Corso di Laurea in Matematica per l`Informatica e la Comunicazione

Corso di Laurea in Matematica per
l’Informatica e la Comunicazione Scientifica
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Esame di Matematica Discreta 1 del 12 gennaio 2004
1. In una matrice quadrata A d’ordine 28 la prima riga, costituita da elementi tutti
distinti, sia (a1 . . . a28 ) e le altre righe si ottengano shiftando ogni volta i coefficienti
verso sinistra di r posizioni:

a1
 ar+1

A = a
 2r+1
..
.
...
...
...
...
a28
ar
..
.
...
a1
ar+1
..
.
...
...
...

a28
ar 

.
a2r 

..
.
Dire per quali dei seguenti valori di r la matrice A non è un quadrato latino:
a) r = 5;
b) r = 7;
c) r = 9;
d) r = 11.
Soluzione: Perché A rappresenti un quadrato latino in ogni colonna (e in ogni
riga) ciascun simbolo deve comparire esattamente una volta. Ragionando modulo
28 ciò significa che r deve essere un generatore del gruppo ciclico (Z28 , +) (l’ultima
colonna esprime bene questo fatto) e questo avviene se, e solo se, r è primo con 28.
Ne consegue che la risposta da segnare è la b).
2. Un artista vuole esporre le ultime sue venti opere in dodici differenti gallerie d’arte
nella città dove abita. L’artista vuole esporre lo stesso numero m di opere in
ciascuna galleria e vuole che ciascuna opera sia esposta lo stesso numero n di volte
(ovviamente le esposizioni nelle varie gallerie non devono avvenire tutte nello stesso
periodo). Dire quale delle seguenti possibilità per la coppia (m, n) è effettivamente
realizzabile.
(a) m = 5, n = 1;
(b) m = 10, n = 6;
(c) m = 1, n = 5;
(d) m = 6, n = 10.
Soluzione: Si deve applicare semplicemente il metodo del contare per righe e per
colonne, cioè applicare l’identità
20 × n = 12 × m.
Si controlla a vista che l’unica coppia di valori possibile è m = 10 e n = 6.
3. Si consideri il grafo G = (V, S) costituito da 10 vertici v1 , . . . , v10 ed i cui spigoli
sono cosı̀ definiti:
{vi , vj } ∈ S ⇐⇒ i ≡ j mod 5, oppure i ≡ j mod 6, oppure i ≡ j mod 7.
Dire quale delle seguenti affermazioni non è corretta:
(a) G non possiede circuiti hamiltoniani
(b) G non possiede cammini hamiltoniani;
(c) G non possiede circuiti euleriani;
(d) G non possiede cammini euleriani.
Soluzione: I vertici v1 , v2 , v3 , v8 , v9 , v10 hanno grado 3, i vertici v4 e v7 hanno
grado 2, mentre v5 e v6 hanno grado 1. Un cammino hamiltoniano che coinvolge
due vertici di grado 1 deve necessariamente avere come vertici iniziale e finale questi
due vertici (una volta arrivati in un vertice di grado 1 non si può più ripartire). In
un circuito vertice iniziale e vertice finale coincidono, per cui non vi possono essere
in G circuiti hamiltoniani. Altresı̀ non vi possono essere in G cammini euleriani (e
quindi neanche circuiti euleriani) perché vi sono più di due vertici di grado dispari.
Poiché vi è in G il cammino hamiltoniano
v6 → v1 → v7 → v2 → v8 → v3 → v9 → v4 → v10 → v5 ,
la risposta da segnare è la (b).
4. G il grafo dell’esercizio precedente. Quale delle seguenti affermazioni sul numero
cromatico χS (G) degli spigoli è quella corretta:
(a) χS (G) < 3;
(b) χS (G) = 3;
(c) χS (G) > 3;
(d) χS (G) non è determinato.
