LEZIONI N° 44 E 45
CALCOLO A ROTTURA DELLA SEZIONE PRESSOINFLESSA
PROBLEMI DI VERIFICA
La procedura di verifica dei pilastri di c.a., sottoposti a sforzo normale e momento
flettente, è basata sulla costruzione della curva di interazione M,N della sezione
assegnata.
La curva di interazione è la frontiera dello stato limite ultimo di resistenza per la
sollecitazione composta di forza normale e flessione retta, cioè il luogo dei punti Mult,
Nult, corrispondenti alle condizioni di rottura della sezione.
La verifica consiste nell’accertare che il punto rappresentativo delle sollecitazioni di
progetto (Md,Nd) sia all’interno della frontiera suddetta.
Esaminiamo ora il procedimento da utilizzare per la costruzione per punti della curva
di interazione M,N di una assegnata sezione rettangolare sottoposta a pressione
eccentrica retta.
Le ipotesi di base che si utilizzano sono le stesse quattro già viste con riferimento al
caso della flessione semplice e cioè:
1) vale la conservazione delle sezioni piane, cioè la variazione delle deformazioni
unitarie (y) sulla sezione è lineare;
2) l’aderenza fra l’acciaio ed il calcestruzzo è perfetta (c=s), così da escludere
qualsiasi scorrimento relativo fra le armature e la matrice lapidea che le avvolge
(questa ipotesi è necessaria perché valga l’ipotesi 1);
3) il calcestruzzo teso viene considerato non reagente;
4) i legami costitutivi dei materiali sono non-lineari.
Se la sezione è simmetrica ed è armata in modo simmetrico, la curva di interazione è
anch’essa simmetrica rispetto all’asse N. Non lo è, però, rispetto all’asse M, perché il
calcestruzzo reagisce diversamente a trazione ed a compressione.
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Allo scopo di procedere alla costruzione della curva è opportuno individuare quali
siano i diagrammi delle deformazioni unitarie sulla sezione che la portano a rottura.
Ad ognuno dei diagrammi di rottura corrisponde un unico punto del dominio di
rottura, di coordinate Mult,Nult.
Affinché un diagramma di sia un diagramma di rottura occorre che in esso si
verifichi almeno una della seguenti condizioni:
il calcestruzzo sia deformato al 3,5 ‰ (tra il 2 ‰ ed il 3,5 ‰ nel caso della
pressione eccentrica con centro di pressione interno al nocciolo centrale d’inerzia
– sezione interamente reagente);
l’acciaio teso sia snervato
E possibile raccogliere tutti i diagrammi di deformazione rappresentativi di una
condizione di rottura nello schema seguente:
In esso è possibile individuare cinque zone:
Zona 1:
Trazione con piccola eccentricità.
Zona 2:
Flessione semplice o composta con sfruttamento parziale della
resistenza dei materiali (solo l’acciaio teso è snervato).
Zona 3:
Flessione semplice o composta con sfruttamento completo della
resistenza dei materiali (sia l’acciaio teso che quello compresso sono
snervati).
Zona 4:
Flessione composta con tensione dell’acciaio minore di quella di
snervamento.
Zona 4a:
Flessione composta: l’armatura inferiore comincia ad essere compressa.
Zona 5:
Compressione con piccola eccentricità.
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Una volta selezionato un diagramma di rottura, che ha la caratteristica di passare per
uno dei punti A, B o C, è automaticamente definita la posizione dell’asse neutro e,
quindi, i diagrammi delle tensioni nei due materiali costitutivi: sono quindi note le
tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio.
E’ utile precisare che la retta che separa i campi 2 e 3 è individuata dal fatto che ad
essa corrisponde il primo snervamento delle armature compresse.
Ad essa corrisponde la posizione dell’asse neutro:
y1
0, 0035
d'
0, 0035 syd
0, 0035
0, 0035
d'
d ' 2, 27 d '
f yk
450
0, 0035
0, 0035
1,15 200000
s Es
La deformazione corrispondente dell’acciaio teso vale:
sF 0, 0035
d y1
y1
Possiamo allora determinare la risultante delle tensioni Nult ed il momento risultante
Mult con semplici considerazioni di equilibrio.
La coppia di valori (Nult,Mult) fornisce le coordinate di un punto della curva di
interazione. Ripetendo il procedimento a partire da altri diagrammi di si ottengono
altri punti e si può disegnare la curva.
