Ripasso: Moto circolare uniforme, moto

Ripasso: Moto circolare uniforme, moto armonico e forza elastica
x= r cos(ωt + φ) e y= r sin (ωt + φ) modulo x2 + y2 = r2 .In coord.polari
x= r cos(θ(t)) e y= r sin (θ(t)) da cui θ=ωt + φ. La velocità del moto sarà
vx= -r sin(θ(t)) dθ(t)/dt = -r ωsin(ωt + φ)
vy= r cos (θ(t)) dθ(t)/dt = r ωcos(ωt + φ)
da cui θ(t)= ω. Ma vx 2 + vy2 = v2 da cui |v| = r ω con ω costante.
L’accelerazione è
ax= -r ω2 sin(θ(t)) dθ(t)/dt = -r ωsin(ωt + φ)
ay= -r ω2 cos (θ(t)) dθ(t)/dt = r ωcos(ωt + φ)
Ma ax 2 + ay2 = a2 da cui |a| = ω2r = v2 /r (costante)
••
x + ω2 x = 0 equazione del moto armonico con ω2 >0 ω=2πf è chiamata il tal caso
pulsazione e la frequenza f è il numero di oscillazioni (complete) del moto.
Forza elastica: F=-kx
moto di una massa sospesa ad una molla
••
x + (k/m) x=0 eq.del moto armonico le cui soluzioni sono
x(t)=A cos (ωt+φ) con ω2= k/m pulsazione del moto
φ fase iniziale
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1
In 3 dimensioni la forza elastica si scrive F = - k (r - r0) (isotropa in tutte le direzioni)
anche in questo caso si tratta di una forza centrale (rispetto ad r0 ) come nel caso della
forza gravitazionale ed elettrostatica.
L’energia potenziale associata al moto armonico è ( U energia elastica)
U(t)=½kx2= U=½kA2cos2(ωt + φ)
L’energia cinetica associata al moto armonico è
K(t) =½mv2= ½m A2 ω2sin2(ωt + φ)
poiché ω2= k/m
K(t) = ½ k A2 sin2(ωt + φ)
l’energia totale K+U=
½ k A2 sin2(ωt + φ)+ ½kA2cos2(ωt + φ)=
½ k A2
cioè l’energia totale è costante nel tempo,
mentre U e K variano nel tempo e si ha
trasferimento dall’una all’altra forma di energia.
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2
Pendolo semplice
Una massa m appesa ad un filo forma un pendolo
semplice. Sulla massa agiscono la forza peso e la
tensione del filo. Per la descrizione del moto è
possibile usare l’angolo rispetto alla posizione di
equilibrio. Scriviamo le eq.di moto proiettando nella
direzione radiale e tangenziale (Fg =mg)
r: Fg cos θ - T = - m v2/L= - m ω2•L•
t: - Fg sin θ = m at= m L α = m L θ
per θ>0 forza <0, per θ<0 forza >0→ forza di
richiamo. Il moto è circolare ma non
••
è di tipo armonico L θ + g sin θ = 0
per piccole oscillazioni sin θ ≈ θ
___
••
2
θ+ (g/L) θ = 0 ω = g/L T= 2 π √L/g
Il moto è armonico solo per piccole oscillazioni.
Aumentando l’ampiezza il periodo non è più indipendente
dall’ampiezza ma aumenta con essa.
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3
Pendolo fisico
Un pendolo reale in genere non può essere approssimato da uno
semplice. Consideriamo un corpo appeso in O ed utilizziamo la II equaz.
cardinale della dinamica per il corpo che ruota
attorno all’asse fisso O proiettata lungo l’asse (z)
(r×mg )z= (d L/dt)z
-mg h sin θ= Izzα
Izz =momento di inerzia
••
θ + (mg h / Izz) sin θ= 0 e per piccole oscillazioni
••
θ+ (mg h / Izz) θ= 0
ω2= mg h / Izz .
