FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN.
Corso di laurea in Matematica e Matematica per le applicazioni
Prova in itinere di Algebra I
13/12/2006
I
Sia n = pq con p e q numeri primi > 5, e sia An = aa . . . a il numero composto da n + 1 − p − q volte
la cifra a. Verificare che per ogni cifra a (1 ≤ a ≤ 9) n divide An .
II
Consideriamo l’applicazione
fa : Z → Q
2
definita da fa (x) = 3x +(3−2a)x−2a
con a ∈ Z.
2
i) Determinare i valori di a per cui fa risulta iniettiva.
ii) Per a = 1 e a = 2 determinare f −1 (0) e f −1 (1).
III
In N2 si definisca la relazione d’ordine ponendo (m, n) ≺ (m′ , n′ ) quando m ≤ m′ e y|y ′ . Si consideri
in N2 il sottoinsieme
A = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), (3, 11), (4, 16), (4, 18)(4, 20), (4, 36)}.
Determinare in A, con la relazione ≺, gli elementi minimali e quelli massimali. Inoltre, determinare
l’estemo inferiore e l’estremo superiore di A in N2 .
IV
I Babbi Natale e le Mamme Natale (per le pari opportunità) devono distribuire per il prossimo
Natale 10000 pacchi regalo. Sapendo che ogni Babbo Natale riesce a portare 80 pacchi mentre una
Mamma Natale ne riesce a portare 54, sapreste dire quanti Babbi Natale e quante Mamme Natale
occorrono per portare tutti i pacchi, tenendo presente, sempre per le pari opportunità, che il numero di
Babbi Natale deve essere quanto più prossimo a quello delle Mamme Natale?
V
Determinare in Z le soluzioni del sistema di congruenze
2
5x
−2
= 3 in Z7
2
2x = 6 in Z11
in particolare trovare le soluzioni 0 ≤ x ≤ 30.
VI
Dire se 1 − i è radice del polinomio x10 − 4x7 − 16x3 + 32i.
