Esercizi 30 ottobre 2007

Metodi quantitativi per l’analisi dello sviluppo
Esercizio 1
Si vuole analizzare un collettivo di 300 studenti, classificati in base al voto riportato all’esame di
storia contemporanea ed al sesso.
Sesso
Maschio femmina
40
65
60
135
100
200
Voto
≤24
≥25
105
195
300
Estraendo a caso uno studente, calcolare la probabilità che :
a) Lo studente sia maschio
P(maschio)=100/300=0.33
b) Il voto ottenuto sia uguale o superiore a 25
P(voto ≥25)=195/300=0.65
c) Sia femmina ed abbia ottenuto un voto uguale o inferiore a 24
P(femmina ∩ voto ≤24)=65/300=0.216
d) Sia femmina o abbia ottenuto punteggio inferiore a 24
P(femmina U voto ≤24) =
P(femmina)+P(voto ≤24)-P(femmina ∩ voto ≤24)=200/300+105/300-65/300=0.8
e) Abbia voto inferiore a 24 sapendo che è stata estratta una femmina
P(voto ≤24 / femmina)=P(femmina ∩ voto ≤24)/ P(femmina)=(65/300)/(200/300)=0.325
Esercizio 2
Si consideri l’esperimento consistente nel lanciare cinque volte una moneta e contare il numero di
volte che esce “testa”.
a) Determinare la distribuzione di probabilità della v.c. numero di teste in cinque lanci di una
moneta regolare.
b) Calcolare valore atteso e varianza
Soluzione
a) E’ una variabile casuale Binomiale con p=0,5 e n=5.

P(x)= nx  p x  (1  p)n x

5!
1 1
1 1
    =5/32
P(X=1)=  15        =
1! (5  1)! 2  2 
 2  2
54  1 
5!
1 1
1 1

    =
P(X=2)=  52        =
=10/32
2  32 
2! (5  2)!  2   2 
 2  2
5
5!
1
1
P(X=0)= 50  0, 50  (1  0.5)5 =
=1/32
0! (5  0)!  2 
1
4
2
3
4
2
X
P(X)
0
1/32
3
1
2
3
5/32 10/32 10/32
1
4
5/32
5
1/32
b)Il valore atteso è
E(X)=  x i P( x i ) =0*1/32+1*5/32+2*10/32+3*10/32+4*5/32+5*1/32=80/32=2,5
i
La varianza è V(X)=  ( xi  E ( X )) 2 * P( xi ) = (0-2,5)2*1/32+(1-2,5)2*5/32+(2-2,5)2*10/32+(3i
2,5)2*10/32+(4-2,5)2*5/32+(-2,5)2*1/32=1,25
Si poteva arrivare agli stessi risultati ricordando che per le variabili Binomiali E(X)=n*p=5*0,5=2,5
V(X)=n*p(1-p)=5*0,5*(1-0,5)=1,25
Esercizio 3
E’ stato stimato che in un villaggio africano la probabilità che un bambino nasca sieropositivo è 0,5.
Considerando casualmente 4 bambini calcolare la probabilità che:
a) almeno un bambino sia sieropositivo;
b) almeno un bambino sia sieropositivo e uno no.
Essendo X (numero di nati sieropositivi) una B(4;0,5) si ha:

P(x)= nx  p x  (1  p)n x

4
0
4
4!
 1  0, 0625 =0,9375
a) 1-P(X=0) = 1- 0  0, 5  0, 5 = 1 
0! (4  0)!

b) 1-P(X=0)-P(X=4)= 0, 9375  44  0, 54  0, 50 =0,9375-0,0625=0,875
Esercizio 4
Il tasso di povertà delle famiglie in una città è 0,2. Scegliendo casualmente 5 famiglie calcolare la
probabilità che:
a) nessuna sia povera;
b) una sia povera;
c) al massimo due famiglie siano povere.
X numero di famiglie povere X ~ B (5 ; 0,2)

P(X=1)=  15  *0,2 *0,8 =5*0,2*0,4096=0,4096
a) P(X=0) = 50 *0,20*0,85=1*1*0,32768=0,32768
b)
1
4
c) P(X<=2)=1-P(X>=3)
Se considero P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=