La forma è identica a quella del pendolo semplice
con la pulsazione data da ω2= (mg h / Izz) ( per il pendolo semplice L=h e
Izz=mL 2, quindi si ritrova il risultato di prima) e quindi per piccole
oscillazioni le soluzioni sono sinusoidali.
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4
Oscillazioni smorzate: Il moto armonico è in genere smorzato a causa
dell’attrito con l’aria, l’equazione ma=-kx si modifica nel seguente
modo ma=-kx-βv e quindi
••
•
ma+ β v+kx=0
x+(β /m)x+(k/m)x=0
•• •
x+bx+ ω2 x=0
cerchiamo una soluzione x=A exp(wt) che sostituita nell’equazione
fornisce w2 + b w+ ω2 =0 w=½(-b ± √b2 -4 ω2 )==-½b ± √(b/2)2 - ω2
se il discriminante (b/2)2 - ω2 >0 o =0 le soluzioni sono reali,
altrimenti esse sono complesse e la soluzione del moto è
x=A exp(-½bt) cos(ωs t + φ)
con ωs = √ ω2 - (b/2)2
si ha uno spostamento della frequenza e l’ampiezza decresce in modo
esponenziale.
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5
Anim.beta=? Oscillatore
Oscillazioni forzate e risonanza
Se al sistema è applicata una forza f(t)=H cos(wt + φ) (forzante) periodica nel
tempo l’equazione del moto diviene
ma=-kx +H cos (wt + φ)
••
x + ω2 x = h cos (wt + φ)
(h=H/m)
proviamo a cercare una soluzione del tipo x=A cos(wt + φ) (con la stessa
frequenza della forzante) che sostituita
nell’equazione fornisce
da cui
-A w 2 + ω2 A = H
A= H/( ω2- w 2 )
l’ampiezza ha l’andamento della figura,
per w= ω (condizione di risonanza)
si ha il massimo e senza nessun effetto
dissipativo l’ampiezza tenderebbe
all’infinito con effetti disastrosi
sull’oscillatore!
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6
La fine del Tacoma Narrows Bridge
On November 7, 1940, at approximately 11:00 AM, the first Tacoma Narrows
suspension bridge collapsed due to wind-induced vibrations.
Situated on the Tacoma Narrows in Puget Sound, near the city of Tacoma,
Washington, the bridge had only been open for traffic a few months.
(filmato tacoma.mov)
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7
Onde: Un corpo in oscillazione è in genere accoppiato ad altri corpi.
L’oscillazione perciò si trasmette ai corpi circostanti. Questa perturbazione che si
propaga nello spazio fornisce l’idea di onda. Considerando una corda,
l’impulso che si propaga è di tipo trasversale (cioè il
movimento (y) è perpendicolare alla direzione di
propagazione (x)). Se il moto sull’estremità è armonico,
l’onda è y(x,t)=A sin(kx- ωt ) con k= numero d’onda (o
vettor d’onda) ω=pulsazione.
Queste quantità sono legate
al periodo spaziale λ e
temporale T dell’onda:
preso un punto x0 fisso
y= A sin(kx0- ωt ) il punto si muove di moto armonico con
ω=2π / T (animazione: ondat) invece se fissiamo il tempo t0
y= A sin(kx- ωt0 ) e il periodo spaziale è λ
(lunghezza d’onda) con k= 2π / λ. Quindi
nel caso di propagazione di onde la distanza
(nello spazio) fra due massimi (o minimi) della
perturbazione si chiama lunghezza d’onda λ.
