore che si ottiene sommando tutti i dati e poi
dividerli per il loro numero.
Ora per capire meglio osserviamo il seguente esempio:
A una ragazza viene chiesto di calcolare la media aritmetica di questi
numeri:10;13;9;7;12, in quanto detto precedentemente la media aritmetica
si calcola cosi ovvero sommando 10,13,9,7,12 ottenendo 51 per poi
dividerlo per 5 ottenendo 10,2.
Esercizi:
1.Uno studente ha sostenuto 6 esami, riportando i seguenti voti:
21;20;24;30;28;25. Calcola la media aritmetica dei voti.
2.La seguente tabella riporta riporta i voti ottenuti da un gruppo di studenti
all'esame di Diritto Privato
Tabella
Voto
21
24
26
30
Numero di studenti
5
6
10
4
Calcola il voto medio ottenuto dagli studenti.
Media ponderata
A differenza della media aritmetica, nella media ponderata (o pesata)
ciascun numero ha una determinata importanza (peso) che influisce sul
calcolo. Il valore della media ponderata è dato, quindi, dalla somma tra il
prodotto di ciascun numero per il suo peso(frequenza) fratto la somma dei
pesi.
Ora per capire meglio osserviamo il seguente esempio:
Dati i numeri: 6;12;8;5;7; i cui pesi sono rispettivamente: 5;3;4;11;1 per
trovare la media ponderata dobbiamo inanzitutto trovare la somma tra il
prodotto di ciascun numero, per il suo peso, ovvero:
6x5+12x3+8x4+5x11+7x1=30+36+32+55+7=160
La somma dei pesi, invece è:5+3+4+11+1=24
La media ponderata è, quindi, data da: 160:24=6,6
Esercizi:
1.Calcola la media ponderata dei seguenti numeri:
NUMERI
PESI
2;7;9;1
1;4;4;1
3;6;9;12;24
1;2;4;6;8
1;-2;2;0;-1
3;1;7;5;2
2.Dati i tre numeri 20;25;41
a)calcola la media ponderata attribuendo rispettivamente i pesi: 2;3;4
b)calcola la media ponderata con i pesi dimezzati.
Rappresentazione grafica
La rappresentazione grafica è una rappresentazione di dati statistici per
mezzo di grafici e disegni. E' contrapposta a rappresentazione numerica,
rispetto alla quale è meno precisa ma di più immediata interpretazione.
La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi, cioè tutti quegli
avvenimenti sociali, economici, naturali ecc... che possono essere misurati
e che sono formati da un numero elevato di fenomeni singoli simili tra
loro.
Una volta raccolti i dati necessari per la propria analisi, su deve scegliere
una o più modalità efficaci per evidenziare il valore informativo contenuto
nei dati stessi.
Una scelta potrebbe essere quella di arricchire il commento dei dati con
una serie di tabelle oppure, talvolta, si preferisce “trasformare” i numeri in
rappresentazioni grafiche -più o meno semplificate- per rendere più facile
la lettura delle informazioni che si sono acquisite nella fase di ricerca.
Se si opta per la rappresentazione grafica dei dati si può scegliere fra due
casi di rappresentazioni cartografiche.
Il diagramma cartesiano
Il diagramma cartesiano è una rappresentazione grafica in cui ogni dato di
un fenomeno statistico è mostrato da una coppia ordinata di valori. E' utile
quando si rappresentano grandezze che variano in modo continuo, cioè
variabili quantitative che possono assumere uno qualsiasi dei valori
compresi in un certo intervallo. Ha il vantaggio di rappresentare le
variazioni di una grandezza rispetto alle variazioni di un'altra grandezza
dalla quale essa dipende. Ha lo svantaggio di non essere usato
generalmente per rappresentare variabili qualitative o variabili quantitative
discrete.
Esercizi:
1)Traccia il diagramma cartesiano della seguente serie storica della
popolazione residente in Italia:
anni
Popolazione al 1 Gennaio(dati in migliaia)
2005
58462
2006
58752
2007
59131
2008
59619
2009
60045
Areogramma
L'areogramma è una rappresentazione grafica in cui i dati di un fenomeno
sono rappresentati da diverse superfici in una figura geometrica piana o
tridimensionale (areogrammi 3D). Normalmente si utilizza in un cerchio o
un quadrato e i diversi dati sono rappresentati dagli “spicchi” dei settori
circolari (cioè le parti del cerchio limitate da due raggi)
(areogramma circolare)
(areogramma quadrato)
Nel caso in cui si debbano trasformare i dati in percentuale, e
successivamente in gradi, si dovrà svolgere una proporzione.
