Esperto: Marco Tarantino
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__________
`
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
`
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
UNITA’
DI
MISURA
MULTIPLI
M
M
Mg
hk
h Kg
K
da k
d Kg
da
K
uk
h
da
u
d
c
m
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
hl
dal
l
dl
cl
ml
h
hg
d
dag
g
d
dg
cg
mg
K
Kg
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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SOTTOMULTIPLI
Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
ESEMPIO
S
O
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
ESEMPIO
S
O
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
Esperto: Marco Tarantino
Sarebbe meglio chiamarli "tecniche" e
non "trucchi"
perché la matematica talvolta è magica,
ma senza alcun inganno
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Cose da sapere 1:
conoscere bene il nostro sistema di numerazione posizionale
in base 10
Nella scrittura di un numero decimale si distinguono due parti:
la parte intera, che è quella prima della virgola;
la parte decimale che è quella dopo la virgola.
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Ciascuna cifra ha un valore che dipende dalla posizione che
essa occupa nell numero stesso.
t
Tale valore si chiama valore posizionale della cifra.
Procedendo da destra verso sinistra, il valore posizionale delle
cifre aumenta di 10 volte per ogni posto (o ordine).
Il nostro sistema posizionale è detto in base 10 perché ci
vogliono 10 unità di un posto (o ordine) per formare 1 unità
del posto superiore.
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Esempi.
10 unità = 1 decina
10 decine = 1 centinaio
10 centinaia = 1 migliaio
Grazie a questo sistema, possiamo scrivere ogni numero come
una somma di
d centinaia, d
decine, unità,
à d
decimi, e cosìì via.
Questa
Q
t scrittura
itt
sii chiama
hi
f
forma
polinomiale
li
i l del
d l numero. Il
termine deriva da polinomio che significa molti nomi.
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Esempi.
35 = 30 + 5 = (3 × 10) + (5 × 1)
872 = 800 + 70 + 2 = (8 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)
2054 = 2000 + 50 + 4 = (2 × 1000) + (5 × 10) + (4 × 1)
La forma p
polinomiale di un numero sembra complicata
p
ma in
realtà può semplificare notevolmente i calcoli.
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Cose da sapere 2:
conoscere perfettamente le tabelline della moltiplicazione
da 1×1 a 9×9
Non basta. Bisogna anche sapere perfettamente:
le tabelline dell'addizione
dell addizione da 1+1 a 9+9
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Non basta.
basta Bisogna anche sapere perfettamente:
le potenze di 2 da 20 a 210
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
Non basta.
basta Bisogna anche sapere perfettamente:
le potenze di 3 da 30 a 35
30
31
32
33
34
35
1
3
9
27
81
243
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Non basta. Bisogna anche sapere perfettamente:
i quadrati dei numeri da 1 a 20;
i cubi dei numeri da 1 a 10
Numero
Quadrato
Cubo
1
2
3
4
1
4
9
16
1
8
27
64
5
25
125
6
36
216
7
49
343
8
64
512
9
81
729
100
1000
10
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Non basta. Bisogna anche sapere perfettamente:
i numeri primi da 2 a 53
2
3
5
7
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
I numeri p
primi da 2 a 53 sono soltanto 16.
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Cose da sapere 3:
conoscere bene alcune proprietà delle operazioni
Le tecniche di calcolo mentale rapido usano alcune proprietà
delle operazioni.
Le principali sono:
commutativa,
commutativa
associativa (e dissociativa),
distributiva.
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Proprietà commutativa di + e × (addizione e moltiplicazione)
Cambiando l'ordine degli addendi (o dei fattori) il risultato non
cambia.
Esempi.
3+2=2+3
3×2=2×3
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Proprietà associativa di + e × (addizione e moltiplicazione)
In un'addizione (o moltiplicazione) di 3 o più termini, se al
posto di alcuni termini si sostituisce la loro somma (o
prodotto)
p
odotto) il risultato
su tato non
o cambia.
ca b a
Esempi.