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Queste particolari onde vengono dette monocromatiche e kx- ωt è detta fase
dell’onda. Se poniamo kx- ωt =costante
y(x,t)=A sin(costante ) questo seleziona un particolare spostamento
trasversale (p.es.punto A). Al passare del tempo per mantenere la costanza
della fase anche x varia: k(x+Δx)- ω(t+Δt)= kx- ωt e quindi kΔx- ωΔt= 0
da cui Δx/Δt = ω/k velocità di fase dell’onda. In altri termini il profilo si
sposta con velocità ω/k. Se si considerava l’onda y(x,t)=A sin(kx + ωt )
si sarebbe ottenuto Δx/Δt = - ω/k
Cioè l’onda si propaga nel verso -x
onda progressiva (monocromatica)
y(x,t)=A sin(kx - ωt )
(o onda p)
onda regressiva (monocromatica)
y(x,t)=A sin(kx + ωt )
(o onda r)
Possiamo riscrivere la velocità di fase anche come v=λ/ T (nel tempo T
l’onda avanza di λ) o v=λ f , f=frequenza.
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Polarizzazione: La direzione di vibrazione rispetto alla direzione di
propagazione definisce la polarizzazione dell’onda. Oltre alle onde
trasversali ci sono anche quelle longitudinali. Per queste ultime la
direzione di vibrazione è parallela
alla direzione di propagazione e sono
le sole che si propagano entro i fluidi
poiché, come vedremo, essi non
sopportano sforzi trasversali (*). Come
vedremo si hanno onde di pressione in
cui si ha una variazione del valore
attorno a quello medio Δp=p-p0
Δp(x,t)=A sin(kx - ωt ) quindi valgono
le stesse considerazioni fatte per le onde trasversali.
In un solido sono possibili sia onde trasversali che longitudinali.
(*) Le onde superficiali del mare sono una combinazione di onde trasversali e
longitudinali e gli effetti di richiamo sono dovuti alla gravità e non a proprietà del
mezzo. Per piccole ampiezze entrano in gioco anche effetti della tensione
superficiale che mancano in assenza di una superficie.
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Si può dimostrare che l’equazione che devono verificare le onde
è (∂2w/∂x2)- v-2 ∂2w/∂t2=0 (equazione (omogenea) delle onde)
ed il parametro v è la velocità di fase. Sostituendo le soluzioni
w(x,t)= A sin(kx ± ωt )
(∂2w/∂x2)= -A k2 sin(kx ± ωt ) e ∂2w/∂t2 =-A ω2 sin(kx ± ωt )
→ A k2 sin(kx ± ωt ) - v-2 A ω2 sin(kx ± ωt )=0 → k2 - v-2 ω2 =0
v= ± ω/k (in 3D
(∂2w/∂x2+ ∂2w/∂y2+ ∂2w/∂z2 )- v-2 ∂2w/∂t2=0
oppure ∇•∇w- v-2 ∂2w/∂t2=0 od anche
∇2w- v-2 ∂2w/∂t2=0)
L’eq.è lineare (cioè date due soluzioni w e w’
dell’eq.anche una loro combinazione lineare
w”=a w + b w’ , a e b costanti numeriche, è
soluzione) e quindi vale il principio di
sovrapposizione. In figura due onde si
sovrappongono (si sommano) e continuano
nel loro moto indisturbate.
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Approfondiamo l’esempio della corda. Consideriamo una porzione Δx
di essa sottoposta ad una tensione uniforme T
T’
(|T’|=|T|) (trascuriamo altre forze che
y
θ’
possono agire sulla corda: attriti,
θ
forza peso,…).
T
x*
Supponiamo inoltre che durante
x
il moto trasversale lungo y della corda
la densità di massa per unità di lunghezza σ
Δx
(non si è usato λ per evitare confusione con la
lunghezza d’onda) e la tensione T rimangano costanti.
Applichiamo la 2a legge di Newton al tratto Δx.
