Acustica

Onde
Perturbazioni dello stato di un corpo o di un campo che
si propagano nello spazio con trasporto di energia ma
senza trasporto di materia.
Onde meccaniche:
• si propagano all’interno di un mezzo, solido o fluido;
• caratterizzate dallo spostamento s di una particella dalla
posizione di equilibrio prodotto dalla perturbazione.
Onde elettromagnetiche:
• perturbazione del campo elettromagnetico (s = E o B);
• si propagano anche nel vuoto.
caratteristiche comuni
→
→
Eo
→
B
Fenomeni ondulatori
E
onda elettromagnetica
onda meccanica
(suono)
→
→
v
Bo
λ
→
x
onda meccanica lungo una fune
onda meccanica lungo una molla
onda meccanica
(superficie gas-liquido)
Onde trasversali e longitudinali
onde trasversali
vibrazione
propagazione
esempio :
onda lungo una corda
onde longitudinali
vibrazione
esempio :
onda di percussione in un solido
propagazione
Superfici d’onda
Punti dello spazio ove vi è - ad un certo istante – lo stesso
stato di vibrazione del mezzo in cui l’onda si propaga.
Raggio di propagazione:
direzione perpendicolare
alle superfici d’onda
Onda periodica
Onda che presenta la stessa configurazione in intervalli spaziali e
temporali successivi.
doppia periodicità: temporale e spaziale
Un’onda sinusoidale è un’onda periodica la cui descrizione
è data da una semplice funzione trigonometrica
s (t ) = A ⋅ sen (2π ⋅ t T + ϕ1 )
s ( x) = A ⋅ sen(2π ⋅ x λ + ϕ 2 )
  t x 
s( x, t ) = A ⋅ sen 2π  −  + φ 
 T λ 
= A ⋅ sen (ωt − kx + φ )
A ⇒ ampiezza λ ⇒ lunghezza d’onda
T ⇒ periodo
φ ⇒ fase
ω = 2π/T ⇒ pulsazione
k = 2π/λ ⇒ n.ro d’onda
Parametri di un’onda periodica
x=cost.
Lunghezza d’onda [m] (λ)
Distanza, in un’onda periodica, fra due creste successive o
fra due punti con uguale velocità (vettoriale).
Frequenza [Hz=s-1] (f)
Numero di ripetizioni di un’onda nell’unità di tempo.
Periodo [s] (T)
Intervallo di tempo fra due ripetizioni di onda uguali.
t=cost.
Velocità [m/s] (c)
Velocità di movimento della superficie d’onda.
Ampiezza (A)
Legata alla quantità di energia trasportata. L’unità di misura
verrà specificata nel seguito.
1
T =
f
λ
c =
= λf
T
Velocità delle onde acustiche nell’aria:
c=344 m/s
Interferenza
Principio di sovrapposizione: quando due o più onde viaggiano in un mezzo,
l’onda risultante è la somma degli spostamenti
associati alle onde individuali.
Due onde con frequenze uguali o vicine ⇒
fenomeni di interferenza
Esempio: due onde di uguale ampiezza che viaggiano nella
stessa direzione con fasi diverse:
s( x, t ) = s1 ( x, t ) + s 2 ( x, t ) =
= A ⋅ sen (ωt − kx) + A ⋅ sen (ωt − kx + φ ) =
φ
φ 

= 2 A ⋅ cos  ⋅ sen  ωt − kx + 
2
 2

φ=0
⇒ interferenza costruttiva, ampiezza raddoppiata
φ= π
⇒ interferenza distruttiva, ampiezza nulla
Interferenza: onde stazionarie
Due onde di uguale ampiezza che viaggiano in direzioni
opposte danno luogo ad onde stazionarie
s ( x, t ) = s1 ( x , t ) + s2 ( x, t ) =
= A ⋅ sen (ωt − kx ) + A ⋅ sen (ωt + kx) =
= 2 A ⋅ cos (kx ) ⋅ sen (ωt )
Frequenza di
oscillazione: f = ω/2π
Ampiezza di oscillazione dipende da x:
• kx = 0, π, 2π, .....
