Lavoro ed energia cinetica
Servono a risolvere problemi che con
la F=ma sarebbero molto più
complicati.
Quella dell’ energia è un idea
importante, che troverete utilizzata in
contesti diversi.
Testo di riferimento: capitolo B1 di “Nuova Physica 2000”
Dinamica. Corso di Fisica per STA-A di Agraria (Luigi Cristofolini)
Energia cinetica
• Si definisce energia cinetica K di un corpo
la grandezza
1
K=
2
mv 2
Unità di misura dell’energia è il Joule (J)
1J = 1 Kg m2/s2 =1 N m
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Problema
• Calcolare l’energia cinetica di un’anatra di massa
3 Kg che si muove alla velocità di 2 m/s
• Scontro tra locomotive di massa 120*103 Kg che
procedono con accelerazione costante 0.26 m/s2 e
sono state lanciate una contro l’altra dalla distanza
di 6.4 Km. Qual’era l’energia cinetica complessiva
all’istante dell’impatto? (Waco, Texas, 1896)
K = 2ma
x
= 2 *108 J = 45kg di tritolo
2
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Lavoro: Energia trasferita ad un
corpo da una forza
•
•
•
•
L=Fx·d= F · d
E’ massimo se F parallelo a d
Nullo se F perpendicolare d
Negativo se F si oppone a d
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Calcoliamo il lavoro svolto da una forza
nel caso particolare di forza costante
•
•
•
•
Fx=max
v2= v02 + 2ax d
½ mv2= ½ mv02 + m ax d
K = K0 + Fx d
Il lavoro svolto dalla forza F è la variazione di energia cinetica
Quanto dimostrato per F costante vale in generale:
E’ il famoso teorema lavoro-energia cinetica
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Esempio
Una slitta viene trascinata da una corda per 10 metri.
La trazione sulla corda è di 60 N e l’angolo tra la corda ed il terreno è di 60°.
Calcolare il lavoro della forza di trazione.
Soluzione:
F
∆x = 10 m , F = 60 N , θ = 60° ,
θ
B
x
∫
B
∫
L = Fds = F cosθdx =
A
B
A
1
= F cosθ dx = F cosθ∆x = 60 ⋅ ⋅10 = 300 J
2
∫
A
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Potenza
Il lavoro nell’unità di tempo prende il nome di potenza :
dL
ds
= F⋅ = F⋅v
P=
dt
dt
La potenza sopra descritta prende il nome di potenza istantanea.
La potenza media è il rapporto fra il lavoro totale e il tempo per il quale il lavoro
viene svolto.
∆L
P=
∆t
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Unità di misura
La potenza è un rapporto fra lavoro e tempo:
[Potenza] = [Lavoro]/[T]
L’unità di misura nel Sistema Internazionale (SI)
prende il nome di watt (James Watt 1736-1819)
1W= 1J/1s
1kW=103W
1MW=106W
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Unità pratiche:
Per la potenza si usa anche il Cavallo
Vapore (CV, o HP)
1CV=735 W
Per l’energia si usa anche il kWh:
lavoro prodotto in 1h da una potenza di
1kW
1kWh=3.6*106J
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Esercizi
•La potenza generata dal motore di un aereoplano in volo è 4.2*106W. Calcolare la spinta
sviluppata dal motore se la velocità di volo è 300m/s.
Quanto vale la potenza in CV (1CV=735W)?
•Un’auto di M=1400kg viaggia a 20 m/s in pianura. Se la potenza sviluppata dal motore è
1.8*104W, calcolare la spinta del motore. Quali altre F agiscono sull’auto?
•Quale potenza deve sviluppare il motore dell’auto per farla procedere alla stessa velocità in
salita su un pendio inclinato di 12°?
Per casa: qual è la potenza dissipata dai freni dell’automobile per mantenere l’auto a
velocità costante v=20ms in discesa su un piano inclinato di 12°?
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Lavoro della forza peso
y
yA
rA
A
g
rA,B
B
r
yB
B
B
B
A
A
LA→ B = ∫ Fds = F ∫ ds =
= F[rB − rA ] = mg • rAB
Ma l’unica componente non nulla della forza peso è lungo l’asse y.
La componente del vettore lungo y è data da:
per cui
yB − y A
L A→ B = −mg ( y B − y A ) = −( mgy B − mgy A )
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Definizione dell’ energia potenziale nel caso
della forza peso
y
yA rA A
g
rA,B
Br
yB
B
E p = mgy
L A→ B = −( mgy B − mgy A )
L’equazione può essere
così riscritta
L A→ B = −( E p , B − E p , A ) = −∆E p
Energia potenziale della forza peso
Questa funzione della coordinata y ha la proprietà per cui il
lavoro è uguale all’opposto della variazione di questa funzione da
A a B e non dipende dalla particolare traiettoria fra A e B
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Lavoro della forza d’attrito radente
N
Ricordiamo che
F
r
r
Fattrito = − µ k Ni
Fattrito
y
mg
x
B
B
r
r
= ∫ Fattrito ds = ∫ − µ k Ni ds = − µ k N ∫ ds =
B
L A→ B
A
A
A
LA→ B = − µ k N * lunghezza del percorso seguito andando da A a B
QUESTO lavoro NON è esprimibile con una differenza dei valori di una
funzione delle coordinate nei punti A e B: dipende dal particolare percorso
seguito
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Forze conservative e
definizione di Energia Potenziale
• In generale si dice conservativa una forza il cui lavoro su un dato corpo
dipenda solamente dalla posizione dei punti di partenza A e di arrivo B e
non dal percorso seguito
• Il lavoro svolto dalla forza è allora recuperabile invertendo il cammino e
tornando da B ad A
• In particolare, il lavoro svolto da una forza conservativa percorrendo un
cammino chiuso è nullo.
• Sotto l’azione di una forza conservativa si definisce la variazione di energia
potenziale come l’opposto del valore del lavoro compiuto dallarforza:
∆E pot = E potB − E potA = − Lavoro A→ B
r
= − F • ∆x
Quindi solo le variazioni dell’energia potenziale
sono significative dal punto di vista della fisica
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Esempi
Forze CONSERVATIVE
Forze NON CONSERVATIVE
(o DISSIPATIVE)
•Forza di gravità
•Forza elettrostatica
•Forza elastica
•Attrito dinamico tra superfici
solide
•Attrito dovuto al moto in un
fluido (sia in regime viscoso che
turbolento)
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L’energia potenziale e la conservazione
dell’energia meccanica
Quando agiscono solo forze conservative, l’energia meccanica totale E,
definita come la somma
delle energie cinetica e potenziale, si conserva:
E = K +Epot = costante.
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E quando c’è l’attrito?
Cosa ne è della conservazione
dell’energia?
Se agiscono anche forze non conservative,
entrano in gioco altri tipi di energia (ad es. l’energia
termica, l’energia del legame chimico).
Quando si includono tutte le forme d’energia,
l’energia totale si conserva sempre
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