5 Propriet`a dielettriche dei tessuti biologici

5 Proprietà dielettriche dei tessuti biologici
Introduzione
Negli ultimi anni le società industrializzate hanno assistito ad un aumento senza precedenti, per numero e varietà, di sorgenti di campi elettrici, magnetici ed elettromagnetici
usati per scopi individuali, industriali e commerciali. Queste sorgenti comprendono televisione, radio, computer, elettrodotti, telefoni cellulari, forni a microonde, radar, ed
apparati per uso industriale, domestico, medico e commerciale. Tutte queste tecnologie
hanno reso la nostra vita più ricca e più facile ma, nello stesso tempo, hanno creato
un aumento dell’esposizione delle persone ai campi elettromagnetici nell’intervallo di
frequenze che va da 0 Hz a 300 GHz (radiazione non ionizzante). Di conseguenza, le
problematiche associate all’esposizione delle persone ai campi elettromagnetici costituiscono un tema ampiamente dibattuto dall’opinione pubblica e dal mondo scientifico a
causa dell’impatto sulla salute individuale e collettiva.
Le radiazioni elettromagnetiche che incidono su un tessuto biologico subiscono fenomeni di riflessione e trasmissione causati dalle differenze esistenti tra la costante dielettrica
e la conducibilità dell’aria e del tessuto biologico. A livello macroscopico, la circolazione
di correnti indotte dalla penetrazione del campo elettrico all’interno del corpo biologico è
direttamente collegata al valore non nullo della conducibilità elettrica. Le caratteristiche
di tali correnti dipendono dalla frequenza, intensità, polarizzazione e modulazione del
campo elettromagnetico, dalla forma, dimensioni e caratteristiche elettriche del tessuto
biologico, e dalla configurazione dell’ambiente circostante. Tali correnti, in virtù del fatto che un corpo biologico può essere assimilato a un dielettrico con perdite, producono
calore il quale induce generalmente effetti a breve termine che cessano di esistere non
appena la sorgente di campo viene meno, salvo danni permanenti dovuti a esposizioni
molto prolungate e ad elevata intensità.
La circolazione di corrente associata al campo magnetico è invece associata all’induzione di forze elettromotrici generata dalla variazione temporale del flusso concatenato
con un possibile percorso chiuso all’interno del corpo biologico.
Per frequenze fino a circa 10 kHz la direzione del campo esterno è praticamente normale alla superficie che separa il tessuto biologico dall’aria, ed il tessuto stesso è in grado
di schermare molto bene il campo elettrico esterno in quanto i valori di conducibilità
elettrica e permettività sono superiori a quelli dell’aria. Nei confronti del campo magnetico il tessuto biologico non introduce nessuna discontinuità. Infatti, visto che la sua
permeabilità magnetica è uguale a quella dell’aria, il campo magnetico esterno non subisce alcuna rifrazione e riflessione e pertanto non è attenuato. Di conseguenza, alle basse
frequenze la densità di corrente indotta è dovuta principalmente al campo magnetico.
All’aumentare della frequenza aumenta anche la potenza dissipata all’interno dei tessuti
152
5.1. Permettività elettrica
153
biologici con conseguente innalzamento della temperatura. Infatti, la riduzione della
costante dielettrica dei tessuti biologici all’aumentare della frequenza consente una maggiore penetrazione del campo elettrico all’interno dei tessuti stessi e quindi un aumento
della potenza assorbita. Inoltre, all’aumentare della frequenza aumenta anche la conducibilità e quindi le perdite dielettriche. Infine, per frequenze superiori a qualche decina
di megahertz si può verificare un assorbimento risonante da parte del corpo umano.
E’ chiaro che lo studio dell’interazione tra campo elettromagnetico e tessuti biologici
richiede la conoscenza dei meccanismi alla base della propagazione dei campi elettromagnetici alle varie frequenze ed è basato sulla disponibilità delle proprietà elettriche e
magnetiche dei vari tessuti che costituiscono gli esseri viventi. Inoltre, la conoscenza di
tali proprietà è di ausilio per la determinazione delle ‘vie’ del flusso di corrente all’interno
del corpo umano ed è di fondamentale importanza per la misura dei parametri fisiologici, lo studio degli effetti biologici dei campi elettromagnetici, dell’elettrocardiografia,
dell’elettrofisiologia, della contrazione muscolare e della trasmissione di segnali elettrici
all’interno del sistema nervoso.
Un approccio dal punto di vista microscopico risulta essere alquanto complesso visto
che è indispensabile tener conto dell’enorme varietà della forma delle cellule e della loro
distribuzione all’interno del tessuto, cosı̀ come delle differenti proprietà del mezzo extracellulare. Allo scopo di superare tali complicazioni, molto spesso la caratterizzazione
della distribuzione del campo elettromagnetico all’interno del tessuto biologico è effettuata seguendo un approccio di tipo macroscopico. In questo contesto, il problema può
essere ricondotto alla soluzione numerica delle equazioni di Maxwell nello spazio fuori e
dentro il corpo biologico, tenendo conto delle condizioni di continuità per i campi alla
superficie dello stesso e che sia noto il valore della costante dielettrica complessa alla
frequenza di lavoro. Nonostante tutto, anche la trattazione macroscopica può presentare notevoli difficoltà in quanto le caratteristiche elettriche del tessuto biologico possono
essere assimilate a funzioni complesse dello spazio e del tempo che tra l’altro dipendono dall’orientazione del corpo biologico rispetto al campo elettromagnetico applicato, e
dalla frequenza del campo.
5.1 Permettività elettrica
Le equazioni che unificano la teoria dell’elettricità e magnetismo e che quindi descrivono
ogni fenomeno dell’elettromagnetismo classico sono da attribuire a James Clerk Maxwell
e nella materia assumono la forma
∂B(r, t)
(5.1)
∇ × E(r, t) = −
∂t
∂D(r, t)
∇ × H(r, t) = J0 (r, t) + Jc (r, t) +
(5.2)
∂t
∇ · D(r, t) = ρ(r, t)
(5.3)
∇ · B(r, t) = 0
(5.4)
dove E è il campo elettrico, H il campo magnetico, B l’induzione magnetica, D l’induzione elettrica, ρ la densità di carica elettrica, r e t le coordinate spaziali e temporale.
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5.1. Permettività elettrica
154
Jc è la densità di corrente di conduzione e dipende dall’azione del campo sulle eventuali
cariche libere presenti all’interno del mezzo, mentre J0 è generalmente un dato del problema in quanto dovuta al movimento di cariche esterne al mezzo. E’ quindi evidente
che, a differenza di J0 che è indipendente dal campo che si vuole studiare, Jc dipende
dal campo elettrico e magnetico attraverso una equazione costitutiva la cui struttura
dipende dal particolare fenomeno fisico che determina la conduzione del mezzo come ad
esempio il moto degli ioni nelle soluzioni elettrolitiche, di elettroni liberi nei metalli, di
elettroni e lacune nei semiconduttori.
La definizione di costante dielettrica relativa complessa può essere derivata dalla
seconda equazione di Maxwell
∂D
∂t
In particolare ponendosi nelle seguenti ipotesi restrittive:
∇ × H = J0 + Jc +
(5.5)
• il materiale è un dielettrico con perdite (condizione verificata da tutti i tessuti
biologici);
• non esistono correnti elettriche impresse;
• si considera il regime sinusoidale;
• campi stazionari o lentamente variabili;
• mezzi lineari, omogenei, isotropi e non dispersivi
si ha che la densità di corrente di cariche libere e il vettore spostamento di Maxwell sono
legati al campo elettrico per mezzo delle relazioni costitutive
Jc = σE
(5.6)
D = ϵ0 E + P
(5.7)
dove σ è la conducibilità elettrica e P è la polarizzazione elettrica. Sostituendo le (5.6)–
(5.7) nella (5.5) e ricordando che in regime sinusoidale bisogna applicare la sostituzione
∂t/∂t → jω, si ricava
∇ × H = σE + jω (ϵ0 E + P)
(5.8)
Dalla (5.8) si osserva che è possibile studiare separatamente differenti casi.