Osserviamo con un esempio:
SPORT PRATICATI DAGLI ALUNNI
SPORT
CALCIO
NUOTO
DANZA
NESSUNO
NUMERO DI ALUNNI
7
4
3
2
CALCOLO DELLE PERCENTUALI
7:16=x:100
x=44%
4:16=x:100
x=25%
3:16=x:100
x=19%
2:16=x:100
x=13%
CALCOLO DEGLI ANGOLI DEI SETTORI
100%:360°=44%:x
x=155°
100%:360°=25%:x
x=90°
100%:360°=19%:x
x=68°
100%:360°=13%:x
x=47°
Esercizi:
1.Rappresenta mediante un areogramma la seguente tabella:
Immatricolati all'università per gruppi di corsi di laurea
Gruppi di corsi di laurea
Immatricolati
Scientifico
30500
Medico
20000
Agrario
4200
Economico
28000
Totale
82700
N.B.:Ogni settore relativo agli immatricolati deve avere un'ampiezza
ricavata in base alla proporzione:
gruppo:totale=x°:360°
Cartogramma
Il cartogramma è una rappresentazione grafica che usa una carta
geografica sulla quale vengono posti alcuni segni per rappresentare i dati :
punti, linee, diagrammi oppure colori graduati. Viene usato spesso in
geografia per rappresentare dati di un determinato paese o regioni.
Osserviamo qualche esempio per capire meglio:
ESERCIZI:
1.Osserva il cartogramma:
a)Qual è la regione che consuma più energia elettrica?Quale meno?
b)Scrivi le regioni italiane in ordine crescente di consumo di energia
elettrica
Lo stesso esercizio si potrebbe applicare a un cartogramma riguardante la
popolazione del mondo.
Ideogramma
L'ideogramma è una rappresentazione grafica nella quale i dati di un
fenomeno statistico vengono presentati mediante figure o disegni più o
meno stilizzati che li illustrano. Le figure danno cioè subito l'idea di ciò
che si vuole rappresentare.
Osserviamo con qualche esempio:
In questo ideogramma la legenda
dice che il simbolo di
un'automobilina equivale a 1000
automobili prodotte. Quindi si
può dire che nel mese di Gennaio
l'azienda ALFA abbia prodotto
8000 auto, nel mese di Febbraio
7500 auto e così via.
Tuttavia questo tipo di rappresentazione non è precisissima, ma nonostante
ciò ha il pregio di essere immediata e semplice da capire.
ESERCIZI:
1.Rappresenta mediante un ideogramma i dati della seguente tabella,
riguardanti la produzione di mele in alcune regioni italiane.
UN A MELA CORRISPONDE A 100000 TONELLATE
Istogramma
L'istogramma è una rappresentazione grafica in cui i dati di un fenomeno
statistico vengono rappresentati tramite rettangoli di ugual base, disegnati
uno di seguito all'altro in modo da formare un'unica superficie. Le basi di
ogni rettangolo sono gli intervalli scelti e sono dette classi. Ogni
rettangolo,ha quindi la base di lunghezza pari all'ampiezza della
corrispondente classe. L'altezza, invece è calcolata come densità di
frequenza, ovvero il rapporto fra la frequenza assoluta associata alla classe
e all'ampiezza della classe. Se, poi in un istogramma si congiungono i
punti medi dei lati superiori dei rettangoli si ottiene una spezzata chiamata
anche poligono delle frequenze.
Osserviamo con un esempio:
ALTEZZE DEI RAGAZZI
Altezza(cm)
150
160
170
180
190
Percentuale dei ragazzi
1,00%
3,00%
25,00%
21,00%
3,00%
ESERCIZI:
1.Rappresenta mediante un istogramma la seguente tabella
Classi di reddito in migliaia di euro Famiglie
0-6
18
6-10.
40
10-24.
