Copyright© Esselibri SpA

.
A
2.2.3.Prodotti notevoli
i
S.
p.
Per quanto visto in precedenza, in generale per moltiplicare un polinomio di m
termini per uno di n termini devono effettuarsi m · n moltiplicazioni, così per
esempio per moltiplicare un polinomio di 4 termini per uno di 5 devono effettuarsi ben 20 moltiplicazioni. Naturalmente all’aumentare del numero di operazioni
da eseguire aumenta anche la possibilità che qualcuna delle operazioni effettuate
risulti sbagliata. Ciò ci suggerisce di cercare degli accorgimenti per ridurre le
operazioni da eseguire. Naturalmente ciò non sarà sempre possibile, ma lo sarà
per alcuni prodotti che perciò chiamiamo prodotti notevoli.
Semplificare:
(3x −2y )⋅(3x +2y ) =9x
Come si è visto abbiamo ottenuto due termini opposti. Non è difficile capire che
ciò è dovuto alla particolarità del prodotto in cui i due binomi sono quasi uguali,
differendo fra essi solo per il segno di uno dei due monomi.
2
2
+ 6xy 2 − 6xy 2 − 4y 4 =9x 2 − 4y 4
se
li
2
br
esempio
Es
Questo prodotto è notevole e lo chiamiamo prodotto della somma per la differenza delle basi.
Vale la seguente regola per il calcolo semplificato del prodotto notevole.
R
egola 1 • Il prodotto della somma per la differenza delle basi fornisce come
risultato la differenza dei quadrati delle basi. In simboli:
©
( A+ B) ⋅ ( A− B) = A2 − B2
ht
con la convenzione che A e B rappresentino in generale due polinomi.
Eseguiamo dei prodotti notevoli applicando la precedente regola.
• ( 2x −3)⋅( 2x +3) = ( 2x ) −32 = 4x 2 −9
2
2
• ( 5xy +2z )⋅( 5xy −2z ) = ( 5xy ) − ( 2z ) =25x 2 y 2 − 4z 2
2
2
2
2
2
• −7−a b ⋅ 7−a b = −7 + a b = −49+a 2b 4
ig
esempi
)(
)
( )
yr
(
2
Possiamo ottenere un altro interessante prodotto notevole.
op
esempio
C
56
(
)
2
Semplificare 7z 2 +p .
Si ha:
2
2
7z 2 +p = 7z 2 +p ⋅ 7z 2 +p = 7z 2 +7z 2 ⋅p+p⋅7z 2 +p 2 =
(
) ( )(
= (7z ) +2⋅7z
2 2
)( )
2
⋅p+p 2 =49z 4 +14pz 2 +p 2
Capitolo 2
.
R
egola 2 • Vale il seguente sviluppo per il quadrato di un binomio:
2
= A2 + 2A⋅B+ B 2
S.
( A+ B)
p.
A
Anche il precedente prodotto ha qualcosa di notevole, che esplicitiamo nella seguente regola. Il prodotto lo chiamiamo quadrato di un binomio.
Le precedenti regole sono valide anche per polinomi, non solo per monomi.
Semplificare
(
)
(
)
i
esempio
Possiamo pensare la moltiplicazione come un particolare prodotto somma per
differenza, i cui termini sono un monomio e un polinomio. Scriviamo perciò:
li
br
⎡2x + a 2 −b ⎤ ⋅ ⎡2x − a 2 −b ⎤
⎣
⎦⎣
⎦
⎡2x + a 2 −b ⎤⋅⎡2x − a 2 −b ⎤=4x 2 − a 2 −b 2 =4x 2 − a 4 −2a 2b+b 2
⎣
⎦⎣
⎦
(
)
(
)
(
2
)
4
2
se
=4x −a +2a b−b
(
)
2
In questo modo abbiamo eseguito solo 4 moltiplicazioni, invece di 9.
esempi
1. Semplificare:
(3x − y )⋅(9x
2
Es
Vediamo ancora qualche altro prodotto notevole.
