Dispense Fisica II

Appunti di Fisica 2
Tommaso R. Cesari
APPUNTI NON UFFICIALI1
(Fisica 2 - corso di Michela Cavinato)
1 Nota del redattore
Questi appunti sono stati scritti da me durante il Corso (A.A. 2009-2010). Sono assolutamente
indipendenti dall’iniziativa del Docente. Di queste carte non è fornita alcuna garanzia esplicita o implicita di correttezza o di completezza. In particolare, è assai probabile che risultino
presenti numerosi errori delle tipologie più svariate, in primo luogo concettuali, dovuti all’imperizia del curatore. Sottolineo inoltre che non vi è stato alcuno sforzo da parte mia nel
rendere gli argomenti formalmente corretti, né tantomeno nel dare loro una veste chiara e
lineare. Usate dunque le informazioni che qui si contengono a vostro rischio e pericolo.
Tommaso R. Cesari
1
Indice
1 Prime deﬁnizioni
4
2 La Legge di Coulomb
2.1 L’esperimento di Coulomb . . . . . . . . . .
2.2 Forza Elettrostatica e Forza Gravitazionale
2.3 La Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . .
2.4 Campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . .
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5
5
6
6
7
3 Potenziale ed energia potenziale
3.1 Deﬁnizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Moto di una particella carica in un campo elettrostatico . . . . .
3.3 Richiami di Analisi Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
12
14
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4 Dipolo elettrico
17
4.1 Deﬁnizione e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Dipolo in un campo esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.1 Forza risultante sul dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Teoremi di Gauss e della Divergenza
5.1 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Dimostrazione del Teorema di Gauss .
5.2 Teorema della Divergenza e applicazioni . . .
5.3 Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica . . .
5.4 Calcolo di campo e potenziale di distribuzioni
. . . . .
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. . . . .
di carica
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notevoli
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22
22
23
25
25
26
6 Conduttori in equilibrio elettrostatico
31
6.1 Equilibrio elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Teorema di Coulomb e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Capacità elettrica di un conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Condensatori
7.1 Deﬁnizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Tipi di collegamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Collegamento in parallelo . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Collegamento in serie . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Energia elettrostatica di un condensatore . . . . . . . . .
7.4 Calcolo della capacità elettrica in condensatori particolari
7.5 Dielettrici e condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Capacità elettrica in condensatori piani e sferici . .
7.5.2 Energia elettrostatica in condensatori piani . . . .
7.5.3 Rigidità dielettrica e polarizzazione . . . . . . . . .
2
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34
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35
36
36
37
39
39
41
44
8 Corrente elettrica
8.1 Deﬁnizioni, osservazioni, esempi introduttivi . . . . . . . . .
8.2 Principio di conservazione della carica e prime conseguenze
8.2.1 Equazione di continuità della corrente elettrica . . .
8.2.2 Regime stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Legge di Ohm per i conduttori ohmici ﬁliformi . . .
8.3.2 Eﬀetto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Collegamento in serie . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Collegamento in parallelo . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Forza elettromotrice. Legge di Ohm generalizzata . . . . . .
8.5.1 Esercizi illustrativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Leggi di Kirchhoﬀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Circuiti RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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47
47
50
50
51
53
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57
58
59
59
60
64
66
67
9 Magnetostatica
9.1 Deﬁnizioni, esperimenti e primi esempi . . . . . . .
9.2 Moto di particelle cariche in campi magnetici . . .
9.2.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Moto in un campo uniforme: ϑ = π/2 . . .
9.2.3 Moto in un campo uniforme: ϑ arbitrario .
9.3 Seconda legge elementare di Laplace e applicazioni
9.4 Principio di equivalenza di Ampère . . . . . . . . .
9.5 Campo magnetico generato da una distribuzione di
9.6 Equazioni di Maxwell per il campo magnetico . . .
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72
72
74
74
75
77
78
80
85
89
3
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. . . . .
corrente
. . . . .
1
Prime deﬁnizioni
Osservazione preliminare: nel corso di questi appunti si supporrà sempre implicitamente che tutte le funzioni abbiano tutte le regolarità di cui si ha bisogno.
Non si faranno mai ipotesi esplicite in tale senso, supponendo ad esempio che
tutte le funzioni trattate siano diﬀerenziabili (inﬁnite volte), integrabili sempre e su qualunque insieme, e che gli insiemi di deﬁnizione abbiamo sempre le
proprietà geometriche necessarie a soddisfare le ipotesi dei teoremi. Inoltre per
alleggerire la notazione spesso non si indicheranno esplicitamente le variabili di
una funzione e si utilizzeranno i pedici per sottintendere che una certa funzione è
stata valutata in un punto del suo insieme di deﬁnizione. Data e.g. una funzione
⃗ux : R3
(x, y, z)
→
7
→
R3 ,
(1, 0, 0),
scriveremo spesso
⃗ux = (1, 0, 0)
in luogo di
⃗ux (x, y, z) = (1, 0, 0);
oppure data e.g. una funzione V : R3 → R, utilizzeremo una scrittura del tipo
.
VA = V (xA , yA , zA ).
Convenzione [Segno della carica]: si chiama carica positiva quella posseduta
da una bacchetta di vetro elettrizzata per stroﬁnio con un panno di seta. Si
chiama carica negativa quella posseduta da una bacchetta di ebanite elettrizzata per stroﬁnio con la pelle di coniglio.
Deﬁnizione [Categorie dei materiali]: nei conduttori le cariche elettriche sono
libere di muoversi e posso elettrizzarli per contatto. Nei dielettrici (o isolanti)
le cariche elettriche non sono libere di muoversi e posso elettrizzarli sono per
stroﬁnio.
Esempio [Conduttori]: metalli, il corpo umano, il suolo, i panni umidi, le
soluzioni acquose.
Esempio [Dielettrici]: i non metalli, la plastica l’ebanite, la bachelite, il vetro,
la ceralacca, l’acqua distillata.
Osservazione [Conduttori e dielettrici]: la diﬀerenza è dovuta alla composizione atomica. Un atomo è composto da un nucleo contenente protoni (carica
positiva) e neutroni (carica nulla) ed intorno ha una nube di elettroni (carica
negativa). La carica di un elettrone è e = 1, 6 · 10−19 C. I conduttori hanno degli
elettroni, detti di conduzione (quelli più esterni), che si muovono liberamente
all’interno di essi (dei conduttori). Negli isolanti gli elettroni non si possono muovere liberamente, infatti se e.g. elettrizzo una bacchetta di vetro con un panno
4
di seta, avviene un passaggio di elettroni dalla bacchetta al panno, i quali però
rimangono vincolati all’area di panno che ho stroﬁnato. Se invece elettrizzo e.g.
una bacchetta di ebanite con un panno di lana, avviene uno scambio di elettroni
tra il panno e la bacchetta.
Deﬁnizione [Induzione elettrostatica]: avviene solo nei conduttori ed è un
fenomeno che porta alla separazione delle cariche.
i) Avvicinando un oggetto scarico ad uno carico positivamente gli elettroni
si spostano vicino all’oggetto carico positivamente.
ii) Quando avviene il contatto gli elettroni passano all’oggetto carico positivamente ﬁno a quando entrambi i conduttori hanno la stessa carica
(entrambi carichi positivamente) e si respingono.
Esempio: elettroscopio a foglie.
Osservazione: prendiamo un conduttore scarico collegato a terra e avviciniamo una bacchetta carica positivamente. Gli elettroni passano da terra al corpo
caricandolo negativamente. Se invece la bacchetta è carica negativamente gli
elettroni del corpo andranno a terra ed il corpo sarà carico positivamente. Se
stacco la terra il corpo manterrà la carica.
2
2.1
La Legge di Coulomb
L’esperimento di Coulomb
Esperimento [di Coulomb]: sfrutta l’induzione elettrostatica tra due cariche
puntiformi. Usando una bilancia di torsione, se è nota la lunghezza dell’asta
verticale, la costante elastica dell’asta e l’angolo di rotazione, allora è possibile
calcolare la forza. Fissate q1 e q2 osserva sperimentalmente che
F ∝
1
.
r2
Fissata r, osserva che
F ∝ q1 q2 .
Deduce allora che è
q1 q2
,
r2
ove k è la costante elastica dell’asta. Spesso k viene espressa spesso nella forma
F =k
k=
1
,
4πε0
dove ε0 è detta costante dielettrica del vuoto e vale ε0 ≈ 8.854 · 10−12 F/m, come
verrà chiarito più avanti con la deﬁnizione del Farad (F ).
5
Osservazione: i conduttori carichi hanno carica < 10−6 C. Se cosı̀ non fosse
le cariche inizierebbero a respingersi.
2.2
Forza Elettrostatica e Forza Gravitazionale
Fe = k
Fg = G
2
q1 q2
9 Nm
,
con
k
=
9
·
10
r2
C2
2
m1 m2
−11 N m
,
con
G
=
6
·
10
r2
Kg 2
Caratteristiche comuni:
- entrambe a raggio d’azione illimitato;
- entrambe relativisticamente invarianti.
Caratteristiche diﬀerenti:
• la forza elettrostatica è sia attrattiva che repulsiva (ha 2 segni possibili);
• la carica si conserva in un sistema isolato;
• la carica è una grandezza quantizzata, cioè esiste solo come multiplo intero
della carica dell’elettrone.
+ La forza gravitazionale è solo attrattiva (ha 1 solo segno possibile);
+ la massa non si conserva, nel senso che può essere trasformata in lavoro;
+ la massa è una grandezza discreta.
2.3
La Legge di Coulomb
Legge di Coulomb: sia q0 una carica di prova, sia ⃗u versore avente direzione
della retta congiungente la carica q alla carica di prova q0 . Allora:
q q0
F⃗q,q0 = k 2 ⃗u = F⃗q0 ,q =⇒ F⃗ è repulsiva,
r
q q0
F⃗q,q0 = k 2 ⃗u = −F⃗q0 ,q =⇒ F⃗ è attrattiva.
r
6
2.4
Campo elettrostatico
1) generato da cariche puntiformi ﬁsse;
2) generato da distribuzione continua di carica.
1) vale il principio di sovrapposizione e quindi la forza totale esercitata
su q0 è la somma vettoriale delle forze esercitate dalle cariche. Se
abbiamo quindi un sistema di cariche q1 , . . . , qn che agiscono su una
carica di prova q0 , è
F⃗ =
)
)
n (
n (
∑
∑
qi
qi q0
⃗
Fi =
k 2 u⃗i = q0
k 2 u⃗i = q0 E,
ri
ri
i=1
i=1
i=1
|
{z
}
.⃗
=E
n
∑
⃗ = F⃗ /q0 viene detto campo elettrostatico. Per la precisione, la
ove E
carica di prova non deve alterare la distribuzione delle cariche che
generano il campo, cioè deve essere
⃗
⃗ = lim F ;
E
q0 →0 q0
quindi il campo non deve provocare induzione elettrostatica sui conduttori e polarizzazione sui dielettrici.
2) a) Distribuzione volumetrica (o spaziale);
b) distribuzione superﬁciale;
c) distribuzione lineare.
a) Sia Ω il volume carico. Introduciamo la densità spaziale di
carica ρ = ρ(x′ , y ′ , z ′ ) con unità di misura [ρ] = [C/m3 ].
Abbiamo:
∫
dq = ρ dΩ =⇒ q =
ρ dΩ.
Ω
b) Sia Σ la superﬁcie carica. Introduciamo la densità superﬁciale
di carica σ = σ(x′ , y ′ , z ′ ) con unità di misura [σ] = [C/m2 ].
Abbiamo:
∫
dq = σ dΣ =⇒ q =
σ dΣ.
Σ
c) Sia ℓ la curva carica. Introduciamo la densità lineare di carica
λ = λ(x′ , y ′ , z ′ ) con unità di misura [λ] = [C/m]. Abbiamo:
∫
dq = λ dℓ =⇒ q = λ dℓ.
ℓ
7
Esercizio [Distribuzione spaziale di carica]: trovare il campo elettrostatico nel
generico punto P = P (x, y, z) ∈ R3 , sapendo che il volume V è positivamente
carico (con densità spaziale di carica ρ) e supponendo anche P positivo.
Sia dV l’ememento di volume di V in un suo generico punto interno P ′ =
P (x′ , y ′ , z ′ ). Abbiamo
′
dE
=
E
=
=⇒
dq
ρ dV
k 2 =k 2
r
r
∫
∫
ρ(x′ , y ′ , z ′ ) dx′ dy ′ dz ′
ρ dV
k 2 =k
′ 2
′ 2
′ 2
r
V
V (x − x ) + (y − y ) + (z − z )
Deﬁnizione [Linee di forza]: le linee di forza (o di campo) sono curve orientate tali che in ogni punto il campo è tangente a tale curva.
Esempio [Carica puntiforme]: se q è una carica puntiforme positiva le linee
di forza sono delle rette uscenti radialmente da essa. Se la carica è negativa le
rette sono entranti. Il campo elettrostatico in un generico punto dello spazio
P ∈ R3 è
⃗ ) = k q ⃗ur .
E(P
r2
3
3.1
Potenziale ed energia potenziale
Deﬁnizioni e prime proprietà
Deﬁnizione [Campo Elettrico]: data una forza elettrica, ovvero data una forza
F⃗ (di natura qualsiasi) che agisce su una carica di prova q0 , si deﬁnisce campo
⃗ = F⃗ /q0 .
elettrico (o elettromotore) il vettore E
Deﬁnizione [Lavoro, Tensione]: nelle ipotesi precedenti, dato d⃗s ∈ R3 (che
in ﬁsica si pensa come inﬁnitesimo) si deﬁnisce lavoro elementare (o lavoro
infinitesimo) compiuto dalla forza F⃗ per spostare la carica q0 di un tratto
inﬁnitesimo nella direzione orientata d⃗s, la forma diﬀerenziale
⃗ · d⃗s.
dW = F⃗ · d⃗s = q0 E
Data c ∈ C ∞ ([a, b], R3 ) una curva orientata t.c. c(a)=A e c(b)=B, si deﬁnisce lavoro compiuto dalla forza F⃗ per spostare la carica q0 da A a B lungo c l’integrale
della forma diﬀerenziale dW calcolato lungo c, i.e.
∫
∫
B
W =
A(c)
∫
B
B
.
⃗ · d⃗s =
E
q0 Tc (A → B),
F⃗ · d⃗s = q0
dW =
A(c)
A(c)
dove
.
Tc (A → B) =
∫
B
⃗ · d⃗s
E
A(c)
8
è detta tensione elettrica tra A e B lungo c.
Osservazione [Forza elettrica]: una forza elettrica in generale non è conservativa. Infatti siano c1 , c2 due curve da A e B, con c1 ̸= c2 , allora Tc1 (A → B) ̸=
.
Tc2 (A → B). Detta quindi c = c1 ∪ −c2 la curva unione tra c1 e −c2 , che risulta
essere una curva chiusa, si ha pertanto
I
∫
∫
B
F⃗ ·d⃗s =
W =
c
∫
A
F⃗ ·d⃗s +
A(c1 )
B(−c2 )
∫
B
F⃗ ·d⃗s =
B
F⃗ ·d⃗s −
A(c1 )
F⃗ ·d⃗s =
A(c2 )
= q0 (Tc1 − Tc2 ) ̸= 0.
⃗ come la
Deﬁnita allora la forza elettromotrice (o f.e.m.) del campo elettrico E
quantità
I
.
⃗ · d⃗s = Tc − Tc ,
E= E
1
2
c
segue in modo ovvio che F⃗ è conservativa ⇐⇒ E = 0.
Osservazione [Forza elettrostatica]: abbiamo dimostrato (nel corso di Fisica
1) che tutte le forze centrali sono conservative. Ma la forza elettrostatica è una
forza centrale, quindi è di natura conservativa. Segue quindi che il lavoro di una
forza elettrostatica non dipende dal percorso e tale forza ammette un potenziale.
Deﬁnizione [Potenziale ed energia potenziale]: sia F⃗ una forza elettrostatica, allora sono ben deﬁnite due funzioni U e V dette rispettivamente energia
potenziale (elettrostatica) e potenziale (elettrostatico) tali che
∫
∫
B
B
F⃗ · ⃗s = q0
W =
A
.
.
⃗ · ⃗s =
E
−∆Ue = −q0 ∆V
A
Le unità di misura dell’energia potenziale e del potenziale sono, rispettivamente
il Joule [J] e il Volt [V ] = [J/C].
Proposizione [Calcolo di U e V]: a seconda della distribuzione della carica è possibile dare una forma più o meno esplicita al potenziale e all’energia
potenziale del campo elettrico generato dalla distribuzione di carica.
⃗ il campo generato da una carica puntiforme q e sia q0 una carica di
1. Sia E
prova, allora

q

 V (r) = k
r
q

 Ue (r) = k q0
r
e l’energia potenziale Ue è pari al lavoro necessario per portare le due
particelle cariche a distanza inﬁnita tra loro.
9
⃗ il campo generato da un sistema di n cariche puntiformi ﬁsse
2. Sia E
q1 , . . . , qn , allora

n
n
∑
∑

qi


V (r) =
Vi
= k


r


i=1
i=1 i
n
∑ qi qj
1 ∑
1



k
,
Ue (r) =
q i Vi =


2 i=1
2 i,j=1,...,n rij


i̸=j
nell’ipotesi in cui le cariche q1 , . . . , qn non risentano del campo da loro
stesse generate.
⃗ il campo generato da una distribuzione continua di carica.
3. Sia E
(a) Spaziale
Sia V ∈ R3 il volume carico e sia ρ la densità spaziale di carica.
∫

ρ


dV,
 V (r) = k
V r
=⇒
∫

1

 Ue (r) =
ρ V dV.
2 V
(b) Superﬁciale
Sia Σ ∈ R3 la superﬁcie carica e sia σ la densità superﬁciale di carica.
∫

σ


dΣ,
 V (r) = k
Σ r
=⇒
∫

1

 Ue (r) =
ρ V dΣ.
2 Σ
(c) Lineare
Sia ℓ ∈ R3 la curva carica e sia λ la densità lineare di carica.
∫

λ


V
(r)
=
k
dℓ,

ℓ r
=⇒
∫

1

 Ue (r) =
ρ V dℓ.
2 ℓ
Dimostrazione: è suﬃciente dimostrare il punto 1., infatti le altre forumule
seguono dalla prima ricordando che sia per il potenziale che per l’energia potenziale vale il principio di sovrapposizione. Consideriamo allora il lavoro necessario
per spostare la carica di prova q0 da un punto A a un punto B dello spazio (A
10
e B arbitrari) sotto l’eﬀetto del campo elettrostatico generato da q. Si ha
∫ B
∫ B
∫ B
q0 q
F ⃗ur · d⃗s =
k 2 cos(ϑ) ds =
WAB =
F⃗ · d⃗s =
|
{z
}
r | {z }
A
A
A
=cos(ϑ) ds
=dr
(
]B
)
[
1
1
1
1
= k q0 q
−
= k q0 q
dr = k q0 q −
=
2
r A
rA
rB
A r
= −∆Ue = −q0 ∆V,
∫
B
Dove le ultime due identità derivano dalla conservatività del campo elettrostatico. Segue quindi
Ue (r) = k
q0 q
+ c1 ,
r
V (r) = k
q
+ c2 ,
r
c1 , c2 ∈ R.
Essendo poi F, E ∝ 1/r2 si ha F (∞) = E(∞) = 0. È quindi ragionevole porre
U (∞) = V (∞) = 0, e quindi c1 = c2 = 0. In questa ipotesi si ha
∫ ∞
q q0
F⃗ · d⃗s = Ue (r) − Ue (∞) = k
Ue (r) =
|
{z
}
r
r
=0
ovvero l’energia potenziale è uguale alla quantità di lavoro necessaria per portare
le 2 particelle cariche a distanza inﬁnita tra loro. Analogamente si mostra
∫ ∞
⃗ · d⃗s = k q ,
V (r) =
E
r
r
che conclude la dimostrazione. Osservazione [Energia potenziale]: abbiamo appena mostrato che dato un
sistema di n cariche puntiformi ﬁsse, l’energia potenziale del sistema è data da
∑ qi qj
1
U (q1 , . . . , qn ) = k
.
2 i,j=1,...,n rij
i̸=j
Supponendo di aggiungere una nuova carica q0 è poi possibile determinarne
l’energia potenziale
n
∑
qi
U (q0 ) = q0
k
,
r
i0
i=1
da cui si può ricavare l’energia totale del sistema, grazie al principio di sovrapposizione degli eﬀetti. Si ha pertanto
.
U (q1 , . . . , qn , q0 ) = U (sistema) = U (q1 , . . . , qn ) + U (q0 ).
Questa formula è particolarmente utile nel caso q0 sia l’unica particella mobile,
infatti se ciò accade si ha
∆U (sistema) = ∆U (q0 ),
11
ovvero la variazione di energia potenziale del sistema dipende solamente dall’energia potenziale della carica q0 .
Osservazione [Welettr e West ]: consideriamo il campo elettrostatico generato
da una carica puntiforme q (= sorgente del campo) e poniamo entro di esso una
carica di prova q0 . Abbiamo già osservato che si ha
∫ ∞
q q0
=
Ue (r) = k
F⃗ · d⃗s = Welettr (r → ∞)
r
r
(= lavoro elettrostatico compiuto dal sistema per distruggere il sistema stesso).
Ragionando in modo speculare si può anche pensare
Ue = West (∞ → r)
(= lavoro compiuto da un agente esterno per creare il sistema).
Abbiamo quindi ottenuto con un ragionamento intuitivo la seguente uguaglianza
Welettr = West , dalla quale si possono dedurre i seguenti fatti:
i) q q0 > 0,
le due cariche hanno segno concorde (e quindi si respingono). Si ha quindi
Ue = West > 0 =⇒ per creare il sistema c’è bisogno di lavoro esterno
positivo.
ii) q q0 < 0,
le due cariche hanno segno discorde (e quindi si attraggono). Si ha quindi
Ue = West < 0 =⇒ per distruggere il sistema c’è bisogno di lavoro esterno
positivo.
3.2
Moto di una particella carica in un campo elettrostatico
Osservazione: dalla legge di Newton segue che la forza elettrostatica agente
nel generico punto di R è
⃗
⃗ = m ⃗a =⇒ ⃗a = q E ,
F⃗ = q E
m
ovvero l’accelerazione ha la stessa direzione del campo, ed ha lo stesso verso se
q > 0, verso discorde se q < 0.
⃗ un campo elettrostatico e sia
Teorema [Conservazione dell’energia]: sia E
v ≪ c (per evitare eﬀetti relativistici) la velocità di una generica particella
carica di carica q. Detto V il potenziale del campo e supponendo che sulla
⃗ si ha che ∀A, B ∈ R3
particella agisca la sola forza elettrostatica F⃗ del campo E
1
1
2
2
m vA
+ q VA = m vB
+ q VB = cost
2
2
12
Dimostrazione: siano A, B ∈ R3 ﬁssati. Se la particella si è spostata da A a
B, allora è possibile calcolare la variazione di energia cinetica
∆Ek =
1
(2)
2
2 (1)
(m vB
− m vA
) = W = −∆U = −q ∆V,
2
dove (1) segue dal Teorema dell’energia cinetica (ed è pertanto vera per qualunque
forza F⃗ ), mentre (2) segue dalla natura conservativa della forza elettrostatica.
Abbiamo quindi dimostrato che
1
1
1
1
2
2
2
2
m vB
− m vA
= −(q VA − q VB ) ⇐⇒ m vA
+ q VA = m vB
+ q VB .
2
2
2
2
Dall’arbitrarietà di A, B segue la tesi. Corollario [Conservazione dell’energia]: nelle ipotesi del Teorema di conservazione dell’energia segue che:
• se q > 0 e vogliamo accelerare la particella (i.e. vB > vA )
=⇒ VB < VA
(i.e. ∆V < 0);
• se q < 0 e vogliamo accelerare la particella (i.e. vB > vA )
=⇒ VB > VA
(i.e. ∆V > 0).
Osservazione: VA = VB non implica che la velocità è costante. In gen⃗ non
erale possono esserci state accelerazioni e decelerazioni (ciò accade se E
è costante).
Osservazione [Elettronvolt]: nelle ipotesi del teorema del conservazione dell’energia, è possibile scrivere per una carica q la relazione
1
1
m vi2 + q Vi = m vf2 + q Vf ,
2
2
dove i pedici i ed f indicano lo stato iniziale e ﬁnale del processo. Supponendo
che la carica si trovi inizialmente in quiete la relazione appena scritta diventa
q Vi =
1
m vf2 + q Vf ,
2
che riscriviamo ora mettendo in evidenza l’energia cinetica ﬁnale della particella:
1
m vf2 = q (Vi − Vf ).
2
A seguito di questo ragionamento, ponendo Vi − Vf = 1 V olt e q = e nasce la
deﬁnizione di elettronvolt come misura dell’energia cinetica.
13
Deﬁnizione [Elettronvolt]: si deﬁnisce elettronvolt e si indica con eV l’energia
cinetica acquistata da un protone, inizialmente in quiete, ottenuta mediante
l’applicazione di una diﬀerenza di potenziale di 1 Volt. Si ha
1 eV = 1.6 · 10−19 C V.
⃗ campo uniforme (ovvero costante nello
Osservazione [Campi uniformi]: E
spazio) =⇒ le linee di forza sono parallele.
Corollario [Conservazione dell’energia in un campo uniforme]: nelle ipotesi
del Teorema di conservazione dell’energia, si supponga che il campo elettro⃗ costante nello spazio) e diretto lungo l’asse x. Allora
statico sia uniforme (i.e. E
∀x ∈ R
1
m v 2 − q E x = cost,
V + E x = cost e
2
⃗
dove si è posto E = |E|.
Dimostrazione: essendo la forza conservativa, ho che ∀A, B ∈ R3
∫
∫
B
VA − VB =
B
⃗ · d⃗s = E
E
A
ds = E(xB − xA )
A
⇐⇒ VA + E xA = VB + E xB = cost,
da cui si deduce facilmente
V + E x = cost ⇐⇒ V = −E x + cost,
che sostituita nell’equazione che esprime la conservazione dell’energia permette
di dedurre
1
m v 2 − q E x = cost,
2
che è la tesi. Esempio [2 piani indeﬁniti]: si considerino due piani indeﬁniti e paralleli
posti a distanza d l’uno dall’altro. Siano entrambi carichi omogeneamente e di
densità superﬁciali di carica rispettivamente σ e −σ. Si dimostra che il campo
generato da un piano uniformemente carico ha modulo costante pari a 2σε0 . Si
ha quindi che il campo totale generato dai due piani è nullo all’esterno ed è
uguale a σ/ε0 all’interno di essi. In questo caso allora, determinata la costante
con una condizione iniziale, si può esplicitare il potenziale come
V = E x + cost.
3.3
Richiami di Analisi Matematica
⃗ in uno spazio tridimensionale R3 generato da
Deﬁnizione [Operatore ∇]:
un sistema di coordinate cartesiane x, y, z, con i versori indicati con ⃗ux , ⃗uy , ⃗uz
14
⃗ (o semplicemente ∇) detto
rispettivamente, l’operatore diﬀerenziale vettoriale ∇
operatore nabla (o operatore del) si deﬁnisce come
⃗ = ∂ ⃗ux + ∂ ⃗uy + ∂ ⃗uz .
∇
∂x
∂y
∂z
⃗ e coordinate]: la deﬁnizione data dipende dal sistema di
Osservazione [∇
coordinate scelto, ma è facilmente estendibile ad un qualunque sistema di coordinate. Ad esempio, nelle applicazioni capita spesso di passare in coordinate
⃗ si può facilmente trasportare nelle nuove
sferiche o cilidriche. La deﬁnizione di ∇
coordinate. Riportiamo a titolo di esempio il caso delle coordinate sferiche. In
tali coordinate è possibile eprimere l’operatore del nella forma:
1
∂
⃗ = ∂ ⃗uρ + 1 ∂ ⃗uϑ +
∇
⃗uφ .
∂ρ
r ∂ϑ
r sin (ϑ) ∂φ
⃗ e altri operatori]: grazie all’operatore ∇
⃗ è possibile riscrivere
Osservazione [∇
con una notazione compatta ed intuitiva gli operatori diﬀerenziali gradiente,
divergenza, rotore e laplaciano:
Gradiente
⃗ = grad f
∇f
Divergenza
⃗ · ⃗v = div ⃗v
∇
Rotore
⃗ × ⃗v = rot ⃗v
∇
Laplaciano
⃗ ·∇
⃗ f = ∇2 f
∇
Osservazione[Prodotto vettoriale]: ricordo che, dati due vettori ⃗a = (a1 a2 a3 ), ⃗b =
(b1 b2 b3 ) ∈ R3 il prodotto vettoriale ⃗a × ⃗b si può calcolare (in modo formale)2
come il determinante