90
14-20
160
20-30
80
30-50
200
50-100
60
100-200
30
200-500
40
N.B.:Bisognerà calcolare prima le densità di frequenza rapportando le
frequenze alle ampiezze delle classi
Ortogramma
L'ortogramma (o diagramma a canne d'organo) è una rappresentazione
grafica i cui dati sono rappresentati da una linea, un rettangolo o un
parallelepipedo aventi tutti uguale base ed equidistanti tra di loro. La linea,
il rettangolo o il parallelepipedo possono essere disposti orizzontalmente
(ortogramma a nastro), o verticalmente(ortogramma a colonne) e avranno
la lunghezza o l'altezza proporzionali alla frequenza del dato.
Osserviamo con qualche esempio:
CITTA' PREFERITA
Città
Roma
Venezia
Parigi
Londra
Vienna
Frequenza
9
12
6
15
3
ESERCIZI:
1.Rappresenta mediante ortogramma la seguente tabella:
PRODUZIONE LORDA ENERGIA IN Gwh fonte TERNA
Tipologia
Idroelettrica
Termoelettrica
Geotermoelettrica
Eolica
Fotovoltaica
2007
38481
265764
5589
4034
39
2008
47226
261328
5520
4861
193
MEDIE STATISTICHE E SCELTA
DEL VALORE MEDIO
MODA
MEDIANA
SCARTO SEMPLICE MEDIO
DEVIAZIONE STANDARD
GIORGIA G. EMANUELE C. DANIELA T.
La Moda
La Moda è il valore che si presenta più spesso all'interno di una serie di
numeri. Per trovarla/calcolarla si metteranno tutti i dati presenti in ordine,
evidenziando quindi la frequenza di quella che, subito dopo, verrà,
appunto, chiamata Moda.
Esempio 1:
In questo esempio si può notare che la Moda sia il Blu. Infatti, tra tutti i
colori presenti, quest'ultimo è quello che si presenta più frequentemente
Esempio 2:
In questo caso,invece, vediamo che sono ben due le Mode, ovvero 42 e 40.
Non è, infatti, impossibile che ci sia più di una Moda.
La Mediana
Si definisce Mediana di un insieme di n° valori, disposti in ordine
crescente o decrescente, quel valore che divide in due parti lasciando la
metà dei valori a destra e l'altra metà a sinistra.
Esempio 1:
In questo primo esempio sulla Mediana si nota,appunto, come il 4 e il 3
dividano in due parti il numero di assenze.
Esempio 2:
PERSONE
ALTEZZE IN CM
EMANUELE
180 cm
MONICA
170 cm
JACOPO
140 cm
CATERINA
140 cm
ALESSANDRO
180 cm
MARIA ADELAIDE
170 cm
LUIGI
180 cm
In questo secondo esempio, invece, vediamo che il dato 140 cm è la
Mediana, poiché,infatti, divide in due parti le altezze dei soggetti
sovraelencati.
{Prima di passare ai due argomenti successivi (scarto semplice medio e
deviazione standard), bisogna parlare di cos'è e come si usa lo Scarto.
Lo Scarto, in statistica, indica la differenza tra ogni valore e la media
aritmetica}.
Lo Scarto Semplice Medio
Lo Scarto Semplice Medio di una distribuzione è la media dei valori
assoluti degli scarti.
Esempio 1:
Calcoliamo lo scarto semplice medio del seguente insieme di valori:
4,5,9,8,1,3.
Per prima cosa determiniamo la media aritmetica dei valori= 5.
Quindi: (4-5)+(5-5)+(9-5)+(8-5)+(1-5)+(3-5) = 1+0+4+3+4+2= 2,333...
6
6
Esempio 2:
VALORI
7
8
13
19
26
FREQUENZE 3
4
3
2
1
Determiniamo per prima cosa la media aritmetica ponderata:
M= 7 x 3 + 8 x 4 + 13 x 3 + 19 x 2 + 26 x 1= 21 + 32 + 39 + 38 + 26=
3 + 4 + 3 + 2 +1
13
= 156= 12
13
Quindi:
S= |7 – 12|x 3 +|8 – 12|x 4 +|13 – 12|x 3 +|19 – 12|x 2 +|26 – 12|x 1=
13
= 15 + 16 + 3 + 14 + 14= 4,76... .
13
La Deviazione Standard
La Deviazione standard di una distribuzione è la radice quadrata della
media dei valori assoluti degli scarti. Si indica con la lettera s (sigma).