Materiali senza perdite Questi materiali hanno una conducibilità elettrica nulla (σ =
0) e una polarizzazione P proporzionale e diretta nella stessa direzione del campo
elettrico
P = ϵ0 χE
da cui
ϵ0 E + P = ϵ0 (1 + χ) E = ϵ0 ϵE
(5.9)
dove ϵ = 1 + χ. Sostituendo la (5.9) nella (5.8) si ottiene
∇ × H = jωϵ0e
ϵE
da cui si osserva che e
ϵ=ϵ
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(5.10)
5.1. Permettività elettrica
155
Materiali con perdite ohmiche Le pertdite ohmiche sono legate all’interazione tra il
campo elettrico e le cariche libere presenti all’interno del materiale. Pertanto, questi
materiali sono caratterizzati da una conducibilità non nulla e da una polarizzazione
proporzionale e diretta nella stessa direzione del campo elettrico. In queste ipotesi si
ricava
(
)
σ
σE + jω (ϵ0 E + P) = (σ + jωϵ0 ϵ) E = jωϵ0 ϵ − j
E
ωϵ0
che sostituita nella (5.8) fornisce la relazione
e
ϵ=ϵ−j
σ
ωϵ0
(5.11)
Materiali con perdite dielettriche Le pertdite dielettriche sono legate all’interazione
tra il campo elettrico e i bipoli elettrici presenti all’interno del materiale. Come visto in
precedenza, in un materiale con questo tipo di perdite la permittività dielettrica è un
numero complesso e di conseguenza la polarizzazione non è in fase con il campo elettrico.
In particolare, se δ è lo sfasamento tra i vettori P ed E si può scrivere
P = ϵ0 χe−jδ E = ϵ0 χ (cos δ − j sin δ) E
da cui
(
)
ϵ0 E + P = ϵ0 [1 + χ (cos δ − j sin δ)] E = ϵ0 ϵ′ − jϵ′′ E
(5.12)
ϵ′ = 1 + χ cos δ
(5.13)
′′
(5.14)
dove
ϵ = χ sin δ
Anche in questo caso ci si può riportare ad una relazione simile alla (5.10) dove la
permittività dielettrica complessa è fornita dalla relazione
e
ϵ = ϵ′ − jϵ′′
(5.15)
La presenza di perdite dielettriche è causa di dissipazione di energia. Infatti, se il campo
elettrico è scritto nella forma E = Emax sin ωt, la polarizzazione è P = Pmax sin (ωt − δ).
Di conseguenza, la corrente associata alle variazioni temporali della polarizzazione è
∂P
= ωPmax cos (ωt − δ)
∂t
mentre la potenza dissipata nel dielettrico vale
E
∂P
= ωEmax Pmax sin ωt cos (ωt − δ)
∂t
Osservando che
sin ωt cos (ωt − δ) = sin ωt cos ωt cos δ + sin2
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2ωt
1
1 − cos 2ωt
sin δ = sin 2ωt cos δ +
sin δ
2
2
2
5.1. Permettività elettrica
156
si ottiene
∂P
1
= ωEmax Pmax [sin 2ωt cos δ + (1 − cos 2ωt) sin δ]
∂t
2
e perciò la potenza media dissipata è
[
]
∫
∫
∫
cos δ T
1 T ∂P
1
sin δ T
Pm =
dt = ωEmax Pmax
E
sin 2ωtdt + sin δ −
cos 2ωtdt
T 0
∂t
2
T
T
0
0
1
1
= ωEmax Pmax sin δ = ωEmax Pmax cos θ0
2
2
E
dove cos θ0 è il fattore di potenza. Da quanto ottenuto si osserva che nei dielettrici reali
sarà dissipata una certa quantità di potenza in quanto vale sempre la relazione δ ̸= 0.
Materiali con perdite ohmiche e dielettriche La maggior parte dei tessuti biologici
possono essere considerati come materiali aventi tali caratteristiche. In particolare, per
questa categoria di dielettrici si può scrivere
(
)
∇ × H = σE + jωϵ0 ϵ′ − jϵ′′ E = jωϵ0e
ϵ E = Jtot
(5.16)
dove
)
(
σ
e
ϵ = ϵ′ − j ϵ′′ +
ωϵ0
(5.17)
Dalla (5.16) si osserva che la densità di corrente totale Jtot è costituita da una componente
in fase con il campo elettrico
(
)
σ
′′
J1 = ωϵ0 ϵ +
E
ωϵ0
e una in quadratura
J2 = ωϵ0 ϵ′ E
In definitiva, da quanto appena detto si può affermare che l’effetto primario dell’interazione del campo elettrico con un oggetto materiale consiste nella generazione di una
densità di corrente elettrica Jtot in cui possono essere distinte una componente in fase
e una in quadratura. La componente in fase è detta anche corrente di conduzione ed è
legata direttamente agli urti tra cariche e molecole (interazioni dissipative). Essa provoca il riscaldamento del materiale. La componente in quadratura è detta corrente di
polarizzazione in quanto diretta conseguenza della presenza di dipoli. Questa corrente induce un aumento dell’energia immagazzinata nel mezzo e conseguentemente una
riduzione della velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica.
Da un punto di vista sperimentale non è possibile distinguere le perdite dielettriche
da quelle ohmiche. Però, in funzione dell’effettivo comportamento fisico del materiale si
può decidere se evidenziare il carattere dielettrico o quello ohmico. Nel primo caso, è
possibile scrivere la densità totale di corrente come:
(
)
Jtot = jωϵ0 ϵ′ − jb
ϵ E
(5.18)
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5.2. Propagazione dei campi elettromagnetici nei mezzi biologici
157
con
ϵ′ = ℜ{e
ϵ}
(5.19)
b
ϵ = ℑ{e
ϵ}
(5.20)
(
)
Jtot = σeq + jωϵ0 ϵ′ E
(5.21)
Nel secondo caso si ha invece
con
ϵ′ = ℜ{e
ϵ}
(5.22)
σeq = −ωϵ0 ℑ{e
ϵ}
(5.23)
Confrontando le (5.20) e (5.23) con la (5.17) si ricava
σeq = σ + ωϵ0 ϵ′′
′
(5.24)
ϵ =ϵ
(5.25)
σ
b
ϵ = ϵ′′ +
ωϵ0
(5.26)
σeq
ωϵ0
(5.27)
Infine dalle (5.17) e (5.24) si ottiene:
e
ϵ = ϵ′ − j
5.2 Propagazione dei campi elettromagnetici nei mezzi
biologici
La propagazione delle onde elettromagnetiche all’interno di un tessuto biologico può
essere studiata analiticamente risolvendo le equazioni di Maxwell con le opportune condizioni al contorno. In particolare, combinando le equazioni (5.1) e (5.2) ed utilizzando
la (5.9) si ricava
∂
(∇ × H)
∂t (
)
∂
∂E
= −µ0
σE + ϵ0 ϵ
∂t
∂t
∂E
∂2E
= −µ0 σ
− µ0 ϵ0 ϵ 2
∂t
∂t
∇ × ∇ × E = −µ0
(5.28)
Usando l’identità vettoriale
∇ × ∇ × E = ∇ (∇ · E) − ∇2 E
e ipotizzando l’assenza di cariche impresse, ∇ · E = 0, si ottiene:
∇2 E − µ0 σ
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∂2E
∂E
− µ 0 ϵ0 ϵ 2 = 0
∂t
∂t
(5.29)
5.2. Propagazione dei campi elettromagnetici nei mezzi biologici
158
Procedendo in modo analogo è possibile ottenere anche l’equazione per il campo magnetico
∂H
∂2H
∇2 H − µ0 σ
− µ0 ϵ0 ϵ 2 = 0
(5.30)
∂t
∂t
e combinando le (5.29) e (5.30) si può scrivere in definitiva
)( ) ( )
(
∂
∂2
E
0
2
=
(5.31)
∇ − µ0 σ − µ0 ϵ0 ϵ 2
H
0
∂t
∂t
Considerando che il campo elettromagnetico sia di tipo sinusoidale e ricordando che in
tale regime di funzionamento è possibile applicare la sostituzione ∂/∂t → jω e ∂ 2 /∂t2 →
