Potenziale elettrico

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Elaborato il 27/10/2003 alle ore 16.12.28, salvato il 27/10/03 0.02
Creato il 12/12/2001 17.25.00
stampato il 27/10/2003 16.12.00
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Web: http://digilander.iol.it/profzucchini
Potenziale elettrico
Possiamo descrivere ciò che accade intorno ad un corpo carico non solo attraverso il campo elettrico ma anche
con una nuova grandezza scalare chiamata Potenziale Elettrico.
Differenza di potenziale elettrico
Considero due punti A e B in una zona in cui è presente campo elettrico.
Muoviamo una carica q0 da A e B mantenendola in equilibrio, e misuriamo il lavoro W AB che deve essere
fatto dall'agente esterno che muove la carica contro il campo elettrico.
La differenza di potenziale elettrico è definita da
VB − V A =
W AB
q0
II lavoro W AB può essere (a) positivo, (b) negativo, o (c) nullo. In questi casi il potenziale elettrico in B sarà (a)
più alto, (b) più basso, o (c) lo stesso che in A.
Nel sistema SI l'unità di differenza di potenziale è il joule/coulomb. Questa combinazione si incontra così
spesso che per rappresentarla si usa un'unità speciale, il volt (simbolo V), cioè
1 volt =
1 joule
1 coulomb
Generalmente il punto A è scelto a una grande distanza da tutte le cariche (rigorosamente infinita), ed al
potenziale elettrico V A viene attribuito arbitrariamente il valore zero. Questo ci permette di definire il
potenziale elettrico in un punto. Ponendo V A = 0 volt si ottiene
VB =
W∞B
q0
dove W∞B è il lavoro che un agente esterno deve compiere per muovere la carica di prova q0 dall'infinito fino
al punto B.
La scelta di porre V A = 0 volt è arbitraria ma ininfluente, essendo importanti le differenze di potenziale e non il
suo valore in assoluto; come esempio si può ricordare l’energia potenziale gravitazionale: non importa da dove
si misurano le altezze (dove si pone lo 0) ma quali variazioni d’altezza subisce il corpo studiato.
Ricordando le ipotesi fatte sulla posizione
di riferimento, vicino a una carica positiva
isolata V è positivo perché un agente
esterno deve eseguire lavoro positivo per
spingere una carica (positiva) dall'infinito
al punto in questione come si vede dalla
r r
figura: volendo andare dall’infinito fino ad un punto prossimo alla carica, F e s oltre che collineari hanno
anche lo stesso verso e quindi W∞B > 0 .
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Similmente, il potenziale vicino a una carica negativa isolata è negativo, perché un agente esterno deve
esercitare una forza frenante su una carica di prova (positiva) se questa giunge dall'infinito (ossia deve compiere
un lavoro negativo su essa) come si vede dalla figura: volendo andare dall’infinito fino ad un punto prossimo
r r
alla carica, F e s sono collineari ma hanno verso
opposto e quindi W∞B < 0 .
Il potenziale elettrico è scalare perché W∞B e q0 in quella
equazione sono scalari.
Sia W∞B che VB sono indipendenti dal cammino seguito nel muovere la carica di prova dall’infinito al punto B.
Se così non fosse, il punto B non avrebbe un potenziale elettrico unico e il concetto di potenziale avrebbe una
utilità limitata.
Le linee del campo elettrico risultano sempre perpendicolari alle superfici equipotenzoli.
Lo studio del potenziale elettrico nel caso più semplice conduce al calcolo del potenziale generato da una carica
puntiforme.
Dalla definizione di potenziale si ha VB − V A =
B r
B r
r
r
W AB
, ma W AB = ∫ F ⋅ dl = − q0 ∫ E ⋅ dl quindi
q0
A
A
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r r
q0 ∫ E ⋅ dl
B
VB − V A =
infine V =
W∞B
=−
q0
B r
r
q0 ∫ E ⋅ dl
∞
q0
W AB
=−
q0
A
q0
B r
r
= − ∫ E ⋅ dl
B r
r
r
= − ∫ E ⋅ dl da cui, sostituendo E (r ) =
∞
V (r ) =
Per un sistema di cariche si avrà V (r ) = ∑Vn =
1
4πε 0
A
1
q
e integrando si ha
4πε 0 r 2
1
q
4πε 0 r
qn
∑r
n
r
La relazione precedente contenente l’integrale fornisce un metodo per la valutazione di V noto E
Derivazione del campo elettrico dal potenziale
B r
r
Abbiamo già visto la definizione di potenziale elettrico dato dalla formula VB − V A = − ∫ E ⋅ dl che ci indica
A
r r
come si possa calcolare il campo scalare potenziale V noto il campo vettoriale E (r ) .
r r
E’ possibile effettuare il passaggio inverso, ovvero calcolare il campo vettoriale E (r ) noto il potenziale V.
Consideriamo una coppia di superfici equipotenziali molto vicine in valore fra loro, di cui si conosca i valori
V A e VB ; potremo scrivere anche ∆V = VB − V A e quindi VB = V A + ∆V .
Il campo elettrico sarà disposto perpendicolarmente alle superfici, e questo ci da già una prima informazione sul
vettore: la direzione; il verso andrà da valori di potenziale alti a valori di potenziale più bassi.
Per quanto riguarda il modulo del vettore si deve considerare che dalla definizione di potenziale :
r r
VB − V A = ∆V = − ∫ E ⋅ dl da cui considerando
B
A
r r
r r
E (r ) = costante si avrà ∆V = − E ⋅ ∆l da cui
∆V = − E∆l cosα essendo l’angolo α compreso fra il
campo elettrico e il percorso d’integrazione.
Se scelgo il percorso d’integrazione nella direzione del
campo (che è anche la più breve per passare da una
superficie all’altra, essendo il campo elettrico normale
alle superfici equipotenziali) si avrà cosα = 1 e quindi
semplificando E = −
∆V
∆V
esprime la derivata direzionale che fornisce il campo nella
mentre E cos α = −
∆l
∆l
direzione del percorso di integrazione ∆l .
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r
N.B. Nella figura del libro s PQ è il percorso qualsiasi formante l’angolo α compreso fra il campo elettrico e il
r
r
percorso d’integrazione; quando α = 0 s PQ = ∆s
Se il potenziale è dato in funzione delle coordinate x,y,z, le componenti del campo elettrico sono calcolabili con
le derivate parziali
Ex = −
∂V
∂x
Ey = −
∂V
∂y
Ez = −
∂V
∂z
Più in generale il campo elettrico potrà essere rappresentato utilizzando un operatore particolare, chiamato
NABLA
∇=
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ
i+
j+ k
∂z
∂x
∂y
da cui
r
∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ
k
j−
i−
E = −∇V = −
∂z
∂x
∂y
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