Laboratorio 2B
A.A. 2012/2013
Elaborazione Dati
Lab 2B – CdL Fisica
Elaborazione dati sperimentali
• Principio della massima verosimiglianza
Quando eseguiamo una serie di misure relative ad una data grandezza
fisica, quanto otteniamo corrisponde al risultato più probabile.
Il principio della massima verosimiglianza permette di concludere
che il valore più attendibile di una serie di misure, caratterizzate da
errori casualidistribuiti secondo la stessa legge normale e in assenza
di errori sistematici, è dato dalla loro media aritmetica.
Il metodo dei minimi quadrati è una diretta conseguenza del
principio della massima verosimiglianza: si basa sull’ipotesi per cui il
valore più attendibile di una grandezza corrisponde a quello per cui è
minima la somma dei quadrati degli scarti divisi per 2σi2
(nel caso in cui le misure provengano da n distribuzioni teoriche differenti, ognuna
caratterizzata da varianza σi2, con i = 1, ... , n).
Nel caso di misure provenienti dalla medesimadistribuzione teorica, il valore più
attendibile corrisponde alla media aritmetica. Nel caso, invece, di osservazioni
provenienti da distribuzioni teoriche differenti esso è la media pesata delle
osservazioni, dove i pesi sono i reciproci delle varianze delle singole misure.
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Modellizzazione Dati
• Insieme di osservazioni
– misure di laboratorio (coppie xi var. indipendente,yi variabile
dipendente)
• Raffrontare i dati con un modello che dipende da
parametri variabili (modificabili)
• Definire una Funzione di Merito
• Modificare i parametri per ottenere la migliore funzione
di merito
Procedura di best-fit
Una procedura di best-fit deve fornire:
IMPORTANTE !
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(i)
i parametri,
(ii) l’errore stimato sui parametri,
(iii) una misura statistica della bontà del fit
I minimi quadrati come criterio
di massima verosimiglianza
• Fit di N punti sperimentali (xi,yi) i=1,…,N con y x y x; a ,..., a
1
M
un modello che ha M parametri variabili
N
y
• minimizzare rispetto ad a1 … aM
yi y xi ; a1
i
i 1
N
2-fitting
2
aM
yi y xi y xi ; ak
0
2
a k
i 1
i
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y xi ; a1
i 1
i è l’incertezza (errore) sul dato
e Wi è il cosiddetto “peso” del dato
• minimizzando deve essere
N
i
a M
2
Wi 1 1 yi
2
i
k 1,
,M
2
2
I minimi quadrati nel caso di una retta
• Immaginiamo di aver effettuato le misure di due grandezze che
siano l’una una funzione dell’altra.
• Supponiamo inoltre di ritenere che la relazione che lega le due
grandezze in questione sia lineare.
– L’ipotesi di linearità può essere un’idea da confermare, un primo tentativo
di approssimare la legge che mette in relazione i dati, o una ragionevole
approssimazione della funzione su un intervallo di valori della variabile
indipendente sufficientemente piccolo perchè abbia senso aspettarsi un
andamento lineare.
– Può anche essere, in alcuni casi, che noi già sappiamo che la legge che
regola il fenomeno che stiamo investigando è lineare: in tal caso siamo
interessati a determinare i valori del coefficiente angolaree dell’intercetta
con l’asse delle y per assegnarli alle grandezze fisiche a cui sono associati.
• In generale, per un problema di questo tipo, saremo interessati a
determinare i valori di a e b presenti nella relazione:
y a bx
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Data fitting con una retta - 2
Quale che sia l’origine dei dati, non ci aspettiamo che essi si dispongano su una
linea retta ma, piuttosto, che siano distribuiti in modo casuale: i coefficienti a e b
della retta che meglio si adatta ai dati vanno determinati in modo da rendere
minima la differenza dei quadrati degli scarti.
• Occorre minimizzare
• da cui, le condizioni
yi a bxi
a, b
i 1
i
N
2
2
N
2
yi a bxi
0
2
2
a
i 1
i
N
xi yi a bxi
2
0
2
2
b
i 1
i
N
• formiamo le seguenti
quantità:
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S
i 1
N
1
N
S xx
i 1
Sx
2
i
i 1
xi2
2
i
xi
N
S xy
i 1
2
i
xi yi
i2
N
Sy
i 1
yi
i2
Data fitting con una retta - 3
• Le due equazioni diventano
aS bS x S y
aS x bS xx S xy
• ponendo
SS xx S x
a
• le soluzioni sono
b
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2
S xx S y S x S xy
SS xy S x S y
Data fitting con una retta - 4
• Varianza di un parametro
• per la retta
• pertanto
pk
y
i 1
i
N
2
pk
2
2
i
a S xx S x xi
;
2
yi
i
b Sxi S x
yi
i2
a S xx
b S
Il coefficiente di correlazione tra le incertezze a e b è un numero
compreso tra -1 ed 1
rab S x SS xx
Un valore positivo di rab indica che è probabile che gli errori su a e
b abbiano lo stesso segno
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Data fitting con una retta - 5
La probabilità che un valore “inadeguato” per 2 possa verificarsi è dato da:
N 2 2
Q IncGammaFunc
,
2
2
x
1
t a 1
IncGammaFunc P x , a
e
t dt
a 0
a a 1 !
• se 1> Q > 0.1 bontà del fit “credibile”
• se Q > 0.001 bontà del fit “ipotizzabile” se gli errori sono “non normali” o
sono stati un po’ sottostimati
• se 0 < Q < 0.001 il modello e/o la procedura di stima sono inadeguati
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Esercitazione
riportare su un foglio Excel i dati sotto elencati (xi, yi, Wi)
utilizzando le formule di calcolo esposte in precedenza,
determinare la regressione lineare su questi dati
in particolare determinare i parametri e gli errori
associati al fit
riportare in grafico
il risultato e confrontarlo con il caso
2
Wi 1 i
di pesi unitari
(Wi=1 per tutti i punti)
xi
Rammentare che Wi è il peso, da cui
occorre calcolare l’incertezza i
Wi 1
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2
i
yi
0,0
0,9
1,8
2,6
3,3
4,4
5,2
6,1
6,5
7,4
Wi
5,9
5,4
4,4
4,6
3,5
3,7
2,8
2,8
2,4
1,5
1,0
1,8
4,0
8,0
20,0
20,0
70,0
70,0
100,0
500,0
Esercitazione
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Esercitazione
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