Esempio 1:
Calcoliamo la deviazione standard del seguente insieme di valori:
15,18,16,17,14.
Determiniamo per prima cosa la media aritmetica:
M:15+18+16+17+14= 80= 16
5
5
s=√(15-16)^2+(18-16)^2+(16-16)^2+(17-16)^2+(14-16)^2=√2=
5
=1,41 (arrotondato a 0,01)
Esempio 2:
VALORI
0
FREQUENZE 30
1
2
3
4
50
12
6
2
Determiniamo per prima cosa la media aritmetica ponderata:
M= 0 x 30 + 1 x 50 + 2 x 12 + 3 x 6 + 4 x 2= 100= 1.
30 + 50 + 12 + 6 + 2
100
Da cui:
s=√(0-1 )^2 x 30 + (1-1)^2 x 50 + (2-1)^2 x 12 + (3-1)^2 x 6 + (4-1)^2 x
100
2= √84= 0,916... .
100 100
LA PROBABILITA'
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Come nasce il calcolo della probabilità?
Cosa sono gli eventi
La probabilità di un evento
Probabilità di un evento certo, possibile ed aleatorio
Esercizi
Gli eventi e gli insiemi
La probabilità di somma logica di eventi
Eventi compatibili ed incompatibili
Teorema della somma per eventi incompatibili
Teorema della somma per eventi compatibili
Elisa A., Michela B., Laura B.
La probabilità
!
Come nasce il calcola
delle probabilità ?
Il calcolo della probabilità nasce nel XVII
secolo a causa della passione per il gioco
d’azzardo che spinge alcuni giocatori, anche
gente di un elevato rango sociale, a porre
domande a matematici dell’epoca. A Firenze,
alcuni nobili, si rivolsero a Galileo Galilei; a
Parigi allo studioso Blaise Pascal; presto fu
chiaro che la probabilità non era utile solo per
il gioco d’azzardo, ma anche per la fisica,
l’economia, la psicologia.. di cui si occuparono
tra il 1700 e 1900
Galileo Galilei, Firenze
un evento impossibile; invece, se la scatola
contenesse sia palline bianche che nere, è
possibile, ma non certo, estrarre una pallina
nera e lo stesso per la bianca. Un fatto che
può accadere o meno in modo casuale, è,
come scritto precedentemente, Aleatorio.
La probabilità di un evento
La probabilità di un evento è il rapporto dei
casi favorevoli (F), ovvero quelli che il
problema o quesito chiede di trovare, e i casi
possibili (U), tutti i casi del problema o quesito.
Esempio:
Consideriamo l’evento E:”Nel lancio di un dado
esce il numero 4” e ci chiediamo quale sia la
probabilità che tale evento si verifichi. Poiché i
casi possibili del lancio sono 6 ovvero i numeri
da 1 a 6 e uno solo è il caso favorevole
( uscita del numero 4) la probabilità
dell’evento sarà: 1/6
Blaise Pascal,Parigi
Cosa sono gli eventi?
Un evento è il risultato di un’osservazione o di
un esperimento; vi sono tre tipi di eventi:
evento certo, ovvero un evento che accadrà
con certezza
evento impossibile, quindi un fatto che non
potrà mai verificarsi
evento aleatorio( termine derivante dal latino
“Alea” dado)
Esempio:
Se avessimo una scatola di palline nere,
estrarremo per certo, una pallina di colore nero
e ciò, è un evento certo.
Abbiamo ancora la stessa scatola composta
da palline nere e tra queste, volessimo
estrarne una di cuore bianco, questo sarebbe
Probabilità di un evento
certo, possibile ed aleatorio
Se un evento è certo, quindi deve
obbligatoriamente verificarsi, il numero dei i
casi favorevoli è uguale a quello casi possibili.
Si ha dunque:
P(E certo)=1= probabilità dell’evento
F/U=U/U=0.
In un evento impossibile, evento che non potrà
mai verificarsi, non vi sono casi favorevoli,
quindi
P(E impossibile) = 0= probabilità dell’evento
F/U= 0/U=0.
Per finire, la probabilità che avvenga un
evento aleatorio, è compresa tra 0 e 1.
