Una introduzione didattica al concetto di entropia

Una introduzione didattica al concetto di entropia
Franco Bagnoli, Angelo Baracca
14 novembre 2006
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Introduzione
Il concetto di entropia, pur essendo fondamentale nello studio della termodinamica, rimane piuttosto
ostico e di difficile visualizzazione. Vogliamo mostrare qui che attraverso l’analogia con il funzionamento di una semplice macchina meccanica, la ruota idraulica, si può introdurre e visualizzare
l’entropia come l’analogo termodinamico della massa di acqua che fa muovere la ruota.
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Ruota idraulica
La ruota idraulica è una macchina conosciuta fina dai tempi più antichi, e studiata in senso ingegneristico fin dal ’500. (citare Smeaton), e del resto anche Sadi Carnot basò i suoi ragionamenti
sull’analogia idraulica. Cerchiamo quindi di ripercorrere i fatti salienti.
Una ruota idraulica è una macchina che converte l’energia gravitazionale e cinetica di una certa
massa ∆m di acqua, che entra con velocità v1 ad una quota h1 e che viene scaricata con velocità v2 ad
una quota h2 , in lavoro ∆L. Dato che la ruota idraulica funziona in continuo, usiamo qui il simbolo
∆ per indicare le quantità (lavoro, massa di acqua) che entrano in gioco per un certo intervallo di
tempo ∆t fissato. Supponiamo inoltre che la ruota sia fatta abbastanza accuratamente da non avere
delle fughe di acqua.
Le ruote possono essere costruite in tante maniere: possono sfruttare solo l’energia gravitazionale,
facendo entrare l’acqua a velocità v1 pressoché nulla, oppure possono sfruttare solo l’energia cinetica
come per esempio le ruote a pale che vengono azionate da una corrente in un fiume. La domanda
che si sono posti gli ingegneri dei secoli scorsi era: quale è la forma e la modalità di azione di una
ruota idraulica tale da massimizzare il lavoro ∆L, date la quota dell’acqua in ingresso (supponendo
per esempio di utilizzare un bacino montano), e la quota dell’acqua in uscita.
Per prima cosa occorre un indicatore, definiamo quindi il rendimento η di una ruota come il
rapporto tra il lavoro prodotto e l’energia ∆E1 dell’acqua in ingresso
η=
∆L
,
∆E1
dove
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∆E = ∆mv 2 + ∆mgh.
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La conservazione dell’energia ci dice che
∆L = ∆E1 − ∆E2 ,
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e quindi si vede immediatamente che una prima maniera per aumentare η è quella di minimizzare
∆E2 , sia abbassando il più possibile l’altezza di scarico, sia diminuendo la velocità di uscita v2 .
Non è immediatamente chiaro se invece conviene diminuire o aumentare la velocità di ingresso
v1 , pescando l’acqua alla quota superiore o lasciandola cadere liberamente. Consideriamo il moto di
una piccola porzione di acqua: questo si può suddividere tra moto ordinato, che è uguale per tutte le
porzioni di acqua vicine e che corrisponde alla corrente, e moto turbolento, disordinato. Quest’ultimo
è difficilmente convertibile in lavoro, perché cambia continuamente di direzione. Il moto ordinato
tende a convertirsi in quello turbolento tutte le volte che una porzione di acqua ne incontra un’altra
con un moto diverso, per esempio quando un flusso di acqua in movimento incontra altra acqua ferma.
Questo è quello che avviene su una pala della ruota, e quindi conviene diminuire il più possibile la
velocità dell’acqua in modo da diminuire questa dissipazione dell’energia. Dalle nostre considerazioni
otteniamo quindi che la ruota con efficienza massima date le due quote h1 e h2 è quella che opera
quasistaticamente, immettendo e scaricando l’acqua a velocità pressoché nulla.
Una ruota idraulica può anche funzionare da pompa, facendola girare alla rovescia. La ruota
con la massima efficienza è quella che converte tutta l’energia a disposizione (che per le considerazioni precedenti è ∆mg(h1 − h2 ) in lavoro. Facendola funzionare come pompa, tra le stesse quote
di lavoro, una ruota di efficienza massima deve essere capace, con lo stesso lavoro, di ripompare la
stessa quantità di acqua alla quota superiore. Vediamo quindi che massima efficienza equivale anche
a reversibilità. È facile dimostrare per assurdo che tutte le macchine reversibili hanno la stessa efficienza, altrimenti potrei accoppiare una macchina reversibile con efficienza più alta ad una macchina
reversibile che funziona come pompa, con l’unico risultato di riuscire ad estrarre lavoro senza perdita
di energia dell’acqua.
Possiamo adesso calcolare l’efficienza di una macchina reversibile:
ηr =
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∆L
∆mg(h1 − h2 )
h2
=
=1− .