⃗ux ⃗uy ⃗uz
⃗a × ⃗b = det  a1 a2 a3 
b1 b2 b3
⃗ un campo elettrostatico e
Teorema [Irrotazionalità e conservatività]: sia E
sia V il suo potenziale, allora localmente
⃗ = −grad(V ) = −∇V
⃗
E
⃗ =∇
⃗ ×E
⃗ = ⃗0.
rot(E)
(1)
(2)
Le due equazioni risultano essere equivalenti
Dimostrazione: per dimostrare (1) è suﬃciente osservare che per ipotesi il
⃗ è conservativo e V è un suo potenziale, ovvero la forma diﬀerenziale
campo E
⃗
⃗
E · ds è esatta, e può essere scritta localmente come l’opposto del diﬀerenziale di
⃗ = (dx, dy, dz) = dx ⃗ux + dy ⃗uy + dz ⃗uz
V , si ha cioè che per ogni incremento ds
⃗ = −dV ⇐⇒ dV = −E
⃗ = −(Ex dx + Ey dy + Ez dz).
⃗ · ds
⃗ · ds
E
2 Si osservi che quella qui deﬁnita non è una vera matrice, infatti i coeﬃcienti sono ibridi:
quelli della prima riga sono vettori, mentre quelli delli della seconda e della terza riga sono
scalari.
15
⃗ è dato da
Osservando poi che il diﬀerenziale di V relativo all’incremento ds
⃗ =
⃗ · ds
dV = ∇V
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
⃗ = −∇V
⃗ .
segue immediatamente che E
Per dimostrare (1) ⇒ (2) invece si consideri una generica superﬁcie Σ di cui c sia
la curva (chuisa) di bordo. Detto ⃗un il versore normale uscente dalla superﬁcie,
dal Teorema di Stokes segue che
∫
I
⃗ × E)
⃗ · ⃗un dΣ = E
⃗ · d⃗s,
(∇
Σ
c
⃗ conservativo segue che il secondo integrale (e di conseguenza il
ma essendo E
primo) è nullo. Essendo quindi
∫
⃗ × E)
⃗ · ⃗un dΣ = 0 ∀Σ
(∇
Σ
⃗ ×E
⃗ è anch’essa nulla.
se ne deduce che la funzione integranda ∇
Rimane quindi da dimostrare il viceversa, (1) ⇐ (2), ma ciò segue immediatamente dal lemma di Poincarè. Deﬁnizione: la (2) è detta prima equazione di Maxwell per il campo elettrico
(in forma locale).
⃗ indica che il verso di crescita
⃗ · ds
Osservazione: il segno meno in dV = −E
del campo è il verso di decrescita del potenziale.
⃗ un campo elettrostatico e sia V
Deﬁnizione [Superﬁcie equipotenziale]: sia E
3
il suo potenziale. La superﬁcie S = {⃗x ∈ R t.c. V (⃗x) = cost} si dice superficie
equipotenziale.
⃗ = ∇V
⃗
⃗ ds
⃗ ·ds
Osservazione [Superﬁcie equipotenziale]: dall’identità dV = −E·
⃗
si deduce che se lo spostamento ds è tangente alla superﬁcie equipotenziale, al⃗ e dV ⊥ ds.
⃗ Si ha quindi che le linee di campo
⃗ ⊥ ds
lora dV = 0 e quindi E
sono ortogonali alla superﬁcie equipotenziale. Inoltre, essendo il gradiente univocamente determinato in ogni punto, si ha che per ogni punto passa un’unica
superﬁcie equipotenziale, i.e. le superﬁci equipotenziali non si possono intersecare.
Esempio [Filo rettilineo indeﬁnito]: nel caso di un campo generato da un ﬁlo
rettilineo indeﬁnito uniformemente carico le linee di forza sono semirette uscenti ortogonalmente al ﬁlo. Le superﬁci equipotenziali sono pertanto dei cilindri
coassiali con il ﬁlo.
Esempio [Carica puntiforme]: nel caso del campo generato da una carica
puntiforme le linee di forza sono semirette uscenti dal punto in cui è posta la
16
carica. Le superﬁci equipotenziali sono pertanto delle sfere concentriche centrate
nel punto.
Esempio [Due piani indeﬁniti]: nel caso di un campo generato da due piani
indeﬁniti uniformemente carichi le linee di forza sono segmenti posti tra i due
piani ed ortogonali ai piani stessi. Le superﬁci equipotenziali sono pertanto dei
piani paralleli ai due piani dati e posti tra di essi.
4
4.1
Dipolo elettrico
Deﬁnizione e prime proprietà
Deﬁnizione: un dipolo elettrico (o più semplicemente dipolo) è un sistema
ﬁsico costituito da due cariche puntiformi con stesso modulo q ma di segno op.
posto, poste a distanza a = |⃗a| l’una dall’altra, dove si indica con ⃗a il vettore
congiungente −q a q. il vettore p⃗ = q ⃗a è detto momento di dipolo elettrico, e il
punto O = punto medio tra −q e q si dice centro del dipolo.
Proposizione [Potenziale del dipolo]: il potenziale di un dipolo elettrico in
punto O ̸= P ∈ R3 ha la forma
V (r, ϑ) = k
p⃗ · ⃗r
q a cos (ϑ)
=k
,
3
r
r2
dove r è la distanza di P da O e ϑ è l’angolo tra i due vettori p⃗ e ⃗r.
Dimostrazione: ricordiamo che il potenziale in un punto del campo generato
da una carica puntiforme q è V (r) = k rq , dove r è la distanza del punto dalla carica. Sfruttando ora il principio di sovrapposizione, si conclude immediatamente
che il potenziale del dipolo si può scrivere nella forma
(
)
1
1
r2 − r1
V (r1 , r2 ) = k q
−
= kq
,
r1
r2
r1 r2
con ri distanze dalle due cariche. Applichiamo ora la cosiddetta approssimazione
di dipolo, ovvero supponiamo r ≫ a. In questa ipotesi segue che r1 ≈ r2 ≈ r.
Possiamo allora scrivere, a meno di questo errore di approssimazione:
r1 r2 = r2
e
r2 − r1 = a cos (ϑ)
da cui segue immediatamente la tesi. Proposizione [Campo generato da un dipolo]: il campo elettrostatico generato
da un dipolo elettrico in punto O ̸= P ∈ R3 , espresso in coordinate sferiche, ha
la forma
⃗ = E(r,
⃗ ϑ) = k p (2 cos (ϑ) ⃗ur + sin (ϑ) ⃗uϑ )
E
r3
17
⃗ = −∇V
⃗ . Riscrivo allora
Dimostrazione: dalle equazioni di Maxwell so che E
la relazione
⃗ = ∇V
⃗
⃗ · ds
⃗ · ds
dV = −E
passando in coordinate sferiche. Ho
⃗
ds
⃗
E
=⇒ dV
= dr ⃗ur + r dϑ ⃗uϑ + r sin (ϑ) dφ ⃗uφ
= Er ⃗ur + Eϑ ⃗uϑ + Eφ ⃗uφ
= −(Er dr + Eϑ r dϑ + Eφ r sin (ϑ) dφ) =
∂V
∂V
∂V
=
dr +
dϑ +
dφ
∀ (dr, dϑ, dφ)
∂r
∂ϑ
∂φ

p cos (ϑ)
∂V


= 2k
 Er = −

∂r
r3



1 ∂V
p sin (ϑ)
=⇒ Eϑ = −
=k

r
∂ϑ
r3



1
∂V


 Eφ = −
= 0
r sin (ϑ) ∂φ
da cui segue immediatamente la tesi. Osservazione [Campo generato da un dipolo]: è immediato osservare che il
campo elettrostatico generato da un dipolo non è mai nullo, ma, esattamente
⃗ → ⃗0
come il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme, si ha che E
se r → ∞. Infatti, dalla proposizione precedente segue che l’intensità del campo
(i.e. il suo modulo) è
⃗ =
|E|
]1/2
]1/2
kp [
kp
kp [
≤ 3
4 cos 2 (ϑ) + sin 2 (ϑ)
= 3 3 cos 2 (ϑ) + 1
3
r
r |
r
{z
}
sempre ≥1
da cui segue immediatamente la tesi.
Corollario [Campo generato da un dipolo]: lungo l’asse del dipolo il campo
è sempre parallelo al momento di dipolo. Sul piano mediano il campo è sempre
antiparallelo al momento di dipolo.
⃗ come la difDimostrazione: osserviamo che è possibile scrivere il campo E
⃗
⃗
⃗
⃗
ferenza di due vettori E1 ed E2 t.c. E1 // r e E2 è antiparallelo a p⃗. Infatti,
decomponendo il momento di dipolo lungo {⃗ur , ⃗uϑ } si ottiene
p⃗ = p cos (ϑ) ⃗ur − p sin (ϑ) ⃗uϑ ⇐⇒ p sin (ϑ) ⃗uϑ = p cos (ϑ) ⃗ur − p⃗.
⃗ l’espressione appena determinata si ha
Sostituendo in E
⃗
E
=
=
2kp
cos (ϑ) ⃗ur +
r3
3kp
cos (ϑ) ⃗ur −
r3
k
2kp
k
[p sin (ϑ) ⃗uϑ ] = 3 cos (ϑ) ⃗ur + 3 [p cos (ϑ) ⃗ur − p⃗] =
3
r
r
r
k
. ⃗
⃗ 2.
p⃗ = E1 + E
r3
18
Da questo fatto la tesi segue immediatamente osservando i punti sull’asse sono
t.c. ϑ ∈ {0, 2π}, mentre i punti sul piano mediano sono caratterizzati dal fatto
che ϑ = ± π2 . Teorema [Ue del dipolo]: l’energia potenziale elettrostatica di un dipolo
{q, −q} è data da
⃗ = −p E cos (ϑ),
Ue = −⃗
p·E
⃗
dove p⃗ = q ⃗a è il momento di dipolo e ϑ è l’angolo tra i due vettori p⃗ ed E.
Dimostrazione: sia V il potenziale del dipolo. La sua energia potenziale elettrostatica è allora determinata dalla diﬀerenza di potenziale tra le due cariche.
Si ha pertanto
Ue = q [V (x + ax , y + ay , z + az ) − V (x, y, z)] ,
dove (x, y, z) è la posizione della carica −q, (x + ax , y + ay , z + az ) è la posizione della carica q, e ⃗a = (ax , ay , az ) è il vettore congiungente le due cariche.
Utilizzando l’approssimazione di dipolo (assumendo cioè |ax |, |ay |, |az | ≪ 1) è
possibile approssimare tale espressione nel modo seguente
Ue
≈
q [V (x + ax , y + ay , z + az ) − V (x, y, z)] ≈
[
]
⃗ · ⃗a − V (x, y, z) = q ∇V
⃗ · ⃗a =
q V (x, y, z) + ∇V
=
⃗ · (q ⃗a) = ∇V
⃗ · p⃗ = −E
⃗ · p,
∇V
=
che è la tesi. 4.2
Dipolo in un campo esterno
Segue un’analisi della forza totale risultante sul dipolo dall’azione di un campo
elettrico esterno. Per comodità dividiamo quest’analisi in due casi.
4.2.1
Forza risultante sul dipolo
⃗ uniforme
• E
Essendo un dipolo un sistema costituito di soli due punti, per studiare la
forza totale è suﬃciente studiare le forze agenti sui due singoli punti che
costituiscono il sistema, ovvero le due cariche. Siano allora
⃗
F⃗1 = −q E
e
⃗
F⃗2 = q E
Essendo la forza totale la somma vettoriale di tutte le forze segue facilmente che
F⃗tot = F⃗1 + F⃗2 = ⃗0.
Quindi la forza totale agente sul dipolo è nulla. Questo risultato non deve
però trarre in inganno, infatti aﬀermiamo ora (senza dimostrarlo) che il
momento delle due forze F⃗2 e F⃗2 non cambia se sposto il polo. Assumendo
19
che ciò sia vero studiamo il momento delle due forze supponendo che il
polo sia il centro O del dipolo. In questa ipotesi il momento totale della
forza agente sul dipolo è
⃗
M
⃗1 +M
⃗ 2 = ⃗r1 × F⃗1 + ⃗r2 × F⃗2 = (⃗r2 − ⃗r1 ) × F⃗2 = ⃗a × F⃗2 =
= M
⃗ = p⃗ × E
⃗
= ⃗a × (q E)
=⇒
⃗ | = p E sin (α),
|M
⃗ Segue quindi che per quasi tutti
dove α è l’angolo tra i due vettori p⃗ e E.
gli α il momento angolare è non nullo, ed avviene quindi una torsione. Ciò
⃗ e il momento di dipolo p⃗ hanno
non accade solamente quando il campo E
la stessa direzione, ovvero quando α = 0 (equilibrio stabile), o quando
α = 2π (equilibrio instabile).
⃗ non uniforme
• E
Utilizzando come sempre l’approssimazione di dipolo osserviamo che se in
⃗ possiamo aﬀermare che (a meno di tale approssimazione)
−q il campo è E,
⃗ + dE.
⃗ Le due forze agenti sulle cariche hanno allora la
in q il campo è E
forma
(
)
⃗ e F⃗2 = q E
⃗ + dE
⃗ ,
F⃗1 = −q E
da cui segue che la forza totale agente sul dipolo è
(
)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
∂
E
∂
E
∂
E
∂E
∂E
∂E
⃗ =q
F⃗tot = q dE
ax +
ay +
az =
px +
py +
pz ,
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
ovvero, esprimendo F⃗tot nelle sue componenti cartesiane

∂Ex
∂Ex
∂Ex

⃗


 Ftotx = ∂x px + ∂y py + ∂z pz = ∇Ex · p⃗




∂Ey
∂Ey
∂Ey
⃗ y · p⃗
px +
py +
pz = ∇E
Ftoty =

∂x
∂y
∂z




∂Ez
∂Ez
∂Ez


⃗ z · p⃗
 Ftotz =
px +
py +
pz = ∇E
∂x
∂y
∂z
Avrei potuto equivalentemente sfruttare il teorema precedente partendo
dalle equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico:
⃗ tot
E
⇐⇒ F⃗tot
=
=
⃗ ⇐⇒
−∇V
(
)
(
)
⃗ −⃗
⃗ =∇
⃗ p⃗ · E
⃗ =∇
⃗ (px Ex + py Ey + pz Ez ) ,
−∇
p·E
20
ovvero, esprimendo




Ftotx






Ftoty








 Ftotz
F⃗tot nelle sue componenti cartesiane
=
=
=
⃗
∂Ey
∂Ez
∂E
∂Ex
px +
py +
pz =
· p⃗
∂x
∂x
∂x
∂x
⃗
∂Ex
∂Ey
∂Ez
∂E
px +
py +
pz =
· p⃗
∂y
∂y
∂y
∂y
⃗
∂Ex
∂Ey
∂Ez
∂E
px +
py +
pz =
· p⃗
∂z
∂z
∂z
∂z
I due sistemi, in apparenza diversi, sono in realtà uguali. Per convincersee
basta osservare che le derivate miste sono uguali. Quindi in generale la
forza risultante agente sul dipolo può essere scritta in modo compatto
nella forma
(
)
⃗ p⃗ · E
⃗
F⃗tot = ∇
⃗ In questo semplice ma importante caso particolare,
• Caso particolare: p⃗ //E
utilizzando l’espressione della forza totale appena trovata, segue immediatamente che
(
)
( )
⃗ p⃗ · E
⃗ = p∇
⃗ |E|
⃗
⃗ sono concordi),
F⃗tot = ∇
(se p⃗ ed E
(
)
( )
⃗ p⃗ · E
⃗ = −p ∇
⃗ |E|
⃗
⃗ sono discordi).
F⃗tot = ∇
(se p⃗ ed E
Esempi [Forza risultante su un dipolo]: i seguenti esempi mostrano alcune
situazioni particolari in cui la forza totale ha una forma non del tutto ovvia.
• Siano disposte lungo l’asse x una carica q > 0 (nell’origine) e un dipolo
posto a destra di essa con carica −q avente ascissa x > 0 e carica q avente
ascissa y > x. Allora la forza totale agente sul dipolo non è nulla ma attrae
il dipolo verso la carica posta nell’origine.
• In un piano sia posta una carica q nell’origine e sia posto nel semipiano
x > 0 un dipolo avente centro sull’asse x, avente momento di dipolo parallelo all’asse y, e tale che la carica positiva si trovi nel semipiano y > 0.
Allora la forza totale risultante è rivolta verso l’alto (è cioè anch’essa
parallela all’asse y). Se viceversa la carica negativa fosse stata posta nel
semipiano y > 0 la forza risultante sarebbe stata rivolta verso il basso
(cioè antiparallela all’asse y.
• Nello spazio tridimensionale si consideri un piano indeﬁnito uniformemente carico. Si ponga un dipolo su una retta ortogonale al piano. Essendo
il campo generato dal piano costante, si ha che la forza totale agente sul
dipolo è nulla.
21
5
Teoremi di Gauss e della Divergenza
5.1
Teorema di Gauss
Deﬁnizione [Flusso]: sia Σ una superﬁcie di R3 , sia ⃗un il versore normale alla
⃗ ∈ C ∞ (R3 , R3 ). Si deﬁnisce flusso del campo vettoriale E
⃗
superﬁcie Σ, e sia E
attraverso la superﬁcie Σ la quantità
∫
.
⃗
⃗ · ⃗un dΣ.
Φ(E) =
E
Σ
⃗ · ⃗un > 0 si dice che il ﬂusso è uscente. Se E
⃗ · ⃗un < 0 si dice
Nei punti in cui E
che il ﬂusso è entrante.
Deﬁnizione [Superﬁcie chiusa]: si consideri su R3 la topologia euclidea standard. Si dice che Σ ⊆ R3 è una superficie chiusa se Σ è una superﬁcie compatta,
connessa, senza bordo e orientabile3 .
Convenzione [Superﬁcie chiusa]: se il ﬂusso è calcolato attraverso una superﬁcie chiusa il versore normale ⃗un viene preso per convenzione con verso uscente
da essa.
⃗ = 0, allora Φentrante = Φuscente .
Osservazione [Flusso]: se ΦΣ (E)
Teorema [di Gauss]: enunciamo qui il risultato nei due casi della gravitazione
e dell’elettrostatica per una distribuzione discreta.
⃗ il campo gravitazionale generato da una massa m = ∑N mi :
• Sia G
i=1
⃗ = −G m ⃗ur .
G
r2
n
∑
⃗ = 4π G
=⇒ Φ(G)
mi ,
i=1
dove n ≤ N e le mi sono le masse contenute in Σ.
⃗ il campo elettrostatico generato da una carica q = ∑N qi :
• Sia E
i=1
⃗ = k q ⃗ur .
E
r2
n
∑
⃗ = 4π k
=⇒ Φ(E)
qi ,
i=1
dove n ≤ N e le qi sono le cariche contenute in Σ.
3 Si ricorda che per il Teorema di classificazione delle superfici una superﬁcie siﬀatta è
omeomorfa ad una sfera o ad un n-toro.
22
5.1.1
Dimostrazione del Teorema di Gauss
Deﬁnizione 1 [Angolo solido]: sia data S ⊆ R3 una superﬁcie sferica di raggio
.
R centrata nell’origine. Si deﬁnisce angolo solido la quantità Ω = A/R2 , dove A
l’area della porzione di superﬁcie sferica (che deve essere connessa) vista sotto
l’angolo Ω. La sua unità di misura sono gli steradianti.
Oservazione 1 [Angolo solido]: la nozione di angolo solido vuole essere un estensione nello spazio tridimensionale della nozione di angolo deﬁnita usualmente
nel piano come rapporto tra l’arco di una circonferenza ed il suo raggio.
Esempio 1 [Angolo solido della sfera]: ci si potrebbe chiedere quanto vale l’angolo solido sotteso da tutte la sfera. In tale caso si avrebbe Ω = (4π r2 )/r2 = 4π.
Si osservi che questo valore è l’equivalente tridimensionale dell’angolo giro,
ovvero dell’angolo sotteso da tutta la circonferenza. si ha in questo caso ϑ =
(2πr)/r = 2π.
Deﬁnizione 2 [Angolo solido]: è possibile dare in modo formale una deﬁnizione
di angolo solido in termini inﬁnitesimi. Data una superﬁcie inﬁnitesima dΣ, e la
sua proiezione dΣ0 ortogonale al raggio uscente da un punto O e passante per
dΣ, si chiama angolo solido la quantità
dΩ =
dΣ cos (α)
dΣ0
= 2 ,
2
r
r
dove si è indicato con α l’angolo che il versore radiale forma col versore normale
alla superﬁcie nel punto.
Oservazione 2 [Angolo solido]: con questa deﬁnizione formale è possibile recuperare la deﬁnizione iniziale di angolo solido e, in eﬀetti, estenderla a qualunque
superﬁcie in R3 , e non solo alla sfera. Si osservi a riguardo che la natura inﬁnitesima della deﬁnizione di angolo solido permette di pensare un qualunque
elemento di superﬁcie dΣ come l’elemento di superﬁcie sferica dΣ0 su cui essa si proietta. Calcolando sempre in modo formale l’area di dΣ0 si ottiene
0
dΣ0 = r2 sin (ϑ) dϑ dφ e di conseguenza dΩ = dΣ
r 2 = sin (ϑ) dϑ dφ. Per una
superﬁcie ﬁnita Σ l’angolo solido è dato dall’integrale doppio
∫
∫
Ω=
dΩ =
sin (ϑ) dϑ dφ.
Σ
Σ
Esempio 2 [Angolo solido]: alla luce di questa deﬁnizione l’Esempio 1 si
può generalizzare a qualunque superﬁcie chiusa. Infatti data una qualunque
superﬁcie chiusa Σ, l’angolo solido sotteso dall’intera superﬁcie è:
∫
∫ π
2π
π
Ω=
sin (ϑ) dϑ dφ = [φ]φ=0
sin (ϑ) dϑ = 2π [− cos (ϑ)]ϑ=0 = 4π.
Σ
0
⃗ il campo generato da una carica puntiforme q. Allora
Proposizione: sia E
⃗ dipende solo dall’angolo solido e non dalla superﬁcie né
il ﬂusso del campo E
23
dalla sua distanza dalla carica.
Dimostrazione: data una qualunque superﬁcie Σ dalle deﬁnizione precedenti
segue la catena di uguaglianze
∫
∫
∫
1
1
⃗
⃗ · ⃗un dΣ = k q
Φ(E)
=
E
⃗
u
·
⃗
u
dΣ
=
k
q
cos (α)dΣ =
n
2 r
2
r
r
Σ
Σ
Σ
∫
∫
1
= kq
dΩ = k q Ω. dΣ
=
k
q
0
2
Σ r
Σ
⃗ il campo generato
Teorema [Flusso attraverso una superﬁcie chiusa]: sia E
da una carica puntiforme q. Sia Σ una superﬁcie chiusa, allora
i)
ii)
se q è all’interno di Σ
=⇒
se q è all’esterno di Σ =⇒
⃗ =
Φ(E)
q
= cost
ε0
⃗ =0
Φ(E)
Dimostrazione: per dimostrare la i) basta sfruttare la proposizione appena
dimostrata nel caso di una superﬁcie chiusa. Ne segue che
∫
⃗ · ⃗un dΣ = k q Ω = k q 4π = q .
⃗ =
E
Φ(E)
ε0
Σ
Per dimostrare la ii) si faccia riferimento alla ﬁgura seguente.
Si consideri un cono inﬁnitesimo con vertice sulla carica che intersechi Σ in dΣ1 e
dΣ2 . Essendo il ﬂusso del campo elettrico generato da q funzione del solo angolo
solido il contributo inﬁnitesimo dato al ﬂusso dalle due superﬁci inﬁnitesime
dΣ1 e dΣ2 è
dΦ1 = −kqdΩ,
dΦ2 = kqdΩ,
ovvero
⃗ = dΦ1 + dΦ2 = 0.
dΦ(E)
Integrando sull’intero angolo solido sotteso a Σ si ha quindi la tesi. 24
⃗ il campo generato da un sistema di
Corollario [Teorema di Gauss]: sia E
cariche puntiformi q1 , . . . , qn . Sia Σ una superﬁcie chiusa, allora
⃗ =
Φ(E)
n
1 ∑
qi .
ε0 i=1
Se la carica è distribuita in modo continuo su B ∈ R3 , detta ρ la sua densità di
carica, si ha
∫
⃗ = 1
ρ dB.
Φ(E)
ε0 B
5.2
Teorema della Divergenza e applicazioni
⃗ un campo qualunque e sia Σ = ∂B una
Teorema [della Divergenza]: sia E
superﬁcie chiusa. Allora
∫
∫
.
⃗ ·E
⃗ dB.
⃗
⃗
∇
E · ⃗un dΣ =
Φ(E) =
B
Σ
Corollario: nelle ipotesi del Teorema della Divergenza, supponendo che il
⃗ sia generato da una distribuzione continua di carica di densità ρ, si ha
campo E
⃗ ·E
⃗ = ρ
∇
ε0
Dimostrazione: dal teorema della divergenza segue
∫
∫
∫
∫
(Gauss) q
1
ρ
⃗
⃗
⃗
E · ⃗un dΣ =
∇ · E dB =
=
ρ dB =
dB
ε
ε
ε
0
0
Σ
B
B
B 0
∀B ∈ R3 ,
da cui segue immediatamente la tesi. Osservazione: un modo operativamente proﬁcuo per utilizzare i risultati ﬁnora ottenuti in problemi di elettrostatica è il seguente. Con ragionamenti qualitativi si cerca di determinare la direzione e il verso del campo (magari graﬁca⃗ ed inﬁne, se richiesto, si
mente), poi utilizzando la legge di Gauss si ricava E,
∫B
⃗
⃗ · ds.
può calcolare il potenziale e.g. da VB − VA =
E
A
5.3
Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica
Osservazione [Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica]: il teorema che segue
raccoglie i risultati derivanti dalla conservatività del campo elettrostatico, dai
teoremi del ﬂusso, di Gauss e della divergenza in quattro equazioni: due di carattere diﬀerenziale (i.e. locale) e due di carattere integrale.
⃗ un campo eletTeorema [Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica]: sia E
trostatico. Allora
25
• Irrotazionalità e conservatività
I
⃗ = 0,
⃗ · ds
E
c
dove c è una curva chiusa. Localmente il risultato è esprimibile nella forma
⃗ ×E
⃗ = 0.
∇
• Teorema di Gauss
∫
⃗ · ⃗un dΣ = 1
E
ε0
Σ
∫
ρ dB.
B
Lo stesso risultato si può esprimere in forma locale come
⃗ ·E
⃗ = ρ.
∇
ε0
5.4
Calcolo di campo e potenziale di distribuzioni di carica
notevoli
Esempi
1. Sfera cava (i.e. superficie sferica) con densità superficiale di carica σ uniforme.
Sia R il raggio della sfera. Da una semplice analisi è immediato convincersi che il campo sia diretto radialmente rispetto al centro della sfera, i.e.
⃗ = E(r)
⃗
E
= E ⃗ur , e sia da esso uscente. Studiamo allora l’andamento del
campo (e del potenziale) in funzione del raggio.
• Se r ∈ [ 0, R )
=⇒ E = 0 (dal Teorema di Gauss)
=⇒ V = cost
• Se r ≥ R
Applichiamo di nuovo il teorema di Gauss. Si consideri una superﬁcie sferica Sr concentrica a quella data e di raggio r ≥ R. Il ﬂusso
26
attraverso Sr è dato da
∫
∫
q
⃗
E(r) · ⃗un dSr =
E(r) ⃗ur · ⃗un dSr =
=
| {z }
ε0
Sr
Sr
=1
∫
= E(r)
dSr = E(r) 4πr2 ⇐⇒
Sr
[
]
1 σ 4πR2
1 q
=
q
=
σ
·
Area(S
)
= 2
=
⇐⇒ E(r) =
R
2
r 4πε0
r 4πε0
σ R2
=
ε0 r2
∫ r
∫ +∞
⃗ =
⃗ · ds
=⇒ V (r) = −
E
E dξ =
+∞
=
σR
ε0
r
∫
2
+∞
r
1
σ R2
dξ
=
ξ2
ε0
[
]+∞
1
−
=
ξ ξ=r
2
=
σ R
ε0 r
Grazie a questa analisi è possibile inoltre calcolare il valore del potenziale
e.g.
quando r ∈ [ 0, R ]. Infatti si ha che ∀r ∈ [ 0, R ], V (r) = cost = V (R),
da cui è possibile in deﬁnitiva dedurre:

