Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali

Quaderni di “Complementi di
Scienza delle Costruzioni”
- Ingegneria Meccanica Appunti dalle lezioni a cura di Stella Brach
Anno Accademico 2010 / 2011
3. Cavi e stralli elastici per
applicazioni strutturali
Università di Roma “Tor Vergata” – Ad uso esclusivo degli studenti – Giuseppe Vairo
3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali
2
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AVVERTENZA
Le pagine che seguono contengono la copia degli appunti dalle lezioni della
studentessa Stella Brach e si riferiscono al corso da 6 crediti formativi di
“Complementi di Scienza delle Costruzioni (Ing. Meccanica)”, impartito nell’anno
accademico 2010/2011 presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di
Roma “Tor Vergata”.
Tali note sono da intendersi esclusivamente ad uso degli allievi frequentanti il corso
e non debbono a nessun titolo essere destinati a copia o riproduzione per usi
commerciali.
Data la natura personale ed il carattere proprio di trascrizioni dalle lezioni sono
inevitabilmente presenti errori ed imprecisioni. Si pregano pertanto gli allievi di
volerci segnalare entrambi, nonché di indicarci quei passaggi che non risultassero
comprensibili ad una prima lettura.
dott. ing. Giuseppe Vairo
Appunti dalle lezioni – A.A. 2010/2011
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cos
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cost
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cosh
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2 cos
10
tg
2cos
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Δℓ
Δ
ℓ
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E
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Esercitazione proposta n. 1
Progetto dei cavi di sostegno del braccio di una gru
Si consideri il braccio di una gru, assimilabile in prima approssimazione ad una trave di lunghezza
, la cui sezione retta sia caratterizzata dall’inerzia di figura IG rispetto all’asse x in figura. Il
braccio si assuma incernierato ad una torretta rigida di altezza e sorretto mediante due cavi e , fissati
al punto P (fisso) della torretta secondo lo schema indicato nella figura che segue.
P
A
z
B
y
C
D
Si assuma come condizione di progetto che nella configurazione di equilibrio in presenza dei soli pesi propri
(carichi morti), le sezioni rette A,B e C del braccio siano allineate lungo la direzione orizzontale z.
Si progettino i cavi di sostegno considerando come carico vivo una portata massima della struttura
applicata in D pari a Q. Sotto tale condizione, si verifichi che la freccia in D non superi il valore limite
funzionale
/20. Si preveda inoltre che sui cavi possa formarsi, per effetto della
variazione termica uniformemente distribuita Δt, uno strato uniforme di ghiaccio di spessore pari a rg. Si
assuma che il materiale costituente i cavi sia lo stesso per il braccio e che per quest’ultimo la variazione
termica non induca effetti significativi. La tabella che segue riassume i dati del problema.
Braccio gru
8
3
Cavi
250
10 °
3
20°
10
200
7830
Ghiaccio
/
0.2 /
3
0.9 · 10
/
1.5
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Schema di soluzione
Dimensionamento preliminare dei cavi sotto i carichi morti
Si sceglie di dimensionare i cavi in modo che sotto l’azione del solo peso proprio i valori di tensione media
siano al massimo pari alla metà della tensione ammissibile. Dette
e
le forze lungo corda dei due cavi
ed indicando con il pedice 0 le grandezze relative alla configurazione di equilibrio sotto i carichi morti, si
prescrive pertanto:
2
2
ed
è possibile dimensionare in modo preliminare le sezioni resistenti dei cavi.
Note quindi le forze
Dette forze rappresentano le reazioni vincolari dei pendoli non cedevoli (corrispondenti ai due cavi nella
configurazione di equilibrio sotto carichi morti) e possono essere ottenute risolvendo la struttura
rappresentata in figura, avente grado di iperstaticità pari a 1:
A
C
B
D
Com’è noto, in una struttura avente un grado di iperstaticità pari ad esistono ∞ soluzioni equilibrate, fra
le quali è possibile ricavare l’unica anche congruente imponendo equazioni di congruenza.