∆E1
∆mgh1
h1
Dall’idraulica alla termodinamica
Adesso vogliamo sostituire la nostra ruota idraulica con una macchina termica che lavora tra due
serbatoi di calore (analoghi ai bacini da cui si prende o si scarica l’acqua) alla temperatura rispettivamente T1 e T2 . L’analogia procede assumendo, con Joule, che il calore è una forma di energia.
Il termine calore indica quella parte dell’energia scambiata attraverso processi termici. Per uniformità (e anche per includere nella trattazione le macchine termiche che lavorano in continuo), lo
indicheremo con il simbolo ∆Q. La quantità ∆Q è ovviamente analoga all’energia ∆E = ∆mgh.
Molte delle considerazioni fatte per le ruote idrauliche si applicano in maniera simile alle macchine
termiche, soprattutto considerando che molte macchine termiche funzionano per mezzo di un fluido,
come per esempio la macchina di Carnot. In particolare, anche per le macchine termiche si può
definire l’efficienza η come rapporto fra lavoro prodotto ed energia in ingresso
η=
∆L
,
∆Q2
e il lavoro come differenza tra energia in ingresso ed energia in uscita
∆L = ∆Q1 − ∆Q2 .
Come per le ruote, anche qui la massima efficienza si ha per trasformazioni quasistatiche e corrisponde ad una macchina reversibile. Di nuovo, tutte le macchine reversibili che operano tra serbatoi
di calore alla stessa temperatura hanno la stessa efficienza.
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Per il calcolo dell’efficienza di una macchina termica possiamo quindi usarne una particolare, e
come al solito usiamo la macchina di Carnot, ottenendo
η =1−
T2
.
T1
Dal confronto tra le efficienze delle macchine reversibili vediamo che l’analogo della quota h nelle
ruote idrauliche è la temperatura T nelle macchine termiche.
Avendo identificato il calore con l’energia trasferita e la quota con la temperatura, risulta evidente
che l’entropia, ∆S = ∆Q/T è l’analogo della massa di acqua che passa nella ruota idraulica (a
parte la costante g).
Quindi, come una ruota idraulica funziona per mezzo dell’acqua che cade da una quota h1 ad una
quota h2 , cosı̀ le macchine termiche funzionano per mezzo di un flusso di entropia che cade da una
temperatura T1 ad una temperatura T2 . Risulta anche evidente la necessità di dover scaricare calore
alla temperatura T2 : come l’acqua non può scomparire, cosı̀ l’entropia non si può distruggere.
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Via dall’Eden
Le macchine termiche reali però non sono reversibili. Analizzando le cause dell’irreversibilità (salti
termici finiti, turbolenze, attriti) si vede che hanno la stessa origine di quelle che trasformano una
ruota idraulica reversibile in una ruota idraulica reale.
Diversamente dal caso meccanico, però, una macchina termica termina non reversibile scarica più
entropia di quanta ne è entrata, mentre la ruota idraulica scarica sempre la stessa quantità di acqua.
La differenza risiede nel fatto che l’acqua scaricata da una ruota idraulica non reversibile contiene più
energia di quella scaricata da una ruota idraulica reversibile: infatti o esce con una velocità non nulla,
o esce più turbolenta, o esce più calda a causa degli attriti interni. Alla fine, tutta questa energia
sprecata va a finire in calore. Ma mentre il calore aggiunto nell’acqua di scarico non incrementa la
sua massa, il calore aggiunto al calore di scarico incrementa la sua entropia. Se si volesse mantenere
fino in fondo l’analogia tra acqua ed entropia, si dovrebbe forse considerare che, relativisticamente,
l’energia cinetica (ovvero la temperatura) è massa per cui l’acqua di scarico, più calda, ha in realtà
una massa (infinitesimamente) più grande della massa di acqua più fredda in ingresso nella ruota
idraulica.
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Temperatura assoluta
L’espressione dell’efficienza per le ruote idrauliche,
η=
∆E1 − ∆E2
,
∆E1
ci dice che questa non può essere maggiore di uno, a meno di non violare la conservazione dell’energia.
Ma una volta sostituita la quota (o la temperatura),
η =1−
h2
,
h1
la formula diventa arbitraria a meno di non stabilire una scala assoluta delle quote, cosı̀ come si fa
per le temperature. Effettivamente, mentre la meccanica permette di stabilire uno zero arbitrario
dell’energia potenziale, noi dobbiamo considerare che la minima quota a cui si può in teoria scaricare
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acqua nel sistema gravitazionale terrestre è il centro della terra. E quindi dobbiamo misurare le quote
da questo punto (h = 0) che corrisponde allo zero assoluto per le ruote idrauliche. Come per il caso
termico, non possiamo effettivamente farlo perché i livelli energetici inferiori al livello del mare sono
(in genere) già occupati. Il livello del mare (o del più vicino fiume o specchio d’acqua) rappresenta
quindi la temperatura ambiente, e pompare acqua da un pozzo è un po’ come far funzionare un
condizionatore.