Soluzione: I vertici v1 , . . . , v5 , cosı̀ come i vertici v6 , . . . , v10 , non sono legati da
alcuno spigolo, quindi G è bipartito ed in un grafo bipartito il massimo dei gradi
dei vertici dà χS (G). Dunque il numero cromatico per gli spigoli è 3.
5. Con riferimento all’esercizio 2, se l’artista pretende che ogni coppia delle sue opere
sia esposta in esattamente una galleria, dire quali devono essere i valori di m ed n
per realizzare il progetto:
(a) m = 2, n = 19;
(b) m = 20, n = 1;
(c) m = 10, n = 16;
(d) il progetto non è realizzabile.
Soluzione: La soluzione al problema dell’artista corrisponde alla realizzazione di
un 2-disegno di parametri (v = 20, m, r2 = 1) ove si prendano per punti le 20 opere
e per blocchi le 12 gallerie. La ben nota relazione per un disegno vr1 = bk dà nel
nostro caso 20n = 12m, ovvero semplificando,
5n = 3m.
(1)
v−1
19
Ma d’altronde deve essere n = r1 = r2 × k−1
= 1 × m−1
=⇒ m = 20 e n = 1 oppure
m = 2 e n = 19. Ma nessuna di queste coppie di valori soddisfa la (1). Il progetto
non si può dunque realizzare.
6. Sia X un insieme di 20 numeri interi. Applicando il principio dei cassetti, si deduca
quale delle seguenti affermazioni non è verificabile se non si conoscono i numeri
contenuti in X:
(a) esiste in X una coppia di numeri la cui differenza è un numero primo;
(b) esiste in X una coppia di numeri la cui differenza è un multiplo di 17;
(c) esiste in X una coppia di numeri la cui differenza è divisibile per 3;
(d) esiste in X una coppia di numeri la cui differenza è pari.
Soluzione: Sia t un intero positivo < 20. Esistono t classi di congruenza modulo t.
Dunque gli elementi di X sono più delle classi di congruenza modulo t e quindi, in
virtù del principio dei cassetti, vi sono almeno due elementi di X che stanno nella
stessa classe di congruenza modulo t, ovvero la cui differenza è un multiplo di t. I
valori t = 17, t = 3 e t = 2 dicono che le affermazioni (b), (c) e (d) sono sempre
vere indipendentemente dai numeri contenuti in X. D’altronde se, per esempio,
si scelgono i 20 numeri tutti multipli di 10, non si otterrà mai per differenza un
numero primo. Pertanto la risposta da segnare è la (a).
7. Si consideri in Zp l’equazione x2 − x − 1 = 0. Segnare per quale valore di p
l’equazione ammette due soluzioni distinte.
(a) p = 3;
(b) p = 5;
(c) p = 7;
(d) p = 11.
Soluzione: Il discriminante del polinomio a primo membro è 5 che non è un
quadrato né in Z3 , né in Z7 , mentre è un quadrato 6= 0 in Z11 . Se ne deduce che
l’equazione data non ammette soluzioni né in Z3 , né in Z7 , mentre ammette una
sola soluzione in Z5 e due soluzioni in Z11 . La risposta da segnare è dunque la (d).
8. Segnare l’affermazione falsa:
(a) 2523 ≡ 2 (mod 23);
(b) la cifra delle unità di 1823125 è 3;
(c) 1236 × 67812 × 1026 è divisibile per 9;
(d) 2351274583 × 1034 è divisibile per 11.
Soluzione: Per il teorema di Fermat 2523 ≡ 25 (mod 23), ma 25 ≡ 2 (mod 23) per
cui la (a) è vera.
Una delle conseguenze del teorema di Fermat è che ogni intero n ha la stessa cifra
delle unità di n5 , e quindi anche di n25 = (n5 )5 e di n125 = (n25 )5 . Per n = 1823
vediamo allora che la (b) è corretta.
Sappiamo che ogni intero è congruo alla somma delle sue cifre mod 9. Abbiamo