Si propone di risolvere l’unico grado di iperstaticità caratterizzante la struttura in esame utilizzando il
Teorema di Castigliano. A questo proposito si fa presente che l’equazione di congruenza è scritta in
relazione alla trave, dovendo i cavi assicurare che i punti A, B e C della trave rimangano allineati sotto
l’effetto della sola forza peso. In particolare, deve risultare:
·
0
dove si è indicato con il versore orientato da B a P associato al pendolo in B (primo cavo), X1 = F1 la sua
reazione vincolare incognita e
lo spostamento del punto B della trave. Assumendo la trave inestensibile
assialmente e, in ipotesi di deformabilità tagliante trascurabile, il lavoro di deformazione viene espresso
come:
1
2
dove il momento flettente, per sovrapposizione degli effetti, è dato da:
avendo fatto riferimento ai seguenti schemi isostatici:
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A
A
B
D
C
Nota X1 = F1, la reazione vincolare incognita
B
D
C
, a sua volta, è ottenuta sovrapponendo gli effetti:
Per il calcolo di
e di
si può, ad esempio, utilizzare il metodo di Lagrange. A questo proposito si
ricorda che tale metodo permette di determinare il valore della reazione di un vincolo semplice ed
essenziale, allorché sostituito tale vincolo con la reazione incognita corrispondente, si imponga il
soddisfacimento del Teorema degli Spostamenti Virtuali.
A titolo di esempio si imposta il calcolo della forza di corda
analogo può essere seguito per la determinazione di
φ
, osservando che un procedimento del tutto
:
sin
0
C
catena cinematica
Imponendo quindi la condizione per la quale il pretensionamento dei cavi deve essere al più pari alla metà
della tensione ammissibile si ottengono le sezioni minime dei due cavi:
2
2
Se, per questioni di comodità, si volessero utilizzare cavi con sezioni uguali si potrebbe porre:
max
,
Nel seguito si farà riferimento a questa scelta progettuale.
Vanno ora determinate le lunghezze iniziali dei due cavi. Si impone che il singolo cavo rispetti la condizione
di congruenza secondo la quale la lunghezza attuale deve essere pari alla somma della lunghezza iniziale
(cavo indeformato)
e dell’allungamento
subito dal cavo per effetto del tiro:
In particolare si ha:
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1
1
1
1
dove, assumendo i cavi in configurazione ribassata, le funzioni
2
essendo
/ ,
tg
cos
2
e
/ , con
2cos
tg
cos
sono date da:
2cos
cos . In definitiva, le lunghezze iniziali risultano:
Comportamento sotto carichi vivi
Indicata con la portata massima che il braccio della gru può movimentare, la condizione più gravosa
corrisponde a quella in cui tale carico massimo sia applicato in D. In questa condizione, a seguito
dell’interazione cavi-trave, si determina una nuova configurazione di equilibrio alla quale corrisponde un
sovratensionamento dei cavi, associato ad una perturbazione in configurazione
ed in tiro
per
ciascuno di essi.
Per il calcolo dell’entità delle perturbazioni indotte conviene fare riferimento ad uno schema in cui sia
presente il solo carico vivo , salvo poi applicare la sovrapposizione degli effetti per determinare le nuove
,
assunte dai cavi.
configurazioni di equilibrio
Si richiede inoltre che in seguito all’introduzione del carico vivo continui ad essere soddisfatta la condizione
di sicurezza per il materiale costituente il cavo e che l’abbassamento subito dalla trave in punta non sia
.
maggiore, per esigenze funzionali, di un certo valore massimo indicato con
;
Q
A
B
C
D
f
1
20
Le perturbazioni in tensione
e
subite dai due cavi per effetto della variazione di forza di corda
possono essere calcolate con un procedimento del tutto analogo a quello utilizzato per la determinazione
delle tensioni medie
e
in presenza dei soli carichi morti, assumendo però ora i pendoli (cioè i cavi)
cedevoli elasticamente. In particolare, ci si propone di ottenere il sovratensionamento
del primo cavo
per sovrapposizione degli effetti.