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Terzo principio della termodinamica
Volendo, è pure possibile introdurre il terzo principio della termodinamica usando questa analogia. Dato che l’entropia corrisponde alla massa di acqua (densità per volume), che la temperatura
corrisponde alla quota rispetto al centro della terra e che un serbatoio di calore corrisponde ad un
contenitore di acqua, l’equivalente di un corpo isolato è un pianeta composto di sola acqua. Dato che
l’acqua è incomprimibile, il volume V di acqua corrispondente ad una certa quota h è V = (4/3)πh3 ,
e quindi l’entropia va a zero a basse temperature.
Possiamo anche definire l’analogo della capacità termica C, che misura come aumenta la temperatura di un corpo quando immettiamo del calore:
C=
∆Q
.
∆T
Per l’analogia idraulica è meglio definire la capacità entropica
χ=
∆S
;
∆T
C = T χ.
L’analogo idraulico del passaggio di entropia in un serbatoio di calore consiste nel versare acqua in un
bacino. Quindi, l’equivalente idraulico di χ lo si ottiene sostituendo a ∆S la variazione della quantità
di massa ∆m dell’acqua contenuta nel bacino, ed a ∆T la variazione di quota ∆h. Dato che l’acqua
è incomprimibile, ∆m = ρ∆V , dove ρ è la densità dell’acqua e V il suo volume. L’incremento ∆V
di quest’ultimo è dato dal prodotto tra la superficie S e la variazione di quota ∆h. Quindi, a parte
delle costanti, χ, che corrisponde al rapporto ∆V /∆h rappresenta semplicemente la superficie S del
bacino. Si noti che questa derivazione non implica che la superficie sia costante al variare dell’altezza.
Quindi, l’analogia che a volte si fa in calorimetria tra capacità termica C e superficie di base di
un contenitore, temperatura T e altezza del livello di calorico contenuto nel corpo può essere resa
rigorosa definendo la quantità di entropia (invece della quantità di calore) contenuta nel corpo, e
specificando come la capacità entropica χ varia con la temperatura.
La capacità termica C = T χ non corrisponde al volume del bacino, perché questo implicherebbe
bacino cilindrico che si estende fino al centro della terra. C è semplicemente il prodotto tra la quota
del pelo libero dell’acqua (o dell’entropia) e la superficie del bacino stesso.
Se consideriamo un pianeta come l’equivalente idraulico-gravitazionale di un corpo termicamente
isolato, è facile mostrare come l’impenetrabilità dell’acqua fa sı̀ che la superficie χ diminuisca al
variare della quota, χ = 4πh2 , cosı̀ come la “capacità termica” diminuisce quantisticamente con la
temperatura.
In particolare, a basse temperature C ' T 3 , che corrisponde al calore specifico dei fononi
nell’approssimazione di Debye.
L’impenetrabilità dell’acqua suggerisce direttamente il principio di esclusione di Pauli, che impedisce ai fermioni di condensare a temperatura zero, ma comunque anche un gas di bosoni a temperatura
non nulla deve occupare livelli e quindi ha una sua superficie nello spazio dell’energia.
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Uso razionale dell’energia
L’analogia tra ruote idrauliche e macchine termiche si presta anche delle considerazioni sull’efficienza
e sull’uso razionale dell’energia. L’esempio più eclatante è quello di una stufa elettrica. Se misuriamo
l’efficienza di una stufa elettrica usando come lavoro prodotto l’energia termica irradiata, avremmo un
rendimento quasi uguale ad uno. Ma se consideriamo che l’energia elettrica è stata prodotta magari
con una centrale termoelettrica che magari scarica come rifiuto dell’energia termica alla temperatura
generata dalla stufetta, e che la generazione di energia ed il suo trasporto hanno comportato molti
sprechi, ecco che l’efficienza della stufetta diventa molto bassa. Ma proviamo a seguire l’analogo
processo idraulico: dobbiamo creare acqua ad una certa quota (temperatura) usando dell’energia
elettrica. L’unica maniera che abbiamo (teoricamente) è usare dei processi nucleari e convertire
direttamente l’energia in materia. E’ subito ovvia l’insensatezza del procedimento, pensando che
magari per produrre quella energia elettrica richiesta dal nostro laboratorio nucleare è stata utilizzata
una centrale idroelettrica. È molto più efficiente usare una pompa per innalzare l’acqua, cosı̀ come nel
caso termico è più efficiente usare una pompa di calore rispetto ad una stufetta. E in entrambi i casi,
quando è fattibile, è ancora più efficiente utilizzare l’energia (o l’acqua) di scarto. Questa analogia
si presta anche a favorire un ragionamento sulla necessità di mantenere pura l’acqua evitando di
inquinarla, altrimenti questi scarti non sono più utilizzabili.
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