=0,32768+0,4096+ 52  0, 22  0, 83 =
=0,32768+0,4096+10*0,04*0,512=
=0,32768+0,4096+0,2048=0,94208
Considerando 1-P(X>=3)= 1-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=
2



= 1   53  0, 23  0,82  45  0, 24  0,81  55  0, 25  0,80  =


=1-[10*0,008*0,64+5*0,0016*0,8+1*0,00032*1]=
=1-[0,0512+0,0064+0,00032]=
=1-0,05792=0,94208
Esercizio 5
In una città, la temperatura massima giornaliera si distribuisce come una v.c. Normale con media 23
gradi centigradi e deviazione standard 7.
a) Si determini la probabilità che la temperatura massima sia tra 21 e 25 gradi.
b) Qual è la probabilità di avere una temperatura massima superiore a 30 gradi?
c) Qual è la temperatura massima superata con probabilità del 90%?
d) Qual è la temperatura superata con probabilità del 20%?
Soluzione
X~N(23;49)
Utilizzo le tavole della normale standardizzata che riportano i valori da 0 a z
21  23 X  23 25  23


)
7
7
7
P(-0,29≤Z≤0,29)= 2*P(0≤Z≤0,29)
P(0≤Z≤0,29)=0,1141
Per la simmetria della normale standardizzata
P(-0,29≤Z≤0,29)=2*0,1141=0,2282
a) P(21≤X≤25)=P (
b)P(X>30)=P (
X  23 30  23

)  P ( Z  1)  0, 5  P (0  Z  1)  0, 5  0, 3413  0,1587
7
7
c) P(X<x)=0,10
Sfrutto la simmetria della funzione e tenendo conto delle tavole utilizzate:
P (0  Z 
x  23
)  0,90  0,50  0,40
7
x  23
 1, 29
7
Il valore cercato però è a sinistra dello zero (Voglio P(X<x)=0,10) , quindi considero il segno
negativo
x  23
 1,29
7
x  23  9
x  14
d) P(X<x)=0,8
Tenendo conto delle tavole utilizzate:
3
P (0  Z 
x  23
)  0, 80  0, 50  0, 30
7
x  23
 0, 95
7
x  23  5, 95
x  28, 95
Esercizio 6
Il quoziente d’intelligenza di una popolazione di studenti è una variabile normalmente distribuita
con media 100 e varianza 64. Calcolare:
a) La probabilità di riscontrare un quoziente di intelligenza superiore a 120
b) La probabilità di riscontrare un quoziente di intelligenza compreso tra 90 e 115
c) Qual è il quoziente d’intelligenza superato con una probabilità di 0,15 dagli studenti
d) Qual è il quoziente d’intelligenza superato con una probabilità di 0,99 dagli studenti
Soluzione
Utilizzo le tavole della normale standardizzata che riportano i valori da 0 a z
a) P(X>120)
P( Z 
120  100
)  P ( Z  2, 5)
8
=0,5-0,4938=0,0062
90  100
115  100
Z
)
8
8
P(-1,25<Z<1,875)= P(0<Z<1,25)+P(0<Z<1,87)
b) P(90≤X≤115)=P (
P(0<Z<1,87)=0,4693
P(0<Z<1,25)=0,3944
P(-1,25<Z<1,875)=0,4693+0,3944=0,8637
c)P(X<x)=0,85
Tenendo conto delle tavole utilizzate:
P (0  Z 
x  100
)  0, 850  0, 50  0, 35
8
x  100
 1, 04
8
x  100  8, 32
x  108
d) P(X>x)=0,99 che equivale a dire P(X<x)=0,01
Sfrutto la simmetria della funzione e tenendo conto delle tavole utilizzate:
P (0  Z 
x  100
)  0, 5  0, 01  0, 49
8
x  100
 2, 33
8
4
Il valore cercato però è a sinistra dello zero, quindi considero il segno negativo
x  100
 2,33
8
x  100  18,64
x  81,36
5