se r ∈ [ 0, R )

 0
2
E(r) =
σ R


se r ∈ [ R, +∞ )
ε0 r2

σR


se r ∈ [ 0, R ]
 ε
0
V (r) =
2


 σ R
se r ∈ [ R, +∞ )
ε0 r
È importante osservare quanto segue. La carica totale presente sulla superﬁcie sferica è
q = σ · Area(SR ).
Sostituendo questo valore nelle espressioni del campo e del potenziale
determinati sopra otteniamo allora queste formule

se r ∈ [ 0, R )
 0
E(r) =
q
 k
se r ∈ [ R, +∞ )
r2
 q

se r ∈ [ 0, R ]
 k
R
V (r) =

 kq
se r ∈ [ R, +∞ )
r
27
Ovvero sia il campo sia il potenziale a distanza r ≥ R dal centro sono
uguali a quelli generati da una carica puntiforme e posta nel centro della
sfera, cioè per r ≥ R è come la carica fosse tutta addensata nel centro.
2. Sfera piena con densità volumetrica di carica ρ uniforme.
Sia R il raggio della sfera. Da una semplice analisi è immediato convincersi
che il campo sia diretto radialmente rispetto al centro della sfera, i.e.
⃗ = E(r)
⃗
E
= E ⃗ur , e sia da essa uscente. Studiamo allora l’andamento del
campo (e del potenziale) in funzione del raggio.
• Se r ∈ [ 0, R ]
Applichiamo il teorema di Gauss. Si consideri una superﬁcie sferica
Sr concentrica a quella data e di raggio r ≥ R. Con considerazioni
analoghe a quelle dell’esempio precedente è facile concludere che il
ﬂusso attraverso Sr è dato da
q
ε0
= E 4πr2 ⇐⇒
[
]
1 ρ 4 πr3
1 q
=
q
=
ρ
·
V
ol(S
)
= 2 3
=
⇐⇒ E(r) =
r
2
r 4πε0
r 4πε0
ρ
=
r
3 ε0
∫ R
∫ R
ρ
=⇒ ∆V = V (r) − V (R) =
E dξ =
ξ dξ =
3 ε0 r
r
ρ
(R2 − r2 )
=
6 ε0
ρ
=⇒ V (r) = V (R) +
(R2 − r2 ),
6 ε0
dove la quantità V (R) è da determinare (lo faremo più avanti).
• Se r ≥ R
q
ε0
= E 4πr2 ⇐⇒
[
]
1 q
1 ρ 43 πR3
⇐⇒ E(r) =
=
q
=
ρ
·
V
ol(S
)
=
=
R
r2 4πε0
r2 4πε0
ρ R3 1
=
3 ε0 r 2
∫ +∞
∫ R
ρ R3
1
=⇒ V (r) =
E dξ =
dξ =
2
3
ε
ξ
0
r
r
ρ R3 1
=
,
3 ε0 r
28
da cui si può calcolare il valore di V (R). In deﬁnitiva si ha
 ρ

se r ∈ [ 0, R ]

 3 ε0 r
E(r) =

ρ R3 1


se r ∈ [ R, +∞ )
3 ε0 r 2
 ρ
2
2


 6 ε0 (3R − r ) se r ∈ [ 0, R ]
V (r) =

ρ R3 1


se r ∈ [ R, +∞ )
3 ε0 r
Analogamente a quanto visto nel caso della superﬁcie sferica discusso
precedentemente, detta
(
)
4
q =ρ·
π R3
3
la carica totale presente sulla sfera, si ha
q
se r ∈ [ R, +∞ )
E(r) = k 2
r
q
se r ∈ [ R, +∞ )
V (r) = k
r
Ovvero sia il campo sia il potenziale a distanza r ≥ R dal centro si
comportano come se la carica fosse tutta addensata nel centro della sfera.
3. Cilindro pieno indefinito con densità volumetrica di carica ρ uniforme.
Sia R il raggio del cilindro carico. È immediato convincersi che le linee
di forza del campo sono semirette giacenti sui piani ortogonali all’asse
⃗
del cilindro, ed uscenti radialmente da esso. Studiamo il modulo di E.
Consideriamo una superﬁcie cilindrica coassiale con il cilindro dato, di
altezza h e raggio r.
• Se r ∈ [ 0, R ]
q
ε0
=
⇐⇒ E(r) =
=⇒ V (r) =
E 2π h r ⇐⇒
q
1
ρ π r2 h 1
ρ
=
=
r
ε0 2π h r
ε0 2π h r
2 ε0
∫ R
ρ
ρ
V (R) +
ξ dξ = V (R) +
(R2 − r2 )
2 ε0 r
4 ε0
• Se r ≥ R
q
ε0
= E 2π h r ⇐⇒
⇐⇒ E(r) =
=⇒ V (r) =
1
ρ π R2 h 1
ρ R2 1
q
=
=
ε0 2π h r
ε0 2π h r
2 ε0 r
( )
2 ∫ R
ρR
1
ρ R2
R
V (R) +
dξ = V (R) +
log
2 ε0 r ξ
2 ε0
r
29
Rimane cosı̀ deﬁnito V (r) a meno di una costante additiva V (R). Ponendo
V (R) = 0 si ottiene
 ρ

se r ∈ [ 0, R ]

 2 ε0 r
E(r) =

ρ R2 1


se r ∈ [ R, +∞ )
2 ε0 r
 ρ
2
2

se r ∈ [ 0, R ]

 4 ε0 (R − r )
V (r) =
(r)
 ρ R2

 −
se r ∈ [ R, +∞ )
log
2 ε0
R
4. Piano indefinito con densità superficiale di carica σ uniforme.
È immediato osservare che le linee di forza del campo sono semirette us⃗ Consideriamo
centi dal piano, ortogonali ad esso. Studiamo il modulo di E.
una superﬁcie cilindrica con asse ortogonale al piano dato. Chiaramante il
ﬂusso della superﬁcie è non nullo solo sulle basi del cilindro. Sia S l’area
di base. Sfruttando ancora una volta il teorema di Gauss si ottiene
q
= E 2 S ⇐⇒
ε0
q
σS
σ
⇐⇒ E =
=
=
= cost.
2 S ε0
2 S ε0
2 ε0
Detta x la distanza dal piano, segue immediatamente che ∀A, B ∈ R3 vale
VB − VA = E (xB − xA ) =
σ
(xB − xA )
2 ε0
Fatto [Simmetria radiale]: si può dimostrare che in caso di simmetria radiale
(e.g. tutti gli esempi visti sopra) vale la relazione
(
)
⃗ ·E
⃗ = 1 d r2 E
∇
2
r dr
Esempio [Simmetria radiale]: si consideri la sfera piena trattata in dettaglio
nell’Esempio 2, abbiamo calcolato che
 ρ

se r ∈ [ 0, R ]

 3 ε0 r
E(r) =

ρ R3 1


se r ∈ [ R, +∞ )
3 ε0 r 2
Dal fatto appena enunciato possiamo quindi calcolare la divergenza del campo
in modo molto semplice. Si ha
 ρ

(
)
se r ∈ [ 0, R ]
ε0
⃗ ·E
⃗ (r) =
∇

0
se r ∈ [ R, +∞ )
30
6
6.1
Conduttori in equilibrio elettrostatico
Equilibrio elettrostatico
Deﬁnizione [Conduttore, equilibrio elettrostatico]: si consideri su R3 la topologia euclidea standard. Modellizziamo un conduttore nello spazio come una varietà topologica C ⊆ R3 di dimensione 3 compatta, connessa e orientabile.
Diciamo che C è in equilibrio elettrostatico se il campo elettrostatico della parte
. ⃗
⃗ ◦ =
interna di C è nullo (i.e. E|
Eint = ⃗0).
C
Assioma [Equilibrio elettrostatico]: un conduttore isolato tende spontaneamente ad evolvere verso lo stato di equilibrio elettrostatico.
Osservazione [Conduttori in equilibrio elettrostatico]: sia C un conduttore
carico in equilibrio elettrostatico con superﬁcie di bordo
esterna Σ. Dal teorema
⃗ int = ⃗0, segue che ∑ qint = 0, quindi in un
di Gauss, avendo come ipotesi E
conduttore carico in equilibrio elettrostatico l’eccesso di carica si distribuisce
sulla superﬁcie esterna Σ.
6.2
Teorema di Coulomb e applicazioni
Teorema [di Coulomb]: sia C un conduttore carico in equilibrio elettrostatico
con ∂C = Σ. Allora il campo elettrostatico da esso generato è nullo all’interno
ed è costante, pari a
⃗ = σ ⃗un
E
ε0
sulla superﬁcie esterna Σ, dove σ e ⃗un sono rispettivamente la densità superﬁciale
di carica e il versore normale di Σ.
◦
.
⃗ ≡ 0 su C è immediato concludere che Vint =
V |◦ =
Dimostrazione: da E
C
◦
cost, infatti ∀P, Q ∈ C si ha
∫
Q
⃗ =0
⃗ · ds
E
VP − VQ =
=⇒
Vint = cost.
P
Vogliamo ora dimostrare che anche V |Σ = cost. Infatti per la continuità di V si
ha che ∀x̃ ∈ Σ esiste il limite
(∗)
lim V (x) = lim V (x) = cost,
x→x̃
◦
| {z }
x→x̃
=V (x̃)
x∈C
dove (∗) vale per l’unicità del limite. Abbiamo cosı̀ dimostrato che Σ è una superﬁcie equipotenziale. Ricordando quindi che le linee di campo sono sempre
⃗ ha direzione
ortogonali ad una superﬁcie equipotenziale, segue che il campo E
⃗un . Dimostriamo ora che il modulo del campo è costante e pari a σ/ε0 . Per ogni
31
punto P della superﬁcie si approssimi localmente Σ con il suo piano tangente
T in quel punto. Si ponga su tale piano una superﬁcie cilindrica C in modo che
il suo asse passi per P , sia ortogonale a T , e che le due superﬁci circolari di
base siano equidistanti dal piano tangente. Ragioniamo sul ﬂusso attraverso C.
⃗ int = 0 si ha che il ﬂusso attraverso parte di superﬁcie cilindrica imEssendo E
mersa dentro C è anch’esso nullo. Essendo poi il versore normale alla superﬁcie
⃗
laterale ortogonale al campo in ogni punto, si ha in deﬁnitiva che il ﬂusso di E
attraverso C è diverso da zero soltanto sulla superﬁcie di base esterna Sest . Dal
teorema di Gauss segue quindi che
⃗ = E Sest =
Φ(E)
q
σ Sest
=
ε0
ε0
⇐⇒
E=
σ
,
ε0
per ogni punto di Σ, da cui la tesi. Esempio [Sfera]: sia S una sfera piena carica di raggio R, in equilibrio
⃗ int = 0. Dal teorema di Coulomb si deduce inoltre che
elettrostatico. Si ha E
⃗
E(R) = σ/ε0 ⃗ur , come se si trattasse di una superﬁcie sferica cava uniformemente carica di densità superﬁciale di carica σ.
Esempio [Sfera-ﬁlo-sfera]: si consideri un conduttore C costruito unendo
tramite un ﬁlo due sfere piene cariche S1 ed S2 di raggi rispettivamente R1 < R2 .
Si supponga che non ci sia induzione elettrostatica tra le sfere. Siano V1 e V2
rispettivamente i potenziali elettrostatici di S1 e di S2 . Come evidenziato nella
dimostrazione del teorema di Coulomb, in un conduttore in equilibrio elettrostatico si ha V |C = cost. Ricordando quindi il valore del potenziale elettrostatico
di una superﬁcie sferica cava uniformemente carica, si ha quindi
V1 = V2
⇐⇒
R1 σ1
R2 σ2
=
ε0
ε0
⇐⇒
⇐⇒
R1 σ1 = R2 σ2
⇐⇒
R2
σ1 (1) E1
=
=
> 1,
R1
σ2
E2
dove (1) segue dal teorema di Coulomb. Concludiamo pertanto che il campo è
maggiore sulla sfera con raggio minore.
Convenzione [Potenziale della terra]: si pone per convenzione V (terra) = 0.
Fatto [Equazione di Laplace]: per determinare la distribuzione superﬁciale di
carica di un conduttore si deve risovere l’equazione di Laplace per il potenziale,
ovvero
∂2V
∂2V
. ∂2V
+
+
=0
∇2 V =
2
2
∂x
∂y
∂z 2
Dimostrazione: un’idea della dimostrazione è la seguente. Si consideri un
⃗ con divergenza ∇
⃗ ·E
⃗ = ρ/ε0 (si pensi ad esempio ai
campo elettrostatico E
⃗ = −∇V
⃗ , da cui
campi a simmetria radiale). Dalla legge di Maxwell segue E
32
⃗ · ∇V
⃗ = −∇2 V = ρ/ε0 , che è detta equazione di Poisson. Essendo
si ha −∇
nello spazio vuoto ρ = 0, dall’equazione di Poisson si deduce immediatamente
l’equazione di Laplace ∇2 V = 0. Esempio [Conduttore isolato]: supponiamo di avere un conduttore C isolato
⃗ est si vere scarico in equilibrio elettrostatico. Se si applica un campo esterno E
iﬁca l’induzione elettromagnetica, avendosi pertanto una separazione di cariche
all’interno di C . Aspettando una quantità di tempo suﬃciente a ristabilire l’e⃗ ind avrà
quilibrio elettrostatico del conduttore si avrà che il campo indotto E
stessa direzione e modulo del campo esterno, ma verso opposto. Infatti, doven⃗ int = 0, ed essendo il conduttore sotto l’azione di una campo esterno
do essere E
⃗ int = E
⃗ est + E
⃗ ind = 0, da cui segue E
⃗ ind = −E
⃗ est ̸= 0.
non nullo, si ha E
Esempio [Conduttore cavo]: supponiamo di avere un conduttore cavo C
isolato e carico in equilibrio elettrostatico. Si immagini ad esempio un conduttore sferico con una cavità sferica concentrica ad esso. Pensiamo C come
◦
C = Cpieno \C cav . Utilizzando il solito argomento osserviamo che presa una
qualunque superﬁcie chiusa attorno alla cavità Ccav , dalla condizione di equilibrio elettrostatico più il Teorema di Gauss segue che la somma della cariche
contenute nello spazio racchiuso da tale superﬁcie è nulla. Dall’arbitrarietà di
tale scelta si ha pertanto che la somma delle cariche presenti in Ccav è nulla. In
particolare ciò è vero per la superﬁcie interna ∂Ccav . Un ulteriore prova di tale
fatto può essere data considerando una qualunque curva chiusa c che intersechi
sia C che Ccav . Sia ad esempio c data dall’unione di due curve c = ccond ∪ ccav ,
con ccond ⊆ C e ccav ⊆ Ccav . Si ha che la tensione elettrica lungo c è data da
∫
∫
∫
.
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ · ds,
Tc = Tccond + Tccav =
E · ds +
E · ds =
E
ccond
ccav
ccav
|
{z
}
=0
⃗ int = 0).
dove l’integrale è nullo perché C è in equilibrio elettrostatico (i.e. E
Se ci fosse per assurdo una divisione di cariche nel conduttore e nella cavità, si
⃗ C ̸= 0. Dall’espressione appena ricavata seguirebbe quindi Tc ̸= 0,
avrebbe E|
cav
in contraddizione con la natura conservativa del campo. In conclusione quindi
un conduttore in equilibrio elettrostatico non vede le cavità poste al suo interno.
Infatti continua ad essere nullo il campo elettrostatico in Ccav e tutto l’eccesso di carica si distribuisce sulla superﬁcie esterna di C , come se fosse C = Cpieno .
6.3
Capacità elettrica di un conduttore
Deﬁnizione [Capacità elettrica]: sia∫ C un conduttore carico e sia Σ = ∂C
la sua superﬁcie di bordo. Detta q = Σ σ(x′ , y ′ , z ′ ) dΣ la carica presente sulla
∫
′ ′ ′
superﬁcie del conduttore, e detto V (x, y, z) = k Σ σ(x r,y′ ,z ) dΣ il potenziale
del campo da essa generato, si deﬁnisce capacità elettrica del conduttore C la
33
quantità
C=
q
.
V
La sua unità di misura è il Farad [F].
Osservazione [Capacità elettrica]: la capacità elettrica di un conduttore C
dipende dalla forma e dalle dimensioni di C (Σ), e dal mezzo in cui è posto (σ).
Esempio [Capacità di un conduttore sferico]: sia S un conduttore sferico di
raggio R con densità superﬁciale σ uniforme. Allora
C=
q
q
R
=
ε0 · |{z}
R
q = k = 4π · |{z}
V
k
dimensione
mezzo
R
|{z}
f orma
7
7.1
Condensatori
Deﬁnizioni ed esempi
Deﬁnizione [Induzione completa]: siano C e D due conduttori agenti l’uno
sull’altro tramite induzione elettrostatica. Si chiama induzione completa, quando i due conduttori sono disposti in maniera tale che tutte le linee di campo
partono da un conduttore e arrivano sull’altro.
Deﬁnizione [Condensatore]: si dice condensatore, e si indica con ⊣⊢, un sistema di due conduttori tra i quali vi sia induzione completa.
Esempio [Condensatore piano]: si considerino A1 e A2 due piani paralleli
inizialmente scarichi posti a distanza d > 0 l’uno dall’altro. Tali piani sono detti
armature. Si supponga, ad esempio, di caricare l’armatura A1 con una carica
q > 0. Si ha che A1 agisce tramite induzione elettrostatica completa su A2 . Aspettando una quantità suﬃciente di tempo, quindi, verrà indotta sull’armatura
A2 una carica −q uguale in modulo e opposta in segno alla carica iniziale da⃗ le cui
ta ad A1 . Tra le due armature si viene pertanto a creare un campo E
linee di campo sono ortogonali ai piani, uscenti da A1 ed entranti in A2 . Il sistema cosı̀ creato risulta allora essere un condensatore, detto condensatore piano.
Esempio [Condensatore sferico]: in modo analogo è possibile costruire un condensatore sferico. Siano S1 , S2 , S3 tre sfere piene, concentriche e di raggi rispet.
tivamente r1 < r2 < r3 . Si considerino allora il conduttore cavo C = S3 \S2 e il
conduttore S1 , che risulta essere posto nella cavità di C . Caricando ad esempio
S1 con una carica q > 0, si ha che il sistema costituito da C e S1 risulta essere
un condensatore. Le linee di forza del campo indotto sono uscenti radialmente
dalla superﬁcie di S1 .
34
Deﬁnizione [Capacità di un condensatore]: la capacità elettrica di un condensatore si calcola con la formula
q
C=
,
∆V
dove q è la carica presente su una delle due armature, e ∆V è la diﬀerenza di
potenziale presente tra di esse.
7.2
7.2.1
Tipi di collegamenti
Collegamento in parallelo
Deﬁnizione [Collegamento in parallelo]: siano dati n condensatori C1 , . . . , Cn ,
si dice che i condensatori sono collegati in parallelo se sono collegati come in
ﬁgura:
Osservazione [Collegamento in parallelo]: collegare n condensatori in parallelo equivale in eﬀetti a deﬁnire un nuovo condensatore formato da due soli
conduttori (quello superiore e quello inferiore in ﬁgura). Siano allora S l’armatura superiore e I l’armatura inferiore di questo nuovo condensatore. Supponiamo
che la carica complessiva di S sia q. Per l’induzione completa si ha quindi che
la carica complessiva su I è −q e quindi il sistema S,I cosı̀ deﬁnito risulta a sua
volta un condensatore.
Teorema [Ceq parallelo]: siano dati n condensatori C1 , . . . , Cn collegati in parallelo. Allora la capacità elettrostatica del sistema (detta capacità equivalente)
è data da:
n
∑
Ceq =
Ci
i=1
Dimostrazione: siano deﬁniti S ed I come nell’osservazione precedente, siano
V |S e V |I i rispettivi potenziali dei due conduttori superiore ed inferiore, e
siano ∆Vi le diﬀerenze di potenziale dei singoli condensatori Ci . È immediato
.
convincersi che per ogni i si ha ∆Vi = V |S − V |I = ∆V . Per ogni i = 1, . . . , n
si ha, per deﬁnizione di Ci
qi = Ci ∆Vi = Ci ∆V.
Sommando membro a membro si ottiene quindi
n
∑
i=1
qi =
n
∑
i=1
Ci ∆V = ∆V
n
∑
Ci
i=1
35
⇐⇒
n
∑
i=1
∑n
Ci =
i=1 qi
∆V
,
ma il secondo membro dell’ultima equazione è per deﬁnizione la capacità elettrica totale del sistema Ceq . 7.2.2
Collegamento in serie
Deﬁnizione [Collegamento in serie]: siano dati n condensatori C1 , . . . , Cn , si
dice che i condensatori sono collegati in serie se sono collegati come in ﬁgura:
Teorema [Ceq serie]: siano dati n condensatori C1 , . . . , Cn collegati in serie.
Allora la capacità elettrostatica del sistema è data da:
∑ 1
1
=
Ceq
Ci
i=1
n
Dimostrazione: senza perdere in generalità supponiamo che inizialmente l’armatura sinistra di C1 sia stata caricata di carica q > 0, mentre le altre sono
scariche. Allora a causa dell’induzione completa l’armatura destra di C1 si carica
negativamente di carica −q, mentre l’armatura sinistra di C2 si carica positivamente di carica q. Ragionando in modo induttivo si dimostra facilmente che
tutti i condensatori Ci hanno la stessa carica q (sulla loro armatura sinistra).
Per i = 0, . . . , n, siano Vi i potenziali sugli (n + 1) conduttori costituenti il sistema. La diﬀerenza di potenziale ∆Vi = Vi − Vi−1 dell’i-esimo condensatore è
data allora da
q
Vi − Vi−1 =
.
Ci
Sommando membro a membro si ha che la diﬀerenza di potenziale totale è
n
∑
n
n
∑
∑
q
1
.
=q
(Vi − Vi−1 ) = Vn − V0 = ∆V =
Ci
Ci
i=1
i=1
i=1
⇐⇒
∆V = q
n
∑
1
C
i
i=1
⇐⇒
∑ 1
∆V
=
.
q
Ci
i=1
n
⇐⇒
Riconoscendo ora q come la carica totale presente sul sistema, dall’ultima relazione segue la tesi. 7.3
Energia elettrostatica di un condensatore
Teorema [Energia (potenziale) elettrostatica di un condensatore]: sia C un
condensatore, sia C la sua capacità elettrica e V il suo potenziale elettrostatico.
36
Detto West il lavoro esterno per spostare della carica da un’armatura ad un’altra,
si ha West = ∆U , ove
1
U = CV2
2
Dimostrazione: ricordiamo che nel caso ﬁnito il lavoro esterno necessario per
disporre n particelle cariche nello spazio è
Wn =
1
k
2
∑
n
qi qj
1 ∑
=
qi
rij
2 i=1
i,j=1,...,n
∑
i̸=j
j=1,...,n
j̸=i
k
{z
|
n
1 ∑
qj
=
qi Vi .
rij
2 i=1
}
=Vi
La generalizzazione al caso contino richiederà la sostituzione della sommatoria
della cariche con un’integrazione estesa da 0 al valore q della carica presente
su di un’armatura. Si ragiona nel modo seguete. Supponiamo di voler spostare
un elemento di carica dq da un’armatura all’altra sotto l’azione della diﬀerenza
di potenziale V del condensatore. Il lavoro esterno elementare necessario per
compiere quest’azione è dato dalla forma diﬀerenziale
dWest = V dq =
q
dq,
C
integrando tale forma diﬀerenziale dallo stato di condensatore scarico (carica
nulla) ﬁno ad esaurire tutta la carica q si ottiene quindi
∫ q ′
∫ q
q ′
1
1 1
1
dq =
q ′ dq ′ =
q2 = C V 2 .
|{z}
C 0
C 2
2
0 C
=(C V )2
Dalla natura conservativa della forza, è chiaro che si può scrivere
West = ∆U = Uf in − Uiniz = Uf in ,
infatti allo stato iniziale il condensatore è scarico e pertanto l’energia iniziale è
nulla. Da quest’ultima uguaglianza segue dunque la tesi. 7.4
Calcolo della capacità elettrica in condensatori particolari
Esempio [Condensatore piano]: sia P un condensatore piano di dimensioni
limitate, aventi armature di area ﬁnita Σ, poste a distanza d l’una dall’altra.
Supponiamo di caricare un’armatura di una carica q = σ Σ, dove σ è la densità
superﬁciale di carica. Per quanto visto sullo studio del campo e del potenziale di
una superﬁcie piana uniformemente carica, sappiamo che all’interno del conden⃗ = σ/ε0 ⃗ux , e V = E x + cost, da cui possiamo dedurre immediatamente
satore E
che la diﬀerenza di potenziale del condensatore piano è
∆V = E d =
37
σ
d,
ε0
potendo quindi calcolare immediatamente la capacità elettrica come
C=
Σ
q
σΣ
=
ε0 = ε0 .
∆V
σd
d
Si ha quindi che la capacità elettrica di un condensatore piano aumenta all’aumentare della superﬁcie delle armature e al diminuire della distanza tra esse.
Esempio [Condensatore sferico]: sia S un condensatore sferico di raggi R1 <
R2 < R3 . Supponiamo di aver caricato la sfera più interna di una carica q.
Per il principio di sovrapposizione e sfruttando la conoscenza del potenziale di
una superﬁcie sferica uniformemente carica è possibile determinare facilmente
il potenziale del condensatore come
)
(