)
+3xy + y 2 =27x 3 +9x 2 y +3xy 2 −9x 2 y −3xy 2 − y 3 =27x 3 − y 3
©
Come si vede i 6 monomi si sono ridotti solo a due, che sono poi il cubo di ciascuno dei due termini del binomio di partenza.
ht
2. Semplificare:
(3x + y )⋅(9x
2
)
−3xy + y 2 =27x 3 −9x 2 y +3xy 2 +9x 2 y −3xy 2 + y 3 =27x 3 + y 3
ig
Il prodotto è molto simile al precedente, stavolta la semplificazione è però data
dalla somma dei cubi.
R
yr
In vista dei precedenti esempi poniamo le seguenti regole.
op
egola 3 • Vale la seguente uguaglianza:
R
( A− B) ⋅ ( A2 + A⋅B+ B2 ) = A3 − B3
C
egola 4 • Vale la seguente uguaglianza:
( A+ B) ⋅ ( A2 − A⋅B+ B2 ) = A3 + B3
Algebra dei polinomi
57
.
Sviluppare il seguente cubo di un binomio:
S.
3
(a +b )
Scriviamo nel seguente modo:
3
2
(a+b ) = (a+b ) ⋅(a+b ) = (a +2ab+b )⋅(a+b ) =
2
br
2
i
esempio
p.
A
Altri prodotti notevoli sono le potenze qualsiasi di un binomio. Vediamo solo il
caso del cubo.
=a 3 +2a 2b+ab 2 +a 2b+2ab 2 +b 3 =a 3 +3a 2b+3ab 2 +b 3
li
se
L’esempio precedente ci suggerisce di enunciare una regola per lo sviluppo del
cubo di un binomio, che si avvale di appena 4 moltiplicazioni contro le 8 che
invece dovremmo effettuare moltiplicando la base per se stessa tre volte.
R
Es
egola 5 • Lo sviluppo del cubo di un binomio genera un quadrinomio formato dai cubi dei due monomi formanti la base e dai due tripli prodotti fra il
quadrato di ciascun monomio per l’altro. In simboli:
3
= A3 + 3A2 ⋅B+ 3A⋅B 2 + B3
©
( A+ B)
Sviluppare:
ht
esempio
2 3
(2x −y )
ig
Applichiamo la precedente regola:
2 3
3
2
2 2
2 3
yr
(2x −y ) =(2x ) +3⋅(2x ) ⋅(−y )+3⋅(2x )⋅(−y ) +(−y ) =
op
R
2
=8x 3 +3⋅4x 2 ⋅y 2 +6x ⋅y 4 −y 6 =8x 3 +12x 2 y 2 +6xy 4 −y 6
egola 6 • Vale la seguente uguaglianza:
C
A2 – B 2 = ( A – B) ( A+ B)
58
Capitolo 2
1 • Svolgere il seguente prodotto fra monomi:
S.
⎛ 1 2 3 4 2⎞ ⎛ 6 3 3⎞ ⎛ 1 2 4⎞
⎜⎝ 2 l m n p ⎟⎠ ⋅⎜⎝ 5 l pq ⎟⎠ ⋅⎜⎝ − 7 mn q ⎟⎠
Si ha:
.
123
A
Esercizi svolti |
Algebra dei polinomi
p.
2
br
i
⎛1 6 2 3 3 4 2
⎞ ⎛ 1 2 4 ⎞ ⎛3 5 3 4 3 3⎞ ⎛ 1 2 4 ⎞
3
⎜ ⋅ l ⋅l ⋅m n p ⋅p⋅q ⎟⋅⎜− mn q ⎟ =⎜ l ⋅m n p ⋅q ⎟⋅⎜− mn q ⎟=
2
5
⎝
⎠⎝ 7
⎠ ⎝5
⎠⎝ 7
⎠
3 5 4 6 3 7
=− l ⋅m n p ⋅q
35
li
Potevamo anche effettuare la moltiplicazione nel seguente modo:
2 • Semplificare la seguente espressione:
se
3 5 4 6 3 7
⎛ 1 2 3 4 2⎞ ⎛ 6 3 2 7⎞
⎜⎝ 2 l m n p ⎟⎠ ⋅⎜⎝ − 35 l mn pq ⎟⎠ = − 35 l m n p q
Es
(ab + ac – bc) · (ac – ab + bc)
Applicando ripetutamente la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, moltiplichiamo
ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio. Otteniamo così:
©
ab⋅ac +ab⋅( −ab ) +ab⋅bc +ac⋅ac +ac⋅( −ab ) +ac⋅bc −bc⋅ac −bc⋅( −ab ) −bc⋅bc =
ht
=a 2bc −a 2b 2 +ab 2c +a 2c 2 −a 2bc +abc 2 −abc 2 +abc 2 −b 2c 2 =
ig
= −a 2b 2 +ab 2c +a 2c 2 +abc 2 −b 2c 2
Abbiamo segnato con uguali segni i monomi simili.