risolvendo l’iperstaticità e ricavare il secondo
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∆
Per il calcolo dell’incognita iperstatica
si fa riferimento ai seguenti schemi:
A
A
B
D
C
B
C
D
L’equazione di congruenza da utilizzare per la risoluzione dell’iperstaticità è ora:
·
dove
è la variazione della lunghezza di corda subita dal primo cavo e dunque pari a:
avendo indicato con
il modulo elastico fittizio del pendolo equivalente. Dipendentemente dall’entità
della deformazione subita dal cavo si potrà utilizzare il modulo di Dischinger tangente
o secante
:
1
1
12
1
24
In quest’ultimo caso la risoluzione del problema deve essere condotta per via iterativa essendo:
L’onere di calcolo potrebbe essere notevolmente alleggerito se, al posto dell’approccio secante, si
che, come dimostrato, risulta espresso da:
utilizzasse il modulo quasi-secante
3
2
,
Il lavoro di deformazione è la somma di due contributi: l’energia associata alla deformazione della trave e
quella relativa alla deformazione del pendolo equivalente corrispondente al secondo cavo, presente negli
schemi di riferimento S(0) e S(1):
1
2
1
2
dove per il modulo fittizio del secondo pendolo equivalente
valgono le stesse considerazioni fatte per il
primo. Applicando la sovrapposizione degli effetti si ottengono momento flettente e variazione della forza
di corda sul secondo cavo:
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e
In particolare, le quantità
Lagrange.
I sovratensionamenti cercati sono dunque:
possono essere determinate ancora applicando il metodo di
Infine, la freccia prodotta sulla trave in presenza dei carichivivi ed in corrispondenza del suo estremo libero
D può semplicemente valutarsi come:
essendo f(0) e f(1) determinabili risolvendo gli schemi appoggio-appoggio a sbalzo isostatici definiti da
e
.
Effetto termico e del ghiaccio
Si può assumere, per semplicità, che gli effetti indotti dalla variazione di temperatura e dallo strato di
ghiaccio siano valutabili considerando che i cavi non varino la loro lunghezza di corda. Pertanto, a partire
dalla configurazione di equilibrio sotto i carichi morti, si possono valutare le corrispondenti perturbazioni di
tiro e di configurazione (indicate rispettivamente con l’apice Δt quella relativa alla variazione di
temperatura e con l’apice q* quella associata alla presenza dello strato di ghiaccio), da sovrapporre a quelle
indotte dai carichi vivi. In definitiva deve quindi risultare:
;
Δt, q*
Δt, q*
1
20
A
B
C
D
Si tenga presente che il carico addizionale q*, per unità di lunghezza, associato alla presenza dello strato di
ghiaccio sui cavi risulta:
2 √
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Esercitazione proposta n. 2
Dimensionamento dei cavi per controventatura e della fondazione di una torre per
antenne
Si consideri una torre per antenne di altezza 30 m ed il cui peso ad unità di lunghezza sia qg. La torre sia
assimilabile ad una trave assialsimmetrica e la cui sezione retta abbia inerzia di figura pari a It. La torre può
in generale essere soggetta all’azione del vento, schematizzabile in prima approssimazione come un carico
statico distribuito, funzione della velocità del vento u(z). In particolare, si assume che u(z) vari con la
coordinata di quota secondo una legge lineare, dal valore nullo per z = 0 al valore umax per z = 30 m. In
riferimento allo schema indicato in figura, si chiede di dimensionare tenendo in conto i carichi morti, i
carichi da vento, effetti perturbativi connessi ad una variazione termica uniformemente distribuita Δt sui
cavi e alla presenza di un eventuale strato uniforme di ghiaccio di spessore pari a rg sui cavi
ƒ
ƒ
L’area della fondazione, in modo che la tensione di compressione sul terreno non superi il valore
limite , ;
Lunghezza in configurazione indeformata e sezione resistente dei cavi per controventatura (8 in
totale, secondo lo schema della figura).
Si trascuri ogni effetto termico sulla torre. Si tenga infine presente che la forza ad unità di lunghezza che il
vento esercita sulla torre può essere calcolata come:
dove
è una dimensione
caratteristica della sezione retta della torre e cD è il coefficiente aerodinamico di resistenza della torre,
assunto costante. La tabella che segue riassume i dati del problema.
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Torre
Cavi
10
10
0.5
7830
/
Vento
3
1.21
/
30
/
0.9 · 10
/
200
Terreno
25°
10
2
48
300
Ghiaccio
10 °
,
1.5
/
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Roma, 04 novembre 2010
Appunti dalle lezioni – A.A. 2010/2011
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