Laboratorio 2B
A.A. 2012/2013
Lab 2B – CdL Fisica
Facciamo conoscenza
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Fortunato Neri
Dipartimento di Fisica e di Scienze della Terra
tel. 090 676-5007
e-mail: [email protected]
Webpage: http://dfmtfa.unime.it/profs/NERI
Lab 2B – CdL Fisica
Dettagli del corso
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Lezioni: Lun 11–14 Mer 11–13 Gio 9-11, dal 4/3 al 6/6/2010
Lezioni teoriche: Aula A (I piano, corpo D)
Esercitazioni : Laboratorio didattico (I piano, corpo D)
Modalità esame:
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Valutazione relazioni predisposte durante le esercitazioni di laboratorio
Esame orale
Testi utilizzabili:
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Elaborazione dei dati sperimentali - Dapor, Ropele (Springer 2005)
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Altro materiale didattico
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Slides lezioni
Schede singole esperienze
Appunti
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Laboratorio 2B: argomenti del corso
• Analisi e trattamento dati sperimentali
• Trattamento degli errori
Fornire conoscenze su esperimenti di:
• Ottica geometrica (formazione di immagini con lenti e
specchi)
• Ottica fisica (dispersione, diffrazione, interferenza,
polarizzazione, coerenza)
• Spettroscopia ottica
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BOZZA
PROGRAMMA
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Grandezze fondamentali e derivate
• Una delle operazioni fondamentali nella sperimentazione e nella
ricerca scientifica è quella di misurare.
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Tutte le caratteristiche (proprietà) dei corpi che si possono determinare
quantitativamente, cioè misurare, sono chiamate grandezze fisiche.
• Misurare significa confrontare una grandezza fisica con un’altra,
ad essa omogenea, assunta come campione.
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Il confronto permette di stabilire quante volte tale campione è contenuto
nella grandezza stessa e di esprimere il rapporto tra la grandezza fisica e il
campione attraverso un valore numerico.
• Le grandezze fisiche scelte come fondamentali sono lunghezza,
massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura
termodinamica, quantità di materia e intensità luminosa.
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Queste sette grandezze fisiche identificano il sistema di unità di misura
noto come Sistema Internazionale (SI).
Tutte le altre (grandezze derivate) dipendono da quelle fondamentali, da
cui possono essere ricavate mediante l’uso di espressioni algebriche.
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Il Metodo Scientifico
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Analisi del fenomeno ed individuazione delle grandezze da misurare
Formulazione di ipotesi
Progettazione dell’esperimento e della procedura di misura
Analisi dei risultati ottenuti e verifica delle ipotesi
Formulazione della legge
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In ogni singola fase lo sperimentatore deve porre la massima accortezza,
procedere con molta attenzione e non sottovalutare alcun evento.
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L’esperimento può essere ripetuto più volte purchè in condizioni
accessibili, controllabili e misurabili.
• Gli studenti nel verificare attraverso gli esperimenti leggi fisiche
ormai ben note, devono assumere un comportamento metodico,
critico e responsabile; devono essere consci che l’obiettivo
fondamentale del loro lavoro è quello di acquisire una mentalità
e una pratica sperimentali utili per un futuro lavoro di ricerca.
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Il Metodo Scientifico
Uso combinato di Teoria ed
Esperimento. (Galileo Galilei XVIXVII secolo)
Interpretazione dei
fenomeni naturali sulla base
di leggi matematiche.
Metodo Induttivo
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Osservazione
Esperimento
Correlazione fra le misure
Definizione di un modello fisico
Elaborazione di un modello matematico
Formalizzazione della teoria
Riproducibilità
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Misure dirette e indirette
• Misura di una grandezza fisica: confronto tra la grandezza fisica e
un’altra, ad essa omogenea, assunta come campione.
• Quando si confronta direttamente la grandezza fisica con la sua
unità di misura, la misura si dice diretta in quanto fornisce
direttamente il risultato (solo nel caso di alcune misure di lunghezza).
• Per le grandezze derivate, si misurano in modo diretto le grandezze
fisiche fondamentali correlate e, mediante il calcolo di una
relazione algebrica, si deduce il valore della misura della grandezza
derivata. Questo tipo di misura si dice indiretto.
• Sia che la misura venga effettuata in modo diretto o indiretto, è
necessario saper valutare quanto il risultato ottenuto sia
attendibile.
• Infatti, la misura non fornisce mai il valore vero della grandezza in
esame, che rimane sconosciuto (indeterminazione).