−ω 2 , ed ottenere in definitiva
[
(
)]
σ
′
′′
2
2
∇ E + ω µ0 ϵ0 ϵ − j ϵ +
E=0
ωϵ0
e cioé
∇2 E + k 2 E = 0
(5.32)
dove, utilizzando la (5.27), è stata definita la costante di propagazione
k 2 = ω 2 µ0 ϵ0e
ϵ
(5.33)
Supponendo che il campo elettrico si propaghi lungo l’asse z e che sia polarizzato lungo
l’asse x si ottiene
d2 Ex
+ k 2 Ex = 0
(5.34)
dz 2
di cui una possibile soluzione può essere espressa nella forma
Ex (z) = E0 e±jkz
(5.35)
Essendo jk un numero complesso, esso può essere definito dalla relazione
jk = α + jβ
(5.36)
k = β − jα
(5.37)
da cui
Di conseguenza la (5.35) si può scrivere come
Ex (z) = E0 e±jβz e±αz
(5.38)
Dalla (5.37) si ottiene
[
(
)]
σ
′
′′
k = (β − jα) = β − α − 2jαβ = ω µ0 ϵ0 ϵ − j ϵ +
= a − jb
ωϵ0
2
2
2
2
2
da cui, ugualiando parte reale e immaginaria di ambo i membri, si ricava il sistema di
equazioni
{
β 2 − α2 = a
2αβ = b
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5.2. Propagazione dei campi elettromagnetici nei mezzi biologici
159
Eliminando α e ponendo β 2 = t si ottiene l’equazione
4t2 − 4ta − b2 = 0
√
a2 + b 2
t1,2 =
2
Osservando che la propagazione del campo elettromagnetico si ha quando β è un numero
reale, è necessario considerare solo la soluzione positiva (quella con il segno ’+’) e perciò
√√
a2 + b2 + a
β=
2
che ha come soluzioni
a±
da cui si ricava
α =β −a=
2
2
e quindi
a+
√
√
a2 + b2
a2 + b2 − a
−a=
2
2
√√
a2 + b2 − a
α=
2
Osservando che
ω2 ′
ϵ
c2 (
)
σeq
ω 2 ′′
σ
2
b = ω µ o ϵ0
= 2 ϵ +
ωϵ0
c
ωϵ0
a = ω 2 µ o ϵ0 ϵ′ =
√
dove c = 1/ µ0 ϵ0 è la velocità della luce nel vuoto, si ricava in definitiva
v √
u
)
(
u ω2
v 
σ 2 ω2 ′
u

√
u
′
2
′′
− 2ϵ
u 2 (ϵ ) + ϵ +
( ′′
)2
u
′
tc
ωϵ0
c
ω uϵ
ϵ
σ
α=
= t  1+
+
− 1 (5.39)
′
2
c 2
ϵ
ωϵ0 ϵ′
e
β=
v √
u
(
)
u ω2
σ 2 ω2 ′
u
′
2
′′
+ 2ϵ
u 2 (ϵ ) + ϵ +
tc
ωϵ0
c
2
v 

√
u
( ′′
)2
u
ω u ϵ′ 
ϵ
σ
= t
1+
+
+ 1 (5.40)
c 2
ϵ′
ωϵ0 ϵ′
Passando nel dominio del tempo si ha che l’espressione del campo elettrico che si propaga
nel verso positivo dell’asse z assume a forma
Ex (z) = E0 e−jβz ejωt e−αz = ej(ωt−βz) e−αz
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(5.41)
5.2. Propagazione dei campi elettromagnetici nei mezzi biologici
160
In base alla (5.41) è possibile definire la lunghezza d’onda λ e la profondità di penetrazione δ
2π
β
1
δ=
α
λ=
(5.42)
(5.43)
e cioé
λ0
λ = v √

u
)2
( ′′
u ′
σ
ϵ
uϵ 
+
+ 1
1+
t
2
ϵ′
ωϵ0 ϵ′
δ=
c
v 

√
u
( ′′
)2
u ′
ϵ
σ
uϵ
ωt  1 +
+
− 1
2
ϵ′
ωϵ0 ϵ′
(5.44)
(5.45)
dove λ0 = c/f è la lunghezza d’onda nello spazio vuoto. Da un punto di vista fisico,
la profondità di penetrazione è strettamente legata alla parte di potenza che il campo
elettromagnetico cede al mezzo materiale durante la sua propagazione. Infatti, osservando dalla (5.41) che l’attenuazione è tenuta in conto dal termine exp (−αz), si vede
che essa indica la distanza a cui corrisponde una attenuazione di circa il 37% del campo
elettrico e magnetico rispetto ai valori all’interfaccia. Inoltre, dalla (5.45) è evidente
la dipendenza della profondità di penetrazione dalle caratteristiche elettriche del mezzo
biologico (σeq , ϵ′ ) e dalla frequenza dell’onda elettromagnetica. Dalla (5.44) si deduce
invece che nell’interazione con il materiale biologico il campo elettromagnetico, oltre ad
attenuarsi, riduce la propria velocità di propagazione. Infatti, la lunghezza d’onda è
sempre inferiore a λ0 e dipende sia dalle proprietà del campo elettromagnetico sia dalle
caratteristiche elettriche del mezzo biologico.
Buon conduttore elettrico
In questo caso si ha
σ
ϵ′′
+
≫1
′
ϵ
ωϵ0 ϵ′
le espressioni (5.44) e (5.45) si semplificano notevolmente e risultano
1
δ=√
πµ0 f σ
2π
λ= √
= 2πδ
πµ0 f σ
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(5.46)
(5.47)
5.3. Modello parametrico
Buon dielettrico
161
In questo caso si ha
ϵ′′
σ
+
≪1
′
ϵ
ωϵ0 ϵ′
è possibile scrivere con buona approssimazione
√
( ′′
)2
(
)2
ϵ
σ
1 ϵ′′
σ
∼
1+
+
+
=1+
ϵ′
ωϵ0 ϵ′
2 ϵ′
ωϵ0 ϵ′
Di conseguenza la (5.39) diventa
√
(
)
ω µ0 ϵ0 ϵ′ ϵ′′
σ
∼
α=
+
2
ϵ′
ωϵ0 ϵ′
(5.48)
mentre la (5.40) si trasforma in
√
[
(
[ ( ′′
)]2
)2 ]
√
√
σ
σ
ω
1 ϵ
1 ϵ′′
′
′
∼
+
+
β=
ϵ 1+
≈ ω µ0 ϵ0 ϵ 1 +
c
2 ϵ′
ωϵ0 ϵ′
8 ϵ′
ωϵ0 ϵ′
√
(5.49)
≈ ω µ0 ϵ0 ϵ′
Pertanto, per un buon dielettrico si ottiene
√
2c ϵ′
)
δ= (
σ
′′
ω ϵ +
ωϵ0
λ0
λ= √
ϵ′
(5.50)
(5.51)
Generalmente, nei materiali biologici non è possibile effettuare nessuna delle due approssimazioni illustrate in quanto σeq è dello stesso ordine di grandezza di ωϵ0 ϵ′ . Infatti, essi
possono essere assimilati a dielettrici con elevate perdite e pertanto sia δ sia λ sono da
calcolare senza ricorrere a nessuna approssimazione.
5.3 Modello parametrico
Rispetto ai materiali utilizzati nei convenzionali sistemi elettromagnetici, il corpo umano
è di gran lunga molto più complesso in quanto è costituito da svariati tessuti biologici
aventi proprietà elettriche differenti e caratteristiche dispersive che coprono un ampio
intervallo di frequenza. Tali proprietà, tra l’altro i) non sono ben conosciute, ii) sono
strettamente legate alla geometria complessa e non uniforme del tessuto biologico, iii)
dipendono dall’ambiente in cui è immerso il corpo umano e dai differenti meccanismi
d’interazione che generano il fenomeno della dispersione. Inoltre, è importante non
trascurare il fatto che il materiale di cui è composto il tessuto biologico è attivo da un
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5.3. Modello parametrico
162
punto di vista cellulare e che in molti casi il problema deve essere affrontato considerando
sia gli effetti termici sia le possibili perturbazioni generate dalla circolazione del sangue.
La permittività dei tessuti biologici include, da un punto di vista macroscopico, il
contributo legato ai vari fenomeni di rilassamento causati da molecole, cellule e strati
ionici che circondano molecole, e il contributo di conducibilità legato al fenomeno del
movimento degli ioni. Essa è stata estensivamente studiata da molti ricercatori nell’intervallo di frequenza che va da alcuni Hz ai centinaia di GHz. In particolare, C.
