Esercizio 12.1
Dato che il reddito dei consumatori è pari a 600, la funzione di domanda può essere
scritta:
Q = 300 − 0.2p
Uguagliando domanda e offerta, otteniamo:
300 − 0.2p = 50 + 0.3p
⇒
p∗ = 500
Se il reddito viene tassato del 10%, si riduce da 600 a 540. Quindi la funzione di
domanda diventa:
Q = 270 − 0.2p
Uguagliando la nuova funzione di domanda e la funzione di offerta, otteniamo:
270 − 0.2p = 50 + 0.3p
⇒
p∗ = 440
Quindi, l’introduzione dell’imposta sul reddito, deprimendo la domanda, ha ridotto il
prezzo di 60.
1
Esercizio 12.2
In assenza di imposta, la quantità di equilibrio è data da:
60 + 2Q = 300 − 4Q
⇒
Q∗ = 40
il prezzo di equilibrio è quindi di p∗ = 140. Il surplus dei consumatori (vedi paragrafo
3.1.7.2) è dato quindi da:
SC =
(300 − 140) · 40
= 3200
2
L’introduzione dell’imposta sposta parallelamente verso l’alto la funzione inversa di
offerta:
P = 60 + 2 + 2QS
In presenza di imposta, la quantità di equilibrio è data da:
62 + 2Q = 300 − 4Q
⇒
Q∗ =
119
3
il prezzo di equilibrio è quindi di p∗ = 424
3 .
4
Quindi, il consumatore si vede aumentare il prezzo di 424
3 − 140 = 3 . Dato che
l’imposte è pari a 2 e dato che il consumatore deve pagare 43 in più per ogni unità
4
acquistata, l’incidenza dell’imposta sul consumatore è data da: qc = 23 = 32 . Due terzi
dell’imposta sono quindi a carico del compratore e quindi un terzo dell’imposta è a
carico del venditore.
Per ottenere questo risultato si poteva applicare direttamente l’equazione 12.5:
qc =
b
b+h
⇒
qc =
4
4+2
⇒
qc =
2
3
in quanto sia la funzione di domanda che quella di offerta sono lineari, con b = 4
coefficiente angolare della funzione di domanda (in valore assoluto) e h = 2 coefficiente
angolare della funzione di offerta.
In presenza di imposta, il surplus dei consumatori è dato da:
SC =
119
(300 − 424
3 )· 3
= 3147
2
L’introduzione dell’imposta ha ridotto il surplus di 53 = 3200 − 3147.
2
Esercizio 12.3
Se scriviamo le funzioni di domanda e offerta proposte dal testo in forma inversa,
otteniamo:
p = 5 −Y D
p = 1 +Y S
e possiamo risolvere per l’equilibrio di mercato (Y S = Y D ≡ Y ) in assenza di imposta:
5 −Y = 1 +Y
⇒
Y∗ = 2
⇒
p∗ = 3
L’introduzione di una imposta a carico del produttore sposta la funzione inversa di
offerta parallelamente verso l’alto in misura pari all’importo dell’imposta (p = (1 +
t) +Y S ).
L’equilibrio di mercato (Y S = Y D ≡ Y ) dopo l’introduzione dell’imposta è quindi
dato da:
5 −Y = 1 + 2 +Y
⇒
Y ∗ (t) = 1
⇒
p∗ (t) = 4
Il gettito fiscale (FR) è dato dall’imposta per le quantità scambiate:
FR(t) = t ·Y ∗
⇒
FR(t) = 2 · 1 = 2
Le imprese, prima dell’introduzione dell’imposta incassavano:
T R = p∗Y ∗ = 6
Dopo l’introduzione dell’imposta incassano 2 per ogni unità venduta, in quanto il prezzo lordo è pari a p∗ (t) = 4, ma poi devono versare t = 2 per ogni unità venduta allo
Stato. Pertanto, il ricavo totale delle imprese sarà pari a:
T R(t) = (p∗ (t) − t)Y ∗ (t)
⇒
T R(t)(4 − 2) · 1 = 2
Le imprese vedono quindi i loro incassi ridursi di T R − T R(t) = 4.