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Errori nelle misure
• Quando si esegue la misura di una grandezza fisica, si commettono
inevitabilmente degli errori che impediscono di conoscere il valore
vero della grandezza stessa (limite intrinseco alla misura).
• Occorre riuscire a quantificare nel miglior modo possibile questi
errori e cercare di ridurli al minimo, conoscendo l’origine, la
tipologia, le cause e l’entità di questi errori.
• Sia che la misura venga effettuata in modo diretto o indiretto, è
necessario saper valutare quanto il risultato ottenuto sia
attendibile.
• Infatti, la misura non fornisce mai il valore vero della grandezza in
esame, che rimane sconosciuto (indeterminazione).
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Errori nelle misure - 2
Le incertezze si possono ridurre ma non eliminare, essendo legate
intrinsecamente alla natura della grandezza e al processo di misura.
• Occorre cercare di stabilire le cause degli errori, anche se
molteplici e spesso difficilmente individuabili. Sono principalmente
attribuibili alla strumentazione utilizzata, alla procedura operativa,
all’azione dello sperimentatore, ad agenti ambientali ed esterni:
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Erronea taratura dello strumento
Malfunzionamento dello strumento per variazioni di condizioni ambientali
Presenza di vibrazioni, di piccoli spostamenti d’aria, di contaminazioni, di
inadatta luminosità, di instabilità della alimentazione di rete
Usura dello strumento o di parti dello stesso
Limitate caratteristiche (sensibilità e prontezza) dello strumento
Scelta della strumentazione inadeguata
Errori di riflesso, di allineamento, di parallasse
Errori di definizione (grandezza da misurare non definita con esattezza)
Errori umani di lettura, di disattenzione, di trascrizione
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Errori casuali ed errori sistematici
Le misure sono sempre affette da errori, generati da cause diverse,
risultando tra loro differenti e distinti in errori sistematici e casuali.
L’errore su una misura possiede una componente sistematica ed una
casuale, non distinguibili tra loro e di diversa origine.
Gli errori sistematici incidono sulla misura in modo costante, sempre in
una direzione, in eccesso (maggiore valore vero) o in difetto (minore).
L’origine degli errori sistematici è da ricercarsi in deficienze strumentali, di metodo
o procedura, in distorte letture di scala. Il loro riconoscimento non è sempre facile:
non esistono infatti indicazioni o regole generali per individuarli, nè tanto meno la
ripetizione delle misure può servire a svelarli (non trattabili statisticamente).
Errori casuali: risultato di effetti deterministici derivanti da molte
cause, il cui numero elevato conferisce il carattere aleatorio (casuale).
Possono essere messi in evidenza ripetendo più volte la misura con strumenti
sufficientemente sensibili. L’analisi statistica degli errori casuali, dopo aver
accertato (ipotizzato) che l’entità degli errori sistematici è trascurabile, consentirà di
esprimere una stima realistica della loro entità e caratterizzare al meglio la misura.
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Errore assoluto in misure dirette
Data una grandezza fisica G, la sua misura g si esprime:
• Nel caso di una misura singola l’errore assoluto eè stimabile come
metà della più piccola divisione della scala dello strumento.
• Se le misure sono invece ripetute il valore misurato della
grandezza g è uguale alla migliore stima di g (vedremo poi essere il
valor medio), con edato dalla semidispersione
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La media come migliore stima
• Supponiamo di aver misurato una grandezza fisica, ottenendo
come risultato della misura n valori, non tutti uguali tra loro.
• La misura è influenzata da un’indeterminazione, perciò è
impossibile conoscere il valore vero della grandezza in esame.
• Qual’è il valore più significativo (rappresentativo) della grandezza
misurata, tenuto conto di tutti gli n dati ottenuti dalla misura ?
Moda: contare quante volte ognuno dei valori si è presentato e
decidere di assumere come più rappresentativo della misura quello che
si è presentato con maggior frequenza (difficoltoso e non univoco).
Mediana: il valore che divide a metà un insieme di dati, ordinati in
modo crescente o decrescente, in due parti uguali.
Media aritmetica: scelta più ragionevole ed adatta in quanto tiene
conto di tutti i valori misurati x1, x2, … xn di una grandezza X.
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Il valor medio - 2
• Come sono distribuite le singole misure rispetto alla media ?
• La valutazione dello sparpagliamento delle misure ci fornisce
un’importante indicazione di quanto le misure siano precise.
• Scarto
– quanto ogni singola misura xi si discosta dal valor medio ?