Gabriel e collaboratori, partendo da una gran mole di dati sperimentali, hanno proposto
un originale modello parametrico per la valutazione delle proprietà dielettriche di molti
tessuti biologici nell’intervallo di frequenza che va da 10 Hz a 100 GHz. Esso è basato
sulla sovrapposizione di quattro dispersioni Cole–Cole e di un termine che rappresenta
il fenomeno della conducibilità
∑
bn
σ0
+
e
ϵ = ϵ∞ − j
ωϵ0
1 + (jωτn )1−dn
4
(5.52)
n=1
dove ϵ∞ , σ0 , bn , τn e dn rappresentano i 14 parametri da determinare per ciascun tessuto
biologico. Dalla (5.52) si ricava
[
]
4
∑
bn
ϵ = ℜ{e
ϵ} = ϵ∞ +
ℜ
(5.53)
1 + (jωτn )1−dn
i=1
[
]
4
∑
bn
σ = −ωϵ0 ℑ{e
ϵ} = σ0 − ωϵ0
ℑ
(5.54)
1 + (jωτn )1−dn
i=1
e perciò il problema è ricondotto al calcolo della parte reale e immaginaria del numero
complesso
bn
Γn =
1 + (jωτn )1−dn
In particolare, ripercorrendo i passaggi algebrici sviluppati a proposito dell’equazione di
Cole–Cole e ponendo
Rn = (ωτn )1−dn
π
Pn = cos (1 − dn )
2
π
Qn = sin (1 − dn )
2
An = Rn Pn
Bn = Rn Qn
si ricava
(1 + An ) bn
(1 + An )2 + Bn2
Bn bn
ℑ{Γn } = −
(1 + An )2 + Bn2
ℜ{Γn } =
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(5.55)
(5.56)
5.3. Modello parametrico
163
e quindi in definitiva
ϵ = ϵ∞ +
4
∑
i=1
σ = σ0 − ωϵ0
(1 + An ) bn
(1 + An )2 + Bn2
4
∑
i=1
Bn bn
(1 + An )2 + Bn2
(5.57)
(5.58)
In Figura 5.1 sono rappresentati gli andamenti in funzione della frequenza della permittività ϵ e della conducibilità σ per (a) cervello, (b) sangue, (c) osso. Da tali figure si
può osservare che i materiali biologici presentano caratteristiche di dispersione differenti
su un ampio intervallo di frequenze. In particolare, si osserva che la permittività tende
a decrescere di alcuni ordini di grandezza con l’aumentare della frequenza, e che il suo
andamento presenta brusche variazioni localizzate all’interno di particolari intervalli di
frequenza. La conducibilità è invece relativamente bassa e cresce con l’aumentare della
frequenza. Una interpretazione di quest’ultima proprietà può essere data osservando
che il materiale biologico è generalmente composto da una grande percentuale di acqua
contenente ioni (calcio, potassio) in soluzione, nonché molecole neutre molte lunghe, come ad esempio le proteine, aventi alle estremità carica si segno opposto (ioni doppi). Di
conseguenza, la conduzione è dovuta prevalentemente a questi portatori mobili di carica.
E’ da precisare che il numero di ioni in un centimetro cubo di tessuto biologico è molto
minore del numero di elettroni presenti in un centimetro cubo di metallo. Gli ioni biologoci, hanno tra l’altro in valore assoluto la stessa carica di un elettrone (a volte doppia
o tripla) e perciò il campo elettrico esercita su di essi la stessa forza che eserciterebbe su
un elettrone libero. Considerando però che lo ione ha una massa migliaia di volte più
grande di quella di un elettrone, ne risulta che la velocità di moto collettivo acquistata
dagli ioni è molto minore di quella degli elettroni liberi, e perciò anche la conducibilità
è alquanto bassa. In figura 5.2 è rappresentato l’andamento della profondità di penetrazione al variare della frequenza per i tessuti biologici (−−) osso, (· · · ) cervello, (—)
sangue.
L’importanza delle caratteristiche di dispersione della permittività e conducibilità per
la determinazione delle proprietà dielettriche dei tessuti biologici può essere compresa se
si considera il rapporto tra le correnti di spostamento e di conduzione Id /Ic = ωϵ/σ. A
tal proposito, in figura 5.3 sono rappresentati gli andamenti di tale rapporto al variare
della frequenza per osso, cervello e sangue. Si osserva che per frequenze al di sotto
del MHz, tale rapporto è molto basso, anche se la permittività è molto elevata. Di
conseguenza, a bassa frequenza la corrente di conduzione è molto maggiore di quella di
spostamento e perciò il tessuto biologico presenta essenzialmente un comportamento di
natura conduttiva.
La tabella 5.1 contiene i 14 parametri da inserire nel modello parametrico (5.52), che
C. Gabriel e collaboratori hanno ricavato da misure sperimentali fatte su un gran numero
di tessuti biologici.
Ing. Luciano Mescia
5.3. Modello parametrico
164
8
2
10
10
7
10
6
1
10
5
Permittività ε
10
ε
4
σ
10
Conducibilità σeq [S/m]
10
0
10
eq
3
10
2
-1
10
10
1
10
0
10 1
10
-2
2
10
3
10
4
5
10
10
6
10
7
10
Frequenza [Hz]
8
10
9
10
10
10
10
11
10
(a)
4
2
10
10
ε
Conducibilità σeq [S/m]
3
10
1
Permittività ε
10
2
10
σ
0
10
eq
1
10
0
10 1
10
-1
2
10
3
10
4
5
10
10
6
10
7
10
Frequenza [Hz]
8
10
9
10
10
10
10
11
10
(b)
5
1
10
10
4
10
Permittività ε
10
ε
2
10
Conducibilità σeq [S/m]
0
10
3
-1
10
1
10
σ
eq
0
10 1
10
-2
2
10
3
10
4
10
5
6
7
10
10
10
Frequenza [Hz]
8
10
9
10
10
10
10
11
10
(c)
Figura 5.1: Permittività ϵ e conduttività σ al variare della frequenza per (a) cervello, (b) sangue
e (c) osso.
Ing. Luciano Mescia
5.3. Modello parametrico
165
4
10
3
Profondità di penetrazione δ [m]
10
osso
cervello
sangue
2
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
10
1
10
2
10
3
10
4
5
6
7
10
10
10
Frequenza [Hz]
10
8
10
9
10
10
10
11
Figura 5.2: Profondità di penetrazione δ in funzione della frequenza per (−−) osso, (· · · )
cervello, (—) sangue.
4.5
4
3.5
osso
cervello
sangue
ωε /σ
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 1
10
10
2
10
3
10
4
5
6
10
10
10
Frequenza [Hz]
7
10
8
10
9
10
10
10
11
Figura 5.3: Andamento del rapporto ωϵ/σ al variare della frequenza per (−−) osso, (· · · )
cervello, (—) sangue.
Ing. Luciano Mescia
5.4. Effetto Maxwell-Wagner
166
Tabella 5.1: Tabella dei parametri da utilizzare nell’equazione (5.52) per differenti tessuti
biologici.