1
1
1


−
+
se r ∈ [ 0, R1 ]
kq


R1
R2
R3



(
)



1
1
1


−
+
k
q
se r ∈ [ R1 , R2 ]

r
R2
R3
V (r) =
(
)


1 1
1
kq


kq
− +
=
se r ∈ [ R2 , R3 ]


r
r
R
R

3
3





 kq
se r ∈ [ R3 , +∞ )
r
La diﬀerenza di potenziale risulta quindi essere
(
)
1
1
R2 − R1
∆V = V (R1 ) − V (R3 ) = k q
−
= kq
,
R1
R2
R1 R2
dalla quale si può inﬁne calcolare la capacità elettrica come
C=
q
R1 R2
4π ε0 R1 R2
=q
=
.
∆V
k q (R2 − R1 )
R2 − R1
Si ha quindi che la capacità elettrica di un condensatore piano aumenta all’aumentare dei raggi delle armature e al diminuire della distanza tra esse.
Esempio [Condensatore cilindrico]: sia C un condensatore cilindrico, formato
cioè da due superﬁci cilindriche coassiali di raggi R1 < R2 . Sia d = R2 − R1 la
distanza tra esse e sia h la comune altezza. Si facciano le seguenti assunzioni su
R1 , R2 , d ed h:
• d ≪ R1 , e d ≪ R2 , cioè R1 ≈ R2 (vogliamo cioè che le due superﬁci
cilindriche siano molto vicine);
• h ≫ R1 , e h ≫ R2 (vogliamo cioè che l’altezza sia molto grande, idealmente inﬁnita, per poter avere l’induzione completa).
38
Al ﬁne di determinare la diﬀerenza di potenziale del condensatore
∫ R2
∆V = V (R2 ) − V (R1 ) =
E dr,
R1
calcoliamo il valore del campo per r ∈ [ R1 , R2 ]. Si consideri allora una superﬁcie
cilindrica chiusa, coassiale con le due armature, e di raggio R1 ≤ r ≤ R2 .
Sfruttando il teorema di Gauss otteniamo
q
q
1
2π r h E =
⇐⇒ E =
,
ε0
2π ε0 h r
da cui si ricava il valore della diﬀerenza di potenziale
( )
∫ R2
q
q
1
R2
d=
log
∆V =
2π ε0 h R1 r
2π ε0 h
R1
e conseguentemente il valore esatto della capacità elettrica
C=
2π ε0 h
( ).
2
log R
R1
A questo punto è però possibile utilizzare l’ipotesi aggiuntiva che avevamo fatto
su raggi, e distanza dei due cilindri per sempliﬁcare notevolmente l’espressione
della capacità appena determinata. Dal fatto che d/R1 ≈ 0 possiamo scrivere
( )
(
)
(
)
R2
R1 + d
d
d
log
= log
= log 1 +
≈
,
R1
R1
R1
R1
inoltre, essendo R1 ≈ R2 , anche le aree dei cilidri saranno simili, cioè 2π R2 h ≈
.
2π R1 h = Σ. Alla luce di queste approssimazioni, quindi, si pò riscrivere la
capacità elettrica nella forma
Σ
C = ε0 ,
d
ovvero anch’essa cresce al crescere della superﬁcie del condensatore e al diminuire
della distanza tra le due armature.
7.5
7.5.1
Dielettrici e condensatori
Capacità elettrica in condensatori piani e sferici
Esperimento [Condensatori piani e dielettrici]: abbiamo mostrato che le capacità elettrica (nel vuoto) di un condensatore piano è:
C0 =
Σ
q0
= ε0 ,
∆V0
h
detta h la distanza tra le armature. Inseriamo ora una lastra di dielettrico
di spessore s < h tra di esse. Misurando sperimentalmente la diﬀerenza di
potenziale, si osserva che
∆V < ∆V0 ,
⇐⇒
39
∆V0
> 1,
∆V
ovvero che essa diminuisce da quella del vuoto. Inoltre si osserva che la diﬀerenza di potenziale diminuisce all’aumentare dello spessore della lastra. Ponendo
quindi s = h si misurerà quindi una certa diﬀerenza di potenziale
∆Vk = ∆Vmin
che sarà la minima possibile per un condensatore piano riempito con quel dielettrico. Si osserva infatti che, a temperatura ﬁssata, la quantità V0 /Vk dipende
solo dal dielettrico e si pone per tanto
V0 .
.
= k = εr > 1,
Vk
detta costante dielettrica relativa del dielettrico. Essendo k = k(T ), si è poi
dimostrato che ad una temperatura approssimativa T ≈ 300 K si ha
k ≈ 1, 00059 per l’aria,
k≈4
per la carta,
k ≈ 6, 5
per la porcellana.
Per quanto visto sul calcolo della capacità elettrica dei condensatori piani si
ha ∆V = E h, dove E è il modulo del campo. Supponendo di aver riempito il
condensatore di un dielettrico con costante relativa k, si ha quindi
Ek =
Vk
V0
E0
=
=
< E0 ,
h
kh
k
poiché k > 1. Si ha quindi che anche l’intensità del campo diminuisce con
l’introduzione del dielettrico nel condensatore. La diminuzione di intensità del
campo è pari a
(
)
(
)
1
k−1
E0
= E0 1 −
= E0
,
E0 − Ek = E0 −
k
k
k
da cui è possibile riscrivere il campo Ek in funzione di E0 nella forma
(
)
(
)
k−1
σ0
σ0 k − 1
Ek = E0 − E0
=
−
.
k
ε0
ε0
k
Deﬁnendo poi densità superficiale della carica di polarizzazione la quantità
k−1
.
σp = σ0
k
si ha
Ek =
(< σ0 ) ,
σ0
σp
− .
ε0
ε0
La deﬁnizione di σp deriva dal fatto (provato sperimentalmente) che se sulle
armature abbiamo una carica libera q0 , allora sulle facce del dielettrico abbiamo
una cosiddetta carica di polarizzazione
k−1
.
qp = q0
k
40
(< q0 ) .
Calcoliamo ora la capacità elettrica relativa del condensatore piano in cui sia
stato inserito un dielettrico. Si ha
Ck =
q0
q0
=k
= k C0
∆Vk
∆V0
(> C0 ) .
Deﬁnendo poi la costante dielettrica assoluta del dielettrico come
ε = k ε0 ,
si può scrivere
(
Ck = k
Σ
ε0
h
)
Σ
=ε ,
h
ritrovando un’espressione formale analoga a quella della capacità elettrica di un
condensatore piano nel vuoto. Il risultato si può generalizzare ad una lastra di
spessore s ≤ h, come si vede nella legge che segue.
Legge [Condensatori piani e dielettrici]: si consideri un condensatore piano
con piastre di superﬁcie Σ, distanti h l’una dall’altra, e nel quale sia stata inserita
una lastra di dielettrico di altezza x ≤ h e costante dielettrica relativa k. La
capacità elettrica del condensatore, dopo l’inserimento della lastra, diventa
C=
ε0 Σ
h−x+
x
k
.
Esperimento [Condensatori sferici e dielettrici]: con un’esperienza analoga a
quella dei condensatori piani completamente riempiti con dielettrici, ricordando
che per un condensatore sferico nel vuoto si ha
C0 = 4π ε0
R1 R2
,
R2 − R1
C0 = 4π ε
R1 R2
.
R2 − R1
si può concludere
7.5.2
Energia elettrostatica in condensatori piani
Deﬁnizione [Condensatore isolato]: sia C un condensatore carico di carica q0 .
Si dice che C è isolato se la carica libera q0 è costante (q0 = cost).
Deﬁnizione [Condensatore collegato ad un generatore]: sia C un condensatore. Si dice che C è collegato ad un generatore (di forza elettromotrice, o di
fem) se la diﬀerenza di potenziale ∆V0 di C è costante (∆V0 = cost).
Teorema [Energia elettrostatica e dielettrici]: sia C un condensatore piano
completamente riempito di un dielettrico di costante dielettrica relativa k. A
seconda di come viene inserita la lastra di dielettrico, si distinguono due casi:
41
i) se C è isolato, allora
– l’energia elettrostatica del condensatore diminuisce con l’inserimento
della lastra;
– è necessario che le forze del campo spendano un lavoro positivo per
attirare la lastra di dielettrico;
– l’energia elettrostatica del condensatore dopo l’inserimento della lastra è
1
Uk = ε Ek2 Σ h
2
ii) se C è collegato ad un generatore, allora
– l’energia elettrostatica del condensatore aumenta con l’inserimento
della lastra;
– è necessario che il generatore spenda un lavoro positivo per attirare
la lastra di dielettrico;
– il lavoro compiuto dal generatore si può scrivere come
Wgen = W + ∆Uel ,
dove W è il lavoro necessario per attirare la lastra e ∆Uel è la
variazione di energia elettrostatica del condensatore.
Dimostrazione: dimostriamo separatamente i due casi.
i) Dal calcolo generale dell’energia elettrostatica di un condensatore sappiamo U = 12 C V 2 = 21 q V . Nel caso in esame a seguito dell’inserimento
della lastra di dielettrico rimane q = q0 = cost (poiché il condensatore
è isolato), mentre la diﬀerenza di potenziale diminuisce come mostrato
nell’esperimento precedente. Si ha in deﬁnitiva
Uk =
1
1 V0
1
q 0 Vk = q 0
= U0 < U0 ,
2
2
k
k
da cui segue che
∆U = Uf in − Uiniz = Uk − U0 < 0,
ovvero l’energia elettrostatica del condensatore diminuisce con l’inserimento della lastra. Dalla natura conservativa delle forze elettrostatiche si può
inoltre scrivere
−∆U = Wel > 0,
dove Wel è il lavoro compiuto dalle forza del campo per attirare la lastra
di dielettrico. È dunque necessario che tali forze spendano un lavoro positivo per compiere l’operazione. Riprendendo ora l’espressione dell’energia
elettrostatica del dielettrico dopo l’inserimento della lastra, abbiamo
(
)
1 1
1 1
Σ ( 2 2)
1 E02
1
2
U0 =
C0 V0 =
ε0
Σh =
E0 h = k ε0
Uk =
k
k 2
k 2
h
2 k2
1
=
ε Ek2 Σ h,
2
42
che è l’ultima parte della tesi.
ii) Lavoriamo ora nell’ipotesi in cui V0 = cost. Avendo precedentemente dimostrato che a seguito dell’inserimento in un condensatore di una lastra
di dielettrico la capacità elettrica aumenta (ovvero Ck > C0 ), osserviamo
quanto segue. Per deﬁnizione è
qk
. q0
C0 =
< Ck =
.
V0
V0
Essendo quindi Vk = V0 costante, deve essere q0 < qk , ovvero il generatore deve fornire al condensatore una quantità di carica ∆q = qk −
q0 > 0. Ragioniamo ora sull’energia elettrostatica del condensatore dopo
l’inserimento della lastra. Abbiamo
Uk =
1
1
Ck V02 = k C0 V02 = k U0 > U0 ,
2
2
da cui segue che
∆Uel = Uf in − Uiniz =
1 2
V ∆C > 0,
2 0
ovvero l’energia elettrostatica del condensatore aumenta con l’inserimento della lastra. Consideriamo ora il lavoro eﬀettuato dal generatore per
attirare la lastra, esso è
Wgen = V0 ∆q = V02 ∆C > 0,
quindi è necessario che il generatore spenda un lavoro positivo per attirare
la lastra di dielettrico. In virtù della conservatività delle forze in esame è
possibile inoltre scrivere
Wgen = −∆Ugen = V02 ∆C
⇐⇒ ∆Ugen = −V02 ∆C.
Grazie a quest’espressione possiamo ora calcolare la variazione di energia
totale del sistema come la quantità
∆Utot = ∆Uel + ∆Ugen =
1
1 2
.
V0 ∆C − V02 ∆C = − V02 ∆C = −W,
2
2
dove il lavoro W che compare all’ultimo membro è il lavoro totale necessario ad attirare la lastra. Da quest’ultima relazione si conclude immediatamente
Wgen = ∆Uel + W,
che conclude la dimostrazione del teorema. 43
7.5.3
Rigidità dielettrica e polarizzazione
Deﬁnizione [Rigidità dielettrica]: si dice rigidità dielettrica il valore massimo
di campo elettrico, espresso in kV /mm (kilovolt su millimetro) che si può applicare all’interno di un dielettrico, prima che questo perda le sue proprietà isolanti.
Esempi [Rigidità dielettrica]: alcuni esempi di rigidità dielettrica (espressi in
kV /mm) sono i seguenti:
aria secca 3
vetro
20
vuoto
+∞
Osservazione [Condensatori e dielettrici]: è utile inserire un dielettrico in
un condensatore perché aumenta la capacità elettrostatica e la rigidità dielettrica del condensatore4 . Il fatto è che nei problemi concreti si è interessati ad
immagazzinare più energia possibile all’interno di un condensatore, da cui la
necessità di aumentarne capacità e rigidità. Un’altro fatto da non trascurare
è che la presenza di un dielettrico solido tiene le armature alla distanza ﬁssa
desiderata senza aver bisogno di operare con forze esterne. Per farsi un’idea di
quanta poca energia riesca ad immagazzinare un condensatore si consideri l’esempio seguente.
Esempio [Energia accumulabile in un condensatore]: vogliamo costruire un
condensatore piano ad aria che accumuli 100 kJ di energia5 . Troviamo quale
dev’essere il volume minimo tra le armature.
Sfruttiamo la formula trovata nel teorema precedente che esprime la quantità
di energia accumulata in un condensatore isolato in cui è stato inserito un
dielettrico. Si ha
1
Uk = ε Ek2 Σ h.
2
Nel caso esame sono noti Uk = 100 kJ, ε = k ε0 ≈ 1.00059 ε0 , e E = Emax ≈
3 kV /mm. Abbiamo scelto proprio il valore della rigidità dielettrica dell’aria
perchè il problema ci chiede che il volume sia minimo. Perché ciò accada è
ovviamente necessario rendere massima l’intensità del campo. In queste ipotesi
quindi si può esplicitare il volume Σ h come
Σh =
2 Uk
2 · 100 · 103
≈
≈ 2500 m3 .
2
k ε0 Emax
1.00059 · 8.8542 · 10−12 · 9 · 1012
Quindi per accumulare abbastanza energia da tenera accesa una lampadina per
15 minuti sarebbe necessario e.g. un condensatore di forma cubica con lato di
13.5 m.
Deﬁnizione [Polarizzazione di un dielettrico]: con il termine polarizzazione
(elettronica) di un dielettrico si indica la formazione di un dipolo elettrico al4 Dove con rigidità dielettrica del condensatore si intende la rigidità dielettrica del dielettrico
posto tra le due piastre. Nelle applicazioni, se non diversamente speciﬁcato, si suppone che
tra le due piastre ci sia aria secca.
5 L’energia necessaria a tenere accesa una lampadina da 100W per un quarto d’ora.
44
l’interno di esso a causa dell’azione di un campo esterno.
Interpretazione ﬁsica [Polarizzazione di un dielettrico]: nei dielettrici (a differenza di quanto accade nei conduttori) tutti gli elettroni sono legati agli atomi
da legami molto forti e non se ne allontanano spontaneamente. Per far avvenire
la separazione occorre agire dall’esterno, ad esempio tramite lo stroﬁnio con un
panno. Se si applica al dielettrico un campo elettrico esterno avviene soltanto
uno spostamento locale delle cariche che costituiscono gli atomi. In un atomo di
un dielettrico in condizioni normali e in assenza di un campo elettrico esterno
la distribuzione degli elettroni è in media simmetrica rispetto al nucleo: essa
viene rappresentata come una nube circolare di carica negativa che occupa una
zona intorno al nucleo (posto al centro della sfera) di raggio pari alle dimensioni
dell’atomo; il baricentro della carica negativa corrisponde con la posizione del
⃗ il centro di massa della nube
nucleo positivo. Sotto l’azione di un campo E
negativa subisce uno spostamento in verso contrario al campo, il nucleo in verso concorde al campo e si raggiunge una posizione di equilibrio in cui questo
eﬀetto è bilanciato dall’attrazione tra le cariche di segno opposto. In tale modo
abbiamo ottenuto un dipolo.
Deﬁnizione [Molecole polari e non]: insiemi di atomi compongono molecole
che possono essere divise in due categorie.
• Una molecola si dice non polare se non presenta un momento di dipolo
intrinseco, ovvero se (presa come sistema isolato) non risulta polarizzata. Una molecola non polare può comunque essere polarizzata tramite
polarizzazione elettronica se inserita in un campo elettrico.
• Una molecola si dice polare se presenta un momento di dipolo intrinseco,
overo se (presa come sistema isolato) risulta polarizzata. Questo accade
o per il tipo di legame (per esempio ionico), o per l’asimmetria delle
molecole. Si dice in questo caso che la molecola subisce una polarizzazione
per orientazione.
Esempi [Molecole polari e non]: esempi di molecole non polari sono O2 , N2 .
Esempi di molecole polari sono H2 O, NaCl.
Osservazione/Deﬁnizione [Polarizzazione]: un dielettrico in un campo acquista un momento di dipolo medio microscopico che è parallelo e concorde con
il campo. Tale momento di dipolo si indica con < p⃗ >.
Deﬁnizione [Vettore di polarizzazione]: possiamo rappresentare la polarizzazione elettrica dei dielettrici con un vettore nel modo seguente. Si consideri
e posto in un campo esterno E.
⃗ Sia V ⊆ V
e un sottoinun dielettrico di volume V
e
sieme di V contenente ∆N atomi (o molecole). Sia ∆V la misura di V. Deﬁniamo
45
.
η = ∆N/∆V. Possiamo allora scrivere la quantità
∆N
∆N
∆⃗
p . 1 ∑
∆N ∑ p⃗i
=
p⃗i =
= η < p⃗ > .
∆V
∆V i=1
∆V i=1 ∆N
Con queste premesse chiamiamo vettore di polarizzazione e indichiamo con le
scritture formali che seguono, la quantità
.
p⃗ =
lim
∆V→0
∆⃗
p . d⃗
p . dN
.
< p⃗ > = η < p⃗ > .
=
=
∆V
dV
dV
e
Esempio [Vettore di polarizzazione]: si consideri un dielettrico di volume V.
−6
e
Sia V ⊆ V di forma cubica, con spigolo di raggio ℓ = 10 m. Si ha ∆V =
10−18 m3 . Supponiamo che sia η = 1025 m−3 . Segue allora che il numero di atomi contenuti in V è ∆N = ∆V η = 107 atomi.
Deﬁnizione [Omogeneità]: un dielettrico si dice omogeneo se la costante
dielettrica relativa k è uguale in ogni suo punto.
Deﬁnizione [Isotropia]: un dielettrico si dice isotropo se gode di simmetria
spaziale in tutte le direzioni, ovvero se le sue molecole non si dispongono secondo una conﬁgurazione privilegiata ma omogeneamente entro tutto il proprio
volume. Un dielettrico che non sia isotropo si dice anisotropo.
Esempio [Anisotropia]: i cristalli sono anisotropi, infatti la struttura cristallina che posseggono delinea una conﬁgurazione delle molecole ben deﬁnita, violando la proprietà di distribuzione omogenea entro tutto il loro volume.
Osservazione [Anisotropia]: in un dielettrico anisotropo le caratteristiche
elettriche non sono uguali ovunque, ma dipendono dal punto.
Deﬁnizione [Polarizzazione omogenea]: sia dato un condensatore piano con
le due armature poste orizzontalmente caricato con densità superﬁciale di carica
σ0 . Supponiamo che la superﬁcie superiore sia caricata di carica +σ0 , e quella
⃗ il campo generato dal condensatore all’interno
inferiore di carica −σ0 . Sia E
di esso. Si introduca ora in esso una lastra di dielettrico che (in generale) non
riempia completamente lo spazio tra le due armature, ma la si ponga anch’essa
orizzontalmente ed equidistante da esse. Sia il dielettrico omogeneo, isotropo
e con vettore di polarizzazione p⃗ uniforme. Si consideri ora un volumetto di
.
dielettrico di forma cubica. Indichiamo tale volumento con dV = dΣ dh, ove dΣ
e dh sono rispettivamente la sua area di base e la sua altezza. Per quanto visto
precedentemente ogni atomo i del dielettrico acquista un momento medio di
dipolo p⃗i , e questo accade ovviamente anche per gli atomi di dV. Essendo dV
⃗ del condensatore, ad esso si può però anche associare
sotto eﬀetto del campo E
⃗ Si ha quindi d⃗
un vettore di polarizzazione d⃗
p parallelo ad E.
p = p⃗ dV = p⃗ dh dΣ.
46
.
Deﬁniamo il versore direzione di p⃗ come ⃗up , e deﬁniamo inoltre d⃗h = dh ⃗up . Alla
luce di queste deﬁnizioni si può quindi scrivere
.
d⃗
p = p⃗ dh dΣ = p ⃗up dh dΣ = (p dΣ) d⃗h = dqp d⃗h.
In deﬁnitiva quindi possiamo pensare il volumetto con le due superﬁci superiore
e inferiore caricate rispettivamente di carica −dqp e +dqp . Estendendo questo
ragionamento a tutto il dielettrico si avrà quindi che la superﬁcie superiore del
dielettrico sarà carica con densità superﬁciale di carica −σp , mentre quella inferiore −σp . Il processo ﬁnora descritto prende il nome di polarizzazione omogenea.
Dalla sovrapposizione dei campi generati da queste quattro distribuzioni di carica (ovvero ±σ0 /2 ε0 quelli generati dalle armature, ∓σp /2 ε0 quelli generati dalle
due superﬁci della lastra), si può quindi dedurre immediatamente l’andamento
del campo in ogni punto dello spazio. Si ha