che proiettata fornisce x: dm ax=∑ Fx
dm a=∑ F
y: dm ay=∑ Fy,
Ma dm= σ Δx, ∑ Fx =-T cos(θ)+T’cos(θ’)=T(cos(θ’)-cos(θ)), ∑ Fy =-T
sen(θ)+T’sen(θ’)=T(sen(θ’)-sen(θ)), mentre l’accelerazione del centro
di massa in posizione x* (tra x e x+ Δx) vale ax=∂2x/∂t2 (x*,t),
ay=∂2y/∂t2 (x*,t) perciò
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1) σ Δx ∂2x/∂t2 (x*,t)=T(cos(θ’)-cos(θ)),
2) σ Δx ∂2y/∂t2 (x*,t)=T(sen(θ’)-sen(θ)), per piccole oscillazioni
θ≈ sen(θ)≈tg(θ) ( tg(θ)=∂y/∂x pendenza della corda),
cos(θ) ≈ cos(θ’) (differiscono solo al 2° ordine) → la 1) fornisce
. σ ∂2x/∂t2 (x*,t)= 0 (ovvio, non c’è moto lungo x) mentre la 2) diviene
. σ ∂2y/∂t2 (x*,t)= (T (∂y/∂x (x + Δx,t) - ∂y/∂x (x,t))/ Δx,
facendo il limite per Δx→0, considerando T costante si ottiene
σ ∂2y/∂t2 (x,t)= T ∂2y/∂x2(x,t)
ovvero ∂2y/∂t2 - (T/ σ) ∂2y/∂x2=0 equazione delle onde con velocità
v2=T/ σ. Le soluzioni sono y(x,t)=A cos(kx - ωt )+B cos(kx +ωt )
o in termini complessi
y(x,t)=A Re(exp{i(kx - ωt )})+B Re(exp{i(kx +ωt )}),
la condizione di piccole oscillazioni (consideriamo l’onda progressiva)
corrisponde a ∂y/∂x=Re(ik A exp{i(kx -ωt )})=kA<<1, A<<1/k= λ /2π
ovvero l’ampiezza di oscillazione è molto inferiore alla lunghezza
d’onda.
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Generale
Energia ed intensità di un’onda:
Una massa in movimento possiede energia meccanica (cinetica). Nel caso di
una corda vibrante, la sorgente deve fornire energia alla corda per mantenerla
in moto. Definiamo intensità dell’onda I l’energia che passa attraverso una
sezione della corda nell’unità di tempo e quindi è una potenza e si misura in
W (in generale per altri tipi di onde l’energia che passa attraverso una
superficie unitaria nell’unità di tempo, si misura in W/m2). Poiché abbiamo
visto per un oscillatore che Kmax=Umax=E totale calcoliamo per un tratto dx
della corda e massa dm=σ dx l’energia cinetica massima, y=A sin(kx - ωt ),
v’=∂y/∂t=-Aωcos(kx - ωt ), v’max=Aω, dE=½ dm (vmax) 2=
½ σ dx (A ω) 2,
Per un’onda che si propaga con velocità v, l’energia che attraversa una
sezione di corda nel tempo dt vale ½ σ vdt (A ω) 2, perché nel tempo dt
l’onda si sposta di dx=v dt, e per unità di tempo (dividiamo per dt)
I=dE/dt=½ σ v ω2 A 2, che dipende dal quadrato dell’ampiezza e dal
quadrato della pulsazione. Questa caratteristica è generale per tutte le
onde.
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Generale
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Condizioni iniziali
Se la corda è infinita le soluzioni sono A p(x-vt) e B r(x+vt) (funzioni
qualunque, non necessariamente sinusoidali) e per t=0 si scelgono A e
B opportunamente per verificare la condizione iniziale: i) forma
iniziale della corda y(x,0)=f(x) e ii) sua derivata ∂y/∂t(x,0)=g(x)).
Dal fatto che derivare rispetto a t o x cambia solo di un fattore v,
∂y/∂t(x,t)=-v ∂p(x,t)/∂x+ v ∂r(x,t)/∂x, per t=0, ∂y/∂t(x,0)=
-v ∂p(x,0)/∂x+ v ∂r(x,0)/∂x=g(x) possiamo integrare
(∫g(x)dx)/v=G(x) -cost, ottenendo -p(x)+ r(x)+cost=G(x) . Quindi la i)
e ii) diventano p(x)+r(x)=f(x) e –p(x)+r(x)+cost=G(x), da cui l’onda
progressiva è p(x)=(f(x)-G(x)+cost)/2 e quella regressiva r(x)=(f(x)G(x)-cost)/2 (la costante si può assumere zero perché si elide
sommando p+r). Alla fine si può sostituire x con x±vt. Al passare del
tempo le due onde (progressiva e regressiva) si propagheranno
indipendentemente l’una dall’altra e saranno distinguibili solo se la f(x)
è localizzata nello spazio altrimenti si vedrà solo la loro somma.