Tipo tessuto
Aorta
Bladder
Blood
Bone
(Cancellous)
Bone
(Cortical)
Bone marrow
(Infiltrated)
Bone marrow
(Not infiltrated)
Brain
(Grey matter)
Brain
(White matter)
Breast fat
Cartilage
Cerebellum
Cerebrospinal fluid
Cervix
Colon
Cornea
Dura
Eye Tissues
(Sclera)
Flat
(Average infiltrated)
Flat
(Not infiltrated)
Gall bladder
Gall bladder bile
Heart
Kidney
Lens cortex
Lens nucleus
Liver
Lung
(Deflated)
Lung
(Inflated)
Muscle
Nerve
Ovary
Skin
(Dry)
Skin
(Wet)
Small intestine
Spleen
Stomach
Tendon
Testis
Thyroid
Tongue
Trachea
Uterus
Vitreous humor
ϵ∞
b1
τ1
ps
8.842
8.842
8.377
13.263
d1
τ2
ns
0.100
50
3.183
0.100 400 159.155
0.100 5200 132.629
0.220 300
79.577
4.00
2.50
4.00
2.50
40.0
16.0
56.0
18.0
2.50
10.0 13.263 0.200
2.50
9.0
14.469 0.200
b2
180
80
d2
0.250
0.200
0.700
0.007
10
105
0
2 × 104
τ3
µs
159.155
159.155
159.155
159.155
79.577 0.200 0.002
5 × 103
159.155 0.200
0.100
0.100
0.100
0.250
σ0
15.915 0.100 0.100
b3
5
4
10
d3
0.200
0.200
0.200
0.200
1591.549 0.100
3
b4
7
10
107
0
2 × 107
105
τ4
ms
1.592
15.915
15.915
15.915
d4
0.000
0.000
0.000
0.000
15.915 0.000
2 × 10
6
15.915 0.100
2 × 10
6
15.915 0.100
2.50
3.0
7.958 0.200
25
15.915 0.100 0.001
5 × 10
4.00
45.0
7.958 0.100
400
15.915 0.150 0.002
2 × 105
106.103 0.220 4.5 × 107
5.305
0.000
4
7
7.958
0.020
13.260
15.915
5.305
15.915
1.592
1.592
15.915
15.915
15.915
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
4.00
2.50
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
2.50
32.0
7.958 0.100
7.958
0.100 0.002
4 × 10
4
3.0 17.680 0.100
15
63.660 0.100 0.001 5 × 10
38.0 13.263 0.150 2500 144.686 0.150 0.150
105
40.0 7.958 0.100 700
15.915 0.150 0.050 2 × 105
65.0 7.958 0.100
40
1.592 0.000 2.000
0
45.0 7.958 0.100 200
15.915 0.100 0.300 1.5 × 105
50.0 7.958 0.100 3000 159.155 0.200 0.010
105
48.0 7.958 0.100 4000 159.155 0.050 0.400
105
40.0 7.958 0.150 200
7.958 0.100 0.500
104
50.0 7.958 0.100 4000 159.155 0.100 0.500
105
9.0
7.958 0.200
2.50
3.0
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
3.00
4.00
4.00
55.0
66.0
50.0
47.0
42.0
32.0
39.0
45.0
7.579
7.579
7.958
7.958
7.958
8.842
8.842
7.958
2.50
18.0
7.958 0.100
7.958 0.200
0.050
0.050
0.100
0.100
0.100
0.100
0.100
0.100
35
15.915 0.100 0.035 3.3 × 104
15
4
40
50
1200
3500
1500
100
6000
1000
500
15.915 0.100 0.01 3.3 × 10
1.592
1.592
159.155
198.944
79.577
10.610
530.516
159.155
0.000
0.000
0.050
0.220
0.100
0.200
0.200
0.100
0.900
103
1.400
0
0.050 4 × 105
0.050 2.5 × 105
0.300 2 × 105
0.200
103
0.020 5 × 104
0.200 5 × 105
63.662 0.100 0.030 2.5 × 105
6
0.100 7000 353.678 0.100 0.200 1.2 × 10
0.100 500 106.103 0.150 0.006 7 × 104
0.150 400
15.915 0.250 0.300
105
0.000 1100 32.481 0.200 0.000
0
4.00
4.00
4.00
4.00
50.0
26.0
40.0
32.0
7.234
7.958
8.842
7.234
4.00
39.0
7.958 0.100
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
2.50
4.00
4.00
100
79.577 0.000 0.000
3 × 104
50.0 7.958 0.100 10000 159.155 0.100 0.500
48.0 7.958 0.100 2500 63.662 0.150 0.003
60.0 7.958 0.100 2000 79.577 0.100 0.500
42.0 12.243 0.100
60
6.366 0.100 0.250
55.0 7.958 0.100 5000 159.155 0.100 0.400
55.0 7.958 0.100 2500 159.155 0.100 0.500
50.0 7.958 0.100 4000 159.155 0.100 0.250
38.0 7.958 0.100 400
63.662 0.100 0.300
55.0 7.958 0.100 800
31.831 0.100 0.200
65.0 7.234 0.000
30
159.155 0.100 1.500
5
280
5 × 10
2 × 105
105
6 × 104
105
105
105
5 × 104
3 × 105
0
1591.549 0.100
53.052
454.700
318.310
106.103
159.155
106.103
159.155
15.915
159.155
159.155
0.300 3.5 × 10
7
0.100 2 × 10
0.100 4 × 107
0.220 4.5 × 107
0.000
0
0.180 4 × 107
0.200 4 × 107
0.200 4 × 107
0.200
106
0.200 5 × 106
159.155 0.050
107
159.155 0.050
7
159.155
159.155
72.343
79.577
159.155
15.915
22.736
159.155
0.200
104
0.200
0
0.220 2.5 × 107
0.220 3 × 107
0.100 4 × 107
0.200 5 × 103
0.200 3 × 107
0.200
107
159.155 0.200
318.310
15.915
159.155
159.155
1.592
159.155
265.258
159.155
318.310
159.155
159.155
159.155
15.915
159.155
159.155
10
15.915 0.010
4 × 107
7
0.100 2.5 × 10
0.200 4 × 107
0.270 4 × 107
0.200
0
0.160
3 × 104
7
0.200 4 × 10
0.250 5 × 107
0.200 4 × 107
0.220 2 × 107
0.200 4 × 107
0.200 4 × 107
0.200 4 × 107
0.200
106
0.200 3.5 × 107
0.000
0
7.958
0.010
15.915
15.915
4.547
4.547
15.915
15.915
15.915
15.915
0.000
0.200
0.000
0.000
0.000
0.000
0.050
0.000
7.958
0.000
2.274
15.915
15.915
15.915
0.050
0.000
0.000
0.200
1.592
0.200
15.915
6.366
15.915
1.326
15.915
15.915
15.915
15.915
1.061
15.915
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
5.4 Effetto Maxwell-Wagner
In molti sistemi reali e in particolare in sistemi complessi come i biomateriali, le proprietà elettriche oltre a dipendere dai ben noti fenomeni di rilassameno dipolare e di
conducibilità elettrica, sono legate anche a processi di interfaccia come la polarizzazione
di interfaccia o effetto Maxwell-Wagner. Tale fenomeno si instaura quando sono presenti
delle transizioni tra due materiali aventi differenti proprietà elettriche.
Ing. Luciano Mescia
5.4. Effetto Maxwell-Wagner
167
0
ε1, σ1
d1
ε2, σ2
d2
d
x
C1
R1
C2
R2
Figura 5.4: Circuito equivalente dell’effetto Maxwell-Wagner
Come detto in precedenza, la polarizzazione di interfaccia è generalmente prodotta
dalla separazione di cariche mobili positive e negative indotta dall’applicazione di un
campo elettrico esterno. Tale fenomeno, ha come conseguenza la formazione di distinte
regioni di carica spaziale positiva e negativa o all’interno di un materiale non omogeneo
o all’interfaccia tra due materiali omogenei differenti. L’effetto Maxwell-Wagner è un
processo di rilassamento di interfaccia che si instaura quando la corrente elettrica deve attraversare un’interfaccia tra due differenti dielettrici; esso è, pertanto, una conseguenza
delle differenti condizioni al contorno del campo elettrico sull’interfaccia di separazione. Tale fenomeno, è generalmente la causa dominante delle proprietà dielettriche di
emulsioni e colloidi.
Lo studio della polarizzazione di interfaccia è parte di una teoria generale che analizza
le proprietà di trasporto all’interno di miscele, e perciò la valutazione delle proprietà
dielettriche della miscela è strettamente legata al modo con cui si ha la miscelazione. Di
conseguenza, è alquanto difficile derivare le equazioni generali che descrivono la dispersione dielettrica prodotta da tale eterogeneità. Per semplificare il problema, è comunque
possibile considerare il modello a doppio strato che considera un sistema composto da un
condensatore a faccie piane parallele avente tra le sue armature due differenti materiali
dielettrici omogenei. In figura 5.4 è rappresentato il circuito equivalente. I parametri C1 , C2 , R1 , R2 dipendono dalle caratteristiche fisiche (ϵ1 , ϵ2 ), (σ1 , σ2 ) e geometriche
(d1 , d2 ) dei dielettrici nonché dalla frequenza del campo elettrico applicato.
