lavoro ed energia - Arch

Corso di Fisica tecnica e ambientale – a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti
CAPITOLO 5
LAVORO ED ENERGIA
5.1 GENERALITÀ
In questo capitolo si farà riferimento a concetto quali lavoro ed energia termini che
hanno nella tecnica significati precisi molto diversi dal linguaggio quotidiano. Si accennerà
anche forme diverse di energia: energia cinetica legata alla velocità assunta da un corpo e
potenziale associata alla sua posizione.
5.2 LAVORO
E' opportuno ricordare la definizione di questa grandezza fisica di grandissima

importanza: si consideri un corpo in moto (velocità w ), lungo la traiettoria rappresentata in


figura. Sul corpo agisce una forza F formante un angolo  con il vettore velocità w .
Nell'intervallo di tempo d il corpo si sposta sulla traiettoria della quantità:


d s  w d
Il lavoro dL compiuto dalla forza F nel tempo d è definito dal seguente prodotto
scalare:


 
dL  F d s  F w d
Si ricorda che il prodotto scalare di due vettori è pari al prodotto dell'uno per la proiezione
dell' altro nella stessa direzione per cui si ha anche
dL = F cos ds
Il lavoro dL è evidentemente positivo se la componente della forza nella direzione dello
spostamento (F cos  e ds hanno lo stesso verso.
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

In generale il lavoro totale compiuto da una forza F  F( s ) nel tratto di traiettoria


compresa tra s1 ed s2 sarà dato dalla somma dei singoli contributi dL  F  d s lungo il
percorso da s1 a s2 .
L'integrazione di tale espressione lungo l'arco di traiettoria potrà effettuarsi con le


dovute modalità matematiche, ovviamente solo se sarà conosciuta la funzione F  F( s ).
Se poi sul corpo agiscono più forze, il lavoro totale compiuto da esse risulta pari a
quello compiuto dalla risultante delle stesse:








dL  F 1  d s  F 2  d s .....   F i  d s  F ris  d s
i
Si osservi infine che quando una forza F agisce perpendicolarmente allo spostamento
ds, non viene compiuto alcun lavoro (cos  = 0). Ad esempio la forza di gravità non compie
alcun lavoro su di un corpo in moto su un piano orizzontale.
L'unità di misura del lavoro è il "Joule" simbolo (J): il lavoro di un joule corrisponde
allo spostamento di 1 metro del punto di applicazione di una forza di 1 Newton agente nella
direzione dello spostamento stesso; si ha quindi:
1 (J) = 1 (N) • 1 (m)
Esempio
Un carrello, sottoposto ad una forza peso F = 400 (N), scende lungo un piano
inclinato ( = 30°), azionando un argano. Calcolare il lavoro della forza peso F nel tratto s =
15 (m), ipotizzando nulli tutti gli attriti.
Soluzione
Considerando solo i moduli si osserva che la componente della forza peso F nella
direzione dello spostamento vale F cos  dove  = (90° - = 60°. Si ha, quindi:
L = F cos  s = 400 (N) cos 60°  15 (m) = 3000 (J)
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5.3 ENERGIA CINETICA
Si consideri un corpo (massa m) in moto su di un piano senza attrito con velocità wo.
A partire dall'istante o su di esso agisce una forza F costante e parallela alla direzione del
moto per secondi. Il moto lungo l'asse x è quindi uniformemente caratterizzato da
un'accelerazione a costante. Il lavoro dL compiuto dalla forza applicata F in un tratto dx è:


dL  F  ds  F dx
I moduli di F e di a sono esprimibili da:
F = m • a = m dw/d
dx = w d
per cui:
dL  F dx  m
dw
w d  m w dw
d
Il lavoro L compiuto dalla forza F è:
w
L   m w dw 
w0
1
1
m w 2  m w 02  E c
2
2
E, cioè, L eguaglia la variazione della quantità
1
1
m w 2  m w 02 o variazione di energia
2
2
cinetica del corpo ΔEc.
Si introduce qui per la prima volta il termine "energia".
Si può osservare che il corpo, qualora riducesse la sua velocità da w a wo potrebbe, a
sua volta, rendere disponibile opposta quantità di lavoro L’:
L' 
1
1
m w 02  m w 2  E c
2
2
L'unità di misura della energia cinetica e, pertanto, di qualunque altra forma di
energia, è quindi uguale all'unità di lavoro [J].
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5.4 ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
Mentre, come descritto, l'energia in forma cinetica risulta associata al moto di un
corpo, con il termine di energia potenziale si intende definire una forma di energia (capacità
di compiere un lavoro) associata alla posizione del corpo stesso.
Si possono considerare forme diverse di energia potenziale, la più comune è l'energia
potenziale gravitazionale.
Si immagini, ad esempio, di muovere una massa m (w = cost.) dalla quota H2 alla quota H1;
per fare cio è ovviamente necessario applicare al corpo una forza esterna F' eguale e contraria
alla forza peso F = - m g agente sul corpo.
Il lavoro L'1,2 compiuto dalla forza F' applicata è:
H1
L'1, 2   F '  ds  m g (H1  H 2 )  m g H1  mgH 2
H2
L'espressione ottenuta suggerisce l'idea di attribuire alla massa m alla quota H un’energia di
posizione Ep o energia potenziale gravitazionale:
Ep = m g H
Grazie a questa idea di nuovo può scriversi:
L'1,2 = Ep
e cioè la variazione di energia potenziale corrisponde al lavoro della forza esterna applicata.
In riferimento ora al lavoro L1,2 compiuto dalla forza peso F risulta:
L1,2 = -Ep
E' opportuno osservare che la variazione di energia potenziale Ep dipende solo dalla
differenza di quota (H1- H2) = h e non dal cammino percorso.
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Si può osservare che se il corpo viene portato lungo il cammino A B tratteggiato in figura
dalla quota H2 alla quota H1, risulta possibile scomporre il percorso secondo una successione
di spostamenti orizzontali e verticali. I tratti orizzontali non possono fornire contributi al
lavoro complessivo essendo sia la forza applicata F' o che quella peso F perpendicolari allo
spostamento. Gli unici contributi significativi riguardano quindi i soli tratti verticali di
percorso.
Quando il lavoro compiuto da una forza è indipendente dal percorso, come ad esempio si è
appene visto per la forza peso F, si dice che tale forza è conservativa e in tal caso è sempre
possibile introdurre una funzione energia potenziale Ep che dipende solo dalla posizione del
corpo. Se una forza è conservativa, anche il lavoro totale da essa effettuato lungo un qualsiasi
percorso chiuso, e cioè un percorso che riporti il corpo in esame nella stessa posizione
iniziale, è nullo.
Ad esempio, si consideri il percorso complessivamente chiuso indicato in figura (21
andata,1 2 ritorno). Risulta evidentemente, in riferimento ai lavori fatti dalla forza peso:
L21 + L12 = - m g (H1 - H2) - m g (H2 - H1) = 0
Si usa esprimere tale condizione nel linguaggio matematico con l'espressione sintetica:


 dL   F  ds  0
ove il simbolo

indica che l'integrale è da valutarsi lungo una qualunque linea chiusa.
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5.5 ENERGIA POTENZIALE ELASTICA
Un altro comune esempio di forma di energia legata solo alla posizione è fornito dal
comportamento di una molla allungata o compressa. Si consideri la molla rappresentata in
figura; in posizione di riposo nessuna forza è applicata all'estremo della molla (x = 0).
Per allungare la molla della quantità x occorre applicare una forza F' uguale e contraria alla
forza di reazione della molla Fel, la quale, come già detto, dipende linearmente dallo
spostamento x dalla posizione di equilibrio (legge di Hooke) Fel= - kx, dove con k è indicata
la costante elastica della molla.
Si consideri ora il lavoro che la forza applicata F'= - Fel deve compiere per allungare la
molla dalla posizione di riposo della molla (x = 0) alla generica posizione x.
x
L
k
x dx 
x 0
1
1
1
k x 2  k (0) 2  k x 2  E e
2
2
2
Ossia, anche in questo caso si osserva come la variazione di energia potenziale elastica
corrisponda al lavoro della forza esterna applicata.
5.6 PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL' ENERGIA MECCANICA
Si consideri la caduta di un corpo (massa m). Alla quota H1 la velocità del corpo sia
w1. Supponendo trascurabile la forza di attrito con l’aria il corpo si muoverà verso il basso
con moto uniformemente accelerato. Alla quota H2 il corpo ha percorso uno spazio s= - (H2 H1 ); è stato complessivamente compiuto dalla forza peso F= -mg un lavoro L1,2 pari a:
L1, 2 
H2
H2
H1
H1
 F ds    m g ds  m g
(H 2  H 1 )  E p  0
Il lavoro compiuto dalla forza peso L1,2 eguaglia, d'altra parte come già visto, la
variazione di energia cinetica:
L1,2  E c 
1
1
m w 22  m w 12
2
2
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Uguagliando le due espressioni del lavoro L1,2:
Ec = -Ep
E, quindi:
1
1
m w 22  m w 12 =- (m g H2 - m g H1 )
2
2
Tale relazione può essere anche scritta nella forma:
E p1  E c1  E p 2  E c 2  cos t.
Si può dire che in ogni istante durante la caduta, la somma dell'energia cinetica e dell'energia
potenziale è costante e cioè pari all'energia totale meccanica iniziale del sistema ET1.
Si supponga ora di voler calcolare la velocità w2 del corpo raggiunta alla quota H2 e cioè
dopo una caduta s = - (H2 - H1 ). Si supponga il corpo fermo nello stato iniziale (indice 1,
quota H1 , w1 = 0). Anziché usare l’equazione esprimente la velocità del punto materiale per
moto uniformemente accelerato come w = f (wo , a, s) già illustrata nel capitolo di cinematica
ottenendo immediatamente:
w22 = 2 g s
si può ottenere lo stesso risultato in modo assai semplice facendo uso di questa importante
idea di conservazione. In particolare, essendo:
Ec1 = 0
si può scrivere:
E T1  E T 2  E p1  E p 2  E c 2
E c2  E p1  E p 2
E, cioè:
1
m w 22 = (m g H1 - m g H2)
2
Da cui si riottiene, ricavando w2, la nota relazione di cinematica del moto uniformemente
accelerato:
w 22  g(H 1  H 2 )  g  s
Più in generale, si può affermare che l'energia cinetica e potenziale (energia
meccanica) di un sistema di corpi (ad esempio il nostro pianeta ed il corpo m qui considerato)
è costante se nell'ambito del sistema stesso agiscono solo forze conservative e sono assenti
scambi di energia o di lavoro con tutto ciò che è esterno al sistema.
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5.7 PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL' ENERGIA
In riferimento all'esempio prima discusso, e cioè alla caduta libera di un corpo in
assenza di forze di attrito, ci si può chiedere che cosa comporta invece la presenza di tali forze
tipicamente non conservative (attrito con aria).
Come si può facilmente osservare, in presenza di attrito, il corpo di massa m
raggiunge la quota H2 prima considerata, animato da una velocità minore di quella raggiunta
nel caso precedente, e cioè: w 2  w 2 .
E C 2  E C 2
In conseguenza di ciò risulta:
per cui è anche:
E p 2  E c 2  E T1
ossia, l' energia meccanica totale del sistema ET = ET1 non si è conservata.
Un'analisi più approfondita mostra, però, che la quantità di energia mancante o
decremento di energia meccanica EM verificatosi in realtà corrisponde esattamente al lavoro
meccanico dissipato in attrito La. Tale lavoro di attrito si ritroverà, come si vedrà nella parte
di termodinamica, in una maggiore energia di eccitazione delle molecole del corpo e dell'aria
circostante e cioè in una nuova forma di energia, detta energia termica.
Se tale termine La = EM viene considerato nel bilancio energetico, si può ancora
scrivere :
E T1  E T 2  E T  cos t.
In generale, in riferimento ora un sistema fisico qualunque (porzione di materia o
spazio racchiuso entro ben distinti confini) che sia "isolato" da ciò che lo circonda (il termine
isolato significa che si è operato in modo da evitare la possibilità di scambi di energia nelle
sue varie forme attraverso i confini del sistema).
In tali condizioni, se all'interno del sistema sono individuabili ad un certo istante
forme di energia di tipo E1 , E2 , E3, e se il sistema si è trasformato fino ad assumere una
nuova ripartizione di forme di energia E1 , E 2 , E 3 , E 4 . risulterà sempre:
E1  E 2  E 3  E 4  E1  E 2  E 3  E 4
Ossia, l'energia totale del sistema non varia.
Il principio di conservazione dell'energia può essere così enunciato: "in un sistema
isolato l'energia non si crea nè si distrugge, in ogni trasformazione la sua quantità totale
rimane costante."
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Esempio
Un corpo di massa m = 1.5 (kg), fermo inizialmente ad un’altezza dal suolo di H=3
(m) su di un piano inclinato (=30°) scivola senza attrito. Quale sarà la velocità assunta dal
corpo alla fine del piano inclinato?
Soluzione
Il problema può essere facilmente risolto applicando il principio di conservazione dell'
energia. Inizialmente al sistema compete solo energia potenziale di tipo gravitazionale
(w1= 0) pari a:
Ep1 = m g H
Dopo aver percorso tutto il piano inclinato, l'energia potenziale iniziale si è trasformata
totalmente in energia cinetica. Si può quindi scrivere per la conservazione dell' energia totale:
Ep1 = Ec2
E, cioè:
m g H
1
m w 22
2
pertanto:
w 2  2gH
Risulterà, quindi:
w2 = 7.7 [m/s]
Se avessimo voluto risolvere il problema con l’equazione esprimente la velocità per moto
uniformemente accelerato avremmo dovuto valutare il modulo dell’accelerazione causata
dalla componente della forza peso F nella direzione dello spostamento.
Analogamente all’esempio già visto nell’esempio all’inizio del capitolo il modulo
dell’accelerazione vale a = g cos  dove  = (90° - = 60°.
Lo spazio percorso vale.
s = H/sin  [m]
Si ha, quindi:
w 2  2  g cos   s  2  9.81  0.5  6  7.7 (m / s)
In presenza della forza di attrito, la velocità acquistata sul piano inclinato sarà minore; il
principio di conservazione dell'energia potrà applicarsi solo tenendo conto dell'energia
dissipata in attrito corrispondente al lavoro effettuato dalla forza di attrito La .
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5.8 POTENZA
La potenza rappresenta la rapidità con cui viene eseguito un lavoro: se in un intervallo
di tempo si esegue il lavoro L, la potenza media Pm è:

L 
s
Pm 
F 


[J/s]
Come è già stato similmente definito il concetto di velocità istantanea, possiamo
definire la potenza istantanea come :

L 
s 

P  lim
F 
F  w
  0 

[J/s]
L'unità di potenza nel sistema S.I. è il "watt" (1 W = 1 J/s), talvolta viene ancora usata
come unità il "cavallo vapore" (1 Cv = 735 W). Nella pratica è molto usato (come unità di
misura dell'energia) il kilovattora [kW • h] e cioè, ad esempio, l'energia complessivamente
consumata da un motore della potenza di 1 kW in un ora (1 kWh = 3.6 • 106 J). Si osserva,
poi, che la potenza utilile fornita da un motore all’utilizzatore, non corrisponde mai a quella
che questo potrebbe potenzialmente fornire in assenza di attriti interni. Sulla base del
principio di conservazione dell’energia la parte di energia mancante si è convertita in energia
termica (calore) in conseguenza di questi fenomeni interni.
Esempio
Una pompa per irrigazione trasferisce, ogni 20 min, 30 m3 di acqua in un canale con
un dislivello h = 10 (m) sopra il livello di un fiume. Si valuti, applicando il principio di
conservazione dell’energia e supponendo assente ogni attrito, la potenza meccanica
richiesta dalla pompa. In base al principio di conservazione dell'energia, il lavoro teorico
necessario per sollevare m (kg) di acqua è pari alla variazione di energia potenziale:
L=mgh
La potenza sarà, quindi:
P
L mgh Vgh





ove si è posto m =  V con  densità dell'acqua ( = 1000 kg/m3). Risulta quindi:
P
L mgh Vgh 1000  30  9.81  10



 2450 ( W)



20  60
Ovviamente, in un caso reale la potenza necessaria sarà maggiore di quanto calcolato perché
una parte di lavoro meccanico verrà dissipata per attriti.
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Lavoro ed energia