Esercizi:
Determina quali eventi si potranno definire
certi, quali impossibili e quali aleatori
A
Nel
lancio
di
un
dado esce un numero
1)
maggiore di 2.
2) Nel lancio di un dado esce un numero da 1
a 6.
3) Nel lancio di un dado esce un numero
dispari.
4) Nel lancio di un dado esce un numero
superiore a 6.
B
Dobby pesca da una scatola contenente 20
calzini: 5 sono blu, 8 sono rossi, 3 verdi e 4
arancioni. Calcola la probabilità che Dobby
peschi un calzino blu, uno rosso, uno verde e
uno arancione.
Esercizio:
Se lanciassi un dado ed uscisse un numero
minore di 3, quali sarebbero i casi favorevoli?
Quali quelli possibili?
Rappresentiamoli graficamente
U (
)
F( )
Insieme:
La probabilità di somma
logica di eventi.
Evento unione o somma logica:
Dati gli eventi E1, E2, relativi allo stesso
insieme universo, il loro evento unione che
indichiamo con E1 U E2, è quell’ evento che si
verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi
dati.
esempio:
consideriamo sempre i 12 dischetti numerati
da 1a 12. E1 esce un numero pari ed E2 esce
un numero maggiore di 7.
Casi favorevoli E1(2,4,6,8,10,12)
Casi favorevoli E2(8,9,10,11,12)
E = esce numero pari o maggiore a 7
l’evento E quindi, ha come casi favorevoli sia
quelli di E1 che quelli di E2, perciò
E1UE2=(2,4,6,8,9,10,11La probabilità della
somma logica di eventif,12).
Evento intersezione o prodotto logico :
Gli eventi e gli insiemi
Se laccassi un dato e l’evento E” Esce un
numero dispari” , per rappresentare la
situazione, useremmo gli insiemi.
L’insieme universo indicato con “U”, ovvero
l’insieme dei casi possibili, conterrà l’insieme
dei casi favorevoli
U= (1,2,3,4,5,6)
F= quelli in rosso
Il numero degli elementi in F è sempre minore
degli elementi in U; se F fosse uguale ad U,l’
evento sarebbe certo; se F fosse vuoto,
l’evento sarebbe impossibile.
Dati gli eventi E1,E2 relativi allo stesso
insieme universo, il loro evento intersezione
E1intersecatoE2 è quell’ evento che si verifica
quando si verificano contemporaneamente gli
eventi dati.
Esempio: consideriamo sempre i 12 dischetti .
Esce un numero pari (E1) e maggiore di 7
(E2). questo evento si ha se si verificano sia
E1 che E2. Esso ha come casi favorevoli quelli
comuni sia ad E1 che ad E2.
Eventi compatibili ed
incompatibili:
In generale due eventi, relativi allo stesso
insieme universo, si dicono incompatibili se il
verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro
e in caso contrario, si dicono compatibili.
esempio 1:
Abbiamo 12 dischetti numerati da 1 a12 ed
estraggo il dischetto numero 10 e otteniamo
ad esempio, sia E1 un numero maggiore di 7
che E2 pari, quindi questo esempio gli eventi
sono compatibili
esempio 2:
E consideriamo ora gli eventi E3 esce un
multiplo di 5 ed E4 esce un multiplo di 3.
Questo esempio è definito incompatibile
perché il verificarsi di uno esclude
contemporaneamente, il verificarsi dell’altro.
probabilità di E2?
Probabilità di E3?
come sono questi eventi? compatibile o no?
E4= esce gettone nero o rosso
E5= esce gettone rosso o bianco
E6= esce gettone nero o rosso o bianco
Probabilità degli eventi?
Numero 2
In una busta sono contenute 28 figurine
numerate da 1 a28. Calcola la probabilità di
estrarre una figurina multiplo di 4 o dispari.
Teorema della somma per
eventi compatibili
Teorema della somma per
eventi incompatibili
Se due eventi, E1 ed E2, sono incompatibili, la
probabilità del loro evento unione, è uguale
alla somma delle loro probabilità.
p(E1UE2)=p(E1)+p(E2)
esempio:
Soliti 12 dischetti (1 a 12) e consideriamo due
eventi incompatibili come E1 multiplo di 5 ed
E2 multiplo di 3; evento unione (E) esce
multiplo di 5 O 3. i casi possibili sono 12
casi favorevoli di E1( 5,10)
casi favorevoli E2 (3,6,9,12)
casi favorevoli di E=(3,5,6,9,10,12)
La probabilità che l’evento E accada, è dato
dalla somma delle due probabilità.