Inizialmente si ipotizzi di applicare alle armature del condensatore un potenziale costante pari a V . Essendo il condensatore a faccie piane e parallele infinitamente estese
lungo una direzione, il potenziale elettrostatico ϕ(x) soddisfa l’equazione di Laplace
d2 ϕ(x)
=0
dx2
che ha come soluzione
ϕi (x) = ai + bi x
i = 1, 2
(5.59)
e da cui si ricava l’espressione del campo elettrico
Ei (x) = −
Ing. Luciano Mescia
dϕ(x)
= −bi
dx
i = 1, 2
(5.60)
5.4. Effetto Maxwell-Wagner
168
Dovendo essere soddisfatta per ogni strato la legge di Ohm, si ricava
J = σ1 E1 = σ2 E2
da cui si ottiene la relazione
b2 =
σ1
b1
σ2
(5.61)
Inoltre, in x = 0 il potenziale deve soddisfare la relazione ϕ1 (0) = V e quindi dalla (5.59)
a1 = V
(5.62)
Ma in x = d il potenziale deve soddisfare la relazione ϕ2 (d) = 0 e quindi, sempre dalla
(5.59), si ricava a2 = −b2 d da cui, tramite la (5.61), si ottiene
a2 = −d
σ1
b1
σ2
(5.63)
Infine, in x = d1 deve essere verificata la condizione di continuità del potenziale ϕ1 (d1 ) =
ϕ2 (d1 ), e cioé
a1 + b1 d1 = a2 + b2 d1
da cui utilizzando le (5.61)–(5.63) si ottiene in definitiva
[
]
σ1
σ1
σ1
(d − d1 ) + d1 b1
V = −d1 b1 − d b1 + d1 b1 = −
σ2
σ2
σ2
(
)
σ1
=−
d2 + d1 b 1
σ2
e di conseguenza
σ2
V
σ 1 d2 + σ 2 d1
In virtù di quanto ottenuto, l’induzione elettrica in ogni dielettrico è
b1 = −
(5.64)
D1 = ϵ1 E1 = −ϵ1 b1
D2 = ϵ2 E2 = −ϵ2 b2 = −ϵ2
σ1
b1
σ2
e quindi
(
)
σ1
σ1
b1
D2 − D1 = σl = −ϵ2 b1 + ϵ1 b1 = ϵ1 − ϵ2
σ2
σ2
(
)
σ 2 ϵ1 − σ 1 ϵ2
σ2
=−
V
σ2
σ1 d2 + σ2 d1
(
)
σ1 ϵ2 − σ2 ϵ1
=
V
σ1 d2 + σ2 d1
(5.65)
Dalla (5.65) si osserva che se σ1 ϵ2 = σ2 ϵ1 si ottiene D1 = D2 e perciò l’interfaccia ha
una densità di cariche libere nulla. Quando invece σ1 ϵ2 ̸= σ2 ϵ1 l’interfaccia è caricata
da una carica libera con densità superficiale data dalla (5.65).
Ing. Luciano Mescia
5.4. Effetto Maxwell-Wagner
169
Applicando un campo elettrico alternato e ipotizzando che le caratteristiche elettriche
dei materiali siano indipendenti dalla frequenza, l’ammettenza del circuito equivalente
può essere espressa dalla relazione
Y =
Y1 Y2
Y1 + Y2
(5.66)
dove
1
+ jωC1
R1
1
Y2 =
+ jωC2
R2
Y1 =
(5.67)
(5.68)
Sostituendo (5.67) e (5.68) nella (5.66) si ricava
Y =
(1 + jωτ1 ) (1 + jωτ2 )
R1 + R2 + jωR1 R2 (C1 + C2 )
(5.69)
dove
τ1 = R1 C1
(5.70)
τ2 = R2 C2
(5.71)
Ponendo inoltre
R1 R2 (C1 + C2 )
R1 + R2
e sostituendo la (5.72) nella (5.69) si ricava
τ=
1
(1 + jωτ1 ) (1 + jωτ2 )
R1 + R2
1 + jωτ
)]
[
]
[
(
2
1 − ω τ1 τ2 + ω 2 τ (τ1 + τ2 ) + j ω (τ1 + τ2 ) − ωτ 1 − ω 2 τ1 τ2
1
=
R1 + R2
1 + ω2τ 2
(5.72)
Y =
(5.73)
La capacità per unità di superficie di un condensatore a faccie piane e parallele infinitamente estese, avente tra le sue armature un dielettrico con perdite è data dalla
relazione
)
(
)
ϵ0 ( ′
ϵ − jϵ′′ = C0 ϵ′ − jϵ′′
C=
d
dove d è la distanza tra le armature e C0 = ϵ0 /d è la capatità dello stesso condensatore
avente il vuoto come dielettrico. L’ammettenza del condensatore è quindi esprimibile
per mezzo della relazione
(
)
Y = jωC0 ϵ′ − jϵ′′
(5.74)
e confrontando la (5.74) con la (5.73) si ottiene
[
(
)]
2τ τ
(τ
+
τ
)
−
τ
1
−
ω
1
1
2
1
2
ϵ′ =
C0 (R1 + R2 )
1 + ω2τ 2
1
1 − ω 2 τ1 τ2 + ω 2 τ (τ1 + τ2 )
ϵ′′ =
ωC0 (R1 + R2 )
1 + ω2τ 2
Ing. Luciano Mescia
(5.75)
(5.76)
5.4. Effetto Maxwell-Wagner
170
Quando ω = 0 la (5.75) diventa
τ1 + τ2 − τ
C0 (R1 + R2 )
(5.77)
τ1 τ2
1
τ C0 (R1 + R2 )
(5.78)
ϵ′ = ϵs =
mentre quando ω = ∞ si ottiene
ϵ′ = ϵ∞ =
Sostituendo le (5.77) e (5.78) nella (5.75) si ha
ϵ∞ ω 2 τ 2
ϵ∞
ϵ∞
ϵs
+
−
+
2
2
2
2
2
2
1+ω τ
1+ω τ
1+ω τ
1 + ω2τ 2
ϵs − ϵ∞
= ϵ∞ +
1 + ω2τ 2
ϵ′ =
(5.79)
mentre sostituendo le (5.77) e (5.78) nella (5.76) si ottiene
1
1 − ω 2 τ ϵ∞ C0 (R1 + R2 ) + ω 2 τ [τ + ϵs C0 (R1 + R2 )]
ωC0 (R1 + R2 )
1 + ω2τ 2
1 + ω 2 τ C0 (R1 + R2 ) (ϵs − ϵ∞ ) + ω 2 τ 2
1
=
ωC0 (R1 + R2 )
1 + ω2τ 2
[
]
2
1
ω τ C0 (R1 + R2 ) (ϵs − ϵ∞ )
=
1+
ωC0 (R1 + R2 )
1 + ω2τ 2
ωτ (ϵs − ϵ∞ )
1
+
=
ωC0 (R1 + R2 )
1 + ω2τ 2
ϵ′′ =
(5.80)
Dalla (5.79) e la (5.80) si vede che le caratteristiche di dispersione della polarizzazione
di interfaccia sono formalmente identiche a quelle della dispersione dipolare, in quando
descritte da una equazione di Debye. Pertanto, è difficile discriminare da un punto di
vista sperimentale i due fenomeni. In particolare, potrebbero insorgere dei problemi nel
momento in cui i dati sperimentali devono essere utilizzati per effettuare considerazioni
sulla struttura molecolare e l’interazione tra ioni e molecole in vari materiali.