0
al di sopra dell’armatura superiore




σ

0


tra l’armatura superiore e la superﬁcie superiore della lastra


ε
0



 σ0
σp
−
tra le due superﬁci della lastra
E=
ε
ε0
0

 σ


0

tra la superﬁcie inferiore della lastra e l’armatura inferiore



ε
0




 0
al di sotto dell’armatura inferiore
8
8.1
Corrente elettrica
Deﬁnizioni, osservazioni, esempi introduttivi
Osservazione preliminare: Nell’analisi che seguirà, supporremo che tutti i
conduttori utilizzati siano solidi (metalli). In questo caso si ha che il numero di
elettroni liberi per unità di volume è
Nelib
Nat
1
.
=
ne = n ≈ 1028−1029 3 ,
V
V
m
dove con Nat si è indicato il numero di atomi di cui è composto il conduttore.
Si può inoltre scrivere
Nat
NAv
NAv
=
=
ρ,
V
Vmol
A
1
dove NAv = 6, 02 1023 mol
è il Numero di Avogadro; A, espressa in g/mol, è la
massa di una mole; e ρ, espressa in g/m3 , è la densità del metallo: ρ = M/V =
A/Vmol .
Esempio: nel caso del rame (Cu) si ha ne = 1. Nel caso dell’alluminio (Al)
si ha ne = 3.
47
Deﬁnizione [Corrente elettrica]: siano C1 e C2 due conduttori suﬃcientemente
lontani aﬃnché non avvenga tra essi induzione elettrostatica. Siano V1 > V2 i
rispettivi potenziali. Supponendo di collegare C1 e C2 con un ﬁlo (anch’esso
metallico) si avrà spontaneamente un moto ordinato di elettroni da C2 verso
C1 , ovvero dal conduttore a pontenziale più basso verso il conduttore a potenziale più alto. Questo moto ordinato di elettroni prende il nome di corrente
elettrica.
Deﬁnizione [Portatore di carica]: si dice portatore di carica una particella
mobile dotata di carica, solitamente di carica elettrica. A seconda del tipo di
portatore di carica deputato al trasporto della corrente, i conduttori elettrici si
suddividono in conduttori elettronici (o conduttori di prima specie) e conduttori
ionici (o conduttori di seconda specie). Grazie alla deﬁnizione di portatore di
carica è inoltre possibile generalizzare la deﬁnizione appena data di corrente
elettrica. Si pone cioè che lo spostamento ordinato di portatori di carica elettrica in una determinata direzione è detto corrente elettrica.
Esempio [Portatori di carica]: gli elettroni sono portatori di carica elettrica.
Portatori di carica sono anche gli ioni liberi in una soluzione elettrolitica (detti
anioni se negativi, cationi se positivi) o nel plasma. Le lacune di un semiconduttore si comportano come portatori di carica positiva. Altri portatori di carica
sono, per esempio, i radicali liberi. Alcune particelle subatomiche come i quark o
i gluoni osservabili in un acceleratore di particelle trasportano cariche di natura
non elettrica.
Osservazione [Corrente elettrica]: se si vuole creare un ﬂusso continuo di corrente elettrica tra due conduttori, è ovviamente necessario che i due conduttori
siano collegati ad un generatore (si deve far sı̀ che la diﬀerenza di potenziale
rimanga costante).
Curiosità storica [La pila]: il primo generatore di fem fu la pila o cella voltaica
(o elettrovoltaica), inventata da Volta nel 1800. Era composta da due dischi, uno
di Cu+ ed uno di Zn− separati da una soluzione acquosa di H2 SO4 (Acido solforico). I dischi si caricano a causa delle reazioni chimiche tra gli elettrodi e le
armature. Se si collegano i dischi con un ﬁlo metallico si avrà uno scambio di
elettroni dallo Zn− al Cu+ (la corrente avrà segno opposto).
Osservazione [Conduzione]: la conduzione può avvenire, oltre che in un solido, sia in un gas che in un liquido. I gas sono praticamente isolanti, ma essendo
ionizzati basta creare un campo elettrico in essi per renderli dei conduttori, grazie a coppie di portatori di carica di segno opposto. Nella soluzione elettrolitica
ci sono 4 portatori. Anche i semiconduttori in alcune situazioni si comportano
come conduttori. In generale nei conduttori il moto delle cariche è ostacolato
dalla cosiddetta resistenza del conduttore. Ciò non accade nei superconduttori
(stagno, piombo, zinco, alcune leghe metalliche, ceramiche), perché a tempera-
48
ture opportune (cioè pochi Kelvin) hanno resistenza praticamente nulla.
Deﬁnizione [Velocità di deriva]: sia C un conduttore. Ogni portatore in C è
⃗ dove q = ±e. Un portatore positivo acquisterà
soggetto ad una forza F⃗ = q E,
quindi una velocità parallela e concorde al campo, mentre un portatore negativo
acquisterà velocità parallela e discorde al campo. Tale velocità è detta velocità
di deriva, e si indica con ⃗vd± .
Deﬁnizione [Intensità di corrente]: sia C un conduttore. All’interno di C si
consideri una superﬁcie Σ e si indichi con ∆q la quantità di carica complessiva
che passa attraverso Σ in un certo intervallo di tempo ∆t. Si deﬁnisce intensità
di corrente (elettrica) attraverso Σ la grandezza scalare
∆q . dq
.
i = lim
,
=
∆t→0 ∆t
dt
la cui unità di misura è l’Ampère A = C/s.
Deﬁnizione [Densità di corrente]: sia C un conduttore. Sia n il numero dei
portatori di carica positiva per unità di volume, ognuno di essi di carica e, e
che si muove entro il conduttore con velocità di deriva ⃗vd . Si deﬁnisce vettore
densità di corrente la quantità (vettoriale)
.
⃗j =
n e ⃗vd .
Osservazione [Densità e intensità di corrente]: Sia Σ una superﬁcie contenuta
in un conduttore. Dalla deﬁnizione di densità di corrente segue immediatamente
che
∫
⃗j · ⃗un dΣ,
i=
Σ
ovvero che l’intensità di corrente è il ﬂusso della densità di corrente attraverso
la superﬁcie Σ.
Osservazione [Densità e intensità di corrente]: Sia Σ una superﬁcie contenuta
.
in un conduttore. Se Σ ⊥ ⃗j (e di conseguenza a ⃗vd ), e | ⃗j | = j = cost su Σ6 ,
allora
i
i = j Σ ⇐⇒ j = ,
Σ
cioè la densità di corrente è la corrente che attraversa l’unità di superﬁcie perpendicolare alla direzione del moto delle cariche.
6 Si
assume che ciò sia sempre vero se il conduttore è ﬁliforme.
49
8.2
Principio di conservazione della carica e prime conseguenze
Fatto [Principio di conservazione della carica]: Sia V un volume contenuto
in un conduttore con superﬁcie di bordo ∂V = Σ. Allora vale la relazione
∫
⃗j · ⃗un dΣ = − ∂qint ,
i=
∂t
Σ
dove qint è la carica contenuta in V al variare del tempo.
Osservazione [Principio di conservazione della carica]: dalla relazione
∫
⃗j · ⃗un dΣ
i=
Σ
segue che i aumenta quando una carica positiva esce da Σ (o una carica negativa
entra), mentre, viceversa, i diminuisce. Infatti i contributi positivi all’integrale
vengono da quelle parti di Σ in cui ⃗j · ⃗un > 0 (ovvero ⃗j “punta verso l’esterno”)
e rappresentano una carica positiva che esce da Σ (o una carica negativa che
entra). Analogamente per i contributi negativi. Grazie a questa osservazione si
giustiﬁca il segno meno della formula precedente, infatti se l’integrale è complessivamente positivo, la carica all’interno diminuisce e quindi ha derivata negativa.
8.2.1
Equazione di continuità della corrente elettrica
Teorema [Equazione di continuità (della corrente elettrica)]: Sia V un volume
contenuto in un conduttore con superﬁcie di bordo ∂V = Σ. Sia ρ la densità
della carica qint contenuta in V. Allora vale la relazione
⃗ · ⃗j = − ∂ρ
∇
∂t
Dimostrazione: sostituiamo l’espressione integrale di qint nel principio di
conservazione della carica. Si ha
(∫
)
∫
∂ V ρ dV
∂q
int
⃗j · ⃗un dΣ = −
i=
=−
.
∂t
∂t
Σ
Essendo poi V costante nel tempo, è possibile passare la derivata (rispetto al
tempo) sotto il segno di integrale. Si ha quindi
∫
∫
∂ρ
⃗j · ⃗un dΣ = −
dV,
Σ
V ∂t
da cui, sfruttando il teorema della divergenza per il primo membro, si ottiene
l’identità
)
∫
∫
∫ (
∂ρ
∂ρ
⃗
⃗
⃗
⃗
∇ · j dV = −
dV ⇐⇒
∇·j+
dV = 0
∀V ∈ R3
∂t
V
V ∂t
V
50
Inﬁne, dall’arbitrarietà della scelta di V segue
⃗ · ⃗j + ∂ρ = 0
∇
∂t
⇐⇒
⃗ · ⃗j = − ∂ρ ,
∇
∂t
che è la tesi. Osservazione [Equazione di continuità]: il teorema appena enunciato esprime
in forma locale il principio di conservazione della carica.
8.2.2
Regime stazionario
Corollario [Regime stazionario]: nelle ipotesi del Principio di conservazione
della carica si supponga che la carica contenuta in V sia costante nel tempo. Si
ha allora
∫
⃗ · ⃗j = 0.
⃗j · ⃗un dΣ = 0,
i=
∇
Σ
Dimostrazione: la prima formula segue immediatamente dal Principio di conservazione della carica. La seconda si ricava altrettanto facilmente sfruttando
l’Equazione di continuità. Deﬁnizione [Regime stazionario]: quando si ha intensità di corrente costante
nel tempo (come nel caso del teorema precedente) si parla di regime stazionario.
Deﬁnizione [Vettore solenoidale]: sia φ
⃗ una funzione a valori in R3 . Se il ﬂusso
di φ
⃗ è nullo attraverso qualunque superﬁcie chiusa (ovvero se la suo divergenza
è identicamente nulla), si dice che φ
⃗ è solenoidale.
Osservazione [Regime stazionario]: è immediato osservare che in regime stazionario
(con i = 0) il vettore densità di corrente ⃗j è solenoidale.
Esempio [Regime non stazionario]: un esempio di regime non stazionario è
il seguente. siano C1 e C2 due conduttori di potenziali V1 > V2 . Supponendo
di collegare C1 e C2 con un ﬁlo (anch’esso metallico) si avrà un passaggio di
corrente elettrica tra i due. Pertanto il sistema è soggetto ad un campo che
varia nel tempo, di conseguenza varia la velocità di deriva ⃗vd , e quindi anche la
densità di corrente ⃗j. Ne segue quindi che l’intensità di corrente i non è costante.
Esempio [Regime stazionario]: consideriamo un conduttore a forma di tronco
di cono di superﬁci di base S1 ≤ S2 . Si osservi che non assumiamo come ipotesi
che S1 ̸= S2 , ricade pertanto in questa analisi anche il caso di un conduttore di
forma cilindrica. Supponiamo che il conduttore si trovi in un regime stazionario
(con i = 0). Sia V una sua porzione ottenuta sezionando il tronco di cono con
due piani ortogonali al suo asse, e prendendo la parte di conduttore tra essi
compresa. Si ha quindi che anche V risulta essere un tronco di cono. Chiamiamo
.
Σ = ∂V, e Σ1 ≤ Σ2 le due basi di V. Sia ⃗j la densità di corrente di V. Tenendo
51
conto della geometria del problema (per cui risulta ⃗j ⊥ ⃗un in ogni punto della
superﬁcie laterale di V e ⃗un2 = −⃗un1 in ogni punto delle superﬁci Σ1 e Σ2 ),
dalla condizione di stazionarietà si ha
∫
∫
∫
⃗j · ⃗un dΣ =
j⃗1 · ⃗un1 dΣ1 +
j⃗2 · ⃗un2 dΣ2 = 0 ⇐⇒
Σ
∫
Σ1
∫
Σ2
j⃗1 · (−⃗un1 ) dΣ1 =
Σ1
j⃗2 · ⃗un2 dΣ2 ,
Σ2
da cui segue immediatamente che
i1 = i2 ,
ovvero che in condizioni stazionarie l’intensità di corrente è la stessa attraverso ogni sezione del conduttore. Se il conduttore è a sezione variabile la densità
di corrente e quindi la velocità di deriva sono maggiori dove la sezione è minore7 .
Osservazione [Regime stazionario]: è importante osservare che nelle applicazioni pratiche si può assumere la condizione di stazionarietà anche se l’intensità di corrente non è costante nel tempo: essa può variare purché la carica che
per unità di tempo entra in una data superﬁcie chiusa Σ sia uguale a quella
che ne esce, sempre nell’unità di tempo. Osservazioni sperimentali mostrano che
l’osservazione rimane vera ﬁnché il tempo che caratterizza la variabilità dell’intensità di corrente è grande rispetto al tempo che impiegherebbe la luce ad
attraversare il volume compreso in Σ. Questo criterio si fonda sul fatto che una
perturbazione elettrica, ad esempio una variazione di carica, localizzata in un
certo istante in un dato punto, si propaga con velocità c = 3 · 108 m/s. Se il
tempo di propagazione è piccolo rispetto agli altri tempi in gioco, si ammette
che la perturbazione venga avvertita istantaneamente in ogni punto.
Esempio [Regime stazionario]: si consideri un conduttore cilindrico (ﬁliforme)
di rame con sezione di 4 mm2 e i = 8 A (che è la massima intensità di corrente
prima che il rame si fonda) disposto lungo l’asse x. Calcoliamo la velocità di
deriva.
i
8
A
A
j = n e vd =
=
= 2 · 106 2 ,
Σ
4 · 10−6 m2
m
da cui si può esplicitare la velocità di deriva
vd =
2 · 106 m
m
≈ 10−4 ,
ne s
s
stimando un numero di elettroni n appropriato per tale superﬁcie. Si osserva
sperimentalmente che detta v la velocità che possiedono gli elettroni nel loro
moto caotico, si ha
v
≈ 1010 ,
vd
7 Una situazione analoga accade nel moto di un ﬂuido incomprimibile in regime stazionario
lungo un condotto a sezione variabile.
52
quindi la velocità di deriva
vd ≪ v
è di molti ordini di grandezza più bassa della velocità degli elettroni. L’elettrone
non si muove nel circuito con velocità vd , la velocità di deriva è utile solo perché
ordina il movimento. Infatti sia d = 10 km la distanza di una lampadina dal
generatore di corrente elettrica. Se la velocità di deriva è quella calcolata sopra:
vd ≈ 10−4
m
,
s
allora il tempo che ci mette un elettrone per andare dal generatore alla lampadina è
d
t=
≈ 108 s,
vd
che sono circa 3 anni!
8.3
Legge di Ohm
Fatto sperimentale [Legge di Ohm8 ]: sia C un conduttore metallico isotropo
(ma non necessariamente omogeneo) sotto l’azione di un campo elettrostatico
⃗ tale che
E,
⃗
⃗ = ρ ⃗j,
⃗j = σ E
o, equivalentemente
E
dove σ è detta conduttività ed è una caratteristica intrinseca del materiale che
dipende dalla temperatura T , mentre ρ è detta resistività (o resistenza specifica), ed è ρ = 1/σ. Si dice allora che C è un conduttore ohmico. Le due equazioni
sopra riportate prendono invece il nome di legge di Ohm.
Osservazione [Legge di Ohm]: la legge di Ohm dice che in un conduttore
ohmico il campo elettrostatico è proporzionale alla densità elettrica, cioè la
⃗ ∝ ⃗j, cioè
forza elettrica è proporzionale alla velocità di deriva. In formule E
F⃗ ∝ ⃗vd .
Modello [Modello classico della conduzione elettrica nei metalli (DrudeLorentz, 1900)]: in un conduttore metallico isolato supponiamo quanto segue:
• gli ioni del reticolo cristallino del metallo sono ﬁssi;
• gli elettroni di conduzione si muovono attraverso il reticolo in modo completamente disordinato (non esiste una direzione privilegiata per il loro
moto), la velocità media (ovvero la velocità del sistema) è quindi nulla;
• vi sono continui urti tra elettroni e ioni. Tra un urto e il successivo il
moto è libero e la traiettoria rettilinea, cosicché la traiettoria di ciascun
elettrone è costituita da una successione di segmenti di retta, con direzione
e lunghezza variabili (è cioè una spezzata poligonale);
8 In
eﬀetti questa legge è soltanto una deﬁnizione.
53
• l’insieme delle traiettorie è completamente casuale e pertanto non si ha un
ﬂusso netto di carica, cioè una corrente, in nessuna direzione;
• è possibile deﬁnire un tempo medio τ ed un cammino libero medio l tra
due urti successivi, legati dalla relazione v = l/τ , dove v è la velocità degli
elettroni nel metallo9 .
Teorema [Conduttività]: sia C un conduttore ohmico sotto l’eﬀetto di un
⃗ Allora la velocità di deriva ⃗vd degli elettroni e la concampo elettrostatico E.
duttività σ di C sono date, rispettivamente, da
n e2 τ
τ ⃗
F,
σ=
,
m
m
dove m è la massa dell’elettrone.
Dimostrazione: consideriamo un generico elettrone contenuto nel conduttore.
La forza agente su di esso è data da
⃗vd =
⃗
F⃗ = m ⃗a = −e E,
quindi alla distribuzione casuale ed isotropa della velocità degli elettroni si
sovrappone una certa velocità di deriva ⃗vd , caratterizzata da un’accelerazione
⃗
−e E
.
m
Essendo però la velocità di deriva molto piccola rispetto alla velocità dell’elettrone, da ⃗vd ≪ ⃗v possiamo far seguire, in modo approssimativo, che τ sia in⃗ In sostanza quando la velocità di deriva è suﬃcientemente
dipendente da E.
bassa l’intervallo di tempo tra due urti successivi dell’elettrone contro uno ione
⃗
praticamente non cambia. Si può poi dimostrare che sotto l’azione del campo E
le traiettorie delle particelle si deformano da segmenti in archi di parabola. Dette
ora rispettivamente ⃗vi e ⃗vi+1 le velocità dell’elettrone subito dopo l’i-esimo e
subito prima dell’i + 1-esimo urto, si ha pertanto
⃗a =
⃗
−e E
τ.
m
Deﬁniamo allora la velocità di deriva come la media delle velocità subito prima
dell’N -esimo urto, con N → +∞. Si ha
]
(
)
[
N
N
eτ ⃗)
1 ∑
1 ∑(
E
=
⃗vd =
lim
⃗vi+1 = lim
⃗vi −
N →+∞
N →+∞ N
N i=1
m
i=1
(
)
N
1 ∑
eτ ⃗
eτ ⃗
τ ⃗
=
lim
E=−
E=
F,
⃗vi −
N →+∞
N i=1
m
m
m
{z
}
|
⃗vi+1 = ⃗vi +
= 0 (dal modello)
9 Da non confondere con la loro velocità media. Gli elettroni non si staccano dal metallo,
quindi la loro velocità media deve essere nulla. D’altro canto, utilizzando il tempo medio
e il cammino libero medio è comunque possibile deﬁnire una quantità che dia una misura
quantitativa del loro stato di agitazione.
54
che è la prima delle due formule da dimostrare. Per dimostrare l’espressione
della conduttività basta ricordare la deﬁnizione di densità di corrente e sfruttare
l’ipotesi di conduttore ohmico. Si ha cioè
⃗ = n e2 τ E,
⃗
⃗j = n e (−⃗vd ) = n e e τ E
m
m
⃗ da cui la tesi. ma essendo C un conduttore ohmico si ha ⃗j = σ E,
8.3.1
Legge di Ohm per i conduttori ohmici ﬁliformi
Deﬁnizione [Resistenza]: sia C un conduttore ohmico ﬁliforme avente per asse
una curva h di estremi A e B, e sezione variabile Σ(h). Sia ρ la sua resistività.
Si deﬁnisce resistenza la quantità
.
R=
∫
B
ρ
A(h)
dh
.
Σ(h)
La sua unità di misura è l’Ohm Ω, dove [Ω = V /A] (come verrà chiarito più
avanti dalla Legge di Ohm per i conduttori ohmici ﬁliformi).
Teorema [Resistenza del tronco di cono]: sia C un conduttore ohmico ﬁliforme omogeneo a forma di tronco di cono avente asse di lunghezza h e raggi
delle circonferenze di base rispettivamente b ≥ a. Sia ρ la sua resistività. Allora
la sua resistenza è data da
ρh
R=
πab
Dimostrazione: supponiamo che l’asse del tronco di cono sia parallelo all’asse
x, e abbia estremi 0 e h. Siano b ≥ a i raggi delle basi maggiore (posta in
prossimità dell’origine) e minore (posta nel punto x = h) rispettivamente. Si
consideri una qualunque sezione piana del tronco di cono eﬀettuata con un piano
ortogonale all’asse x e posta a distanza x dall’origine (i.e. dalla base maggiore).
Sia r il raggio della circonferenza determinata da tale sezione. Dalla deﬁnizione
di resistenza si ha
∫ h
ρ
R=
dx.
π
r2
0
Per calcolare esplicitamente il valore della resistenza cerchiamo un cambio di
variabile che permetta di esprimere x in funzione di r. Dalle proprietà geometriche dei coni segue questa relazione di proporzionalità tra lunghezze e
raggi:
h : (h − x) = (b − a) : (r − a),
esprimibile equivalemtemente nella forma
h(r − a) = (h − x)(b − a).
55
Esplicitando la x si ha quindi la formula di cambio di variabile desiderata
x=h
(r − a)
+ h,
a−b
che passando ai diﬀerenziali si traduce nella relazione
dx =
h
dr.
a−b
Eﬀettuando il cambio di variabili nell’integrale sopra determinato si ha
[ ]b
∫ h
∫ a
∫ b
ρh
ρh
ρ
ρh
1
1
1
R =
dx =
dr =
− 2 dr =
=
2
2
π
r
π
(a
−
b)
r
π
(a
−
b)
r
π
(a
−
b)
r a
0
b
a
(
)
ρh
1 1
ρh
a−b
ρh
=
−
=
=
,
π (a − b) b a
π (a − b) ab
πab
che è la formula ricercata. Corollario [Resistenza del cilindro]: sia C un conduttore ohmico ﬁliforme
omogeneo di forma cilindrica10 con basi di area Σ e altezza h. Sia ρ la sua
resistività. Allora la sua resistensa è data da
R=ρ
h
.
Σ
Teorema [Legge di Ohm per i conduttori ohmici ﬁliformi]: sia C un conduttore ohmico di forma cilindrica collegato ad un generatore. Sia V la diﬀerenza
di potenziale tra le due superﬁci di base e sia R la sua resistenza. Si ha
V = R i.
Dimostrazione: sia h l’altezza del cilindro e sia Σ l’area di base. Dalle ipotesi
in essere segue che all’interno del cilindro si viene a creare un campo elettrico
⃗ parallelo all’asse del cilindro, e percorso da una corrente elettrica di densità
E,
⃗
⃗j = 1 E.
ρ
Il regime è stazionario, l’intensità di corrente ha lo stesso valore attraverso
qualunque sezione del conduttore, e vale pertanto
i=jΣ=
Σ
E
ρ
⇐⇒
E=
ρ
i.
Σ
Tra campo elettrico e diﬀerenza di potenziale sussiste invece la relazione
∫ B
⃗ = E h.
⃗ · ds
V =
E
A
10 Questo
risultato si generalizza in modo ovvio a conduttori ﬁliformi omogenei di forma
qualunque, di sezione costante Σ e di lunghezza dell’asse h. Si è qui riportato il caso particolare
del cilindro perché è il caso più comune nonché il più utilizzato nelle applicazioni.
56
Sostituendo l’espressione di E sopra determinata e utilizzando la deﬁnizione di
