Corso di Analisi Matematica

Corso di Analisi Matematica
Le funzioni elementari
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Università di Bari
ICD (Bari)
Analisi Matematica
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1
Funzioni lineari
2
Funzione valore assoluto
3
Funzioni potenza
4
Funzione esponenziale
5
Funzione logaritmo
6
Operazioni sui grafici
7
Polinomi quadratici
8
Funzioni trigonometriche e loro inverse
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Funzioni lineari
Dati a, b ∈ R, sia f : R → R, f (x) = ax + b per ogni x ∈ R.
a=0
−b/a
−b/a
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Funzione valore assoluto
Sia f : R → R, f (x) = |x| per ogni x ∈ R.
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Funzione potenza con esponente naturale
Sia n ∈ N n ≥ 2 e f : R → R definita da f (x) = xn per ogni x ∈ R.
f (x) = xn n = 2, 4
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f (x) = xn n = 3, 5
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Invertibilità della funzione potenza
Se n ∈ N \ {0} è pari, la restrizione di xn ad [0, +∞) è strettamente
crescente, quindi è invertibile. La sua inversa è la funzione
x ∈ [0, +∞) 7→
√
n
1
x = xn .
Se n ∈ N è dispari, xn è strettamente crescente, quindi è invertibile.
La sua inversa è la funzione
x ∈ R 7→
ICD (Bari)
√
n
1
x = xn .
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√
n
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x, n pari
√
n
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x, n dispari
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Funzione potenza con esponente intero negativo
Sia n un intero naturale, n ≥ 1. Sia f : R \ {0} → R definita da
1
f (x) = x−n = (xn )−1 = n per ogni x ∈ R \ {0}.
x
f (x) = 1/x2
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f (x) = 1/x3
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Funzione potenza con esponente reale
Sia α ∈ R∗ , si consideri la funzione
f (x) = xα
definita per x ∈ (0, +∞) se α < 0 e per x ∈ [0, +∞) se α > 0.
α>1
α<0
0<α<1
xα , α ≤ 0
ICD (Bari)
xα , α > 0
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Funzione esponenziale
Dato a ∈]0, +∞), a 6= 1, la funzione x ∈ R 7→ ax ∈ R si chiama
funzione esponenziale.
a>1
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0<a<1
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Funzione logaritmo
La funzione esponenziale è invertibile (poiché è strettamente
monotona). La sua inversa è la funzione logaritmo in base a, loga .
Si ha loga : (0, +∞) → R. Si scrive loga x invece di loga (x).
a>1
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0<a<1
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Operazioni sui grafici
Dato il grafico di una funzione f (x),
fissato a ∈ R∗ , il grafico di g1 (x) = f (x + a), si ottiene da quello di f
mediante una traslazione orizzontale di a unità (a sinistra se a > 0, a
destra se a < 0);
fissato a ∈ R∗ , il grafico di g2 (x) = f (x) + a, si ottiene da quello di f
mediante una traslazione verticale di a unità (in alto se a > 0, in
basso se a < 0);
fissato k ∈ R∗ , il grafico di g3 (x) = k · f (x), si ottiene da quello di f
moltiplicando per k tutte le ordinate.
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Polinomi quadratici
Si consideri il polinomio quadratico
f (x) = ax2 + bx + c
∀x ∈ R a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Detto ∆ = b2 − 4ac (discriminante), si ha che
I
se ∆ > 0, f ammette due zeri (x ∈ R tali che f (x) = 0) uguali a
√
−b ± ∆
;
2a
I
se ∆ = 0, f ammette un solo zero uguale a
−
I
b
;
2a
se ∆ < 0, f non ammette zeri .
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a > 0, ∆ > 0
ICD (Bari)
a > 0, ∆ = 0
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a > 0, ∆ < 0
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Seno e coseno
Si considerino le funzioni
x ∈ R 7→ sen x
x ∈ R 7→ cos x.
sen x
cos x
Le funzioni sen e cos sono 2π–periodiche.
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Tangente
È la funzione definita da
tg : x ∈ dom tg 7→
ove
dom tg = R \
nπ
2
sen x
∈R
cos x
o
+ kπ | k ∈ Z .
tg x
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Funzioni trigonometriche inverse
Le funzioni trigonometriche, essendo periodiche, non sono invertibili .
Infatti, ad esempio l’eq. cos x = y ammette infinite soluzioni per ogni
y ∈ [−1, 1].
Le loro restrizioni ad opportuni intervalli sono strettamente crescenti
o strettamente decrescenti, quindi invertibili.
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Arcoseno
sen : [−π/2, π/2] → R è strettamente crescente ed ha come
immagine [−1, 1]. La sua funzione inversa si chiama funzione
arcoseno:
h π πi
arcsen : [−1, 1] → − ,
.
2 2
arcsen x
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Arcocoseno
cos : [0, π] → R è strettamente decrescente ed ha come immagine
[−1, 1]. La sua funzione inversa è la funzione arcocoseno:
arccos : [−1, 1] → [0, π] .
arccos x
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Arcotangente
tg : (−π/2, π/2) → R è strettamente crescente ed ha come immagine
R. La sua funzione inversa è la funzione arcotangente:
π π
arctg : R → − ,
.
2 2
arctg x
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