Per il condensatore a faccie piane parallele con dielettrico reale si ha
d1
σ1
d2
R2 =
σ2
ϵ0 ϵ1
C1 =
d1
ϵ0 ϵ2
C2 =
d2
R1 =
Ing. Luciano Mescia
5.4. Effetto Maxwell-Wagner
171
che sostituite nelle (5.70)–(5.72) forniscono le relazioni
ϵ1
σ1
ϵ2
τ2 = ϵ0
σ2
ϵ1 d2 + ϵ2 d1
τ = ϵ0
σ1 d2 + σ2 d1
τ1 = ϵ0
(5.81)
(5.82)
(5.83)
Infine, dalla sostituzione delle (5.81)–(5.83) nella (5.77) e (5.78) si ricava
(
)
(d1 + d2 ) σ12 ϵ2 d2 + σ22 ϵ1 d1
ϵs =
(σ1 d2 + σ2 d1 )2
d1 + d2
ϵ∞ =
d1 d2
+
ϵ1
ϵ2
(5.84)
(5.85)
Esprimendo invece l’ammettenza in una forma simile alle (5.67) e (5.68)
Y =
ϵ0 ϵ
σ
+ jω
d
d
(5.86)
e confrontando la (5.86) con la (5.74), si ottiene
σ = ωdϵ′′ C0
da cui
d
1 − ω 2 τ1 τ2 + ω 2 τ (τ1 + τ2 )
σ=
=
R1 + R2
1 + ω2τ 2
(
σ1 σ2 d
σ1 d2 + σ2 d1
)
1 − ω 2 τ1 τ2 + ω 2 τ (τ1 + τ2 )
1 + ω2τ 2
(5.87)
Quando ω = 0 la (5.87) diventa
σ(0) = σs =
σ1 σ2 (d1 + d2 )
σ1 d2 + σ2 d1
(5.88)
mentre quando ω = ∞ si ottiene
σ(∞) = σ∞ = σs
τ (τ1 + τ2 ) − τ1 τ2
d1 + d2
=(
)
τ2
d1 d2 2
+
ϵ1
ϵ2
(
d1 σ1 d2 σ2
+ 2
ϵ21
ϵ2
)
(5.89)
Pertanto sostituendo (5.88) e (5.89) in (5.87) si ricava in definitiva
σ(ω) =
Ing. Luciano Mescia
σs + σ∞ τ 2 ω 2
1 + ω2τ 2
(5.90)
5.5. Effetto di rilassamento dei controioni
172
5.5 Effetto di rilassamento dei controioni
Una classe di fenomeni elettrici molto importante per la comprensione delle proprietà
dielettriche dei tessuti biologici a bassa frequenza è quella che comprende la diffusione
degli ioni situati nelle immediate vicinanze di superfici cariche (diffusione di controione) e la conseguente formazione di un controione o doppio strato elettrico adiacente a
tali superfici. Gli effetti di polarizzazione di controione sono stati osservati in svariati
sistemi contenenti superfici cariche: emulsioni, sospensioni di sfere di polistirene cariche,
microorganismi e lunghe catene macromolecolari come il DNA.
Una semplice ma efficace interpretazione fisica del fenomeno di polarizzazione di controione fa riferimento al moto di uno ione all’interno dell’elettrolita che si trova nelle
immediate vicinanze della particella. In particolare, ioni aventi carica dello stesso segno
di quella del controione possono penetrare nello strato di controione e trasferire velocemente la loro carica sul lato opposto della particella. In questo caso, la particella si
comporta come un conduttore. Al contrario, quando gli ioni hanno carica di segno opposto a quella del controione sono costretti a muoversi intorno alla particella all’interno
dell’elettrolita che circonda la particella stessa. In questo caso, la particella agisce come
un isolante. In questo modo, una nuvola di cariche si può accumulare nell’elettrolita
nelle vicinanze della particella, generando di conseguenza un incremento del momento
di dipolo indotto o equivalentemente della capacità del sistema, che a sua volta da luogo
ad una elevata dispersione della permittività della sospensione.
I fenomeni che regolano la diffusione di controione sono molto complicati da analizzare
in quanto, coinvolgendo contemporaneamente l’accoppiamento di meccanismi elettrodinamici e idrodinamici, richiedono la risoluzione di equazioni non lineari. Un primo
modello approssimato proposto da Schwarz considera il caso di una sfera macroscopica
di raggio R avente una densità di carica superficiale di controione δ0 in cui lo spessore
del doppio strato elettrico è molto minore del diametro della particella. Nel modello, la
variazione in frequenza della conducibilità superficiale è valutata risolvendo l’equazione
di elettrodiffusione.
In generale, la distribuzione di ioni nelle vicinanze di interfaccie cariche è determinata sia dai gradienti di concentrazione sia dal campo elettrico. A equilibrio raggiunto,
gli ioni si distribuiscono in maniera opportuna all’interno della soluzione elettrolitica.
Applicando un campo elettrico esterno il sistema viene polarizzato e i controioni si ridispongono sulla particella. Il ristabilirsi dei controioni, quando si cessa l’applicazione del
campo elettrico, causa una diffusione controllata il cui effetto è una dispersione a bassa
frequenza della permittività data dalla relazione
ϵ(ω) = ϵb +
1
e20 δ02 R
ϵ0 KT 1 + jωτ
(5.91)
dove ϵb è la permittività del materiale che ospita le particelle, e0 è la carica del controione
e K è la costante di Boltzman. Il tempo di rilassamento è invece fornito dalla relazione
τ=
Ing. Luciano Mescia
e0 R 2
2µKT
(5.92)
5.6. Effetto della conducibilità superficiale
173
dove µ è la mobilità superficiale dei controioni.
Recentemente, sono stati proposti nuovi modelli matematici in cui la distribuzione
degli ioni nel sistema è causata sia dall’applicazione del campo elettrico sia dal processo
di diffusione. In particolare, il comportamento dinamico è governato da un sistema di
equazioni differenziali accoppiate per la concentrazione ionica e la densità di corrente, e
dalla loro soluzione è possibile ricavare una equazione di dispersione della permittività
che è asimmetrica a bassa frequenza. Più precisamente, la costante di tempo è esprimibile
tramite l’equazione
R2
τ=
(5.93)
D
dove D è il coefficiente di diffusione degli ioni nell’elettrolita. Inoltre, a bassa frequenza
è possibile definire un parametro χ dato da
χ2 ≈
2σ
ϵ0 ϵD
(5.94)
dove σ e ϵ sono rispettivamente la conducibilità e permittività dell’elettrolita. Infine,
per particelle caratterizzate da una elevata conducibilità superficiale, l’ampiezza della
dispersione è approssimativamente
9χ2 R2
ϵs − ϵ∞
=
p ϵm
16
(5.95)
In generale, data la complessità del tessuto biologico è difficile applicare direttamente
tale teoria. E’ stato comunque verificato che le superfici di membrane e proteine sono
fortemente caricate e perciò se ne deduce che la polarizzazione di controione è predominante. Infine, tali teorie conducono a curve di permittività molto lontane da quelle
relative alla semplice sfera dielettrica carica all’interno di un elettrolita.
5.6 Effetto della conducibilità superficiale
Un ulteriore meccanismo di rilassamento dielettrico che può diventare significativo a
livello cellulare è legato alla dipendenza dalla frequenza della conducibilità superficiale.
Questo problema è stato ampiamente studiato da Schwan e Chizmadzhey e può essere
trattato analiticamente per mezzo della relazione
∗
∗
σcell
= σ ∗ + 2σshell
Y∗
d
= σ ∗ + 2 shell
R
R
(5.96)
∗
= Gshell + jωCshell è l’ammettenza superficiale, e Gshell e Cshell sono rispetdove Yshell
tivamente la conduttanza e la capacità superficiale. E’ quindi evidente che ogni genere
∗
si ripercuote sulla dispersione della permittività effettiva delle
di dispersione in Yshell
cellula e della sospensione.
Tipicamente, la densità di carica superficiale delle membrane cellulari è abbastanza
alta e questo ha come conseguenza una forte variazione in frequenza dell’ammettenza
Ing. Luciano Mescia
5.7. Dispersione dielettrica dei tessuti biologici
174
superficiale. In definitiva, alla membrana cellulare possono essere associate due tipi di dispersione: una causata dalla variazione della capacità di membrana e l’altra associata alla
dipendenza dalla frequenza dell’ammettenza di superficie. Inoltre, il contributo dovuto
alla conduttanza superficiale è molto più pronunciato in cellule di piccole dimensioni.
5.7 Dispersione dielettrica dei tessuti biologici
Le proprietà di dispersione dei tessuti biologici sono molto importanti in quanto consentono la valutazione del percorso del flusso di corrente all’interno del corpo biologico. Inoltre, esse assumuno un ruolo di fondamentale importanza nello studio degli effetti biologici
dei campi e.m, nella misura dei parametri fisiologici, nel campo dell’elettrocardiografia,
della contrazione muscolare e trasmissione nervosa.
Un tessuto biologico è in generale un materiale eterogeneo composto da acqua, molecole organiche dissolte, macromolecole, ioni e materiale insolubile. I vari costituenti sono
inoltre organizzati in strutture cellulari e subcellulari per formare elementi macroscopici,
tessuti molli e tessuti duri. Di conseguenza, le proprietà elettriche dei tessuti biologici
sono determinate dal comportamento elettro-chimico delle cellule, dalla struttura cellulare, dal fluido intracellulare in cui le cellule sono sospese, dal materiale all’interno della
cellula compreso il nucleo.