⇒ interferenza distruttiva (nodo)
• kx = π/2, 3π/2, .....
⇒ interferenza costruttiva
(antinodo o ventre)
Interferenza: battimenti
Due onde di uguale ampiezza che viaggiano nella
medesima direzione con frequenze leggermente diverse
da luogo a battimenti
s ( x, t ) = s1 ( x, t ) + s2 ( x, t ) =
= A ⋅ sen (ω1t − k1 x ) + A ⋅ sen (ω 2t + k 2 x) =
k1 − k 2 
k1 + k 2 
 ω1 − ω 2
 ω1 + ω 2
= 2 A ⋅ cos
t−
x  ⋅ sen
t−
x
2
2
 2

 2

Frequenza f=(f 1-f2)/2
Frequenza f=(f 1+f2)/2
Lungh. d’onda λ=2(λ 1 λ2)/(λ 1- λ 2)
Lungh. d’onda λ=2(λ 1 λ2)/(λ 1+ λ2)
Scomposizione di un’onda
Un’onda “non sinusoidale” è chiamata
complessa: essa può essere periodica, o no.
Un’onda (o segnale) complessa può essere
considerata come la somma (algebrica) di
segnali sinusoidali ciascuno di data
frequenza e intensità.
Se l’onda complessa è periodica (con
periodo T), esso si può scomporre in un
certo numero di onde sinusoidali le cui
frequenze sono multipli interi di una
frequenza
chiamata
frequenza
fondamentale.
In questo caso le onde componenti prendono
il nome di armoniche: la prima armonica è
chiamata fondamentale e la sua frequenza
è uguale a 1/T; la seconda armonica ha una
frequenza 2/T, la terza armonica 3/T e
così via.
Caratteristiche energetiche di un’onda
Potenza P di una sorgente
[W]
È l’energia emessa da una sorgente (sonora) nell’unità di tempo.
Intensità di un’onda I
[W/m2]
Rappresenta l'energia trasportata dall’onda che nell'unità di tempo fluisce
attraverso una superficie unitaria.
E
I=
S ⋅ ∆t
Variazione di intensità con la distanza dalla sorgente:
Sfera 1:
I1 =
P1
4π d12
Sfera 2:
I2 =
P2
4π d 22
trascurando l’attenuazione del mezzo, P1=P2
d12
I 2 = 2 I1
d2
L’intensità è inversamente proporzionale al quadrato della
distanza dalla sorgente (legge del quadrato della distanza)
Superfici limite
Quando un’onda incontra una superficie che separa due mezzi, essa viene
parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa. Esempi:
1.
2.
3.
Corda vincolata ad una estremità
•
onda riflessa ha la stessa ampiezza dell’onda incidente
•
onda trasmessa ha ampiezza nulla (riflessione totale)
•
onda riflessa cambia segno (cambiamento di fase di 180o)
Corda libera ad una estremità
•
onda riflessa ha la stessa ampiezza dell’onda incidente
•
onda trasmessa ha ampiezza nulla (riflessione totale)
•
onda riflessa non cambia segno (nessun cambiamento di fase)
Casi intermedi: dipende dall’impedenza caratteristica del materiale
Superfici limite ed onde stazionarie
In mezzi limitati spazialmente, interferenza e riflessione danno
luogo ad onde stazionarie con specifiche frequenze di
oscillazione (onde caratteristiche)
Per esempio, per una corda tesa
vincolata ai due estremi, si ha
2l
nc
; fn =
n
2l
(n = 1,2,3,L)
λn =
dove n=1 rappresenta la frequenza
fondamentale e le frequenze
maggiori sono le armoniche
superiori.