2 + 3 + 4 = ((2 + 3)) + 4 = 2 + ((3 + 4)) = 5 + 4 = 2 + 7
2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 6 × 4 = 2 × 12
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Osservazione.
L proprietà
La
i tà associativa
i ti sii può
ò applicare
li
anche
h "alla
ll rovescia
i "e
in questo caso si chiama dissociativa.
In un calcolo,
calcolo al posto di un numero se ne possono sostituire
due o più che combinati assieme diano come risultato il
numero sostituito.
Esempi.
Esempi
15 + 21 = 10 + 5 + 20 + 1
3 × 14 = 3 × (10 + 4)
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Proprietà distributiva di × rispetto a + (moltiplicazione
rispetto all'addizione)
all addizione)
Per moltiplicare un numero per un'addizione di due o più
numeri si può moltiplicare il numero stesso per ciascuno degli
addendi e addizionare i prodotti parziali ottenuti.
Esempi.
2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4)
5 × ((2 + 3 + 4)) = 5 × 2 + 5 × 3 + 5 × 4
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 1: addizionare o sottrarre usando pacchetti di 10, 100, ...
Per addizionare (o sottrarre) due numeri ,
si parte dal più grande e si aggiunge (o sottrae) il più piccolo
dopo averlo scomposto in decine più un eventuale resto in unità.
Esempi.
23 + 12 = 23 + 10 + 2 = 35
35 + 42 = 42 + 30 + 5 = 77
94 - 52 = 94 - 50 - 2 = 42
658 - 12 = 658 - 10 - 2 = 646
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Se il numero più piccolo è di 3 cifre,
l sii scompone iin centinaia,
lo
ti i ed
d eventualmente
t l
t iin d
decine
i
e iin unità.
ità
Esempi.
547 + 235 = 547 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 5 = 782
798 - 301 = 798 - 300 - 1 = 497
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 2: moltiplicare o dividere un numero per 10, per 100,
per 1000, ...
Per moltiplicare un numero intero per 10, o per 100, o per 1000,
basta aggiungere alla sua destra rispettivamente 1, o 2, o 3 zeri.
Se il numero è decimale, allora si sposta la virgola di 1, oppure 2,
oppure 3 posti verso destra.
Esempi.
35 × 10 = 350
74 × 100 = 7400
5,83 × 10 = 58, 3
27,32 × 1000 = 27.320
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Per dividere un numero intero per 10, o per 100, o per 1000,
basta eliminare alla sua destra rispettivamente 1
1, o 2
2, o 3 zeri
zeri.
E se non ci sono zeri?
In tal caso si sposta la virgola rispettivamente di 1 oppure 2
oppure tre posti verso destra.
Esempi.
350 : 10 = 35
297 : 100 = 2,97
4 : 10 = 0,4
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CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 3: moltiplicare o dividere un numero per 2,
il doppio, la metà
Per calcolare la metà di un numero
numero,
si può fare la metà delle unità, delle decine, delle centinaia, ...
che lo compongono e addizionare i risultati ottenuti.
Esempi.
p
46 : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23
58 : 2 = 50 : 2 + 8 : 2 = 25 + 4 = 29
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Per calcolare il doppio di un numero,
si può fare il doppio delle unità
unità, delle decine
decine, delle centinaia
centinaia, ...
che lo compongono e addizionare i risultati ottenuti.
Esempi.
34 × 2 = 30 × 2 + 4 × 2 = 60 + 8 = 68
237 × 2 = 200 × 2 + 30 × 2 + 7 × 2 = 400 + 60 + 14 = 474
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 4: moltiplicare un numero per 1,5
Nota che 1,5 = uno e mezzo.
Per moltiplicare
p
un numero p
per 1,5
si può aggiungere al numero stesso la sua metà.
Oppure si può calcolare la sua metà e moltiplicarla per 3.
Esempi.