resistenza si trova immediatamente
V =Eh=
ρ
i h = R i,
Σ
che è la tesi. Esempio [Resistenza]: i metalli, come già detto, sono in generale buoni conduttori, ad esempio oro, argento e rame hanno una resistività ρ ≈ 10−8 Ω m.
Il vetro e il quarzo invece sono cattivi conduttori, avendo rispettivamente ρ ≈
1014 Ω m, e ρ ≈ 1017 Ω m.
8.3.2
Eﬀetto Joule
⃗ per mantenere in
Deﬁnizione [Potenza]: la potenza spesa dalla forza F⃗ = e E
moto la carica e con velocità ⃗vd è
⃗ · ⃗vd .
P = F⃗ · ⃗vd = e E
Se nel conduttore ci sono n portatori per unità di volume la potenza spesa per
unità di volume è
⃗ = ⃗j · E,
⃗
PV = n P = n e ⃗vd · E
dove ⃗j è la densità di corrente del conduttore.
Proposizione [Potenza]: la potenza che bisogna spendere per far circolare la
corrente elettrica i in un tratto di conduttore di sezione costante Σ e lunghezza
h è
P = i2 R,
dove R è la resistenza del conduttore.
Dimostrazione: dalla deﬁnizione di potenza per unità di volume, possiamo
subito scrivere che la potenza che bisogna spendere per far circolare la corrente
elettrica i in un tratto di conduttore di sezione Σ e lungo h è esattamente
la potenza per unità di volume moltiplicata per il volume interessato. Si ha
pertanto
P
⃗ hΣ =
= PV h Σ = ⃗j · E
i
j E h Σ = i |{z}
E h = iρj h = iρ
h=
|{z}
Σ
ρj
= i/Σ
= i2
ρh
= i2 R,
Σ
che è la tesi. Fatto sperimentale [Eﬀetto Joule]: un conduttore percorso da corrente elettrica aumenta di temperatura.
57
Dimostrazione: ricordando la deﬁnizione termodinamica di potenza come
P =
∂W
,
∂t
si ricava immediatamente l’espressione del lavoro in funzione della potenza. Si
ha
∫ t
P dτ.
W =
t0
Sapendo poi l’espressione della potenza in funzione di resistenza e intensità di
corrente, si ottiene la formula
∫ t
∫ t
W =
P dτ =
i2 Rdτ = i2 R ∆t.
t0
t0
Questo è il lavoro necessario per vincere la resistenza opposta dal reticolo
cristallino al moto ordinato degli elettroni, e, da un punto di vista termodinamico, esso viene assorbito dal conduttore, la cui energia interna aumenta. Di
conseguenza aumenta la temperatura del conduttore. Osservazione [Eﬀetto Joule]: Se il conduttore entro cui scorre la corrente
elettrica è isolato termicamente dall’ambiente il processo porta alla fusione del
metallo; se invece il conduttore è in contatto termico con l’ambiente la sua temperatura cresce ﬁno a che si raggiunge uno stato di equilibrio in cui l’energia
interna non varia più e il lavoro elettrico viene ceduto all’ambiente sotto forma
di calore (purché naturalmente la temperatura di equilibrio sia inferiore alla
tempratura di fusione del conduttore).
Osservazione [Conduttori non ohmici]: nei conduttori in cui non vale la legge
di Ohm è comunque possibile deﬁnire una funzione f , che dipende dall’intensità
di corrente, tale che
V
= f (i).
i
Sperimentalmente si vede che per far circolare corrente è necessario applicare
un certo potenziale iniziale V0 > 0.
8.4
Resistori
Deﬁnizione [Resistore]: sia R un conduttore ohmico caratterizzato da una
determinata resistenza R e da una potenza massima Pmax . R si dice resistore e
si indica con il simbolo che segue.
Si suppone che un resistore venga collegato in un circuito in regime stazionario.
58
8.4.1
Collegamento in serie
Deﬁnizione [Collegamento in serie]: si dice che n resistori sono collegati in
serie se hanno a due a due un solo estremo in comune, come nella ﬁgura che
segue.
Teorema [Resistenza equivalente]: siano R1 , R2 due resistori collegati in
serie. Sia V la diﬀerenza di potenziale tra i due capi (a sinistra di R1 e a destra
di R2 ). Si ha allora
V = Req i
P = i2 Req =
e
V2
,
Req
dove Req = R1 + R2 è la somma delle resistenza dei due resistori e si dice
resistenza equivalente.
Dimostrazione: per dimostrare la prima relazione basta osservare che detti
VA , VB , VC i potenziali rispettivamente prima di R1 , tra R1 ed R2 , e dopo R2 ,
(con VA > VB > VC ), si ha
{
VA − VB = R1 i
.
=⇒ VA − VC = V = R1 i + R2 i = (R1 + R2 ) i,
VB − VC = R2 i
che è la prima formula. La seconda formula si ricava in maniera analoga. 8.4.2
Collegamento in parallelo
Deﬁnizione [Collegamento in parallelo]: si dice che n resistori sono collegati
in parallelo se hanno a due a due entrambi gli estremi in comune, come nella
ﬁgura che segue.
Teorema [Resistenza equivalente]: siano R1 , R2 due resistori collegati in
parallelo. Sia V = VA − VB la diﬀerenza di potenziale tra i due capi. Si ha allora
V = Req i
e
P = i2 Req =
V2
,
Req
dove la resistenza equivalente
(
Req =
1
1
+
R1
R2
)−1
è il reciproco della somma dei reciproci delle resistenze dei due resistori.
59
Dimostrazione: l’intensità di corrente i = i1 + i2 (vedi immagine), raggiunto il
nodo, si divide in due parti (in generale diverse). Sia i1 l’intensità di corrente
passante attraverso il primo resistore R1 , e sia i2 quella relativa a R2 . Dalla
legge di Ohm segue che per entrambi i resistori vale la relazione
i1 R1 = i2 R2 = V.
Esplicitando quindi i1 e i2 in funzione di Ri e V si può scrivere
(
)
V
V
1
1
i = i1 + i2 =
+
=V
+
,
R1
R2
R1
R2
da cui segue immediatamente la prima formula. Con ragionamenti analoghi si
deduce la formula della potenza. 8.5
Forza elettromotrice. Legge di Ohm generalizzata
Teorema [Campo elettromotore]: si consideri un circuito chiuso percorso da
corrente elettrica composto da un generatore di fem e da una resistore. Allora
⃗ che genera il moto di cariche è di natura non conservativa
il campo elettrico E
e ha la forma
{
⃗ el
E
all’esterno del generatore
⃗
,
E=
∗
⃗
⃗
E + Eel all’interno del generatore
⃗ el è il campo elettrostatico, E
⃗ ∗ si deﬁnisce campo elettromotore e ha
dove E
natura non conservativa. Vale inoltre la relazione
⃗ ∗ | > |E
⃗ el |.
|E
Dimostrazione: detta R la resistenza e i l’intensità di corrente del circuito,
applicando la legge di Ohm ai capi del resistore si ha
∫ B
⃗ = R i,
⃗ · ds
VA − V B =
E
A
cioè la legge di Ohm mette in relazione il campo elettrico del generatore con
la corrente elettrica che scorre nel circuito. Consideriamo allora l’integrale del
campo elettrico esteso a tutto il circuito. Si ha
I
⃗ = RT i,
⃗ · ds
E
| {z }
.
=E
60
dove RT è la resistenza totale del circuito. Il primo membro corrisponde però
alla deﬁnizione di fem, la formula appena enunciata aﬀerma pertanto che per
⃗
ottenere nel circuito una corrente di intensità i (̸= 0) sia necessario un campo E
la cui circuitazione non sia nulla. Ne segue che non può essere un campo elettrico
⃗ el a far circolare le cariche nel circuito, in quanto esso è conservativo, e per
E
tanto la fem da esso prodotta è sempre nulla. La sorgente di fem deve pertanto
avere nel suo interno delle forze di natura non elettrostatica, non conservative,
che possano determinare il moto continuo delle cariche. Nel caso in esame, ovvero
quello di un circuito con resistenza R collegato ad un generatore, siano G+ e
G− i poli del generatore, sui quali sono accumulate rispettivamente le cariche
⃗ el prodotto da tali
+q e −q. Come abbiamo già visto il campo elettrostatico E
+
−
cariche è sempre diretto da G verso G , sia nel conduttore che nel generatore,
in accordo col fatto che
I
∫ G− (
∫ G+ (
)
)
⃗
⃗
⃗
⃗ el · ds
Eel · ds =
Eel · ds
+
E
= 0,
ext
G+
int
G−
dove il primo termine è l’integrale calcolato lungo il conduttore esterno, mentre
il secondo è calcolato all’interno del generatore. Il passaggio di una carica positiva all’interno del generatore dal polo negativo G− al polo positivo G+ non
⃗ el . Deve esistere quindi all’interno
può quindi avvenire per eﬀetto del campo E
∗
⃗
del generatore un campo E di natura non elettrostatica, che deﬁniamo campo
⃗ che esiste nel circuito ha la forma
elettromotore, per cui il campo E
{
⃗ el
E
all’esterno del generatore
⃗
E=
⃗∗ + E
⃗ el all’interno del generatore .
E
⃗ si scrive quindi
La fem del campo E
I
E=
∫
G−
⃗ =
⃗ ds
E·
G+
∫
⃗
⃗
Eel ·ds+
G+
G−
(
∫
)
∗
⃗
⃗
⃗
Eel + E ·ds =
G+
G−
.
⃗ =
⃗ ∗ ·ds
E
Tc (G− → G+ ).
⃗ dunque non è conservativo e la sua fem coincide con la tensione
Il campo E
⃗ ∗ calcolata lungo una linea c interna11 al generatore
del campo elettromotore E
−
+
che va da G a G . Passiamo ora a dimostrare la disuguaglianza tra i moduli
dei campi. Tale disuguaglianza è in realtà ovvia, perché per avere un moto di
⃗ ∗ | > |E
⃗ el | in modo che
cariche nel verso voluto deve necessariamente valere |E
risulti
∫ G+ (
)
⃗ > 0.
⃗∗ + E
⃗ el · ds
E
G−
All’esterno del generatore il moto delle cariche lungo il conduttore è dovuto
⃗ el , a sua volta generato dall’azione del campo elettromotore
invece al campo E
⃗ ∗. E
11 Invece lungo una qualsiasi linea da G− a G+ esterna al generatore la tensione di E
⃗ ∗ è
⃗ ∗ nullo all’esterno del generatore.
nulla, essendo E
61
Deﬁnizione [Resistenza interna]: tenendo conto della costruzione dimostrata
nel teorema precedente, e del fatto che la corrente i che attraversa il conduttore
esterno passa anche nel generatore, deﬁniamo la resistenza interna r mediante
la relazione
∫ G+ (
)
.
⃗ =
⃗∗ + E
⃗ el · ds
E
r i.
G−
Corollario [Legge di Ohm generalizzata ad un circuito chuiso]: si consideri
un circuito formato da un generatore di fem E con resistenza interna r e da un
resistore con resistenza R nel quale scorre corrente elettrica con intensità i. Vale
allora la formula
E = (R + r) i,
.
dove la quantità R + r = RT è la resistenza totale del circuito.
Dimostrazione: dalla deﬁnizione di forza elettromotrice e di resistenza interna, e sfruttando la legge di Ohm per i conduttori ohmici ﬁliformi segue
I
E
∫
=
∫
G+
G−
⃗ +
⃗ el · ds
E
=
G+
=
G−
⃗ =
⃗ · ds
E
∫
(
⃗
⃗ · ds
E
G+
G−
∫
)
G+
+
ext
G−
(
)
⃗
⃗ · ds
E
=
int
(
)
⃗ =
⃗∗ + E
⃗ el · ds
E
R i + r i = (R + r) i,
che è la formula ricercata. Osservazione [Interpretazione ﬁsica della legge di Ohm generalizzata]: si osservi che il corollario appena enunciato (che deriva direttamente dalla deﬁnizione
di resistenza interna) estende la legge di Ohm anche all’interno del generatore.
Pertanto un generatore è caratterizzato dalla fem E, ovvero dalla tensione del
campo elettromotore tra i due poli, e dalla resistenza interna r. Si osservi inoltre che dal corollario appena enunciato è possibile risalire in modo ovvio alla
corrente i, noti E e RT . Si ha infatti la formula
i=
E
,
R+r
ovvero la corrente che circola nel circuito è direttamente proporzionale alla forza
elettromotrice che la genera, e il fattore correttivo è tanto peggiore quanto più è
alta la resistenza totale del circuito stesso. Sempre da questa legge è poi possibile
dedurre la formula seguente:
VG+ − VG− = R i = E − r i,
ovvero la ddp misurata ai poli del generatore è minore della fem se nel circuito
circola corrente, ed è tanto più piccola di E quanto più grande è la resistenza
interna. Grazie a questa osservazione è possibile dare una deﬁnizione operativa
alla forza elettromotrice. Si supponga infatti di staccare il conduttore esterno
62
(circuito aperto). Nel generatore si instaura allora una condizione di equilibrio in
quanto l’accumulo di carica sui poli impedisce un ulteriore spostamento di carica
⃗∗ + E
⃗ el = 0, e
(a causa della repulsione elettrostatica). Si ha quindi i = 0, i.e. E
quindi
VG+ − VG− = E.
In questo modo è possibile deﬁnire operativamente la fem E. Si ha infatti che
essa è uguale alla ddp misurata ai capi del generatore a circuito aperto.
Corollario [Conservazione dell’energia]: il lavoro fornito dal generatore (E, r)
per far circolare la corrente i lungo un circuito con resistenza R nell’intervallo
di tempo ∆t = t − t0 , in generale, ha la forma
∫ t
W (t) = (R + r) i(t)
i(t) dt.
t0
Se l’intensità di corrente è costante nel tempo, allora
W (t) = (R + r) i2 ∆t,
e la potenza del generatore (dissipata nelle resistenze) è pari a
P = (R + r) i2 = E i.
Dimostrazione: dalla Legge di Ohm generalizzata abbiamo la formula
E = (R + r) i.
Ricordando che la forza elettromotrice E è deﬁnita come il lavoro compiuto dal
generatore per trasportare una carica unitaria lungo il circuito, per ottenere il
lavoro fornito dal generatore per far circolare la corrente è suﬃciente moltiplicare
la forza elettromotrice per la carica totale trasportata q. Si ha allora
W = E q = (R + r) i q.
Ricordando la deﬁnizione di intensità di corrente
dq .
=i
dt
è possibile scrivere la carica q in funzione di i come segue:
∫ t
q=
i(t) dt.
t0
Riscriviamo quindi il lavoro nella forma
∫
t
W (t) = (R + r) i(t)
i(t) dt,
t0
che è la forma sopra enunciata. Nel caso particolare in cui i è costante le altre
due formule sono ovvie ricordando che la potenza è deﬁnita come la derivata del
lavoro rispetto al tempo. 63
8.5.1
Esercizi illustrativi
Esercizio 1: si consideri il circuito seguente, composto dal collegamento in
serie di due generatori e tre resistori, supponendo che nel circuito scorra una
corrente i diretta da A verso B. Calcoliamo la diﬀerenza di potenziale tra A e
B.
Tenendo conto della legge di Ohm, della deﬁnizione di forza elettromotrice
e del verso della corrente, abbiamo:
VA − VC
V D − VC
=
=
i R1
E1
VD − VE
VE − VF
VF − VB
=
=
=
i R2
E2
i R3
Cambiando di segno la seconda equazione e sommando membro a membro si
ottiene a primo membro una somma telescopica. Risulta quindi esplicitata la
diﬀerenza di potenziale nella forma
VA − VB = i R1 − E1 + i R2 + E2 + i R3 ,
che può essere riscritta nella forma
VA − VB + E1 − E2 = i RT ,
.
dove si è posto RT = R1 + R2 + R3 . In questo caso vale quindi questa relazione,
che dice che la somma della diﬀerenza di potenziale con le forze elettromotrici (prese con segno positivo se concordi al verso di scorrimento della corrente,
negativo se agenti in verso opposto) è uguale alla resistenza totale del circuito
moltiplicata per l’intensità di corrente. Questo non è un fatto isolato, vale infatti
in generale il seguente risultato.
Teorema [Legge di Ohm generalizzata]: si consideri un circuito composto dal
collegamento in serie di n resistori di resistenze R1 , . . . , Rn ed m generatori di
forze elettromotrici E1 , . . . , Em collegati con ordine arbitrario nel circuito. Sia i
l’intensità di corrente e V la diﬀerenza di potenziale ai capi del circuito. Si ha
allora12
n
∑
V +
Ek = i RT ,
k=1
12 In queste formule le forze elettromotrici sono da pensarsi con segno positivo se concordi
al verso di scorrimento della corrente, con segno negativo altrimenti.
64
∑m
dove RT = h=1 Rh è la resistenza totale del circuito. Se invece il circuito è
chiuso questa relazione assume la forma
n
∑
Ek = i RT .
k=1
Esercizio 2: si consideri il seguente circuito.
Calcoliamo la diﬀerenza di potenziale ai capi del circuito. Le diﬀerenze di potenziale ai capi dei vari elementi del circuito sono date da
VA − VC
= iR
VB − VC
= E
cambiando quindi di segno la prima equazione e sommando membro a membro
otteniamo
VB − VA = E − i R < E,
osserviamo cioè che la diﬀerenza di potenziale ai capi del circuito è minore della
forza elettromotrice del generatore. Se nel circuito non scorresse corrente (circuito aperto), si avrebbe invece VB − VA = E, in accordo con quanto visto nella
trattazione precedente.
Esercizio 3: consideriamo lo stesso circuito di prima, ma con la corrente che
circola nel verso opposto.
Calcoliamo la diﬀerenza di potenziale ai capi del circuito. Le diﬀerenze di potenziale ai capi dei vari elementi del circuito sono date da
VC − VA
= iR
VB − VC
= E
Da cui si ottiene
VB − VA = E + i R > E,
osserviamo quindi che in questo caso la diﬀerenza di potenziale ai capi del circuito è maggiore della forza elettromotrice del generatore. Anche in questo caso
se nel circuito non scorresse corrente si avrebbe invece VB − VA = E.
65
8.6
Leggi di Kirchhoﬀ
Deﬁnizione [Nodo, ramo, maglia]: si deﬁnisce nodo il punto d’incontro di almeno tre conduttori. Si deﬁnisce ramo una qualunque disposizione in serie (ad
esempio di condensatori o resistori) compresa tra due nodi. Si deﬁnisce maglia
un circuito chiuso formato da almeno due rami.
Legge [Legge di Kirchhoﬀ ai nodi]: la somma algebrica delle correnti entranti
ed uscenti da un nodo è nulla. In formule
n
∑
ik = 0.
k=1
Legge [Legge di Kirchhoﬀ alle maglie]: si consideri un circuito composto da
un numero arbitrario di generatori di forze elettromotrici e di resistori. Allora la
somma algebrica delle fem di una maglia13 è uguale alla somma algebrica delle
diﬀerenze (o cadute) di potenziale su ciascun resistore della maglia. In formule
n
∑
k=1
Ek =
n
∑
Vk =
k=1
n
∑
(ik Rk )
k=1
Procedimento [Risoluzione di esercizi]: un buon procedimento da seguire per
risolvere gli esercizi sui circuiti è il seguente:
1. si individuano il numero di maglie indipendenti ed il numero di correnti
indipendenti (ci sono tante correnti indipendenti quante maglie indipendenti);
2. si sceglie il verso delle correnti;
3. si applicano le leggi di Kirchoﬀ per trovare relazioni tra correnti, fem e
resistenze.
Esempio: si consideri il circuito elettrico in ﬁgura.
13 Anche qui le fem sono da pensarsi con segno positivo se concordi al verso di scorrimento
della corrente, con segno negativo altrimenti.
66
Seguiamo i punti del procedimento standard.
1. In questo circuito ci sono 2 maglie indipendenti, quella superiore e quella
inferiore (segnate rispettivamente con M1 e M2 ). Ci sono pertanto due
correnti indipendenti i1 e i2 .
2. Scegliamo per le correnti il verso disegnato in ﬁgura.
3. Da Kirchoﬀ alle maglie otteniamo le seguenti relazioni (rispettivamente
per la prima e per la seconda maglia):
−E1 + E2 + E3
E2
8.7
= (i1 + i2 ) R3 + i1 R1
= (i1 + i2 ) R3 + i2 R2
Circuiti RC
Studieremo in questa sezione i cosiddetti circuiti RC in serie, ovvero circuiti
composti dal collegamento in serie di un condensatore e di un resistore.
Teorema[Circuito RC, C scarico]: si consideri un circuito chiuso formato dal
collegamento in serie di un generatore (E, r), un resistore (R′ ) ed un conden.
satore (C) inizialmente scarico. Dette R = R′ + r la resistenza totale del circuito
.
e τ = R C la costante di tempo del circuito, allora
• la carica delle armature in funzione del tempo ha la forma
)
(
t
q(t) = E C 1 − e− τ ;
• l’andamento della corrente in funzione del tempo è dato da
i(t) =
67
E −t
e τ;
R
• il lavoro totale speso del generatore è dato da
WG = E 2 C;
• il lavoro dissipato sulla resistenza per eﬀetto Joule è
WP =
E2 C
,
2
pari a metà del lavoro totale speso dal generatore;
• l’energia accumulata dal condensatore è indipendente dalla resistenza, ed
è anch’essa pari a metà del lavoro speso dal generatore, avendosi
Ue =
E2 C
.
2
Dimostrazione: il circuito iniziale può essere pensato come un circuito ad esso
equivalente formato da una sola resistenza R = R′ + r, come illustrato in ﬁgura.
All’istante iniziale il condensatore è scarico. Sempre in t = 0 supponiamo di chiudere l’interruttore e lasciare cosı̀ che la corrente cominci a circolare all’interno
del circuito. Calcoliamo ora le diﬀerenze di potenziale ai capi dei vari elementi
del circuito. Si ha
VB − VA
VB − V D
VD − VA
= E
= i(t) R
q(t)
=
C
(Legge di Ohm)
q
(Perché C = )
V
Sommando membro a membro le ultime due equazioni si ottiene quindi un’identità con il secondo membro della prima equazione:
E = i(t) R +
dq
q(t)
q(t)
=
R+
.
C
dt
C
Dividendo per R si ottiene inﬁne l’equazione diﬀerenziale
dq
1
E
(t) + q(t) = ,
dt
τ
R
68
che è un’equazione diﬀerenziale lineare del primo ordine a coeﬃcienti costanti.
Come si può veriﬁcare immediatamente la soluzione è data da
q(t) = k e− τ + E C,
t
dove k è una costante reale da determinare imponendo le condizioni iniziali.
Richiedendo quindi che la carica sulle armature all’istante iniziale sia nulla (vero
per ipotesi in quanto il condensatore è inizialmente scarico) si ha
q(0) = 0 ⇒ k = −E C.
La carica sulle armature assume pertanto la forma
(
)
t
−
τ
q(t) = E C 1 − e
.
Per ottenere la corrente è quindi suﬃciente derivare la carica rispetto al tempo,
ottenendo l’espressione
i(t) =
t
E
dq
E C −t
(t) =
e τ = e− τ .
dt
τ
R
Ricordiamo ora che per la conservazione dell’energia per la potenza deve essere
per ogni t
PG = PR + PC ,