La costruzione dell’intero dominio di interazione può essere eseguita facendo variare
in modo sistematico il diagramma delle deformazioni unitarie.
Ad esempio si può partire dalla trazione pura (diagramma A-D) e, ruotando intorno al
punto A, che funge da perno, si possono considerare tutti i diagrammi di
deformazione fino a quello A-B.
Quindi si può continuare facendo perno sul punto B ed arrivare fino al diagramma
B-E, che corrisponde alla condizione in cui il calcestruzzo diventa tutto reagente.
Infine ruotando intorno al punto C si giunge alla condizione di compressione pura
(centrata).
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Il dominio di interazione M-N di una sezione rettangolare avente armatura doppia
simmetrica ha l’aspetto seguente:
Una versione semplificata della curva può essere costruita a mano determinando le
coordinate dei punti più significativi:
-
la compressione centrata, A;
-
la rottura bilanciata, B;
-
la flessione semplice, C;
-
la trazione centrata, D (che ha, però, importanza ridotta nelle applicazioni).
ed approssimando la curva con una spezzata. Il risultato che si ottiene è in favore di
sicurezza, in quanto la spezzata si trova sempre all’interno della curva continua.
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Determiniamo ora i punti A, B, C e D nel caso della sezione rettangolare dotata di
armatura doppia simmetrica As = A’s.
Le coordinate del punto A (compressione centrata) si trovano immediatamente:
MA = 0
NA = C + C’ + T = fcdbH + 2 As fyd
così come quelle del punto D (trazione centrata):
MD = 0
ND = - 2 As fyd
Il punto B è rappresentativo del simultaneo collasso del conglomerato e dell’acciaio
(rottura bilanciata) e corrisponde al massimo valore possibile del Momento ultimo.
Il diagramma di deformazioni corrispondenti è rappresentato dal segmento che
separa le zone 3 e 4 del “serbatoio” dei diagrammi di rottura e che è definito,
superiormente da c = 3.5 ‰ ed, inferiormente, da s = fyd/Es.
Questa modalità di collasso simultaneo è possibile nella pressione eccentrica
qualsiasi sia la percentuale di armatura, al contrario del caso della flessione
semplice, dove essa non può verificarsi mai nel caso di armatura doppia simmetrica
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ed è biunivocamente legata ad una particolare percentuale di armatura, detta
appunto “critica”, nel caso di armatura semplice.
Nella pressione eccentrica l’elemento critico non è la percentuale di armatura, ma la
coppia (Mult, Nult) che determina il contemporaneo collasso dei due materiali, ovvero
la eccentricità:
ecrit = (Mult/Nult)crit = Mbil/Nbil
Valutiamo Mbil ed Nbil.
La risultante delle tensioni di compressione C nel calcestruzzo vale:
C = 0,81 fcd b y
La tensione ultima nel calcestruzzo è: f cd 0,85
0,83 Rck
1,5
La posizione dell’asse neutro è nota e vale:
y
cu
d
cu sy
Nel caso, in cui venga utilizzato acciaio tipo B450C si ha:
y
0.0035
d 0.641 d
0.0035 450 / (1.15 x 200000)
C’, risultante delle tensioni di compressione nell’acciaio A’s, vale:
C’ = A’s fyd , in cui f yd
f yk
1,15
e T, risultante delle tensioni di trazione, vale:
T = As fyd.
Poiché le armature tesa e compressa sono uguali ed entrambe snervate, esse
forniscono forze uguali e di segno opposto e quindi si ha C’ = T.
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Pertanto lo sforzo normale ultimo Nbil si determina immediatamente imponendo
l’equilibrio alla traslazione:
C+C’-T=Nbil
da cui si ricava:
Nbil = C = 0,81 fcd b y
Il momento ultimo va calcolato rispetto al baricentro della sezione non fessurata.
Il contributo delle armature al momento ultimo è As fyd (d-d’) e quindi si ha che:
Mbil = Nbil x (H/2 - 0.416 y) + As fyd (d-d’)
L’eccentricità critica vale allora:
ecrit
N bil H 0, 416 y As f yd ( d d ' )
M bil
2
0,81 f cd by
N bil
L’angolo corrispondente, sul diagramma che contiene la curva di interazione è,
naturalmente:
crit = arctg (ecrit)
Quando l’angolo è minore di crit, oppure l’eccentricità e è minore di ecrit si ha
rottura fragile, altrimenti si ha rottura duttile.