18 × 1,5 = 18 + 9 = 27
5 × 1,5 = 5 + 2,5 = 7,5
84 × 1,5
1 5 = 42 × 3 = 126
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 5: moltiplicare un numero per 4, per 8
Nota che 4 è il doppio di 2
Per moltiplicare un numero per 4,
b
basta
moltiplicarlo
l i li l d
due volte
l per 2
ovvero fare il doppio del doppio del numero stesso.
Esempi.
18 × 4 = 18 × 2 × 2 = 36 × 2 = 72
53 × 4 = 106 × 2 = 212
35 × 4 = 140
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Questa tecnica si può estendere alla moltiplicazione per 8,
che è uguale a 2 × 2 × 2.
Per moltiplicare un numero per 8,
basta moltiplicarlo tre volte per 2
ovvero calcolare il doppio del doppio del doppio del numero stesso.
Esempio.
31 × 8 = 31 × 2 × 2 × 2 = 248
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 6: dividere un numero per 4
Per dividere un numero per 4,
basta dividerlo due volte per 2
f
l metà
à della
d ll metà
àd
ovvero fare
la
dell numero stesso.
Esempi.
84 : 4 = 84 : 2 : 2 = 42 : 2 = 21
124 : 4 = 62 : 2 = 31
230 : 4 = 115 : 2 = 57,5
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 7: moltiplicare un numero per 5
N
Nota
che
h 5 è la
l metà
à di 10
10.
Per moltiplicare un numero per 5, basta dividere il numero per 2
e moltiplicare il risultato per 10.
Esempi.
18 × 5 = 18 :2
2 × 10 = 90
86 × 5 = 43 × 10 = 430
54 × 5 = 27 × 10 = 270
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 8: dividere un numero per 5
Per dividere un numero per 5,
basta moltiplicare il numero per 2 e dividere il risultato per 10.
Esempi.
125 : 5 = 125 × 2 : 10 = 250 : 10 = 25
80 : 5 = 160 : 10 = 16
64 : 5 = 128 : 10 = 12,8
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 9: moltiplicare un numero per 20, per 30, per 40, ...
Nota che:
20 = 2 × 10;
30 = 3 × 10;
40 = 4 × 10;
...
Per moltiplicare un numero per 20,
20
basta moltiplicarlo per 2 e moltiplicare il risultato per 10.
Per moltiplicare un numero per 30,
basta moltiplicarlo per 3 e moltiplicare il risultato per 10.
p
un numero p
per 40,,
Per moltiplicare
basta moltiplicarlo per 4 e moltiplicare il risultato per 10.
...e così via, fino a 90...
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Per moltiplicare un numero per 90,
90
basta moltiplicarlo per 9 e moltiplicare il risultato per 10.
Esempi.
Esempi
23 × 20 = 23 × 2 × 10 = 46 × 10 = 460
7 × 30 = 210
12 × 40 = 489
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 10: moltiplicare un numero per 9, per 19, per 29, ...
Nota che:
9 = 10 -1;
19 = 20 -1;;
29 = 30 -1;
...
Per moltiplicare un numero per 9,
basta moltiplicarlo per 10 e sottrarre dal risultato il numero stesso.
Esempi.
13 × 9 = 13 × 10 - 13 = 130 - 13 = 117
25 × 9 = 250 - 25 = 225
160 × 9 = 1600 - 160 = 1440
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Per moltiplicare un numero per 19,
basta moltiplicarlo per 20 e sottrarre dal risultato il numero stesso
stesso.
Esempio.
Esempio
7 × 19 = 7 × 20 - 7 = 140 - 7 = 133
Per moltiplicare un numero per 29,
b
basta
moltiplicarlo
l i li l per 30 e sottrarre d
dall risultato
i l
il numero stesso.
Esempio.
Esempio
4 × 29 = 4 × 30 - 4 = 120 - 4 = 116
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 11: moltiplicare un numero per 11, per 21, per 31, ...
Nota che:
11 = 10 + 1
21 = 20 + 1
31 = 30 + 1
...
Per moltiplicare un numero per 11,
basta moltiplicarlo per 10 e aggiungere al risultato il numero stesso.