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Condizioni al contorno
Se la corda ha un estremo fisso (corda semiinfinita) p.es. in x=0, ad
ogni istante y(0,t)=costante=0. Ciò comporta che una qualunque
x
Onda incidente
onda arrivando a x=0 deve in qualche
modo sovrapporsi con la sua opposta per
verificare y(0,t)=0 ∀t, fenomeno della
riflessione di un’onda.
Onda riflessa (oltre l’estremo fisso)
x
Semispazio dove è presente
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la corda
Generale
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x
Onda riflessa
Nel caso di onde sinusoidali (quindi infinite) si formano onde
stazionarie che sono la somma delle onde viaggianti p e r con
ampiezza opposta. In particolare, la sovrapposizione fornisce
6
λ
2λ
4
Y
2
0
-2
-4
λ/2
3λ/2
-6
-20
-15
-10
-5
X
0
Y(x,t)=2 A sen(kx) sen(ωt )
Onda stazionaria che ha nodi in
quiete a distanza λ/2 dall’estremo
fisso.
Al passare del tempo i ventri si
riducono, passano per zero e si
invertono (la curva nera diventa
quella rossa periodicamente)
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Generale
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G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
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Se gli estremi fissi sono due a distanza L, la corda è tesa fra di essi
e si ha riflessione da entrambi gli estremi. Per far si che sia sempre
verificata la condizione y(0,t)=y(-L,t)=0 ∀t, vengono selezionate
solo quelle onde stazionarie che verificano n λ/2=L, con n intero,
k=2π/λ=n (π/L) e ω= kv= n (π/L)(T/ σ)½
Questo giustifica il fatto che
gli strumenti a corde (chitarra,
L
pianoforte, violini) hanno
un’accordatura fissa basata
sulla lunghezza delle corde.
Inoltre variando la tensione
della corde o la loro
dimensione (massa per unità
di lunghezza σ) si cambia
X
l’accordatura f= ω/(2 π).
6
4
Y
2
0
-2
-4
-6
-20
-15
-10
-5
0
Per n=1 si dice che la frequenza è quella fondamentale o prima armonica,
n=2 seconda armonica, etc. G. Bracco - Appunti di Fisica
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Generale
Cenno agli sviluppi di Fourier:
Essendo l’eq.delle onde lineare, una somma di soluzioni è ancora soluzione.
Se l’onda anziché essere di tipo sinusoidale, è una funzione f periodica
qualunque di periodo T, allora è possibile scriverla come somma di funzioni
periodiche (seno e coseno). Ad es.in un punto possiamo scrivere
f(t)=A0+Σ[Ancos(2πnt/T)+ Bnsen(2πnt/T)] quindi f contiene non solo la
frequenza fondamentale 2π/T ma anche tutte le armoniche, tale serie si chiama
serie di Fourier (An è il valor medio di f e la sommatoria è per n>0). Troncando
la serie si ha un polinomio trigonometrico che approx.la funzione.
Per un sistema generale (non solo una corda ma anche un circuito elettrico
purché lineare) conoscere come risponde in regime sinusoidale (singola
frequenza) permette di sapere come risponde in generale ad un segnale
periodico poiché si può utilizzare la sovrapposizione degli effetti di ciascuna
singola frequenza (cioè applicare il risultato a ciascun termine della serie di
Fourier).
