geometria 2 - Dipartimento di Matematica e Fisica

MECCANICA QUANTISTICA
a.a. 2015-2016
Insegnamento: Meccanica Quantistica
Docente:
Settore Scientifico - Disciplinare: FIS/02
CFU
ORE
10=8L+2E
88=64+24
Obiettivi formativi:
La teoria dei quanti nel suo sviluppo storico e le sue principali basi
fenomenologiche. Il formalismo della Meccanica Quantistica ed i suoi postulati. Risoluzione di
problemi in 1 e piu' dimensioni.
Propedeuticità: Analisi Matematica II, Fisica Generale II, Meccanica Analitica
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni numeriche in aula, prove intercorso, studio
assistito.
Modalità di accertamento del profitto: La verifica del livello di apprendimento consisterà in una
prova scritta consistente nella risoluzioni di 2 o 3 problemi ed in un colloquio orale.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
1. Richiami di meccanica analitica
Formulazione lagrangiana e hamiltoniana. Parentesi di Poisson. Integrali del moto e simmetrie. Moto in
un campo di forze centrali. Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Lagrangiana ed Hamiltoniana
per una particella in un campo elettromagnetico.
2. Cenni di meccanica statistica classica
Entropia, Energia interna ed Energia libera. Definizione di Ensemble. L’ensemble microcanonico e
canonico. Derivazione delle quantità termodinamiche per un gas perfetto e per un insieme di oscillatori
armonici. Equipartizione dell’energia.
3. Basi sperimentali della meccanica quantistica
Lo spettro di corpo nero e l’ipotesi di Planck. L’effetto fotoelettrico ed il concetto di fotone. L’effetto
Compton. Il modello atomico di Rutherford. L’atomo di Bohr. L’esperimento di Franck e Hertz.
4. Comportamento ondulatorio della materia
Onde di materia. Velocità di gruppo e slargamento del pacchetto d’onda. L’ipotesi di de Broglie.
L’esperimento di Davisson e Germer. Esperimenti con fenditure. Dualismo onda-corpuscolo. Il principio di
indeterminazione di Heisenberg ed il problema della misura.
5. Meccanica ondulatoria
L’equazione di Schrodinger. Interpretazione della funzione d’onda. Il problema dell’equazione di
Schrodinger per stati stazionari. Operatori simmetrici, essenzialmente autoaggiunti ed autoaggiunti in
spazi di Hilbert. Autostati ed autovalori propri ed impropri. Il teorema di rappresentazione spettrale per un
operatore autoaggiunto. Cenni sulla teoria delle distribuzioni. La delta di Dirac. La soluzione
dell’equazione di Schrodinger in termini degli autostati della Hamiltoniana.
6. Problemi unidimensionali
Buche di potenziale. Effetto Tunnel. Oscillatore armonico. I polinomi di Hermite. Formalismo degli
operatori di creazione e distruzione. Stati coerenti.
7. I postulati della meccanica quantistica
Operatori autoaggiunti ed Osservabili. Operatori di proiezione e probabilità per il risultato di una misura.
Possibili risultati di una misura. Valori medi e scarti quadratici. Osservabili compatibili ed incompatibili.
Insiemi completi di osservabili che commutano. Il principio di indeterminazione. Preparazione di uno stato
quantistico e procedimento di misura. Il collasso della funzione d’onda. Funzione d’onda e miscela
statistica. Esperimenti di Stern e Gerlach. Quantizzazione canonica. Teorema di Stone-von Neumann. Il
teorema di Ehrenfest. La notazione di Dirac.
8. Problemi multidimensionali
Metodo di separazione delle variabili. Particella libera. Il momento angolare. I polinomi di Legendre e le
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armoniche sferiche. Metodo algebrico per lo studio dello spettro di L ed Lz. Particella libera in coordinate
sferiche. Buche di potenziale tridimensionali. L’oscillatore armonico in due ed in tre dimensioni. L’atomo
di idrogeno. Interazione con un campo elettromagnetico. Invarianza di gauge. I livelli di Landau. Effetto
Zeeman. Somma di momenti angolari. Lo spin. Prodotto tensore di spazi di Hilbert. Gli spinori.
9. Simmetrie in meccanica quantistica
Gruppi di trasformazioni. Teorema di Wigner. Rotazioni e traslazioni. Il generatore di gruppi ad un
parametro di trasformazioni (Teorema di Stone). Trasformazioni unitarie e relazione fra la
rappresentazione di Schrodinger ed Heisenberg. L’operatore di evoluzione temporale. Parità. Inversione
temporale.
10. Perturbazioni indipendenti dal tempo
Perturbazioni per livelli non degeneri. Esempi: oscillatore anarmonico, correzioni relativistiche all’energia
cinetica per l’atomo di idrogeno.