P(E)=6/12= 2/12+ 4/12= P(E1) + P(E2)
Esercizio:
Una scatola contiene 6 gettoni neri ,5 rossi e 4
bianchi. Eventi possibili:
E1 esce gettone nero
E2 esce gettone rosso
E3 esce gettone bianco
probabilità di E1?
Se due eventi E1 ed E2 sono compatibili, la
probabilità del loro evento unione,è uguale alla
somma delle loro probabilità, diminuita del loro
evento intersezione.
Esempio:
soliti 12 dischetti (1 a 12), consideriamo E1
esce un numero pari, ed E2, esce un numero
maggiore di 7. casi possibili sono 12; casi
favorevoli di E1 sono 6 e quelli di E2 sono 5.
E= ese numero pari O maggiore di 7
casi favorevoli di E NON sono 11 ma 8, questo
perché ci sono casi favorevoli in entrambi gli
eventi. se sommiamo i casi favorevoli di E1 ed
E2, vengono considerati per 2 volte i casi di E1
intersecato ad E2, mentre all’unione, questi
vengono contati una vota.
E1UE2= sommo i casi favorevoli dei due
eventi, sottraendo quelli di E1intersecato ad
E2.
Numero 2
In una borsa ci sono 10 maglie numerate da 1
a 10. Calcola la probabilità che, estraendone
una a caso,questa abbia un numero dispari o
un numero maggiore di 5.
LA PROBABILITA’
E I SUOI TEOREMI
INDICE:
-LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA
-EVENTI DIPENDENTI E
INDIPENDENTI
-IL TEOREMA DEL PRODOTTO PER
EVENTI INDIPENDENTI
-TEOREMA DEL PRODOTTO PER
EVENTI DIPENDENTI
Margherita P.
Gaia R.
Pietro V.
LA PROBABILITA’
CONDIZIONATA
La probabilità di un evento può variare al
crescere delle informazioni assunte da parte di
chi calcola la probabilità.
Il condizionamento è utile quando si vuole
analizzare un certo evento "A" ( l'evento
condizionato) avendo a disposizione un
informazione l'evento "B" (condizionante)
per capire meglio si può ricorrere ad un
esempio.
LANCIO DI UN DADO (esercizio)
Prima di lanciare un dado, la probabilità di
ottenere il numero 5 è 1/6. (A)
supponiamo che dopo il lancio del dado una
persona mi riferisca che il numero uscito sia
dispari.(B)
La probabilità per effetto della nuova
informazione è salita a 1/3
L' informazione acquisita mi ha portato a
"rinnovare" lo spazio campionario dall'iniziale
S = {1,2,3,4,5,6} a .S’[1,3,5].
Se si assume che "B" si è verificato ne
consegue che:
perdono di rilevanza tutti i punti campionari di
"A" che non appartengono a "B", cosicchè
l'unica parte di A che ancora può verificarsi è
soltanto "A" intersecato "B". In pratica, allora
P(A/B) non è altro che P(A intersecato B)
riproporzionato sulla base di P(B) che è la
probabilità dell'evento condizionante.
ESERCIZI A:
a)Da una scatola contenente 20 palline,
numerate da 1 a 20 viene estratta a caso una
pallina. Calcola la probabilità che si sia
realizzato l evento " estrazione di un multiplo
di 3" sapendo che è uscito un numero minore
di 12.
b)Un amico lancia un dado e, senza farcelo
vedere, dice: " è uscito un numero minore di
5".Qual'è la probabilità che sia uscito il 3?
SOLUZIONI:
3/11
1/4
12/ 20
11/19
‘Eventi dipendenti e indipendenti’
Due eventi , E1 e E2 si dicono 'dipendenti' se
p (E1) è diversa dalla probabilità condizionata
p(E1,E2)
gli eventi E1 e E2 si dicono indipendenti se
p(E1) è uguale alla probabilità condizionata p
(E1\E2).
ESERCIZI B:
a)qual è la probabilità che lanciando un dado
ed una moneta si ottengano un 4 ed una
testa ?
b)in una classe ci sono20 alunni,12 femmine e
8 maschi. la prof ne sceglie due a caso da
interrogare .qual'è la probabilità che scelga
due ragazze ?
