A.A. 2014-15
Fisica Generale
10-04-15
ESERCIZIO 1
Si consideri un elemento materiale di massa m = 248 g appoggiato su di una superficie orizzontale scabra,
al quale viene applicata una forza orizzontale F; i coefficienti di attrito fra l’elemento e la superficie
valgono s= 0.78 e d = 0.42.
Calcolare:
a) il minimo valore di F che è necessario applicare per mettere l’elemento in moto;
b) il modulo RM della massima reazione vincolare statica (attrito più normale) esplicabile dal vincolo;
c) il modulo dell'accelerazione dell’elemento materiale se la forza agente ha modulo F = 1.50 N.
Soluzione
a) Le forze sono: la forza applicata F, la forza di attrito f, la forza peso Fp e la reazione normale N.
Prendendo un asse x diretto come il piano e un asse y perpendicolare, verso l’alto, la proiezione della
seconda legge di Newton sui due assi fornisce:
0
0
si ha quindi
0.78 0.248
9.8
1.89 . La forza minima per mettere
l’elemento in moto è quindi
1.89 .
b) Il modulo della massima reazione vincolare statica è
1
1
2
0.248
9.8
3.08
1
0.78
c) Per un valore del modulo della forza F pari a 1.50 N, essendo tale valore inferiore a
, se
l’elemento è fermo essa non riuscirà a metterlo in moto, quindi si avrà
0.
Se invece l’elemento ha inizialmente velocità non nulla, allora l’equazione della seconda legge lungo
l’asse orizzontale va riscritta come
, con
. Si ha pertanto:
⁄
1.5 ⁄ 0.248
0.42 9.8
1.93
ESERCIZIO 2
Un vagone di massa m = 6.0·103 kg si muove con velocità di modulo v1 = 3.5 m s1 su un piano
orizzontale; percorre quindi un dislivello di h = 12 m e raggiunge un secondo vagone che stava
viaggiando con velocità di modulo v2 = 6.7 m s1 nella stessa direzione; dopo l'urto i due vagoni restano
agganciati e continuano a muoversi con velocità iniziale di modulo V = 9.5 m s1 e si fermano dopo un
tempo t = 60 s a causa di una forza di attrito costante.
Calcolare:
a) la massa del secondo vagone;
b) la potenza sviluppata dalla forza di attrito.
Soluzione
a) Inizialmente la velocità del primo vagone aumenta a causa del dislivello. Sia
vagone al termine del dislivello, si ha: 1⁄2
2
3.5
1⁄2
2 9.8
12
1
, da cui
15.73
la velocità del primo
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10-04-15
Quando i vagoni si urtano si conserva la quantità di moto:
⁄
6.0 10
15.73
9.5
, da cui:
⁄ 9.5
6.7
13350
.
b) La potenza sviluppata dalla forza di attrito si può calcolare dalla definizione di potenza e tramite il
teorema del lavoro e dell’energia cinetica; questa, subito dopo l’urto, è per l’insieme dei due vagoni:
1⁄2
1⁄2 6.0 10
13.35 10
9.5
873169 .
| |⁄
|∆ |⁄
Si ha quindi
873169 ⁄60
14553
ESERCIZIO 3
Una sfera di massa m = 24 kg parte da fermo dalla cima di un piano inclinato, scendendo con moto di
puro rotolamento. La sommità del piano ha una altezza h = 3.5 m, e l’inclinazione rispetto all’orizzontale
è = 23°. Il coefficiente di attrito statico fra la sfera e il piano è s = 0.30. Calcolare:
a) la velocità con cui la sfera arriva in fondo al piano;
b) il modulo della forza di attrito agente sulla sfera;
c) l'angolo di inclinazione massimo che consente il rotolamento senza strisciare
Soluzione
a) L'unica forza che lavora qui è la forza peso che è una forza conservativa; quindi l'energia cinetica
finale deve essere uguale all'energia potenziale iniziale; a sua volta l'energia cinetica può essere
calcolata come energia cinetica di rotazione attorno al punto di contatto cioè Ec = ½ I 2, dove il
momento d'inerzia è quello rispetto all'asse di rotazione passante per il punto di contatto e che va
calcolato utilizzando il teorema di Huygens-Steiner: I = IC + m r2 = 2/5 m r2 + m r2 = 7/5 m r2
Riconoscendo che r2 2 = vC2, si ottiene Ec = ½ 7/5 m r2 2 = 7/10 m vC2.
Uguagliando, come detto, questa energia cinetica con l'energia potenziale iniziale mgh si trova
mgh = 7/10 m vC2, da cui:
10⁄7 7.0 .
b) Le forze agenti sulla sfera sono la forza peso mg, applicata al baricentro, la forza di reazione vincolare
perpendicolare N, applicata al punto di appoggio, e la forza di attrito statico fs, anch'essa applicata al
punto di appoggio. Le equazioni cardinali sono
Scegliendo come polo il punto di appoggio, l'unica forza ad avere momento non nullo è la forza peso;
le precedenti equazioni, scritte per componenti, quindi diventano:
sin
cos
0
sin
utilizzando il momento d'inerzia già calcolato e ricordando che r = aC, si trova
m g r sen= 7/5 m r2 aC/r, da cui m aC = 5/7 m g sen
e quindi fs = mg senm aC = mg sen5/7 mg sen/7 mg sen = 26.3 N.
c) Il valore massimo del modulo della forza di attrito statico che può sviluppare il vincolo è
fsM = s N =s m g cos = 26 N
Per avere un moto di puro rotolamento il modulo della forza di attrito calcolato sopra non deve
superare tale valore, quindi deve valere
= 2/7 mg sin s mg cos, da cui tan
7⁄2
2
46° e quindi
tan
7⁄2
46°