op
yr
3 • Consideriamo la moltiplicazione:
(3x 2 − x +1)⋅(2x 2 −4x −5)
senza sviluppare tutti i prodotti vogliamo sapere quanto varrà il coefficiente del monomio di grado
3 del polinomio risultato.
C
Poiché il grado del prodotto di due monomi è la somma dei gradi dei singoli monomi, otterremmo
grado 3 moltiplicando fra loro due monomi, uno di grado 2 e l’altro di grado 1, cioè dai prodotti
3x 2 ⋅( −4x ),( −x )⋅2x 2 , pertanto il coefficiente cercato è –12 – 2 = –14.
Algebra dei polinomi
59
408
.
+1)
2
p.
(10
A
4 • Determinare la somma delle cifre del numero:
Apparentemente il quesito è molto laborioso, neanche le calcolatrici scientifiche possono aiutarci. Se
però sviluppiamo il quadrato come se fosse quello di un binomio, otteniamo:
408
)
2
+1 =10816 +2⋅10408 +1
S.
(10
10…020…01
︸︸
407
407
li
la somma delle sue cifre è perciò 1 + 2 + 1 = 4.
br
i
Adesso chiediamoci che tipo di numero è il risultato. 10816 è formato da 1 e 816 zeri, allo stesso
modo 2⋅10408 è formato da 2 e 408 zeri. Quando sommiamo questi due numeri avremo ancora un
numero con 817 cifre, che sono 1 (la prima), 2 (quella di posto 409 dalla fine) e poi tutti zeri. Sommando a questo numero 1 otterremo
se
5 • Possiamo applicare qualche prodotto notevole per semplificare
( 4a +b )⋅( 4b −a ) ?
Es
No, perché abbiamo la somma per la differenza ma non di monomi uguali.
2
2
6 • Possiamo applicare qualche prodotto notevole per semplificare ( 4pq –1)⋅( –1+4pq ) ?
Sì, perché è il quadrato di un binomio. Perciò:
©
( 4pq −1)⋅( −1+ 4pq ) = ( 4pq ) +2⋅( 4pq )⋅( −1) + ( −1) =16p q
2
ht
2
2
2
2
2
2 4
−8pq 2 +1
ig
7 • Possiamo applicare qualche prodotto notevole per semplificare
(1+a
2
−b )⋅(1−a 2 −b ) ?
Pur non avendo un particolare prodotto notevole, scrivendo opportunamente l’espressione, possiamo
semplificare i calcoli.
(1+a −b )⋅(1−a −b ) = ⎡⎣(1−b ) +a ⎤⎦⋅ ⎡⎣(1−b ) −a ⎤⎦ = (1−b ) − (a ) =1−2b +b −a
yr
2
2
2
2
2
2
2
2
4
op
8 • Il seguente sviluppo di un quadrato di binomio è errato:
2
2
2
(3xy −2z ) = (3xy ) + ( −2z ) = 9x
2
y 2 +4z 2
C
Infatti manca il doppio prodotto. Si ricordi che lo sviluppo del quadrato di un binomio è sempre un
trinomio. L’espressione corretta è: 9x 2 y 2 −12xyz + 4z 2 .
60
Capitolo 2
.
A
9 • Semplificare:
p.
⎡⎣(1−2x ) − (3y −z )⎤⎦⋅⎡⎣(1−2x )+ (3y −z )⎤⎦
(1−2x ) − (3y − z ) =1− 4x + 4x − (9y
2
2
2
2
)
S.