IL TEOREMA del PRODOTTO
per eventi INDIPENDENTI
Che cos'è?
Se due eventi E1 ed E2, sono indipendenti, la
probabilità del loro evento intersezione è
uguale al prodotto delle loro probabilità.
p (E1 intersecato E2) = p(E1) per p(E2)
P= probabilità
"per"= moltiplicazione
Per capire meglio questo teorema si può
ricorrere ad un esercizio:
Consideriamo un sacchetto che contiene 3
gettoni con i numeri 1,2,3. Dal sacchetto
estraiamo un gettone e poi un secondo
gettone, dopo che il primo è stato rimesso nel
sacchetto.
Qual è la probabilità che in due estrazioni
successive vengano estratti 2 numeri dispari?
I casi possibili si possono ottenere mediante il
diagramma cartesiano della figura 1....per
esempio, la coppia (3;2) indica che è stato
estratto prima il gettone 3, poi il gettone 2.
…continuazione
L'evento composto E può essere visto come
l'evento intersezione dei due eventi semplici:
E1= il primo numero è dispari
E2= il secondo numero è dispari
E1 ed E2 sono indipendenti; infatti, dopo la
prima estrazione, il gettone è rimesso nel
sacchetto e la situazione iniziale viene
ripristinata.
…Perché si dicono ‘eventi
indipendenti’?
Si dicono eventi "indipendenti" se il verificarsi
dell'uno non influisce sul calcolo della
probabilità del verificarsi dell'altro; come si
vede nell'esempio precedente, dopo aver
estratto sia il primo che il secondo gettone, e
dopo aver rimesso il primo gettone nel
sacchetto la situazione si è cambiata.
-Esercizio 4
In un sacchetto ci sono 30 gettoni rossi,
20 neri e 15 bianchi. Viene estratto il
primo gettone; il gettone viene rimesso
nel sacchetto ; viene estratto il secondo
gettone. Calcoliamo la probabilità che
si verifichino i seguenti eventi:
a) i due gettoni sono rossi (E1);
b)viene estratto prima un gettone nero
e poi uno bianco (E2);
c) vengono estratti un gettone nero e
uno bianco in ordine qualsiasi (E3);
a)36/169
b) 12/169
c) 12/169
ESERCIZI:
-Esercizio 1
In un cesto ci sono animali di peluche:
6 cagnolini, 10 gattini, 4 papere. Qual è
la probabilità di estrarre a caso,
rimettendo il primo oggetto estratto, un
gattino e poi una papera?
(1/5)
-Esercizio 2
Un sacchetto contiene 4 biglietti blu, 5
rossi e 1 bianco. Calcola la probabilità
che in due estrazioni successive, con
reimmissione del primo estratto,
escano nell'ordine un biglietto blu e uno
rosso.
(1/5)
-Esercizio 3
Dal sacchetto della tombola si fanno
due estrazioni successive con
reimmissione. Calcola la probabilità di
ottenere un numero pari o un numero
dispari.
(1/2)
TEOREMA DEL PRODOTTO per
EVENTI DIPENDENTI
Per spiegare questo teorema al meglio
è necessario partire con un esempio:
1 Prendiamo un sacchetto contenente
3 gettoni numerati da 1 a 3 e teniamo
in considerazione i seguenti eventi:
E1= il primo estratto è dispari
E2=il secondo estratto è dispari
supponiamo però che dopo la prima
estrazione, il gettone non venga
rimesso nel sacchetto.
Gli eventi sono dipendenti: dal
momento che è stato tolto un gettone la
probabilità dei due eventi sarà
differente infatti la composizione iniziale
del sacchetto è cambiata.
Quindi i due eventi non hanno lo stesso
insieme universo (U): infatti l' insieme
universo del primo evento contiene 3
elementi e quello del secondo soltanto
2.
ORA ESEGUIAMO CALCOLO
DELLA PROBABILITA'
CONDIZIONATA
Calcoliamo la probabilità condizionata
p(E1/E2).
Adesso i gettoni nel sacchetto sono 2
(essendosi verificato E1), uno pari e
uno dispari quindi la probabilità è di
1/2.