allora le seguenti congruenze mod 9:
1236 ≡ 12 ≡ 3,
67812 ≡ 24 ≡ 6,
1026 ≡ 1.
Ne consegue che il numero indicato in (c) è congruo a 18 = 3 × 6 × 1 mod 9 e quindi
è divisibile per 9.
Un intero è divisibile per 11 se, e solamente se, sottraendo le cifre di posto pari a
quelle di posto dispari si ottiene un multiplo di 11. Per il numero in (d) abbiamo
che la somma delle cifre di posto pari è 19 = 3 + 1 + 7 + 5 + 3, mentre la somma
delle cifre di posto dispari è 21 = 2 + 5 + 2 + 4 + 8 (la moltiplicazione per 1034 non
modifica questo conteggio perché significa solo aggiungere 34 zeri). Poiché
21 − 19 = 2 6≡ 0 (mod 11),
ne deduciamo che il numero indicato in (d) non è divisibile per 11.
9. Quanti sono gli interi positivi ≤ 106 che non sono divisibili né per 2 né per 5?
(a) ventimila;
(b) centomila;
(c) quattrocentomila;
(d) un numero diverso dai precedenti.
Soluzione: Gli interi 2 e 5 sono gli unici divisori di 106 , per cui si tratta di calcolare
quanti sono gli interi positivi ≤ 106 che siano primi con 106 . Com’è noto questo
numero è dato dalla funzione di Eulero:
φ(106 ) = 106 (1 − 12 )(1 − 15 ) = 4 × 105 .
Quindi la risposta da segnare è la (c).
10. Quale dei seguenti numeri non è 15?
(a) il numero dei modi in cui si può suddividere un insieme di 6 oggetti in 5 parti
(non vuote);
(b) Il numero delle coppie non ordinate che si possono ottenere con 6 oggetti;
(c) Il numero delle applicazioni suriettive da un insieme di cardinalità 6 ad uno
di cardinalità 5;
(d) Il numero di combinazioni di 4 oggetti in un insieme di cardinalità 6.
¡ ¢
¡ ¢
Soluzione: Si ha 15 = S(6, 5) = 62 = 64 . Quindi 15 rappresenta sia il numero
delle partizioni di un insieme di 6 oggetti in 5 parti, sia il numero dei sottoinsiemi
di cardinalità 2 (oppure 4) in un insieme di cardinalità 6, sia il numero delle combinazioni di 4 oggetti (oppure 2 oggetti) in un insieme di cardinalità 6. Il numero
delle applicazioni suriettive da un insieme di cardinalità 6 ad uno di cardinalità 5
è invece 5!S(6, 5). Dunque la risposta da segnare è la (c).
11. Si consideri il codice lineare C avente

1 0
1 0
1 1
1 0
0 1
0 1
1
0
0

1
1
0
come matrice di controllo. Segnare l’affermazione non corretta:
(a) esiste in C una parola di peso 2;
(b) non esiste in C alcuna parola di peso 1;
(c) C non corregge alcun un errore;
(d) C non contiene parole di peso dispari.
Soluzione: Segue dalla teoria che se la matrice di controllo di un codice lineare
possiede due righe uguali, allora il codice ha una parola di peso 2 con gli 1 posizionati
nei posti corrispondenti alle due colonne uguali (nel nostro caso al terzo e al quinto
posto: 001010 ∈ C).
Sempre dalla teoria segue che un codice lineare possiede una parola di peso 1
precisamente quando la sua matrice di controllo ha una riga nulla.
Dalle argomentazioni precedenti segue che il peso minimo delle parole di C è 2, e
quindi 2 è anche la distanza minima tra le parole in C. Pertanto questo codice non
corregge alcun errore perché per farlo occorre almeno una distanza minima 3.
Infine si può verificare che 011111 è una parola (di peso dispari) contenuta in C,
per cui la risposta da segnare è la (d).