Anche in questo caso applichiamo la regola del prodotto somma per differenza:
−6yz + z 2 =1− 4x + 4x 2 −9y 2 +6yz − z 2
2
br
i
Osserviamo che così facendo abbiamo eseguito 6 moltiplicazioni invece di 16.
Esercizi proposti |
Algebra dei polinomi
1 • Semplificare le seguenti espressioni:
a) ( 2a −3b +1)⋅( 2a +3b −2); b) (a +2b −3c )⋅(a +2b −3c )
Es
2 • Semplificare la seguente espressione:
se
li
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
31 2
⎛ ax −1 bx +2 ⎞ ⎛ ax +1 bx −2 ⎞ a 2 x 2 +b 2 x 2
⎜⎝ 2 + 2 ⎟⎠ ⋅⎜⎝ 2 + 2 ⎟⎠ −
4
©
3 • Semplificare la seguente espressione:
⎛1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞
a− b+ c ⋅ a+ b− c − a− b ⋅ a+ b
⎝⎜ 2 3 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 3 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟
ht
4 • Senza effettuare la moltiplicazione per intero, stabilire quanto vale il coefficiente di grado 3
(
)(
)
del polinomio risultato 3x 3 +2x 2 − x +1 ⋅ 4x 4 −2x 3 + x − 4 .
ig
5 • Senza effettuare la moltiplicazione per intero, stabilire quanto vale il coefficiente di grado 3
(
)(
)
del polinomio risultato x 2 −2x +1 ⋅ x 4 − x 3 + x −5 .
6 • Senza sviluppare le potenze dire il grado del polinomio risultante dalla moltiplicazione se-
)(
yr
(
4
)
3
guente: x 2 +1 ⋅ x 3 +1 .
7 • Determinare la somma delle cifre dei seguenti numeri:
(
)
2
(
)
2
(
)
)
2
op
a) 10215 +1 ;b) 10512 +3 ;c) 101234 +2 .
2
n
8 • Determinare la somma delle cifre di 10 +9 , n ∈N .
(
(
)
2
n
9 • Sapendo che la somma delle cifre di 10 +m , n, m ∈N , è 18, determinare m.
100
100
C
10 • Quanti termini ha il polinomio risultato della seguente espressione: (a +b ) + (a −b ) ?
Algebra dei polinomi
61
.
(
)(
)
a) ( xy − xz )⋅( xz − xy ); b) ( 8a −7b )⋅( 8a −7b ); c) ( −11m p +12w )⋅(12w
a) (a +bc )⋅(a −abc +b c ); b) (7m −2n )⋅( 49m +14m n + 4n )
a) ( x + y )⋅( x + x y + y ); b) ( x +2y )⋅( x +2xy − 4y )
A
Semplificare applicando, ove possibile, i prodotti notevoli.
13 •
14 •
2
2
2
2
2
2 2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
4
⎛5 2 3
4 ⎞ ⎛ 25 4 3
2 4 3
8⎞
3
5
8
3 5
32
15 • a) ⎜ t w −2y ⎟ ⋅⎜ t w +5t y w + 4y ⎟ ; b) a −b ⋅ a +a b +b
⎝2
⎠ ⎝ 4
⎠
(
(
)(
)
17 • ⎡⎣ a 7 +1 ⋅ a 14 −a 7 +1 ⎤⎦
(
2
)(
) (
)(
+36a b +81b )
4
)
se
(
19 • ( 2a −3b )⋅( 2a +3b )⋅ 16a
2 2
li
18 • 2a 2m −3b 3c ⋅ 2a 2m +3b 3c − a 2m −b 3c ⋅ 4a 2m +9b 3c
4
)
i
⎛ 2x + z x −3z ⎞
⎛ mn +p 2 ⎞
16 • a) ⎜
+
; b) ⎜
+p ⎟
⎝ 3
⎝ 2
⎠
4 ⎟⎠
)(
2
br
2
−11m 4p
S.
12 •
p.