dove PG è la potenza totale emessa dal generatore, PR è la potenza dissipata sulla resistenza e PC è la potenza utilizzata per caricare il condensatore.
Calcoliamo queste tre quantità
PG
PR
E2 − t
e τ
R
E2 − 2 t
= i2 (t) R =
e τ
R
= E i(t) =
Per calcolare PC occorre prima determinare la diﬀerenza di potenziale ai capi
del condensatore. Si ha
(
)
t
q(t)
VC (t) = VD − VA =
= E 1 − e− τ .
C
Ora scriviamo in modo formale la relazione che lega l’energia potenziale elettrostatica al potenziale per una carica elementare dq. Si ha
dUe = VC (t) dq.
Segue quindi che la potenza spesa nella carica del condensatore è
(
)
t
t
dUe
E2
−
τ
PC =
= VC i(t) =
1−e
e− τ .
dt
R
69
È quindi possibile calcolare i lavori WG svolto dal generatore, WR dissipato nelle
resistenze e WP = Ue utilizzato per caricare il condensatore. Abbiamo pertanto
∫ +∞
E2
WG =
PG (t) dt =
τ = E2 C
R
0
∫ +∞
E2 τ
E2 C
WR =
PR (t) dt =
=
R 2
2
0
∫ +∞
E2 C
PC (t) dt =
Ue =
2
0
Il teorema è quindi completamente dimostrato. Osservazione [Circuito RC, C scarico]: osserviamo, riguardo alla corrente,
che
i(0) =
mentre
i(t)
E
R
t→+∞
−→
0,
come se il circuito fosse aperto.
Per quanto riguarda le diﬀerenze di potenziale invece si ha
t
VR (t) = i(t) R = E e− τ
e
(
)
t
−
τ
VC (t) = E 1 − e
t→+∞
−→
0,
t→+∞
E.
−→
quindi a regime la diﬀerenza di potenziale ai capi della resistenza è nulla, mentre
l’intera forza elettromotrice E si concentra nella diﬀerenza di pontenziale ai capi
delle armature del condensatore.
Ribadiamo inoltre che l’energia accumulata dal condensatore non dipende dalla
resistenza. Metà della potenza è dissipata per eﬀetto Joule e l’altra metà è utilizzata per caricare il condensatore.
Osserviamo anche che il processo
di)carica è molto rapido, infatti:
(
se t = τ , allora q(τ ) = q0 1( − 1e ≈) q0 · 0, 63,
se t = 5 τ , allora q(τ ) = q0 1 − e15 ≈ q0 · 0, 993.
Quando il condensatore è carico si dice che il circuito è in regime stazionario.
Teorema [Circuito RC, C carico]: si consideri un circuito chiuso formato
dal collegamento in serie di un resistore (R) ed un condensatore (C) inizialmente carico. Dette q0 la carica libera sulle armature del condensatore all’istante
.
iniziale e τ = R C la costante di tempo del circuito, allora
• la carica delle armature in funzione del tempo ha la forma
t
q(t) = q0 e− τ ;
70
• l’andamento della corrente in funzione del tempo è dato da
i(t) =
q0 − t
e τ;
τ
• tutta la potenza viene dissipata sulla resistenza per eﬀetto Joule, avendosi
PR =
q02 − 2 t
e τ
R C2
e di conseguenza
Wtot = WR = U0 ,
dove U0 è l’energia elettrostatica del condensatore al tempo zero.
Dimostrazione: all’istante iniziale il condensatore è carico e la sua energia è
U0 =
1 q02
.
2 C
Sempre per t = 0 chiudiamo l’interruttore e lasciamo che la corrente scorra nel
circuito. Non essendoci generatore si ha E = 0 e di conseguenza per ogni tempo
VC (t) = VR (t)
q(t)
dq
= i(t) R = − R,
C
dt
⇐⇒
dove il segno meno nell’ultima uguaglianza è dovuto al fatto che la carica sta
diminuendo. Dividendo l’epressione appena trovata per R, otteniamo
dq q(t)
+
= 0.
dt
τ
Questa è un’equazione diﬀerenziale lineare del primo ordine omogenea. La sua
soluzione è data da
t
q(t) = k e− τ ,
dove k è una costante reale che va determinata imponendo le condizioni iniziali.
Imponiamo allora che la carica presente sulle armature all’istante iniziale sia q0
(dall’ipotesi che il condensatore sia inizialmente carico). Si ha allora
q(0) = k = q0 ,
da cui
t
q(t) = q0 e− τ .
Per ottenere la corrente elettrica è ora suﬃciente derivare la carica. Otteniamo
quindi
dq
q0 − t
i(t) = −
=
e τ.
dt
τ
Da cui possiamo esplicitare
VC (t) = VR (t) = i(t) R =
71
q0 − t
e τ.
C
La potenza dissipata nella resistenza è
PR = i2 (t) R =
e di conseguenza il lavoro totale è
∫
Wtot =
q02 − 2 t
e τ
R C2
+∞
i2 (t) R dt = U0 ,
0
ovvero tutta l’energia viene dissipata nella resistenza. Osservazione [Circuito RC, C carico]: è importante osservare che l’analisi
appena svolta può essere eﬀettuata solamente se
τ ≫ t,
dove t è il tempo che ci mette il segnale ad attraversare il circuito.
9
9.1
Magnetostatica
Deﬁnizioni, esperimenti e primi esempi
Esempio [Magnete naturale]: l’esempio per eccellenza di magnete naturale,
da cui il nome stesso, è la magnetite14 .
Esperimento [Magnetite]: supponiamo di immergere la magnetite nella limatura di ferro. Allora la limatura si dispone maggiormente in due punti, detti
poli del magnete. Supponiamo ora di avere un magnete attaccato ad un ﬁlo.
Prendiamo un altro magnete e avviciniamo uno dei suoi poli ad uno dei poli del
primo magnete. Poi ripetiamo l’esperimento avvicinando l’altro polo del secondo magnete allo stesso polo del primo magnete. si osserva che in un caso i
due magneti tenderanno a respingersi, mentre nell’altro ad attrarsi. Si deﬁnisce
allora canonicamente il polo positivo, detto polo nord. L’altro polo verrà invece
detto polo negativo, o polo sud.
Deﬁnizione [Magnete]: si deﬁnisce magnete un qualunque solido dotato delle
proprietà ﬁsiche della magnetite mostrate in questo esperimento.
Esempio [Magneti artiﬁciali]: le calamite sono i magneti artiﬁciali per eccellenza.
Esperimento [Calamite temporanee e permanenti]: si osserva sperimentalmente che mettendo a contatto una bacchetta di ferro e una di acciaio con un
14 La formula chimica della magnetite è Fe O , ma si può trovare indicata anche come
3 4
FeO · Fe2 O3 (o FeO × Fe2 O3 ). Questo perché essa è formata da una parte di Wustite (FeO) e
da una parte di Ematite (Fe2 O3 ).
72
magnete, si hanno comportamenti diversi. Infatti quando la bacchetta di ferro
viene messa a contatto con il magnete, si magnetizza anch’essa. Quando però
la bacchetta viene staccata essa perde immediatamente le suo proprietà magnetiche, ovvero si smagnetizza. Ciò non accade con l’acciaio. Infatti anch’esso
si magnetizza dopo il contatto con il magnete, ma a diﬀerenza del ferro, esso rimane magnetizzato per un lungo periodo (per anni) anche dopo che viene
staccata dal magnete. In virtù di questo esperimento si dice che il ferro è un
magnete temporaneo, mentre l’acciaio è permanente.
Esperimento [Campo magnetico terrestre]: si è osservato sperimentalmente
che la Terra stessa è un magnete. Infatti essa possiede due poli magnetici i quali
si comportano allo stesso modo dei poli magnetici della magnetite. Supponiamo
di prendere un ago magnetico (una calamita) come quelli utilizzati nelle bussole. Esso si comporta come un dipolo e si posiziona pertanto parallelamente
alla linea di campo del campo magnetico generato dalla Terra, passante per
il baricentro dell’ago. Per convenzione si chiama polo nord il polo dell’ago che
punta il nord geograﬁco, che risulta però essere il polo sud del campo magnetico.
Il verso della linea di campo è il verso dell’ago (da sud a nord). Coulomb ha
osservato sperimentalmente che la forza tra i poli puntiformi è proporzionale a
1/r2 , dove r è la distanza dai poli.
Esperimento [Calamita spezzata]: riprendiamo l’esperimento iniziale della limatura di ferro. Immergendo una calamita nella limatura abbiamo detto che si
osserva sperimentalmente che essa tende a disporsi principalmente attorno ai
due poli. Spezziamo ora in due la calamita. Ciò che si osserva è che la limatura
si dispone principalmente ai due poli di ogni pezzo della calamita iniziale, cioè
in ognuno dei due pezzi si sono formati due poli di segno opposto e di stessa
carica. Da questo esperimento segue in particolare che non esiste il monopolo
magnetico.
Deﬁnizione [Campo di induzione magnetica]: sia M un magnete. Il campo
generato dal magnete si dice campo di induzione magnetica (o campo magnetico),
⃗ La sua unità di misura nel sistema internazionale è il Tesla
e si indica con B.
T . Si ha
N
T =
.
Am
Un’altra unità di misura molto usata per il campo magnetico è il Gauss G
(1 G = 10−4 T ).
Esempi [Campo di induzione magnetica]: il campo magnetico sulla superﬁcie
della terra è di circa 0, 4 G. Per un magnete da laboratorio B ≈ 2, 5 T , mentre
per le piccole calamite è B ≈ 10 mT .
Osservazione [Campo di induzione magnetica]: dato un magnete M , utiliz⃗
zando un ago magnetico è possibile studiare le linee di campo di B.
73
Osservazione sperimentale [Cariche e campi magnetici]: nel 1811 Oersted
osservò che le cariche in moto generano dei campi magnetici.
9.2
9.2.1
Moto di particelle cariche in campi magnetici
Forza di Lorentz
Legge sperimentale [Forza di Lorentz]: sia data una particella di massa m, di
⃗ Si suppongano m, q, B
⃗
carica q e di velocità ⃗v posta in un campo magnetico B.
indipendenti dal tempo.
• ⃗v = 0.
Se la particella è ferma (in un sistema di riferimento solidale alle sorgenti
del campo magnetico) si trova che su di essa non agisce nessuna forza:
F⃗ = 0,
in accordo con fatto che l’interazione magnetica si manifesta solamente
tra cariche in movimento.
• ⃗v ̸= 0 (v ≪ c).
Se invece la particella è in moto con velocità ⃗v (piccola rispetto a quella
della luce) rispetto al suddetto sistema di riferimento, si veriﬁca che su di
essa agisce una forza, detta forza di Lorentz15 , tale che
⃗
F⃗ = q ⃗v × B
Osservazioni [Forza di Lorentz]: il modulo della forza di Lorentz è
F = q v B sin (ϑ).
• Escludendo i casi banali, si può quindi concludere che
F =0
⇐⇒
ϑ = 0, π.
• È inoltre possibile caratterizzare allo stesso modo la situazione ﬁsica in
cui la forza di Lorentz è massima. Si ha
π
F = Fmax = q v B ⇐⇒ ϑ = .
2
• Osserviamo inoltre che dalla deﬁnizione si deduce immediatamente che F⃗
⃗ ovvero che la forza è ortogonale al
è ortogonale tanto a ⃗v quanto a B,
piano generato dalla velocità e dal campo magnetico. La direzione di F⃗ è
data dalla solita regola della vite destrogira.
15 In
alcuni testi questa forza viene detta forza magnetica, e con il termine forza di Lorentz
si indica la somma di tale forza con la forza dovuta al campo elettrico. Si ha cioè
⃗tot = q (⃗v × B
⃗ + E)
⃗
F
74
• Si presti particolare attenzione al fatto che la forza di Lorentz non è, in
generale, conservativa. Non si confonda tale forza con una forza elettrostatica (la forza elettrostatica è parallela al campo, mentre la forza di
Lorentz gli è ortogonale).
• Essendo la forza di Lorentz ortogonale alla velocità in ogni punto, risulta
di conseguenza essere ortogonale alla traiettoria. Sfruttando pertanto la
deﬁnizione di lavoro e il teorema dell’energia cinetica, è possibile scrivere
.
∆Ek = W =
∫
Q
⃗ = 0,
F⃗ · ds
P
quindi per qualsiasi spostamento dal punto P al punto Q nella regione in
⃗ l’energia cinetica della particella rimane
cui esiste il campo magnetico B
costante in quanto la forza di Lorentz non compie lavoro sulla particella.
Essa non comunica alla particella un’accelerazione tangenziale, ma soltanto un’accelerazione centripeta. In altre parole, quando una particella carica
si muove in un campo magnetico la sua velocità cambia in direzione, ma
non in modulo.
9.2.2
Moto in un campo uniforme: ϑ = π/2
Proposizione [Moto in un campo uniforme: ϑ = π/2]: sia data una particella
⃗ uniforme. Detta ⃗v la
di massa m e carica q immersa in un campo magnetico B
velocità della particella, supponiamo che all’istante iniziale ⃗v sia ortogonale a
⃗ 16 . In queste ipotesi si ha che:
B
i) il moto della particella è circolare uniforme, essendo il raggio di curvatura
della traiettoria costante, dato da
r=
mv
;
qB
ii) la velocità angolare (vettoriale) è costante, indipendente dalla velocità
tangenziale e parallela al campo magnetico, essendo
ω
⃗ =−
q ⃗
B;
m
iii) il periodo del moto circolare uniforme è costante, dato da
T =
2πm
.
qB
Dimostrazione: dimostriamo separatamente i vari punti della proposizione.
16 Ovvero
sia ϑ = π/2 nella formula del modulo della forza di Lorentz.
75
⃗ uniforme e la velocità v ortogonale a B
⃗
i) Essendo il campo magnetico B
⃗ produce
all’istante iniziale, la forza di Lorentz (anch’essa ortogonale a B)
⃗ Quindi la velocità
una variazione della velocità ancora ortogonale a B.
della particella in qualsiasi istante successivo giace nel piano ortogonale
⃗ individuato dalla velocità iniziale. Il moto della particella si svolge
a B
dunque in tale piano. Ricordando l’osservazione appena enunciata, ribadiamo che l’accelerazione tangenziale guadagnata dalla particella a fronte
dell’azione della forza di Lorentz è in realtà nulla, quindi l’unica accelerazione non nulla inferta da tale forze è quella centripeta. Ponendo quindi
nell’espressione del modulo della forza di Lorentz ϑ = π/2, otteniamo
F = q v B sin
(π)
2
= q v B = m acp = m
v2
,
r
dove nell’ultima uguaglianza17 compare il raggio di curvatura r, che risulta
quindi essere costante e pari a
r=
mv
.
qB
Avendo dimostrato che v è costante, che il moto è piano e che il raggio
di curvatura è costante, ne segue quindi che il moto compiuto dalla particella è circolare uniforme. Volendo essere ancora più precisi, la traiettoria
della particella è un arco di circonferenza di raggio r. È una circonferenza
⃗ è deﬁnito e
completa se la particella resta sempre nella regione in cui B
uniforme.
ii) La velocità angolare (scalare) si calcola immediatamente dalla sua deﬁnizione
ω=
v
qB
=
.
r
m
In termini vettoriali, ricordando l’espressione dell’accelerazione centripeta
⃗acp = ω
⃗ × ⃗v , si ha
⃗ = m ⃗a = m ⃗acp = m ω
F⃗ = q ⃗v × B
⃗ × ⃗v = −m ⃗v × ω
⃗,
dove nell’ultima uguaglianza si è sfruttata la proprietà antisimmetrica del
prodotto vettoriale. Confrontando il secondo e l’ultimo membro di questa
catena di uguaglianze segue quindi
ω
⃗ =−
q ⃗
B.
m
Questa relazione, indipendente dall’angolo ϑ (per cui valida anche se ϑ ̸=
⃗ Se la la
π/2), mostra che la velocità angolare è sempre parallela a B.
⃗ e quindi, dalla punta di B,
⃗
carica q è negativa ω
⃗ ha lo stesso verso di B
il moto appare antiorario; se viceversa q è positiva, allora ω
⃗ è opposta a
17 Dimostrata
in Fisica 1 per una forza qualunque e quindi di validità generale.
76
⃗ e il moto appare orario. Inoltre la formula trovata per ω
B
⃗ non dipende
dal valore della velocità, infatti r varia proporzionalmente a v secondo la
formula determinata al punto precedente, e il loro rapporto resta costante.
Di consegueza:
iii) il tempo impiegato a percorrere una circonferenza, ovvero il periodo del
moto circolare uniforme (e la frequenza di rivoluzione) non dipendono dal
raggio dell’orbita e dalla velocità con qui questa viene descritta, valendo
sempre
2π
2πm
T =
=
. ω
qB
9.2.3
Moto in un campo uniforme: ϑ arbitrario
Proposizione [Moto in un campo uniforme: ϑ arbitrario]: sia data una parti⃗ uniforme. Detta
cella di massa m e carica q immersa in un campo magnetico B
⃗v la velocità della particella, supponiamo che all’istante iniziale l’angolo formato
⃗ sia un certo ϑ ∈ [0, 2 π). In queste ipotesi si ha che:
da ⃗v e B
i) il moto della particella è elicoidale uniforme, essendo il raggio di curvatura
della traiettoria costante, dato da
r=
m v sin (ϑ)
,
qB
ed essendo il passo d’elica (ovvero la quantità di cui la particella si sposta
⃗ dopo il trascorrere di un periodo) dato da
lungo B
p=
2 π m v cos (ϑ)
qB
ii) la velocità angolare (vettoriale) è (come nel caso precedente) costante,
indipendente dalla velocità tangenziale e parallela al campo magnetico,
essendo
q ⃗
ω
⃗ = − B;
m
iii) il periodo è (come nel caso precedente) costante, dato da
T =
2πm
.
qB
Dimostrazione: dimostriamo soltanto il primo punto, in quanto il secondo e il
terzo continuano ad essere veri, perché come osservato prima, la dimostrazione
dei punti ii) e iii) della proposizione precedente nel caso ϑ = π/2 aveva in
realtà validità generale, non essendo i due risultati mostrati dipendenti da ϑ.
.
Scomponiamo allora la velocità iniziale nelle due componenti ⃗vn = v sin(ϑ) ⃗un
77
.
⃗ e ⃗vp =
⃗ La forza magnetica agente sulla
ortogonale a B
v cos(ϑ) ⃗up parallela a B.
particella risulta quindi essere
⃗ = q (⃗vn + ⃗vp ) × B
⃗ = q ⃗vn × B.
⃗
F⃗ = q ⃗v × B
⃗ è un moto
Abbiamo pertanto che il moto proiettato in un piano ortogonale a B
circolare uniforme con velocità vn , uguale a quello descritto nella proposizione
precedente. Seguendo lo stesso ragionamento di prima si ha quindi che il raggio
di curvatura è dato da
m vn
m v sin(ϑ)
r=
=
,
qB
qB
e la velocità ancolare è sempre data da
ω
⃗ =−
q ⃗
B,
m
⃗ non c’è forza, ⃗vp resta costante e
essendo indipendente da ϑ. Siccome lungo B
⃗
il moto proiettato nella direzione di B è rettilineo uniforme. La composizione
⃗ e del moto rettilineo
del moto circolare uniforme in un piano ortogonale a B
⃗
uniforme lungo B dà luogo ad un moto elicoidale uniforme, avente come asse la
⃗ Nel tempo
direzione di B.
2πm
T =
,
qB
indipendente da v e pari al periodo del moto circolare uniforme, la particella di
⃗ della quantità
sposta lungo B
p = vp T =
2 π m v cos (ϑ)
,
qB
⃗ il verso
detta passo d’elica, che risulta pertanto anch’essa costante. Fissato B,
di percorrenza dell’elica corrisponde al verso di percorrenza del moto circolare
e quindi è dato dalla stessa regola trovata nel caso precedente. 9.3
Seconda legge elementare di Laplace e applicazioni
Teorema [Seconda legge elementare di Laplace]: consideriamo un conduttore
ohmico ﬁliforme percorso da corrente elettrica in regime stazionario. Sia ⃗j = j ⃗uj
⃗ si
la densità di corrente. Immergendo il conduttore in un campo magnetico B
ha, in modo formale, la scrittura
⃗ = i ds
⃗ × B,
⃗
dF
⃗ rappresenta la forza di Lorentz inﬁnitesima agente sulle cariche presenti
dove dF
.
⃗ =
in un volumetto elementare contenuto nel conduttore Σ ds, e ds
ds ⃗uj . In
termini ﬁniti, sia c la curva che deﬁnisce l’asse del conduttore. Si ha allora
∫ B (
)
⃗ ×B
⃗ .
F⃗ = i
ds
A (c)
78
Dimostrazione: la corrente elettrica in un conduttore è dovuta al moto degli
elettroni sotto l’azione del campo elettrico applicato tramite un generatore. Se
n è il numero di elettroni liberi per unità di volume, ciascuno con carica −e, e
detta ⃗vd la loro velocità di deriva, la densità di corrente si scrive ⃗j = −n e ⃗vd ed
è parallela e concorde al campo elettrico applicato, come abbiamo mostrato in
precedenza. Quando il conduttore percorso da corrente è immerso in un campo
magnetico, a ciasucn elettrone è applicata la forza di Lorentz
⃗
F⃗L = −e ⃗vd × B.
Attraverso gli urti che gli elettroni in moto hanno con gli ioni del reticolo cristallino tale forza è trasmessa alla massa del ﬁlo conduttore, che ora e in seguito
supporremo indeformabile. In un tratto elementare di conduttore lungo ds e di
sezione Σ sono contenuti n Σ ds elettroni, e la forza risultante è pertanto
⃗ = n Σ ds F⃗L = −(Σ ds) n e v⃗d × B
⃗ = Σ ds ⃗j × B
⃗ = Σ j ds ⃗uj × B.
⃗
dF
Ricordando quindi la relazione
i = Σj
e deﬁnendo il vettore
⃗ = ds ⃗uj
ds
segue immediatamente la legge enunciata:
⃗ = i ds
⃗ × B.
⃗
dF
Per passare alla forma ﬁnita si integra la forza elementare appena deﬁnita lungo
⃗
l’asse del conduttore. Osserviamo a tale proposito che non abbiamo assunto B
uniforme, quindi nell’integrazione varia anch’esso (in generale) punto per punto.
⃗ sia lo stesso in qualunque punto di una qualsiasi sezione,
Si assume però che B
appunto perché il conduttore è ﬁliforme. La corrente si porta fuori dal segno di
integrale in quanto stazionaria. Corollario [Seconda legge elementare di Laplace]: nelle ipotesi della seconda
legge elementare di Laplace, si supponga che l’asse del ﬁlo sia rettilineo e che il
campo magnetico sia uniforme. Si ha allora
⃗
F⃗ = i ⃗l × B,
dove ⃗l = l ⃗uj , con l lunghezza del ﬁlo.
Corollario [Seconda legge elementare di Laplace]: nelle ipotesi della seconda
legge elementare di Laplace si supponga che l’asse del ﬁlo sia curvilineo (deﬁnito
da una curva piana di estremi A e B) e che il campo magnetico sia uniforme.
Si ha allora
⃗
F⃗ = i ⃗l × B,
dove ⃗l = l ⃗uj , con l lunghezza del segmento congiungente il punto A con il punto
B.
79
Dimostrazione: senza perdere in generalità supponiamo che il ﬁlo sia con⃗ e B
⃗ decomposti nelle loro
tenuto nel piano xy. Scriviamo allora i vettori ds
componenti:
⃗ = (dx, dy, 0), B
⃗ = (Bx , By , Bz ).
ds
Il prodotto vettoriale tra