Come è stato più volte ribadito, i dipoli intergiscono con il campo elettrico. Non
bisogna però trascurare che anche gli ioni possono interagire con il campo elettrico e
contribuire di conseguenza alla conduzione ionica e agli effetti di polarizzazione. Infatti,
il moto degli ioni, oltre a dar luogo a una corrente di conduzione, può attivare meccanismi di polarizzazione tramite l’accumulo di carica alle interfaccie strutturali esistenti ai
differenti livelli di organizzazione. Pertanto, le proprietà di dispersione possono essere
interpretate facendo riferimento ai fenomeni fisici di orientamento dei dipoli e del moto
dei portatori di carica.
In generale, l’attivazione o meno di un certo fenomeno di spostamento di carica ad
una certa frequenza dipende dal suo tempo di rilassamento, e cioè dalla facilità con cui i
dipoli possono invertire la loro orientazione quando il campo si inverte. Infatti, quando la
frequenza del campo applicato supera quella di rilassamento di un particolare processo di
polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi abbastanza velocemente e quel particolare processo si disattiva. Alle basse frequenze, per esempio, i bipoli riescono facilmente
a seguire le variazioni temporali del campo elettrico applicato, ed inoltre i portatori di
carica, potendo percorrere lunghe distanze, possono essere intrappolati con maggiore
probabilità in corrispondenza di difetti e interfaccie. Di conseguenza, in tale regime di
funzionamento la permittività è abbastanza elevata e la conducibilità è relativamente
bassa. Man mano che la frequenza aumenta alcuni meccanismi di polarizzazione non
permettono un’inversione sufficientemente rapida nell’orientazione dei dipoli e di conseguenza la corrispondente polarizzazione tende a disattivarsi. I portatori di carica hanno,
al contrario, una minore probabilità di essere intrappolati visto che si riduce la distanza
che essi percorrono in metà ciclo. Pertanto, all’aumentare della frequenza la permittività
si riduce mentre la conducibilità aumenta.
Ing. Luciano Mescia
5.7. Dispersione dielettrica dei tessuti biologici
175
8
2
10
10
7
10
Polarizzazione di interfaccia
6
α
1
10
Permittività ε
5
10
4
10
Diffusione di controione
+ + +++ +
3
+
10
+++ ++
β
0
10
Conduttività σ [S/m]
10
2
10
γ
1
Polarizzazione
per orientamento
H2O
10
0
10 1
10
-1
2
10
3
10
4
10
5
10
6
7
8
10
10
10
Frequenza [Hz]
9
10
10
10
11
10
10
12
10
Figura 5.5: Principali fenomeni di polarizzazione dei tessuti biologici
Nei materiali eterogenei come i tessuti biologici è possibile osservare differenti tipologie
di dispersione. Un tipico andamento della costante dielettrica di un tessuto biologico
al variare della frequenza è riportato nella figura 5.5. Da una analisi di tale figura, è
possibile identificare tre regioni di rapida discesa, corrispondenti alla disattivazione di un
mecccanismo di dispersione, contraddistinte come dispersione α, β e γ. Si osserva inoltre
che le corrispondenti frequenze di rilassamento sono rispettivamente dell’ordine di alcuni
kHz, centinaia di kHz e alcuni GHz. Inoltre, come è evidente nella figura 5.1(a), per
alcuni tessuti le regioni di dispersione si sovrappongono tra loro e danno come risultato
una curva di permittività continua che decresce monotonicamente all’aumentare della
frequenza.
Dispersione α. La dispersione α è predominante per frequenze minori di 10 kHz. Il
meccanismo che rilassa in questa zona non è stato ancora ben chiarito, però i valori estremamente alti della permittività potrebbero essere interpretati come il risultato
di fenomeni di intrappolamento di cariche anzicché di un orientamento dei bipoli. Di
conseguenza, c’è chi ipotizza che questo tipo di dispersione sia in parte causato dagli
effetti di diffusione di controione e in particolare che essa possa essere associata alla diffusione di ioni attraverso lo strato elettrico superficiale di membrane o di grosse
molecole, oppure alla migrazione di ioni attraverso fori della membrana cellulare. Si
ipotizza inoltre che altri fenomeni potrebbero contribuire, in modo secondario, alla dispersione α ed in particolare, la conduttanza di membrana e la dipendenza in frequenza
dell’impedenza di membrana. Le incertezze nelle interpretazioni sono comunque giustificate dall’insufficiente disponibilità, in questo intervallo di frequenze, di dati dielettrici
accurati.
Ing. Luciano Mescia
5.7. Dispersione dielettrica dei tessuti biologici
176
La dispersione α è rilevante per quanto riguarda la permittività ma è scarsamente
evidente nella curva di conducibilità. Infatti, assumendo un aumento di permittività di
106 e una frequenza di rilassamento di 100 Hz, le relazioni di Kramers–Kronig predicono un incremento di conduttività di circa 0.005 S/m. Da un confronto, risulta che la
conducibilità ionica di molti tessuti biologici è circa 200 volte più alta. Di conseguenza,
a bassa frequenza i tessuti biologici, a causa degli elevati valori di permittività, possono
essere assimilati a un materiale puramente resistivo. In ogni caso è importante precisare
che non esiste ancora un quadro chiaro del significato biologico della dispersione α.
Dispersione β. La dispersione β è presente alle radiofrequenze (0.1 ÷ 10 MHz) e trae
origine dal fenomeno di polarizzazione di interfaccia in corrispondenza delle membrane
cellulari: esse agiscono come una barriera nei confronti del trasporto passivo di ioni tra
l’interno e l’esterno del mezzo cellulare. Generalmente, la membrana cellulare può essere modellata per mezzo di un condensatore e un resistore collegati in parallelo. Con
questo modello, la polarizzazione β si verifica nell’intervallo di frequenze in corrispondenza delle quali la reattanza della capacità di membrana cortocircuita la resistenza di
membrana e di conseguenza il campo elettrico esterno inizia a penetrare all’interno della
cellula. Infatti, è stato stabilito sperimentalmente che un danneggiamento della membrana cellulare cambia le caratteristiche della dispersione β. Inoltre, numerose applicazioni
biomediche sono basate sulla variazione dei parametri che regolano tale dispersione come
conseguenza della variazione della fisiologia e morfologia cellulare. Ulteriori contributi a questo tipo di dispersione possono essere introdotti dalla orientazione dipolare di
proteine e altre macromolecole organiche.
Per avere un ordine di grandezza degli effetti dovuti a questo tipo di dispersione, basta
considerare che il sangue ha un incremento di permittività pari a 2000 e una frequenza
di rilassamento β di 3 MHz; il relativo incremento di conduttività è di circa 0.4 S/m. Per
altri tessuti biologici, la variazione totale di permittività, rispetto a quella dello spazio
libero, associata alla dispersione β, è 102 ± 104 e la frequenza di rilassamento di circa
500 kHz. Le variazioni rispetto a quelle del sangue sono da atttribuire alla maggiore
dimensione delle cellule dei tessuti biologici.
Dispersione γ. La dispersione γ è causata principalmente dagli elettroliti intra–cellulari
di cui l’acqua costituisce circa l’80% in volume. Di conseguenza, essa è legata alle
proprietà di polarizzazione del grosso bipolo permanente di cui è dotato la molecola
di acqua. La dispersione γ è caratteristica dell’intervallo di frequenza delle microonde
(frequenze maggiori di 1 GHz) e ha una frequenza centrale intorno ai 25 GHz. Tale
dispersione, induce un incremento di permittività di 50 e una frequenza di rilassamento
di 25 GHz per un aumento totale di conducibilità di circa 70 S/m.
Dispersione δ. I tessuti e altri materiali biologici possono presentare anche una piccola
dispersione tra 0.1 e 3 GHz che è indicata come dispersione δ. I meccanismi responsabili
di questo tipo di fenomeno sono il rilassamento rotazionale dell’acqua legata con la
superficie delle proteine (che ha una frequenza di rilassamento da 50 a 100 volte minore
Ing. Luciano Mescia
5.7. Dispersione dielettrica dei tessuti biologici
177
di quella dell’acqua libera), il rilassamento rotazionale degli amminoacidi polari, l’effetto
Maxwell-Wagner e la diffusione di controione in corrispondenza di piccole regioni di carica
superficiale. L’assenza di un meccanismo dominante rende difficoltosa l’interpretazione
di questa regione di dispersione e conduce ad una larga dispersione dielettrica.
Ing. Luciano Mescia