11 • a) ( 3xy +1)⋅( 3x − y ); b) 4a 4b 2 +c ⋅ 4a 2b 4 −c ; c) ( −w +5)⋅( 5−w )
1
1
⎛1
⎞ ⎛1
⎞
⎛2
⎞ ⎛3
⎞
20 • a) ⎜ x 3 − x +2⎟ ⋅⎜ x 3 + x −1⎟ ; b) ⎜ xy − x 2 + y 2 ⎟ ⋅⎜ xy − x 2 − y 2 ⎟
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
⎝3
⎠ ⎝2
⎠
3
3
2
2
(
22 • (a +c ) ⋅ a 2 −ac +c 2
)
2
(
)
23 • ⎡⎣( 2a +3b )⋅ 4a 2 −6ab +9b 2 −1⎤⎦
2
2
Es
21 • a) ⎡(a +b ) +c ⎤ ; b) ⎡(a +b ) −c ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
2
3
©
24 • ( 3mnp +m −n ) − ( 3mnp +m −n )⋅( 3mnp −m −n )
3
(
) (
)
3
2
ht
25 • a) (ab +cd ) − (ab −cd ) ; b) x 2 −1 + x 2 +1
3
26 • (7qs −1) + ( 3qs −2h )⋅( 3qs +2h ) +2qs ⋅(7−29qs ) + 4h −6
ig
27 • (a +2b −3c)⋅(a −2b +3c)−(a −2b −3c)⋅(a +2b +3c)+(a +2b +3c)⋅(a −2b +3c)
2
yr
28 • (a +2b −c )⋅(a −2b +c ) − (a +3b +2c )⋅( 3a −b +c ) − (a +b +c ) +3a 2 +2b 2 + 4c 2
2
2
⎛1
⎞ ⎛1
⎞ ⎛2
⎞ ⎛1
⎞
29 • ⎜ a +b ⎟ ⋅⎜ a −b ⎟ − ⎜ a −b ⎟ + ⎜ a −b ⎟ +b⋅(b −a)
⎝2
⎠ ⎝2
⎠ ⎝3
⎠ ⎝6
⎠
(
C
op
30 • a⋅(3v −a)2 +v ⋅(2v +a)⋅(3v −a)−(v −a)3 −(v −2a)⋅ v 2 −2av + 4a 2
62
Capitolo 2
)
)
.
A
Algebra dei polinomi
Verifica finale
p.
2
S.
Di seguito proponiamo alcuni test, di varie tipologie, per stabilire il grado di apprendimento degli argomenti
svolti in questo capitolo. Ogni tipologia ha un punteggio associato, per un totale di 100 punti, se si ottiene un
punteggio inferiore a 60 vuol dire che risulterà opportuno riprendere uno o più degli argomenti proposti.
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
Quesiti a scelta multipla con più risposte esatte
br
i
(1 punto per ogni risposta esatta, 1 punto di penalità per ogni risposta errata, 5 punti se si forniscono solo tutte
le risposte esatte)
Per ogni quesito tracciare un segno nell’apposito quadratino sulle scelte corrette.
li
1 Quali fra i seguenti polinomi hanno un grado complessivo uguale a 8?
se
A xyz + xy 2 z +t
B x8−y8
Es
C x8+y9−y
D x9 −x
E 8ab 2c −ab 2c 3d 2
©
2 Quali fra i seguenti sono polinomi omogenei?
ig
B a 0bc −abc
ht
A xy + yz − zt +1 C x 2 y − xy 2 + xyz
yr
D a 2bc +ab 2c −abc 2
E a m bc +abcm
op
C
3 Le seguenti affermazioni sono riferite alla semplificazione del polinomio prodotto fra
un polinomio di 6 termini e grado 3 e un polinomio di 5 termini e di grado 4. Quali
sono corrette?
A Il suo grado è 12
Algebra dei polinomi
63
Algebra dei polinomi
Verifica finale
p.
C Non ha più di 30 termini
A
2
B Ha certamente 30 termini
.
Verifica finale
D Il suo grado è almeno 4
S.