⇒ le frequenze sono in rapporto armonico tra loro
Oscillazioni di una membrana
⇒ le frequenze NON sono in rapporto armonico tra loro
Onde acustiche
vibrazione meccanica delle particelle di
un mezzo materiale (gas, liquido, solido)
punto di equilibrio
molecola in moto
A
fluidi :
x(t)
spostamenti delle particelle
addensamenti e rarefazioni
compressioni e dilatazioni
onda di pressione che si propaga
Onde acustiche
  t x 
∆p = ∆po sen 2π  −  + φ 
 T λ 
Nota: in mezzi finiti (es. in una lamina di acciaio) le
onde acustiche si propagano anche come onde
trasversali !
Velocità di propagazione delle onde acustiche
Materiale
Aria (20 oC)
Acqua
Tessuto corporeo
Legno
Alluminio
Vetro
Velocità di propagazione
344 m/s
1480 m/s
1570 m/s
3850 m/s
5100 m/s
5600 m/s
NOTA: Nel passaggio tra due mezzi con diverse velocità di
propagazione, la frequenza dell’onda si mantiene inalterata
mentre varia la lunghezza d’onda.
Velocità di propagazione delle onde acustiche
Se si assume che l’aria sia un gas ideale, si ottiene
RT
cs = γ
M
cp
7
; γ =
≈
cv 5
La velocità del suono aumenta con la temperatura
Propagazione delle onde acustiche in presenza di ostacoli
Vi sono diversi fenomeni legati alla
propagazione di un’onda in
presenza di ostacoli. Sono
classificati come segue:
⇒ Riflessione
⇒ Diffrazione
⇒ Rifrazione
La fenomeno della diffusione non
e` nient’altro che una combinazione
di rifrazione e diffrazione.
Riflessione e rifrazione delle onde
Un’onda che incide su una superficie che separa due mezzi
diversi viene parzialmente riflessa nel mezzo da cui proviene e
parzialmente trasmessa (rifratta) nel nuovo mezzo.
Se la dimensione della superficie e` molto maggiore della lunghezza d’onda λ,
la riflessione di un’onda puo` essere descritta con semplici leggi geometriche
Riflessione
Rifrazione
Leggi di Snell e Descartes:
• I raggi incidente (i), riflesso (r), rifratto (t) e
la normale (n) alla superficie giacciono sullo
stesso piano;
• gli angoli di incidenza e di riflessione sono
uguali:
θ1 = θ
'
1
• gli angoli di incidenza e di trasmissione (o
rifrazione sono legati alle velocita` di
propagazione dell’onda v1 e v2 nei due mezzi:
sin θ 2 v 2
=
sin θ 1 v1
Nota: se v1 < v2 esiste un angolo limite θ c di incidenza oltre il quale l’onda viene
interamente riflessa
Riflessione al suolo
Se sorgente ed ascoltatore sono
entrambi al livello del suolo,
l’ascoltatore riceve sia il suono diretto
che quello riflesso dal suolo (vedi
figura).
Nel punto di riflessione si verifica una inversione di fase. Se le onde diretta e
riflessa avessero medesima ampiezza, l’interferenza risulta distruttiva e la
pressione acustica risulterebbe nulla.
Nella pratica si osserva sperimentalmente una zona d’ombra, a qualche
dicina di metri dalla sorgente, dove la pressione acustica decresce piu`
rapidamente di quanto previsto dalla propagazione in campo libero. L’entita`
dell effetto dipende dalle caratteristiche del suolo (umidita`,...) e dalla
copertura (neve, erba,....).
Effetti del gradiente termico
Se un fronte d’onda piano che avanza in direzione parallela al suolo
incontra un gradiente termico verticale, il fronte d‘onda si deforma a
causa degli effetti di rifrazione come indicato in figura:
RT
cs = γ
M
•Se il gradiente e` negativo
⇒ deflessione verso l’alto;
⇒ zona d’ombra;
•Se il gradiente e` positivo
⇒ deflessione verso il basso;
⇒ focalizzazione.