– c’è una relazione tra queste differenze e l’errore sulla misura xi ?
• In analogia con il calcolo della media aritmetica, proviamo a
calcolare il valor medio dello scarto
• Abbiamo così ottenuto una importante proprietà di cui gode la
media: la media degli scarti è identicamente nulla.
• Di conseguenza la media degli scarti non costituisce una grandezza utile per
caratterizzare l’errore sulla misura !
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Deviazione standard
• Scarto quadratico medio o Varianza
– eleviamo tutti gli scarti al quadrato e consideriamone il valor medio
In questo caso il risultato è diverso da zero e, per far sì che abbia
anche le stesse dimensioni di xi , estraiamo la radice quadrata della
varianza, ottenendo in tal modo la cosiddetta deviazione standard
La deviazione standard è una grandezza sempre positiva, che
esprime una stima del grado di attendibilità della misura.
Si noti come, al crescere del numero delle misure n, diminuisca il valore numerico
assoluto della deviazione standard e aumenti di conseguenza la precisione della
misura.
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Deviazione standard - esempio
Prendiamo in considerazione i risultati
ottenuti dalle sei misure del periodo
di oscillazione del pendolo.
• La stima dell’indeterminazione ottenuta come semidispersione
offre una valutazione semplice ed immediata dell’errore.
• Per mezzo della deviazione standard la stima è più precisa anche
se il calcolo è più complesso.
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Deviazione standard della media
• La scelta del valor medio come miglior stima del valore vero offre
sufficienti garanzie di precisione ?
• Esiste, cioè, una relazione tra la deviazione standard di una serie di
misure e la precisione della media ?
L’analisi statistica mostra che l’indeterminazione sulla media è data
dalla deviazione standard divisa per la radice quadrata del numero n
di misure:
• La deviazione standard della media diminuisce, lentamente, al
crescere di n: maggiore è il numero di misure effettuate, minore è
l’incertezza sulla media.
• Quindi il valor medio è ragionevolmente la stima più precisa di una
serie di misure.
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Deviazione standard della media - 2
• Nella definizione di deviazione standard, la media degli scarti
quadratici è stata calcolata dividendo per n, assumendo pertanto
che n fosse il numero di parametri indipendenti del sistema.
• Lo stesso insieme di dati è già stato utilizzato per il calcolo della
media; quindi il numero degli scarti indipendenti non è n, ma n-1.
– Gli scarti sono stati infatti ottenuti dalle differenze tra le singole misure
ed il loro valor medio .
• La differenza nell’usare n o (n-1) è concettualmente significativa,
ma quasi sempre quantitativamente irrilevante: è comunque
importante specificare, nella discussione dei risultati sperimentali,
quale formula è stata utilizzata nei calcoli.
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Cifre significative e arrotondamenti
Esempio: Consideriamo le
misure
del
periodo
di
oscillazione del pendolo, prima
riportate.
• Il grado di approssimazione coincide con la sensibilità dello
strumento (cronometro che apprezza i decimi di secondo)
• La misura “certa” è quella relativa ai secondi, mentre “l’incertezza”
interessa i decimi di secondo.
• Aggiungendo un dato, 1.8 s, le misure diventano sette e la media
ottenuta con una calcolatrice con un display a 10 cifre, è:
̅ =1.885714286 s.
• L’errore assoluto, calcolato come semidispersione, non è cambiato
con l’aggiunta di un dato, ed è rimasto pari a: = 0.1 s.
Non ha alcun senso riportare come risultato della media un numero con nove cifre
decimali, dal momento che esiste un’incertezza sulla prima cifra decimale !
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Cifre significative e arrotondamenti - 2
• La definizione del numero di cifre significative del valore di una
misura ci consente di stabilire e distinguere immediatamente il
diverso grado di precisione di risultati apparentemente
equivalenti.
– Ad esempio, i valori numerici 1.9 s, 1.90 s e 1.900 s, ottenuti da una misura
di tempo, non sono fisicamente uguali; nel primo caso abbiamo una
precisione al decimo di secondo, nel secondo caso al centesimo di secondo,
nel terzo caso al millesimo di secondo.
• I valori dell’errore che si ottengono dai calcoli spesso presentano
un eccessivo numero di cifre; è dunque necessario effettuare il
corretto arrotondamento.
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Sommario errori
Se la misura x della grandezza X ha dato il risultato
Errore relativo:
Errore percentuale:
Propagazione degli errori:
per funzioni di più variabili
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