I consumatori, prima dell’introduzione dell’imposta spendevano
E = p∗Y ∗
⇒
E = 3·2 = 6
Dopo l’introduzione dell’imposta, spendono 4 per ogni unità acquistata e acquistano 1
unità:
E(t) = p∗ (t) ·Y ∗ (t)
⇒
E(t) = 4 · 1 = 4
Quindi spendono 2 in meno.
3
Esercizio 12.4
Il testo ci chiede di calcolare la variazione dell’occupazione dell’impresa causata
dall’introduzione di una imposta. Dobbiamo quindi calcolare l’utilizzo del lavoro prima e dopo l’imposta. L’imposta incide su ogni unità prodotta, cioè sposta verso l’alto la
funzione di costo totale. Dobbiamo quindi esplicitare la funzione di costo dell’impresa
pre e post-imposta.
Calcoliamo allora la funzione di costo totale dell’impresa (che utilizza solo lavoratori). Dalla funzione di produzione possiamo calcolare:
L=
1
y2
10000
Il costo totale dell’impresa è quindi:
⇒
TC = wL
TC =
1 2
y
5000
Dall’uguaglianza tra prezzo e costo marginale otteniamo:
1.50 =
1
y
2500
⇒
y∗ = 3750
Dalla funzione di produzione sappiamo quindi che:
L=
1
y∗2
10000
L∗ ' 1406
⇒
(si noti che lo stesso risultato poteva essere raggiunto uguagliando la produttività marginale
1
2
del lavoro al salario reale, dove MPL = 50L− 2 e wp = 1.5
= 43 ).
Calcoliamo adesso la funzione di costo totale dell’impresa dopo l’introduzione
dell’imposta (t = 0.5):
TC = wL + ty
⇒
TC =
1 2
y + 0.50y
5000
Dall’uguaglianza tra prezzo e costo marginale otteniamo:
1.50 =
1
y + 0.50
2500
⇒
y(t)∗ = 2500
Dalla funzione di produzione sappiamo quindi che:
L(t)∗ =
1
y(t)∗2
10000
⇒
L(t)∗ = 625
Pertanto, l’introduzione dell’imposta ha ridotto la produzione dell’impresa di 1250 =
3750 − 2500 e ha ridotto l’utilizzo del lavoro di 781 = 1406 − 625.
4
Esercizio 12.5
Per ottenere la piena occupazione occorre che la domanda di lavoro sia pari a 400,
sia cioè pari all’offerta di lavoro. Cioè, lo Stato dovrà sussidiare le imprese in modo
tale che domandino precisamente 400 lavoratori.
Definiamo con s il sussidio per lavoratore. Dato che dalla funzione di produzione,
sappiamo che L = Y 2 e che il costo di ogni lavoratore è dato dal salario meno il sussidio
ricevuto dallo Stato (w − s), possiamo scrivere la funzione di profitto dell’impresa:
π = pY − TC(Y )
⇒
π = pY − (w − s)L
π = 10Y − (0.50 − s)Y 2
⇒
L’impresa deve scegliere quanto produrre. Massimizza quindi i profitti rispetto Y :
10 − 2(0.50 − s)Y = 0
⇒
Y (s)∗ =
10
1 − 2s
La produzione dell’impresa dipende quindi positivamente dal sussidio erogato dallo
Stato.
L’occupazione dell’impresa sarà allora pari a:
L(s)∗ = Y (s)∗2
L(s)∗ =
⇒
10
1 − 2s
2
Al fine di ottenere la piena occupazione, lo Stato fisserà il sussidio in modo tale che
L(s)∗ = 400:
10
1 − 2s
2
= 400
⇒
10 = 20(1 − 2s)
⇒
1
= 1 − 2s
2
da cui si ottiene il livello del sussidio pubblico che garantisce la piena occupazione:
s∗ =
1
= 0.25
4
Il sussidio deve quindi essere pari alla metà del salario.
5
Esercizio 12.6
Lo Stato deve decidere il livello di t che massimizza il gettito fiscale (dato da
FR(t) = t ·Y ∗ (t).