Diffrazione delle onde
I fronti d’onda di un’onda piana quando passano attraverso
una fenditura o incontrano uno spigolo vengono incurvati.
L’onda dopo l’ostacolo non ha più un fronte piano;
⇒ l’onda si propaga nella zona d’ombra geometrica.
L’angolo di curvatura dipende dalla larghezza della
fenditura e dalla lunghezza d’onda dell’onda incidente.
sen ϑ ≈
Dove
λ≥d
λ
d
λ: lunghezza d’onda incidente
d: larghezza fenditura
⇒ ϑ=
π
,
2
diffrazione in tutte le direzioni
π
, diffrazione parziale
2
λ << d ⇒ ϑ = 0,
nessuna diffrazione
λ<d
⇒ 0 <ϑ <
Grazie al fenomeno della diffrazione, le onde
acustiche possono aggirare gli ostacoli.
Questo fenomeno e` tanto piu` efficiente
quanto maggiore e` la lunghezza d’onda.
Barriere di rumore
La diffrazione e` la ragione per cui una
barriera di rumore o uno schermo
acustico non sono cosi` efficienti come
ci si aspetterebbe con considerazioni di
acustica geometrica.
Lo schermo deve essere posto il piu`
vicino possibile alla sorgente. La sua
altezza dipende dall’intervallo di
frequenze che si vogliono schermare
poiche` gli effetti di diffrazione
dipendono dalla lunghezza d’onda.
In generale l’efficienza di uno schermo e` minore per suoni a bassa frequenza.
Nota: Gli effetti di riflessione sul suolo devono anche essere tenuti in conto nel
calcolo della dimensione di una barriera.
Effetto Doppler
La frequenza percepita da un
ascolatatore dipende dal moto
relativo della sorgente e
dell’ascoltatore.
Esempio:
suono di un
clacson di
automobile che
passa:
I) Sorgente in quiete, ascoltatore in movimento
va = velocità dell’ascoltatore
fo = frequenza del suono emesso
f’ = frequenza percepita dall’ascolatatore
Si ottiene:
+
-
 c ± va 
′
f =
 ⋅ fo
 c 
⇒ ascoltatore che si avvicina
⇒ ascoltatore che si allontana
Effetto Doppler
II) Sorgente in movimento, ascoltatore in quiete
vs = velocità della sorgente
fo = frequenza del suono emesso
f’ = frequenza percepita dall’ascolatatore
Si ottiene:
 c 
′
 ⋅ f o
f = 
 c ± vs 
+
-
⇒ sorgente che si allontana
⇒ sorgente che si avvicina
Esempio: una sirena emette una suono di frequenza fo = 1000 Hz.
Assumendo c = 344 m/s:
se l’ascoltatore si allontana dalla sirena con va = 15 m/s;
f’ = 956 Hz
se la sirena si allontana dall’ascoltatore con vs = 15 m/s
f’ = 958 Hz
Effetto Doppler
• se vs = c (Mach 1)
i fronti d’onda si addensano sulla sorgente ⇒ onda d’urto
Muro del suono ⇒
• se vs > c (velocità ultrasonica)
la sorgente è in anticipo rispetto al suono
⇒ fronte d’urto di forma
conica (cono di Mach)
Onde acustiche stazionarie: tubo cilindrico
tubo chiuso ad una
estremità
tubo aperto
2L
nc
λn =
; fn =
n
2L
(n = 1,2,3,L)
⇒ armoniche pari e dispari
4L
;
( 2n − 1)
(n = 1,2,3, L)
λn =
fn =
(2n − 1)c
4L
⇒ solo armoniche dispari
SUONO
onda sonora :
sensibilità orecchio umano
20 Hz < f < 2 104 Hz
infrasuoni
varia = 344 m s–1
vH2O = 1450 m s–1
v=λf
ultrasuoni
17.2 m < λ < 1.72 cm
72.5 m < λ < 7.25 cm
SUONO
caratteristiche di un suono
altezza
timbro
intensità
frequenza
composizione armonica
energia
∆S ∆t
Orecchio esterno:
Orecchio umano
Il canale uditivo (l ~ 25 mm)
funge da risonatore alla
frequenza di circa 3000 Hz.