I punti del ramo superiore AB della curva di interazione corrispondono a condizioni di
rottura fragile, dovuta allo schiacciamento del calcestruzzo, mentre i punti del ramo
inferiore BCD si riferiscono a crisi la cui causa primaria è lo snervamento dell’acciaio
teso.
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Nel caso del punto C (flessione semplice) l’acciaio compresso non può essere
snervato, la deformazione ultima del calcestruzzo è pari al 3,5‰ e quella dell’acciaio
teso è molto maggiore della deformazione allo snervamento.
Per essa naturalmente si ha: NC = 0.
Per valutare MC occorre determinare la posizione dell’asse neutro, y, tramite
l’equazione di equilibrio delle forze interne C + C’= T.
Poiché l’acciaio teso è snervato, T è nota e vale:
T = fyd As
La risultante di compressione nel calcestruzzo è:
C = 0,81 fcd by
Per quanto riguarda C’, la tensione di compressione nell’acciaio dipende dalla
deformazione unitaria dell’acciaio compresso, che non è snervato:
C ' s' As' E s s' As'
Il valore della deformazione unitaria dell’acciaio compresso si ricava facilmente
mediante la similitudine di triangoli:
's cu
yd'
y
in cui cu =3,5 ‰
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L’equazione di equilibrio diviene pertanto:
0,81 f cd by Es 3,5 10
3
y d'
As f yd As
y
Sviluppando si ottiene l’equazione di secondo grado determinatrice della posizione
dell’asse neutro:
0,81 f cd by 2 Es 3,5 103 f yd
A y
s
Es 3,5 103 As d ' 0
che vale quindi:
y
Es 3,5 103 f yd
A E 3,5 10
s
3
s
f yd
2
As2 4 0,81 f cd b Es 3,5 103 As d '
2 0,81 fcd b
La conoscenza dell’asse neutro permette infine di valutare la deformazione unitaria
dell’acciaio teso:
s cu
dy
y
e di controllare la deformazione dell’acciaio compresso:
's cu
yd'
y
Infine si può valutare il momento ultimo della sezione:
MC = C (1-0.416) y + C’ (y-d’) + T (d-y)
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PROBLEMI DI PROGETTO CONDIZIONATO
I problemi di progetto condizionato dei pilastri si affrontano utilizzando una delle
seguenti procedure.
a) Prima procedura (costruzione manuale del dominio di interazione M-N)
- Si assegna, in via di tentativo, il valore dell’area di acciaio As ed A’s, nella maggior
parte dei casi simmetrica;
- si costruisce per punti il corrispondente dominio di interazione M-N (può accadere
che non sia necessario determinare tutti i punti significativi del dominio, in funzione
dei valori dello sforzo normale e del momento di progetto);
- si controlla che il punto Md,Nd sia interno alla sezione;
- in caso contrario si modifica opportunamente l’area di acciaio e si ripete la
procedura.
b) Seconda procedura (utilizzo di tabellazioni o grafici)
Sono disponibili in letteratura tabellazioni e grafici che forniscono le coordinate dei
domini di interazione M-N di pilastri rettangolari, espressi in forma adimensionale, del
tipo di quello riportati nella pagina seguente.
Il grafico della pagina seguente è relativo ad un valore prefissato del rapporto tra
copriferro ed altezza totale della sezione: c/H = 0,10. L’armatura è doppia
simmetrica: As=A’s
Si definiscono le seguenti grandezze:
Momento flettente adimensionale:
d
Md
b H 2 fcd
Sforzo normale adimensionale:
d
Nd
b H f cd
Percentuale meccanica d’armatura:
d
As f yd
b H fcd
200
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0 0.
25
0.
-0.2
-0.4
50
0.
-0.6
75
0.
-0.8
-1
0
.0
=1
d
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
d
Dominio N-M normalizzato per c/H = c’/H = 0,10.
Si entra nel grafico con il momento flettente e lo sforzo normale adimensionale e si
legge il valore corrispondente della percentuale meccanica di armatura d.
Si ricava quindi l’armatura invertendo la relazione che definisce d.
As As' d b H
f cd
f yd
201
