Esercizio 1
Una linea elettrica lunga d = 50km è costituita da due fili rettilinei paralleli
percorsi in versi opposti da una corrente i. I fili hanno raggio r = 1cm e
distano h = 2m l’uno dall’altro. Calcolare il coefficiente di autoinduzione L.
Soluzione
Scriviamo l’espressione del campo magnetico in un punto P generico posto
tra le due linee di trasmissione:
B(P ) =
µ0 i
µ0 i
+
2πx 2π(h − x)
Il flusso del campo magnetico attraverso la superficie identificata dalla linea
di trasmissione sarà:
Z h−r
h−r
2µ0 id
ln
B(x)ddx =
Φ(B) =
π
r
r
notando che h ≫ r:
L=
2µ0 d h
Φ
=
ln = 212mH
i
π
r
Esercizio 2
Un circuito circolare di raggio a, resistenza R ed induttanza L si trova nel
vuoto, in una zona sede di un campo magnetico uniforme, perpendicolare al
piano del circuito che ha il seguente andamento temporale:
B = 0 per t ≤ 0;
B = kt per t > 0
con k costante.
Ricavare l’espressione di B(C) al centro della spira in funzione del tempo
per t > 0.
Soluzione
Quando il campo magnetico passa dal valore 0 ad un valore maggiore di 0 e
cresce linearmente nel tempo, una forza elettromotrice compare nel circuito
e genera una corrente indotta. La corrente a sua volta è sorgente di un
campo magnetico che per la legge di Lenz si oppone al campo inducente.
Calcoliamo la f.e.m.:
f.e.m. =
d ktπa2 = kπa2
dt
1
Calcoliamo ora la corrente che circola nella spira per determinare il campo
che induce nel centro del circuito, scrivendo l’equazione del circuito:
f.e.m = Ri + L
di
dt
→
di
dt
=
f.e.m. − Ri
L
Abbiamo quindi:
R
ln (f.e.m. − Ri) = − t + cost.
L
→
f.e.m. − Ri = Ae−Rt/L
La costante A è determinata ponendo che per t = 0, i = 0, quindi A =
f.e.m. = kπa2 . Abbiamo dunque:
i(t) =
kπa2
(1 − e−Rt/L )
R
A questo punto siamo in condizione di scrivere l’espressione del campo nel
centro della spira:
B(C, t) = kt −
µ0 i
µ0 kπa(1 − e−Rt/L )
= kt −
2a
2R
Esercizio 3
Una spira conduttrice a forma di triangolo equilatero di lato l = 20cm,
massa m = 10g, resistenza R = 0.5Ω, si muove senza attrito sul piano x,
y con velocità costante v0 = 5m/s lungo l’asse x. Per x ≥ 0 esiste un
campo magnetico uniforme e costante di valore B = 0.8T e la spira entra
in questa regione all’istante t = 0; il verso del campo è indicato in figura.
Calcolare la velocità v della spira in funzione della distanza x percorsa dal
vertice dall’istante in cui inizia ad entrare nel campo magnetico. Calcolare la
velocità v1 con cui continua a muoversi dopo che è entrata tutta nel campo
magnetico. Calcolare la carica q che circola nella spira durante l’intero
processo.
y
B
l
x
2
Soluzione
Calcoliamo il modulo della forza elettromotrice nel circuito tramite la legge
di Faraday:
f.e.m. =
d
d
Φ(B) =
[Bx(x tan α)]
dt
dt
con α = 30◦
Avremo dunque all’interno del circuito una corrente i = f.e.m./R pari a:
i=
1 d
2Bvx tan α
[Bx(x tan α)] =
R dt
R
che circola in senso orario per la legge di Lenz.
La forza che agisce sul circuito, fin tanto che non è completamente
immerso nel campo magnetico, sarà quindi:
dF = i · ds × B
→
F =
2Bvx tan α
x
B 2 tan2 αx2 v
2
sin αB = 4
R
cos α
R
in verso opposto al moto. Per determinare l’espressione della velocità in
funzione dello spazio ricordiamo che:
dv dx
dv
dv
=
=
v
dt
dx dt
dx
Alla luce di questa relazione avremo:
m
B 2 tan2 αx2 v
dv
v = −4
dx
R
→
v(x) = −4
B 2 tan2 αx3
+ v0
3mR
La velocità finale della spira si ottiene quando la coordinata x1 = l cos α =
0.173m. A quella coordinata corrisponde v1 = 4.71m/s. La carica totale
che circola nel circuito sarà:
q=
BΣ
∆Φ
=
= 2.78 · 10−2 C
R
R
Esercizio 4
~ al centro di un poligono regolare di n lati inscritto in una
Calcolare B
circonferenza di raggio R in cui scorre una corrente I. Analizzare il caso
per n → ∞.
Soluzione
I vari lati danno un contributo concorde al campo in direzione e verso.
θ+β = π
π
β+α =
2
3
(1)
(2)
θ
R
α
Si ricava quindi:
θ=
β
r
π
+α
2
−
→ −→
−−→ µ0 I dl′ × ∆r
dB1 =
· −→
4π
| ∆r |3
(3)
(4)
Considerando il modulo:
dB1 =
dl′
µ0 I
·
· sin θ
4π | ∆r |2
(5)
Dalle precedenti relazioni trigonometriche si ha:
sin θ = cos α
Inoltre:
l′ = r ′ = r tan α
implica che:
1
dα
cos2 α
dl′ = r ·
Si ha poi:
(6)
(7)
r
cos α
(8)
µ0 I rdα cos2 α
µ0 I
·
·
· cos αdα
· cos α =
4π cos2 α
r2
4πr
(9)
∆r =
Quindi, sostituendo:
dB1 =
4
Detto γn = 2π/n l’angolo al vertice di un generico triangolo isoscele
in cui risulta suddiviso il poligono di n lati e osservato che r rappresenta
l’apotema del poligono, si ha che:
µ0 I
B1 =
·
4πr
Z
γn /2
cos αdα =
−γn /2
µ0 I
γn
µ0 I
γn
· 2 sin
=
· sin
4πr
2
2πr
2
Osservando che:
r = R · cos
si ha che:
B1 =
γn
2
µ0 I
γn
µ0 I
π
· tan
=
· tan
2πR
2
2πR
n
e quindi:
BT OT = nB1 =
(10)
µ0 I
π
· n tan
2πR
n
(11)
(12)
Nel caso n → ∞ si ha che:
π
→0
n
e quindi:
tan
π
π
≈
n
n
da cui si ricava:
µ0 I
π
µ0 I
·n· ≈
(13)
2πR
n
2R
che rappresenta il modulo del campo di induzione magnetica generato nel
centro di una spira di raggio R percorsa da corrente I.
BT OT ≈
5