Orecchio medio:
Il sistema di ossicini (leva di Io
tipo) trasmette le vibrazioni del
timpano all’orecchio interno
tramite la finestra ovale.
Orecchio interno:
E` un sistema idrodinamico
complesso (coclea) contenente
un fluido (perilinfa) e i recettori
nervosi (cellule ciliate).
L’orecchio umano è sensibile a fluttuazioni di pressione
fino a 10-5 Pa (10 -10 atm) !!
Impedenza acustica
Per un’onda piana progressiva armonica si ha:
I=
∆p
=
2Zo
Zo
2
o
2
peff
dove
Z o = ρ cs
rappresenta l’impedenza acustica caratteristica del mezzo, e
peff =
la pressione efficace
∆po
2
In aria (20 oC):
ρ = 1,225 kg m3 ; cs = 343 m s ⇒ Z o = 420 Pa ⋅ s m
In acqua (20 oC):
ρ = 998 kg m 3 ; cs = 1484 m s ⇒ Z o = 1,48 ×10 6 Pa ⋅ s m
Nei solidi:
NOTA: in aria ( Z o
= 420 Pa ⋅ s m )
• Limite di percettibilita` (IP = 10-12 W/m2)
peff = I P ⋅ Z o = 2 ×10 −5 Pa ≈ 2 ×10 −10 atm
• Soglia del dolore (ID = 1 W/m2)
peff = I D ⋅ Z o = 20 Pa ≈ 2 ×10 −4 atm
L’orecchio umano è sensibile a fluttuazioni di pressione
fino a 10-5 Pa (10 -10 atm) !!
Il decibel
L’orecchio umano è sensibile ad intensità sonore tra 10-12 W/m2 e
102 W/m2. Tuttavia, la sensazione uditiva non è proporzionale
all’intensità sonora, ma approssimativamente al suo logaritmo.
Livello di intensità sonora IL [dB]
E` definito come il logaritmo del rapporto fra l’intensità misurata rispetto ad
una intensità di riferimento (I0):
I
IL = 10 log10 [dB]
I0
Per convenzione internazionale:
I0 = 10-12 W/m2
(minima intensità percepibile dall’orecchio)
10-12 W/m2 a 102 W/m2 → tra 0 e 140 dB
Intensità
sonora
(W/m2)
102
1
10-1
-2
10
10-3
10-4
10 -4,5
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
10-12
Livello
Condizione ambientale
d’intensità
(dB)
140
Soglia del dolore
120
Clacson potente, a un metro
110
Picchi d’intensità di una grande
100
90
80
75
70
60
50
40
30
20
0
orchestra
Interno della metropolitana
Picchi di intensità di un pianoforte
Via a circolazione media
Voce forte, a un metro
Conversazione normale, a un metro
Ufficio commerciale
Salotto calmo
Biblioteca
Camera da letto molto calma
Studio di radiodiffusione
Soglia di udibilità
Effetto sull’uomo
Lesioni dell’orecchio nel caso di ascolto
prolungato
Zona pericolosa per l'orecchio
Zona di fatica
Zona di riposo (giorno)
Zona di riposo (notte)
Acuità uditiva
Grafico dell’acuità uditiva in relazione a intensità e frequenza
livello di intensità, dB
Soglia del dolore
Percentuale
della
popolazione la
cui acuità
uditiva sta al
di sotto della
curva
indicata
frequenza, Hz
La curva corrispondente all 1% è assunta come soglia di udibilità.
Curve isofoniche
Il livello di sensazione sonora (Phon) è posto uguale al livello di intensità
alla frequenza di 1000 Hz.