Per calcolare l’imposta ottimale, scriviamo le funzioni di domanda e offerta in forma inversa e teniamo conto che la funzione di offerta si sposta parallelamente verso
l’alto per un importo pari a t:
p = 100 −
1
p = 2+t + Ys
5
1 d
Y
10
La quantità di equilibrio si ottiene quando Y d = Y s ≡ Y :
100 −
1
1
Y = 2+t + Y
10
5
⇒
Y ∗ (t) =
980 10
− t
3
3
Il gettito fiscale è quindi dato da:
FR(t) = t ·Y ∗ (t)
⇒
FR(t) = t ·
980 10
− t
3
3
Lo Stato sceglie t in modo da massimizzare il gettito fiscale, quindi pone la derivata
prima di FR calcolata rispetto t uguale a zero:
980 20
− t =0
3
3
⇒
t ∗ = 49
Cioè, fissando una imposta unitaria pari a 49 lo stato ottiene il massimo gettito fiscale.
Il calcolo della variazione del surplus dei consumatori dovuto all’introduzione dell’imposta richiede la conoscenza del surplus per t = 0 e per t = 49.
10
∗
Sappiamo che Y ∗ (t) = 980
3 − 3 t e possiamo calcolare p (t) (dalla curva di domanda
1
202
∗
o di offerta) p (t) = 3 + 3 t.
Allora possiamo scrivere il surplus del consumatore come funzione dell’imposta t:
1
202 1
980 10
1 10(98 − t)2
SC =
100 −
+ t
− t
⇒
SC =
2
3
3
3
3
2
9
quindi:
5
SC = (98 − t)2
9
Per t = 0, vale SC = 5336. Per t = 49, vale SC = 1334. Pertanto l’imposta riduce il
surplus del consumatore in misura pari a 4002 = 5336 − 1334.
6
Esercizio 12.7
Il testo ci chiede di quanto dovrebbe variare il reddito di un individuo al fine di compensare la variazione del prezzo di un bene in seguito all’introduzione di una imposta
(vedi capitolo 3.1.7).
Dobbiamo quindi calcolare l’utilità indiretta dell’individuo in assenza dell’imposta,
e valutare quale reddito sarebbe necessario per raggiungere la stessa utilità dopo che
l’imposta è stata introdotta.
Si noti che la funzione di utilità dell’individuo rappresenta beni perfettamente sostituti (se si calcola il saggio marginale di sostituzione, si vede che esso è costante). le
curve di indifferenza sono quindi delle rette con pendenza −1. Questo vuol dire che il
consumatore acquisterà tra i beni 1 e 2 solo quello che costa meno.
In assenza dell’imposta, costa meno il bene 2. Dato il reddito dell’individuo pari a
450, questo individuo acquisterà allora x2∗ = 450
9 = 50 e, ovviamente, x1 = 0.
L’utilità indiretta in assenza dell’imposta sarà quindi:
u∗ = x1∗ + x2∗
u∗ = 50 + 0 = 50
⇒
In seguito all’introduzione dell’imposta, il bene 2 costa 11, mentre il bene 1 costa
10. Pertanto il nostro individuo acquistera solo il bene 1, meno costoso.
Ci dobbiamo allora chiedere quale è il livello di reddito (m) che gli permette di
raggiungere la stessa utilità che raggiungeva senza l’imposta, pari a u∗ = 50.
Dato un reddito m, l’individuo acquisterà il bene 1, che costa 10, per una quantità
data da:
m
x1 =
10
l’utilità che l’individuo può raggiungere acquistando solo il bene 1 è pari a u = x1 +0 =
m
10 .
L’utilità che otteneva senza imposta è pari a 50. Dobbiamo quindi risolvere:
50 =
m
10
cioè m = 500. Se il reddito dell’individuo aumentasse di 50 = 500 − 450, allora la sua
utilità non sarebbe modifica dall’introduzione dell’imposta sul bene 2.