Una volta ottenuta la probabilità
condizionata calcoliamo la probabilità
dell'evento composto ovvero "E".
E= i numeri estratti sono entrambi
dispari
Schematizziamo i casi possibili con un
piano cartesiano.
I casi possibili sono 6 ma quelli
favorevoli soltanto 2
(1;3) e (3;1).
Quindi p(E) = 2/6 semplificabile in 1/3
OSSERVIAMO…
La probabilità di E si può ottenere
moltiplicando la probabilità del primo
evento "p(E1)", per la probabilità di E2
condizionata a E1, semplicemente la
probabilità condizionata:
1/3= 2/3 X 1/2
Il teorema del prodotto per eventi
dipendenti
Se due eventi, E1 ed E2 sono dipendenti,
la probabilità del loro evento intersezione è
uguale al prodotto della probabilità di E1
moltiplicato per la probabilità di E2
condizionata a E1.
p(E1 "intersecato" E2) =p(E1) x p(E2/E1)
FACCIAMO INSIEME UN PROBLEMA:
In un' urna ci sono 8 palline bianche e 4
nere . Qual è la possibilità che, estraendo
contemporaneamente 2 palline esse siano
entrambe bianche?
Si può pensare di estrarre prima una
pallina e poi senza rimettere la prima
nell'urna, una seconda pallina.
1) calcoliamo la probabilità che la prima
pallina sia bianca (E1)
E1= 8/12=2/3
2) Ora calcoliamo la probabilità
condizionata, ovvero la probabilità di E2
condizionata a E1.
Essendo avvenuto E1 adesso le palline
sono 11 non più 12, e le palline bianche 7
non più 8.
E2= 7/11
3) Adesso possiamo calcolare la
probabilità che entrambe le palline siano
bianche applicando la formula ( p(E1
intersecato E2= p(E1) x p (E1/E2)=
probabilità condizionata
2/3 x 7/11 = 14/33 che è probabilità che
entrambe le palline siano bianche (evento
composto).
ATTENZIONE
Nei problemi dove non è indicato un ordine
ben definito ma generico del calcolo della
probabilità bisogna sommare le singole
probabilità degli eventi. Esempio: calcola
la probabilità di estrarre da un sacchetto
contenente 50 palline di cui 30 nere e 20
verdi contemporaneamente una verde e
una nera.
E1= estrazione pallina verde
E2= estrazione pallina nera
p(E1)= 20/50= 2/5
p(E2)= 30/49
E(evento composto)= 2/5 x 30/49= 12/49
(ATTENZIONE) + l evento composto dato
dall’estrazione prima della pallina nera e
poi di quella verde ovvero 12/49, quindi
12/49+12/49= 24/49.
ORA TOCCA A VOI…
Esercizio 1
Nell'estrazione contemporanea di
due carte da un mazzo di 40, qual è
la probabilità che escano due 5?
(La prima carta pescata non sarà
rimessa nel mazzo).
(1/130)
Esercizio 2
Calcola la probabilità che da un
mazzo di 40 carte vengano estratti
contemporaneamente un re e un
asso.
(La prima carta estratta non sarà
reinserita nel mazzo).
(4/195)
Esercizio 3
Da un'urna contenente 20 palline
gialle, 18 blu e 4 rosse, si
estraggono 3 palline, senza
remissione nell'urna.
Calcola la probabilità che siano la
prima rossa, la seconda blu la terza
gialla.
(6/287)
Esercizio 4
Uno scatolone contiene 7 palloni da
pallavolo, 5 da pallacanestro e 8 da
rugby. qual è la probabilità che ,
prelevandone 3, senza rimetterli
nello scatolone, i primi 2 siano da
rugby e il terzo da pallavolo?
(49/855)
VOCABOLARIO
PAROLE INGLESI
Probabilità= probability
Evento= event
Prodotto= product
Evento condizionato= conditional event
Eventi dipendendi =dipendent events
Eventi indipendenti =indipendent events
La redazione
2BCLS
Elisa A.
Michela B.
Laura B.
Emanuele C.
Silvia C.
Marta C.
Caterina D.
Eleonore G.
Giorgia G.
Lorenzo M.
Noemi P.
Margherita P.
Gaia R.
Daniela T.
Pietro V.
Francesco V.R.
prof.ssa Claudia C.