Esempi.
24 × 11 = 24 × 10 + 24 = 240 + 24 = 264
15 × 11 = 150 + 15 = 165
310 × 11 = 3100 + 310 = 3410
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Per moltiplicare un numero per 21,
21
basta moltiplicarlo per 20 e aggiungere al risultato il numero stesso.
Esempi.
Esempi
6 × 21 = 6 × 20 + 6 = 120 + 6 = 126
8 × 21 = 160 + 8 = 168
35 × 21 = 385
__________
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 12: Usare la scomposizione in fattori 2, 5, 10, 100, ...
Per moltiplicare
p
due numeri,
si possono scomporre in fattori opportuni e
applicare le proprietà commutativa e associativa.
Questa tecnica è utile quando tra i fattori ci sono
il 2, il 5, il 10, il 100, etc.
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Esempio 1.
15 × 16 =
5 × 3 × 2 × 8 (scomposizione opportuna)
5 × 2 × 3 × 8 (proprietà commutativa)
10 × 24 (proprietà associativa)
240
Esempio 2.
240 × 25 =
2 × 2 × 6 × 10 × 5 × 5 =
2 × 5 × 2 × 5 × 10 × 6 =
10 × 10 × 10 × 6 =
6000
Altri esempi
esempi.
18 × 35 = 9 × 7 × 10 = 630
30 × 20 = 3 × 2 × 10 × 10 = 600
__________
CORSO PON in MATEMATICA – NumeriAMO
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 13: Usare il valore posizionale delle cifre
Per addizionare due numeri,
si possono addizionare separatamente le unità, le decine,
le centinaia e poi fare il totale generale.
Esempio.
35
30
30
70
77
+
+
+
+
42 =
5 + 40 + 2 (uso del valore posizionale)
40 + 5 + 2 (proprietà commutativa)
(proprietà
p
associativa))
7 = (p
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Esperto: Marco Tarantino
Per moltiplicare due numeri,
si può usare la proprietà distributiva di × rispetto a +.
Q
Questa
tecnica
i è utile
il quando
d
uno dei due numeri è formato da una sola cifra.
Esempio.
7 × 23 =
7 × (20 + 3) = (uso del valore posizionale)
7 × 20 + 7 × 3 = ((proprietà
i tà di
distributiva
t ib ti di × rispetto
i
tt a +)
140 + 21 =
161
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 14: fare stime con la tecnica del "quasi"
Una stima è un calcolo veloce e approssimato.
Il risultato da cercare non è proprio quello esatto
ma è abbastanza vicino a quello esatto.
Esempio.
Esempio
5,98 × 8,13 = ? (48,6174)
In casi come questo
questo, si può fare il seguente ragionamento:
5,98 è quasi 6 e 8,13 è quasi 8.
Perciò:
5,98 × 8,13 = circa 6 × 8 = 48
In effetti, il risultato stimato è molto vicino a quello esatto,
per difetto.
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Esperto: Marco Tarantino
Questa tecnica funziona abbastanza bene quando
q
i numeri si possono arrotondare senza troppo scarto.
In caso contrario, la stima è meno precisa.
Esempi.
6,92 × 4,91 = circa 7 × 5 = 35
(il risultato
i lt t esatto
tt è 33
33,9772)
9772)
7,65 × 3,42 =
circa 8 × 3 = 24
(il risultato esatto è 26,163)
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Esperto: Marco Tarantino
Tecnica n. 15: fare stime usando poche cifre significative
Una variante della tecnica precedente è quella di
arrotondare i numeri a 1 oppure 2 cifre significative
e poi utilizzare le normali regole di calcolo
Esempi.
315 × 784 = circa 300 × 800 = 240.000
(il risultato esatto è 246.960, l'errore è del 3% circa)
126.478 × 12.147 = circa 130.000 × 12.000 =
1.560.000.000
(il valore esatto è 1.536.328.266, l'errore è del 1,5% circa)
__________
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