⃗ux
⃗ ×B
⃗ = det  dx
ds
Bx
⃗ eB
⃗ è quindi dato da
ds

⃗uy ⃗uz
dy 0  = (dy Bz , −dx Bz , dx By − dy Bx ).
By Bz
⃗ è costante, si ricava pertanto la forza
Tenendo conto che B
∫ B
⃗
F = i
(dy Bz , dx Bz , dx By − dy Bx ) =
A (c)
= i (∆y Bz , −∆x Bz , ∆x By − ∆y Bx )
⃗ ScomMostriamo ora che l’espressione appena trovata corrisponde a i ⃗l × B.
⃗
poniamo il vettore l lungo gli assi coordinati. Essendo c una curva piana, anche
il vettore congiungente A e B giacerà sul piano xy. Si ha pertanto
⃗l = (∆x, ∆y, 0).
Calcoliamo allora il valore dell’espressione da veriﬁcare:


⃗ux ⃗uy ⃗uz
⃗ = i det ∆x ∆y 0  = i (∆y Bz , −∆x Bz , ∆x By − ∆y Bx ),
i ⃗l × B
Bx By Bz
che è lo stesso valore determinato per F⃗ . Osservazione: il corollario appena enunciato aﬀerma che la forza magnetica
agente su un ﬁlo che giace in un piano ed è immerso in un campo magnetico
uniforme non dipende dalla lunghezza del ﬁlo, ma solo dai punti iniziale e ﬁnale.
Corollario [Seconda legge elementare di Laplace]: nelle ipotesi del corollario
precedente, sia c una curva chiusa. Si ha allora
F⃗ = 0.
Dimostrazione: basta applicare il corollario precedente con punto iniziale
uguale a punto ﬁnale ⇒ l = 0. 9.4
Principio di equivalenza di Ampère
Osservazione [Forza magnetica]: da un punto di vista meccanico la forza
⃗ agente su un corpo deve considerarsi come la risultante
magnetica F⃗ = q ⃗v × B
80
di un sistema di forze applicate in punti diversi, ovunque ci sianno cariche in
movimento; essa provoca quindi uno spostamento in accordo con il teorema del
⃗
moto del centro di massa. In generale, oltre ad avere la risultante F⃗ = q ⃗v × B,
il sistema di forze magnetiche presenta un momento risultante diverso da zero,
per cui è possibile che vi siano delle rotazioni. In questo paragrafo ci occupiamo
per semplicità soltanto di circuiti piani rigidi percorsi da corrente ed immersi un
un campo magnetico uniforme. In tal caso la forza risultante sul conduttore è
nulla e il circuito non si sposta (né si deforma, essendo rigido), però il momento
risultante può essere diverso da zero e mettere in rotazione il circuito.
Proposizione [Momento meccanico di una spira piana rigida]: consideriamo
una spira rettangolare rigida, di lati a e b, percorsa dalla corrente i stazionaria.
Orientiamo il versore ⃗un , normale al piano in cui giace la spira, in accordo con la
solita convenzione della vite destrogira. Supponiamo che la spira sia immersa in
⃗ uniforme, che forma l’angolo ϑ con ⃗un . Allora il circuito
un campo magnetico B
⃗ , tale che
è dotato di un momento meccanico M
M = (i a B)(b sin(ϑ)) = i Σ B sin(ϑ),
dove si è posto Σ = a b = “area della superﬁcie compresa nella spira”.
Dimostrazione: come si deduce dalla ﬁgura seguente,
le forze magnetiche F⃗3 ed F⃗4 sui lati RS e P Q sono eguali e contrarie e hanno
la stessa retta di azione: ciascuna di esse è la risultante di un sistema di forza
⃗ applicata nel centro del lato, e nel loro insieme formano
parallele F⃗ = q ⃗v × B,
una coppia di braccio nullo18 e quindi di momento angolare nullo. Le forze F⃗1
18 Ricordiamo un sistema di forze formato da due forze di uguale intensità ma di verso
opposto prende il nome di coppia di forze. Il braccio di una coppia di forze corrisponde alla
distanza fra le linee di azione delle forze. Il momento di una coppia di forze, è invece il prodotto
dell’intensità di una delle due forze per il braccio della coppia.
81
ed F⃗2 sui lati QR e SP sono invece caratterizzate dai seguenti valori.
• Intensità19 :
|F⃗1 | = |F⃗2 | = i a B.
• Direzione20 :
dir(F⃗1 ) = dir(F⃗2 ) = “retta ortogonale al piano del foglio”.
• Verso21 :
– F⃗1 è uscente dal piano del foglio;
– F⃗2 è entrante nel piano del foglio.
Pertanto anche le due forze F⃗1 ed F⃗2 costituiscono una coppia, e il braccio di
tale coppia di forze, che risulta non nullo in generale, è dato da
braccio(F⃗1 , F⃗2 ) = b sin(ϑ),
come chiarito dalla ﬁgura seguente.
In deﬁnitiva è possibile dunque determinare il modulo del momento della coppia
come il prodotto
M = (i a B)(b sin(ϑ)) = i Σ B sin(ϑ),
dove si è posto
Σ = a b = “area della superﬁcie compresa nella spira”.
⃗ sarà parallelo al piano della spira, e più precisamente la direzione
Il vettore M
⃗ (illustrate nella precedente ﬁgura della spira) sono determinate
e il verso di M
dalle solite regole della vite. Deﬁnizione: sia data una spira piana rigida percorsa da corrente i ed immersa
⃗ si deﬁnisce momento magnetico della spira il vettore
in un campo magnetico B.
m
⃗ = i Σ ⃗un ,
19 Dalla seconda legge elementare di Laplace per i circuiti rettilinei, in quanto B
⃗ è ortogonale
ai lati a.
20 Dalla deﬁnizione di forza magnetica.
21 Dalle deﬁnizioni di forza magnetica e di prodotto vettoriale.
82
dove si è indicato con ⃗un il vettore normale al piano della spira.
Osservazione [Momento magnetico e momento meccanico]: grazie alla deﬁnizione
di momento magnetico appena enunciata è possibile determinare il momento
meccanico della proposizione precedente mediante la formula
⃗ =m
⃗
M
⃗ × B.
Questo non è un caso particolare, dovuto alla geometria rettangolare del problema; si può infatti estendere questo risultato a circuiti piani di forma qualunque,
come preciseremo nel seguente teorema.
Teorema [Momento meccanico di una spira piana]: consideriamo una spira
piana rigida percorsa dalla corrente i stazionaria. Orientiamo il versore ⃗un , normale al piano in cui giace la spira, in accordo con la solita convenzione della
vite destrogira. Supponiamo che la spira sia immersa in un campo magnetico
⃗ uniforme, che forma l’angolo ϑ con ⃗un . Sia Σ l’area della superﬁcie compresa
B
nella spira. Allora il circuito è dotato di un momento meccanico
⃗ =m
⃗
M
⃗ × B.
dove m
⃗ è il momento magnetico della spira.
Dimostrazione: un’idea informale della dimostrazione è la seguente. Approssimiamo il circuito con n circuiti rettangolari adiacenti, tutti percorsi dalla
stessa corrente i con verso tale da avere le normali concordemente orientate (si
veda la ﬁgura seguente).
Le correnti che passano nei lati in comune sono uguali ed opposto per cui gli
eﬀetti del campo magnetico si annullano e restano solo gli eﬀetti prodotti sul
contorno esterno, coicidente (in modo approssimativo) col circuito. L’approsssimazione è tanto migliore quanto più n è grande e al limite, per n inﬁnitamente
grande, si avranno dei circuiti rettangolari elementari, aventi area dΣ inﬁnitamente piccola. Deﬁniamo allora il momento magnetico del generico circuito
elementare come
⃗ = i dΣ ⃗un .
dm
Si avrà, per ogni circuito elementare, un momento meccanico dato da
⃗ = dm
⃗ × B.
⃗
dM
83
Per ricavare il momento meccanico del circuito totale sarà quindi necessario
integrare sull’intera area Σ, avendosi pertanto
(∫
)
∫
∫
∫
⃗ =
⃗ ×B
⃗ =
⃗ =i
⃗ =i
⃗ =
M
dM
dm
dΣ ⃗un × B
dΣ ⃗un × B
Σ
Σ
Σ
Σ
⃗ =m
⃗
= i Σ ⃗un × B
⃗ × B,
che è il risultato voluto. Osservazione [Momento meccanico di una spira piana]: dal teorema appena
enunciato segue ovviamente che il momento angolare è nullo soltanto quando m
⃗
⃗ La posizione con ϑ = 0 risulta essere di equilibrio stabile, quelè parallelo a B.
⃗ tende
la con ϑ = π di equilibrio instabile. Per qualunque altro valore di ϑ M
a far ruotare la spira in modo che il momento magnetico m
⃗ diventi parallelo
⃗ Sospendendo opportunamente la spira in assensa di attriti è
e concorde a B.
pertanto possibile generare in questo modo un modo oscillatorio armonico. Il
comportamento oscillatorio della spira percorsa da corrente e immersa in un
campo magnetico ricalca esattamente quello di un dipolo elettrico posto in un
campo elettrico esterno. D’altra parte anche un ago magnetico ha un comportamento del tutto simile quando posto in un campo magnetico. Questa identità di
comportamento tra spira e ago magnetico nei riguardi delle azioni meccaniche
subite quando posti in un campo magnetico uniforme venne generalizzata da
Ampère sotto forma di un postulato, detto principio di equivalenza di Ampère,
che ora enunciamo.
Postulato [Principio di equivalenza di Ampère]: per quanto riguarda gli eﬀetti
magnetici, una qualunque spira piana di area dΣ percorsa dalla corrente i in
regime stazionario è equivalente ad un dipolo magnetico elementare di momento
magnetico
⃗ = i dΣ ⃗un ,
dm
posto ortogonalmente al piano della spira e orientato rispetto al verso della corrente secondo la regola della vite.
Osservazione [Confronto campo elettrostatico/magnetico]: a seguito dei risultati appena enunciati si possono sottolineare diverse analogie tra campo elettrico
e campo magnetico, raccolte in questa tabella.
⃗
E
p⃗
⃗ = p⃗ × E
⃗
M
⃗
Ue = −⃗
p·E
⃗
B
m
⃗
⃗ =m
⃗
M
⃗ ×B
⃗
Um = −m
⃗ ·B
Il campo magnetico, come il campo elettrico, agisce sulle cariche polarizzandole. Se il campo magnetico è uniforme si deﬁnisce quindi un momento di
dipolo magnetico grazie al quale, con una formula analoga a quella del campo elettrico, è possibile calcolare il momento meccanico di rotazione. Inﬁne si
può deﬁnire l’energia di orientazione magnetica Um , grazie al quale si possono
84
dedurre espressioni di forza, momento, e lavoro magnetico. Se il campo magneti⃗ non è uniforme è invece necessario utilizzare il principio di equivalenza di
co B
Ampère e passare alla notazione integrale per poter esprimere queste grandezze.
Ad esempio l’energia di orientazione magnetica risulta deﬁnita dalla formula
∫
∫
∫
.
⃗ ·B
⃗ =−
⃗ = −i
Um = −
dm
i dΣ ⃗un · B
Bn dΣ,
Σ
Σ
Σ
⃗ lungo la direzione normale alla
dove con Bn si è indicata la componente di B
spira.
9.5
Campo magnetico generato da una distribuzione di
corrente
Osservazione preliminare [Prove sperimentali]: per la maggior parte dei risultati di questo paragrafo non sono presenti dimostrazioni analitiche, perché quasi
tutti questi risultati sono stati provati sperimentalmente e dalle analisi sperimentali sono poi state dedotte le formule che seguono.
Osservazione [Principio di sovrapposizione]: anche per i campi magnetici vale
il principio di sovrapposizione.
Legge [Legge di Biot-Savart]: si consideri nel vuoto un conduttore ﬁliforme
rettilineo inﬁnitamente lungo percorso dalla corrente i stazionaria. Allora il campo magnetico generato dal ﬁlo in un punto P dello spazio dipende solamente
dalla distanza r da esso, secondo la relazione
µ0 i
⃗
B(r)
=
⃗ut × ⃗un ,
2π r
dove i versori ⃗ut e ⃗un sono rispettivamente il versore tangente e quello ortogonale al ﬁlo.
Dimostrazione: dalla simmetria cilindrica del problema si può dire immediatamente che le linee di campo sono circoferenze con centro sul ﬁlo e contenute
il piano ortogonali al ﬁlo, quindi il campo dipende dalla sola distanza da esso.
Si osserva poi sperimentalmente che
i
B(r) ∝ ,
r
dove la costante di proporzionalità dipende dal mezzo in cui si propaga il campo
magnetico e dal sistema di unità di misura utilizzata. Noi esprimiamo la legge
utilizzando il Sistema Internazionale e supponiamo che il ﬁlo si trovi nel vuoto.
La costante risulta quindi essere
µ0
cost =
,
2π
dove µ0 è la permittività magnetica del vuoto ed è pari a
µ0 = 4 π · 10−7
85
Tm
.
A
Sostituendo questa costante nell’esprezzione iniziale si trova quindi la tesi. Osservazione [Legge di Biot-Savart]: per ﬁli generici la legge è stata elaborata da Biot-Ampère-Laplace, ed è nota come prima legge elementare di Laplace.
Ovviamente dalla prima legge elementare di Laplace è possibile ricavare la legge
di Biot-Savart come suo caso particolare.
Legge [Prima legge elementare di Laplace]: si consideri nel vuoto un conduttore ﬁliforme di lunghezza e forma arbitrarie percorso dalla corrente i stazionaria. Allora il campo magnetico generato da un elemento di ﬁlo in un punto P
dello spazio posto a distanza r è dato da
µ0 i ⃗
⃗
dB(r)
=
ds × ⃗ur ,
4 π r2
.
⃗ =
dove ds
ds u⃗t è il prodotto dell’elemento di lunghezza ds con il versore tangente al ﬁlo in quel punto, mentre il versore radiale ⃗ur è ha la direzione e il verso
del vettore congiungente l’elemento di ﬁlo con il punto P .
Osservazione: nelle ipotesi della prima legge elementare di Laplace, segue
ovviamente che il campo magnetico generato da un conduttore ﬁliforme di
lunghezza e forma arbitrarie percorso dalla corrente i stazionaria si calcola come
µ0
⃗
B(r)
=
i
4π
∫ ⃗
ds × ⃗ur
,
r2
c
dove c è l’asse del ﬁlo.
Corollario [Legge di Ampre-Laplace]: nelle ipotesi della prima legge elementare di Laplace, supponiamo che il circuito in cui scorre la corrente sia
chuiso. Allora il campo magnetico generato dal circuito a distanza r da esso è
dato da
I ⃗
µ0
ds × ⃗ur
⃗
B(r) =
i
.
4π
r2
Proposizione [Circuito non ﬁliforme]: si consideri un conduttore non ﬁliforme
di volume V percorso da corrente i stazionaria. Sia ⃗j la densità di corrente. Allora
il campo magnetico generato dal circuito in un punto P posto a distanza r è
dato da:
∫ ⃗
j × ⃗ur
⃗ = µ0
dV,
B
4 π V r2
dove ⃗ur è il versore radiale.
Dimostrazione: si consideri un elemento di superﬁcie dV di forma cilindrica
avente basi di superﬁcie dΣ e lunghezza ds posto con asse parallelo alla direzione
.
⃗ =
della densità di corrente ⃗j = j ⃗uj . Deﬁniamo il vettore ds
ds ⃗uj come il
86
vettore avente modulo ds e direzione e verso della densità di corrente. Essendo
il volumetto dV ﬁliforme posso allora scrivere
⃗ = j dΣ ds
⃗ = ⃗j dΣ ds = ⃗j dV.
i ds
Per trovare il campo magnetico è ora suﬃciente integrare il campo magnetico
⃗ generato da dV sul volume del circuito, sfruttando la prima legge elementare
dB
di Laplace. Ottengo pertanto
)
∫
∫ (
∫ ⃗
µ0
µ0 i ⃗
j × ⃗ur
⃗ =
⃗ =
B
dB
ds
×
⃗
u
=
dV,
r
2
4
π
r
4
π
r2
V
V
V
che è la tesi. Osservazione [Azioni elettrodinamiche fra circuiti percorsi da corrente]: consideriamo due ﬁli rettilinei indeﬁniti paralleli all’asse z, posti a distanza d l’uno
all’altro, giacenti nel piano yz e percorsi da correnti i1 e i2 rispettivamente. Il
campo magnetico generato dal ﬁlo 1 a distanza d (quindi agente sul ﬁlo 2), dalla
legge di Biot-Savart, è dato da
⃗ 1 (d) = µ0 i1 ⃗uz × ⃗uy = − µ0 i1 ⃗ux .
B
2π d
2π d
Sfruttando poi la seconda legge elementare di Laplace possiamo determinare la
forza inﬁnitesima agente su un elemento del ﬁlo 2 a causa del campo magnetico
generato dal ﬁlo 1. Si ha
(
)
µ0 i1
µ0 i1 i2
⃗
⃗
⃗
dF12 = i2 ds × B1 = (i2 dz u⃗z ) × −
⃗ux = −
dz ⃗uy ,
2π d
2π d
quindi se le due correnti sono equiverse la forza avrà natura attrattiva, altrimenti
repulsiva. La forza per unità di lunghezza avrà la forma
dF⃗12
µ0 i1 i2
=−
⃗uy .
dz
2π d
.
Ponendo l = dz nella formula precedente il modulo della forza per unità di
lunghezza risulta essere
µ0 i1 i2
F
=
.
l
2π d
Quindi presi due ﬁli (a sezione trascurabile) posti a distanza di 1 m l’uno dall’altro e percorsi entrambi da corrente di intensità 1 A, allora la forza per unità
di lunghezza è
µ0
N
F
=
= 2 · 10−7 .
l
2π
m
Proposizione [Campo magnetico di una spira circolare]: si consideri nel vuoto
una spira circolare di raggio R percorsa da una corrente i stazionaria. Allora il
87
campo magnetico generato dalla spira in un qualunque punto P dell’asse è dato
da
µ0
R2 i
⃗
B(x)
=
⃗ux ,
2
2 (R + x2 )3/2
dove la direzione di ⃗ux è quella dell’asse della spira, il verso è dato dalla regola
della vite, e x è la distanza di P dal piano della spira.
Dimostrazione: supponiamo che la spira sia una circonferenza centrata nell’origine degli assi e contenuta nel piano yz e che la corrente i circoli in senso
antiorario se la spira è vista dalla punta dell’asse x. In questo modo il versore ⃗ux
dell’enunciato è eﬀettivamente il versore ⃗ux dell’asse x. Ciò che ci proponiamo di
fare ora è di applicare la prima legge elementare di Laplace e poi integrare sulla circonferenza per trovare il campo totale22 . Calcoliamo il campo elementare
generato dal tratto di spira in prossimità del punto (0,0,R). Detto ϑ l’angolo
che il versore radiale forma con l’asse delle z, si ha
⃗ut
⃗ur
⇒ ⃗ut × ⃗ur
⃗ 1
=⇒ dB
= −⃗uy ,
= sin(ϑ) ⃗ux − cos(ϑ) ⃗uz ,
= cos(ϑ) ⃗ux + sin(ϑ) ⃗uz ,
µ0 i ⃗
µ0 i
=
ds × ur =
ds [cos(ϑ) ⃗ux + sin(ϑ) ⃗uz ].
4 π r2
4 π r2
Analogamente calcoliamo il campo elementare generato dal tratto di spira in
prossimità del punto (0,0,-R). Detto ϑ l’angolo che il versore radiale forma con
l’asse delle z, si ha
⃗ut
⃗ur
⇒ ⃗ut × ⃗ur
⃗ 2
=⇒ dB
= ⃗uy ,
= cos(ϑ) ⃗uz + sin(ϑ) ⃗ux ,
= cos(ϑ) ⃗ux − sin(ϑ) ⃗uz ,
µ0 i ⃗
µ0 i
=
ds × ur =
ds [cos(ϑ) ⃗ux − sin(ϑ) ⃗uz ].
4 π r2
4 π r2
Applicando il principio di sovrapposizione sommiamo quindi i due campi appena calcolati, determinando il campo elementare generato dalla sovrapposizione
del campo magnetico generato da (0,0,R) e di quello generato da (0,0,-R).
Otteniamo in tal modo
⃗ 1+2 = µ0 i ds cos(ϑ) ⃗ux .
dB
2 π r2
Detto r ⃗ur il vettore radiale congiungente il generico punto della spira con il
punto P , si può poi esplicitare cos(ϑ), osservando che vale
R = r cos(ϑ)
⇐⇒
cos(ϑ) =
R
.
r
22 Per la precisione applicheremo la legge a due elementi di circonferenza antipodali, sommeremo e poi integreremo l’espressione cosı̀ determinata su una semicirconferenza. Ciò è possibile
grazie al fatto che anche per i campi magnetici vale il principio di sovrapposizione.
88
Il campo magnetico elementare assume pertanto la forma
⃗ 1+2 = µ0 i ds R ⃗ux = µ0 i R ds ⃗ux .
dB
2 π r2
r
2 π r3
Usando il teorema di Pitagora è ora possibile eliminare r dall’espressione, si ha
allora
iR
⃗ 1+2 = µ0
dB
ds ⃗ux .
2 π (R2 + x2 )3/2
Per ottenere l’espressione ﬁnale non rimane ora che integrare l’espressione cosı̀
trovata lungo la semicirconferenza (e non lungo la circonferenza, perchè abbiamo
sommato due contributi antipodali). Il campo magnetico ﬁnale sarà pertanto
∫
⃗
B(x)
∫
πR
πR
µ0
iR
ds ⃗ux =
2
2
π
(R + x2 )3/2
0
0
∫ πR
µ0
iR
µ0
iR
=
⃗
u
ds =
⃗ux π R =
x
2
2
3/2
2
2 π (R + x )
2 π (R + x2 )3/2
0
µ0
R2 i
⃗
= B(x)
=
⃗ux ,
2
2 (R + x2 )3/2
=
⃗ =
dB
che è la tesi. 9.6
Equazioni di Maxwell per il campo magnetico
⃗ un campo magnetico nel vuoto,
Teorema [Equazioni di Maxwell23 ]: sia B
generato da una corrente i stazionaria. Allora
• Teorema di circuitazione di Ampère
I
⃗ = µ0 i,
⃗ · ds
B
c
dove c è una curva chiusa concatenata alla corrente24 . Lo stesso risulato
si può esprimere localmente25 nella forma
⃗ ×B
⃗ = µ0 ⃗j,
∇
dove ⃗j è la densità di corrente.
23 Le quattro equazioni che seguono (due in forma integrale e due in forma diﬀerenziale),
prendono il nome di equazioni di Maxwell per il campo magnetico. In sostanza con equazioni
di Maxwell si intende semplicemente l’insieme dei due risultati del Teorema di Ampère e del
ﬂusso, visti sia in forma locale, che globale.
24 Si dice che una curva chiusa c è concatenata alla corrente (o al circuito) se c è il bordo di
una superﬁcie Σ tale che il circuito attraversi Σ trasversalmente (e non parallelamente).
25 Dal risultato in forma locale appare evidente la non conservatività del campo magnetico.
89
• Teorema del flusso per il campo magnetico
∫
⃗ · ⃗un dΣ = 0.
B
Σ
Anche in questo caso si può esprimere il risultato localmente26 , nella forma
⃗ ·B
⃗ = 0.
∇
Dimostrazione: dimostriamo separatamente le due parti del teorema.
• Teorema di circuitazione di Ampère
– Forma integrale
⃗ sia generato da un ﬁlo rettilineo indeﬁnito con
Supponiamo che B
corrente stazionaria ed uscente dal piano del foglio. Per la legge di
Biot-Savart abbiamo
µ0 i
⃗
B(r)
=
⃗ut × ⃗un .
2π r
Consideriamo adesso come particolare curva chiusa concatenata alla
distribuzione di corrente una circonferenza contenuta in un piano
ortogonale al ﬁlo, con centro su di esso e di raggio r (stiamo quindi
supponendo r costante). In questa ipotesi abbiamo
⃗ = µ0 i ds,
⃗ · ds
B
2π r
⃗ hanno la stessa direzione. Scriviamo inoltre l’elemento
⃗ e ds
infatti B
di circonferenza in funzione dell’angolo al centro:
ds = r dϑ,
da cui otteniamo
⃗ = µ0 i dϑ.
⃗ · ds
B
2π
Integrando questa espressione da un punto P ad un punto Q sulla
circonferenza si ottiene quindi
∫
Q
⃗ = µ0 i ϑ,
⃗ · ds
B
2π
P (c)
ovvero l’integrale dipende solo dall’angolo (e non dal raggio). Mostriamo ora che questo risultato ha validità generale, e non dipende dal
fatto che abbiamo scelto una circonferenza per concatenare la corrente. Siano allora P̃ e Q̃ due generici punti di R3 e sia c̃ una curva
26 Dal
risultato in forma locale si vede che il campo magnetico è sempre solenoidale.
90
qualunque da P̃ a Q̃. Chiamiamo r la distanza del ﬁlo dal generico punto della curva (in questo caso ovviamente r non è costante
in generale). Per ogni punto P̄ appartenente alla curva consideriamo
la circonferenza SrR̄ di raggio rP̄ centrata sul ﬁlo, contenuta in un
piano ad esso ortogonale e passante per P̄ . Il contributo inﬁnitesimo
all’integrale risulta quindi essere
⃗ = B(P̄ ) (ds cos(α)) ,
⃗ P̄ ) · ds
B(
dove
B(P̄ ) =
µ0 i
2 π rP̄
⃗ in direzione di
e (ds cos(α)) è la proiezione dello spostamento ds
⃗
⃗
B(P̄ ). Osservando però che il vettore B(P̄ ) è orientato come il vettore tangente in P̄ ad SrR̄ , si ha che (ds cos(α)) è anche uguale alla
⃗ in direzione alla tangente alla cirproiezione dello spostamento ds
conferenza, e risulta pertanto uguale all’elemento di circonferenza di
SrR̄ . Si ha quindi
ds cos(α) = rP̄ dϑ
e di conseguenza
⃗ = B(P̄ ) (rP̄ dϑ) = µ0 i rP̄ dϑ = µ0 i dϑ.
⃗ P̄ ) · ds
B(
2 π rP̄
2π
L’integrale assume per tanto la forma
∫ Q̃
∫ Q̃
µ0 i
µ0 i
⃗ =
⃗ · ds
B
dϑ =
ϑ,
2
π
2π
P̃ (c̃)
P̃ (c̃)
che dipende soltanto dall’angolo ϑ. Presa pertanto una qualunque
altra curva ĉ da P̃ a Q̃ si ha
∫ Q̃
∫ Q̃
⃗ = µ0 i ϑ,
⃗ =
⃗ · ds
⃗ · ds
B
B
2π
P̃ (ĉ)
P̃ (c̃)
poiché l’integrale dipende solamente dall’angolo. La scelta di prendere
proprio una circonferenza non lede pertanto la generalità. L’integrale
esteso a tutta la circonferenza varrà allora
I
⃗ = µ0 i 2 π = µ0 i,
⃗ · ds
B
2π
che è la tesi.
– Forma locale
Sia Σ una qualunque superﬁcie tale che ∂Σ = c. Applicando il teorema di Stokes all’equazione di Maxwell in forma integrale otteniamo
I
∫
∫
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗j · ⃗un dΣ, ∀Σ
B · ds =
(∇ × B) · ⃗un dΣ = µ0 i = µ0
c
Σ
⇒
Σ
⃗ ×B
⃗ = µ0⃗j.
∇
91
• Teorema del flusso per il campo magnetico
Non dimostriamo qui il risultato del teorema in forma integrale. Passiamo subito alla dimostrazione del caso locale, assumendo vero l’enunciato
globale. La dimostrazione diventa quindi immediata, infatti utilizzando il
teorema della divergenza segue che
∫
∫
⃗
⃗ ·B
⃗ dV = 0, ∀Σ, ∀V
B · ⃗un dΣ =
∇
V
Σ
⃗ ·B
⃗ = 0,
=⇒ ∇
e con questa uguaglianza concludiamo la dimostrazione del teorema. Osservazione [Teorema di Ampère]: nella dimostrazione del teorema di circuitazione di Ampère abbiamo osservato che l’integrale
∫ Q
⃗ = µ0 i ϑ,
⃗ · ds
B
2π
P (c)
dipende solo dall’angolo. Questo fatto ha una conseguenza molto importante.
Supponiamo di avere un ﬁlo indeﬁnito percorso da corrente uscente dal foglio.
Se prendiamo una curva chiusa c che non sia concatenata con i, allora la circuitazione del campo lungo c sarà nulla. Infatti dati P e Q due punti qualunque
sulla curva si ha
∫ Q
∫ Q
∫ P
∫ Q
I
⃗ = 0,
⃗ −
⃗ =
⃗ +
⃗ =
⃗ · ds
⃗ · ds
⃗ · ds
⃗ · ds
⃗ · ds
B
B
B
B
B
c
P (c)
Q (c)
P (c)
P (−c)
perché gli ultimi due integrali, anche se calcolati su curve diverse, sono estesi
dallo stesso punto di partenza allo stesso punto di arrivo. Questo ci dice che
la circuitazione del campo magnetico “non vede” le distribuzioni di corrente, a
meno che la curva lungo cui si calcola la circuitazione sia concatenata ad esse.
Alla luce di questa osservazione è possibile generalizzare il teorema di Ampère.
⃗ il campo magnetico generato nel
Teorema [di circuitazione Ampère]: sia B
vuoto dalle correnti stazionarie i1 , . . . , im . Sia c una curva chiusa che concateni
n ≤ m correnti. Si ha allora
I
n
∑
⃗ = µ0
⃗ · ds
B
ik .
c
k=1
Osservazione [Teorema di Ampère]: osserviamo che l’equazione di Maxwell
in forma locale è compatibile con la condizione di stazionarietà della corrente
⃗ · ⃗j = 0), infatti applicando l’operatore divergenza ad entrambi i membri
(∇
dell’equazione di Maxwell si ottiene un’identità:
⃗ · (∇
⃗ × B)
⃗ = µ0 ∇
⃗ · ⃗j = 0,
∇
92
in quanto la divergenza del rotore di una qualunque funzione è sempre identicamente nulla. Vala la pena di osservare ciò perché questa sarà proprio la
condizione che cadrà quando si considereranno correnti che variano nel tempo.
Le equazioni di Maxwell in questa forma risulteranno quindi sbagliate ed andranno pertanto opportunamente generalizzate.
Curiosità [Spettrometro magnetico]: lo spettrometro magnetico serve per
trovare particelle con lo stesso rapporto carica su massa. Funziona nel modo
seguente. Si consideri una sorgente di ioni (ad esempio un gas ionizzato). Si applichi una diﬀerenza di potenziale alla sorgente. In questo modo gli ioni vengono
accelerati, e, una volta entrati in un campo magnetico uniforme, compiranno una
semicirconferenza ed andranno a sbattere contro una lastra fotograﬁca. Tutte le
particelle che sbattono nello stesso punto hanno lo stesso rapporto.
93