Es.: sommare in modo approssimato i seguenti casi
1)f(t) con An=0, Bn=4/( π n), con n solo dispari (anim:fourierq)
f(t)=4*[sen(2πt/T)+sen(2π3t/T)/3+sen(2π5t/T)/5+…]/π
2)F(t) con An=0, Bn=-1/( π n), con n>0 (anim:fouriers)
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Generale
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L’analisi armonica trova applicazioni in:
•Acustica
•Ottica
•Meccanica
•Trattazione del segnale
•Analisi di immagini
Per esempio in acustica, i suoni degli strumenti si basano su sette
diversi suoni, le note DO, RE, MI , FA, SOL, LA e SI (in notazione
inglese C, D. E, F, G, A, B). Ad ogni nota corrisponde una
frequenza, p.es. al LA centrale 440 Hz. Riportando l’ampiezza
assoluta dei coefficienti di Fourier si ottiene lo spettro di quello
strumento. Le differenze nelle varie frequenze e ampiezze per la
stessa nota fondamentale determina il timbro dello strumento.
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Generale
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Generale
22
Il principio di sovrapposizione porta anche a fenomeni di interferenza,
in cui onde generate dalla stessa sorgente o da sorgenti differenti si
sovrappongono e a seconda della relazione di fase fra di esse possono
dare interferenza costruttiva (a,d) distruttiva (b,e) in cui l’ampiezza è
la somma o la differenza delle loro ampiezze. Per valori intermedi di
fase (c,d) l’ampiezza è compresa tra questi due valori.
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Generale
23
Due sorgenti che generano
onde di ugual ampiezza e
lunghezza d’onda danno
luogo alla loro
sovrapposizione: se le onde
che si sommano sono in fase
(condizione di interferenza
costruttiva) si un’ampiezza
maggiore, se in opposizione di
fase (interferenza distruttiva)
si ha un’ampiezza minore
(nulla se l’ampiezza delle due
onde è uguale). I cerchi
rappresentano i fronti d’onda,
punti che hanno la stessa fase
(per esempio massimi di
intensità)
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Generale
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Le onde sferiche generate da una
sorgente arrivano su uno schermo
con due fenditure che a loro volta
si comportano come due sorgenti
la cui differenza di fase rimane
costante nel tempo perché
provengono da uno stesso fronte
d’onda della prima sorgente
(sorgenti coerenti) e quindi la
sovrapposizione delle loro onde dà
luogo a interferenza con massimi e
minimi di intensità.
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Condizione per i massimi d’interferenza
L’
L
Trascurando effetti di
diffrazione (cioè il fronte
d’onda è limitato dalle
fenditure che causano una
modulazione dell’intensità) e
utilizzando l’approssimazione
di schermo distante così i raggi
uscenti sono praticamente
paralleli, si ha interferenza
costruttiva se la differenza di
cammino è un numero intero m
di lunghezze d’onda
δ=L-L’=nλ≈d sen(θ’) e per angoli piccoli sen (θ’) =tg (θ’) =y/D quindi
mλD/d=y con y la posizione su uno schermo a distanza D dalle fenditure
misurata dal punto medio fra le fenditure.
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Le onde sebbene non comportino trasporto di materia, trasportano
energia come abbiamo visto e quantità di moto. Le onde trasversali a
polarizzazione ellittica o circolare trasportano momento angolare.
Esempi di onde, tutte governate dall’equazione delle onde:
-onde meccaniche: onde che per propagarsi hanno bisogno di un mezzo
materiale
es.: scosse telluriche (permettono di ricavare informazioni sulla struttura
interna della Terra), suono, onde su corde tese, onde marine.
-onde elettromagnetiche: onde in cui oscillano i campi elettrici e
magnetici, a seconda della frequenza: onde radio, calore (irraggiamento)
e luce, ultravioletto, raggi X e raggi γ. Si propagano anche nel vuoto,
non c’è bisogno della presenza di un mezzo materiale.
-onde associate alle particelle, concetto della meccanica quantistica che
sostituisce la meccanica classica (dei corpi macroscopici) che fallisce
nella descrizione dei sistemi microscopici.
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