E Ha almeno 4 termini
4 Quali fra le seguenti uguaglianze sono corrette?
2
2
i
A ( x + y ) − ( x − y ) =0
2
2
(
br
B ( x + y ) − ( x + y )⋅( x − y ) =2xy
)
li
C ( x + y ) − x 2 + y 2 =2xy
2
2
2
(
E ( x + y ) ⋅( x − y ) = x 2 − y 2
)
2
se
4
4
D ⎡⎣( x + y ) ⋅ ( x − y )⎤⎦ =x + y
Es
5 Quali fra i seguenti sono prodotti notevoli?
A (1+ x )⋅( x −1)
©
B (a +b )⋅(ab )
(
)
ht
2
2
C (a +b )⋅ a +ab +b
D (a +2b )⋅( 2b −a )
(
)
3
ig
2
E a +b
yr
Quesiti a scelta multipla con una sola risposta esatta
(5 punti per ogni risposta esatta)
op
Per ogni quesito tracciare un segno nell’apposito quadratino sull’unica scelta corretta.
C
6 Quale fra i seguenti polinomi è omogeneo di grado 3?
64
A x 2 y + xy 2 +23
B x3−y3
Capitolo 2
A
2
2
2
3
C x y +y −y
.
Verifica finale
Verifica finale
Algebra dei polinomi
p.
D 3xyz − 4xz
S.
E ab −bc
7 Quale fra le seguenti moltiplicazioni di polinomi è corretta?
(
)(
)
2
2
2
2
A 3h −5m ⋅ 3h +5m =9h −25m
(
)(
i
2
2
B ( 2x −3y )⋅( 2y +3x ) = 4x −9y
)
br
C 4x 2 +a ⋅ −4x 2 +a =16x 4 +a 2
2
2
D (a −b −c )⋅(a +b +c ) =a − (b +c )
(
)(
)
li
E 7a 2b +3p ⋅ 7a 2 −3p = 49a 4b 2 −9p 2
( )
B ( 3a +b ) =9a +b
se
8 Quale fra i seguenti sviluppi di quadrato di binomio è corretto?
2
2
2
2
4
+18a 2b 4
2
Es
2
2
4
2
A a −2b =a − 4b − 4ab
3 ⎞ 4 2 9 2
⎛2
C ⎜ m + n ⎟ = m + n +2mn
⎝3
2 ⎠ 9
4
2
(
)
2
ht
©
⎛1
⎞ 2
D ⎜ a −3⎟ = a 2 +9−3a
⎝2
⎠ 4
E 3ax +b 3 =9a 2 x 2 +b 9 +6ab 3 x
(
ig
9 Quale fra i seguenti è un prodotto notevole il cui sviluppo dà luogo a una somma di
cubi?
)(
yr
2
2
2
4
A a +b ⋅ a +ab +b
)
(
)
C ( 3m − 4n )⋅( 9m +12mn +16n ) D ( 4a +b )⋅(16a − 4ab +b )
C
op
B ( 2x +5y )⋅ 2x 2 −10xy +25y 2
2
2
2
2
E Nessuno dei precedenti
Algebra dei polinomi
65
2
.
Verifica finale
Verifica finale
Algebra dei polinomi
) =9x y
2
2
2
3
−12xyz +16z
6
p.
(
A 3xy − 4z
3
A
10 Quale fra le seguenti uguaglianze non è corretta?
2
(
S.
4
2 2
4
B ⎡⎣(a+b ) ⋅ (a −b )⎤⎦ =a −2a b +b
)
C ( 2m −3n )⋅ 4m 2 +6mn +9n 2 =8m 3 −27n 3
(
)
i
D ( 4a +1)⋅ 4a 2 − 4a +1 =16a 3 −12a 2 +1
br
E Tutte le precedenti sono corrette
li
Quesiti a risposta numerica
Rispondere con un numero alle seguenti domande.
se
(10 punti per ogni risposta esatta)
11 Quante cifre ha il numero (1032 +1) ? . ........................................................................
2
Es
12 Il prodotto fra un polinomio di grado 3 e uno di grado 2 è un polinomio di grado: ......
©
13 La terza potenza di un polinomio di grado 3 ha grado: . ..............................................
ht
14 Il quadrato di un trinomio è un polinomio formato da quanti monomi? . .....................
ig
15 Il quadrato di un cubo di binomio da quanti monomi è formato? ................................
C
op
yr
66
Capitolo 2