7
Esercizio 12.8
Il testo dell’esercizio chiede esplicitamente di aiutarsi con una rappresentazione
grafica. Dato che non conosciamo la funzione di utilità dell’individuo, possiamo rappresentare solo il suo vincolo di bilancio, che in generale è scritto:
xB =
m
pA
− xA
pB pB
Questo vincolo può essere rappresentato graficamente in tre situazioni: quella iniziale, quella che si avrebbe se l’ipotesi del partito conservatore fosse quella vincente,
quella che si avrebbe se l’ipotesi del partito progressista fosse quella vincente,
Vediamo allora in vincolo nei tre casi. Nella situazione iniziale
xB =
20000 100
−
xA
200
200
⇒
xB = 100 − 0.50xA
Nella situazione proposta dal partito conservatore, che propone una aumento del
reddito disponibili di 1000 (per comodità, indichiamo con xCB questa ipotesi):
21000 100
−
xA
⇒
xCB = 105 − 0.50xA
200
200
Nella situazione proposta dal partito progressista, che propone una riduzione del
prezzo del bene 2 di 12.5 (indichiamo con xBP questa ipotesi):
xCB =
20000 87.5
−
xA
⇒
xBP = 100 − 0.4375xA
200
200
A questo punto possiamo rappresentare i 3 vincoli di bilancio:
Nella rappresentazione grafica (dove xA varia tra 50 e 120 per rendere più leggibile
il grafico) è evidenziata la scelta dell’individuo posta in essere nella situazione iniziale,
con xA = 100 e xB = 50. Quella scelta doveva essere ottimale per l’individuo.
20000 100 si nota che il vincolo di bilancio si sposta verso
Dalla rappresentazione
21000 100
xB( xA) := grafica
−
⋅ xA
xBC( xA) :=
−
⋅ xA
200
200
200
200
l’esterno in ambedue i casi, ma che, partendo dalla
situazione iniziale, l’insieme dei
panieri raggiungibili per l’individuo è più ampio nel caso del partito progressista.
20000 87.5
xBP( xA) := per questo
−
⋅ xA partito.
Quindi l’individuo voterà
xA := 50 , 60 .. 120
200
200
xBP =
80
100
70
xB( xA )
xBC( xA )
60
xBP( xA)
50
50
40
50
60
70
80
90
xA
8
100
110
120
Esercizio 12.9
L’esercizio ci chiede di calcolare di calcolare la riduzione dell’imposta sui redditi
necessaria per far si che il surplus dei consumatori non cambi.
Dovremo quindi:
a) calcolare il surplus dei consumatori senza imposta sui consumi
b) calcolare il surplus dei consumatori senza imposta con i consumi per una generica imposta sui consumi, t
c) valutare per quale t i due surplus sono uguali
Per τ = 0 e t = 25%, l’equilibrio tra domanda e offerta da luogo a:
6400(1 − 0.25) −Y = Y
⇒
4800 = 2Y
Y ∗ = 2400
⇒
quindi p∗ = 2400. Il surplus dei consumatori (dato dalla differenza tra intercetta
delle funzione di domanda e prezzo moltiplicata per la quantità e divisa per due) sarà
allora:
(4800 − 2400) · 2400
= 2880000
SC =
2
Per τ = 200 e t incognito (perché dobbiamo calcolare t ∗ tale che il surplus dei
consumatori rimanga costante), avremo invece:
6400(1−t)−Y = 200+Y
⇒
⇒
6200−6400·t = 2Y
Y ∗ (t) = 3100−3200·t
da cui:
p∗ (t) = 3300 − 3200 · t
In questo caso, il surplus sarà:
SC =
[6400(1 − t) − (3300 − 3200 · t)](3100 − 3200 · t)
2
⇒
SC =
[3100 − 3200 · t]2
2
Il testo ci chiede di calcolare t in modo tale che questo surplus sia uguale a quello
che si aveva prima dell’introduzione dell’imposta sui prezzi τ, che era pari a 2880000.
Quindi:
2880000 =
[3100 − 3200 · t]2
2
⇒
√
5760000 = 3100 − 3200 · t
da cui:
2400 = 3100 − 3200 · t
t∗ =
⇒
700
= 0.219 = 21.9%
3200
L’imposta t era pari al 25% e deve essere ridotta al 21.9%. Pertanto, si dovrà ridurre
del 3.1%.
9
