Lezioni 7-9 (27 febbraio, 1 marzo 2017)
Nella nostra ricostruzione, la sillogistica tratta i rapporti tra proprietà (essere un umano, essere
mortale ....) e riguarda ragionamenti con due premesse, la logica proposizionale tratta i rapporti
verofunzionali, le logiche modali modellano vari rapporti di necessità e possibilità. Adesso
cerchiamo di guardare ‘dentro’ le proposizioni per enucleare certe strutture interne
La logica (o calcolo) dei predicati è anche nota come “teoria della quantificazione” o “logica di
primo ordine”
–
due distinzioni di base:
–
(A) tra “ciò di cui si parla” (“soggetto”) e “ciò che si dice di ciò di cui si parla”
(“predicato”)
–
(B) tra l’uso di costanti e l’uso di variabili per ciò di cui si parla
La distinzione (A) si trova in una versione già in Platone (Sofista, 262ss)
–
all’interno di una frase come ‘Teeteto è seduto’ possiamo scorgere una differenze di
funzione tra ‘Teeteto’ e ‘è seduto’
–
‘Teeteto’ è un nome (onoma), mentre ‘è seduto’ è un verbo (rhema)
–
‘Teeteto è seduto’ dice di Teeteto (il ‘soggetto’) che sta facendo qualcosa/è in un certo stato
(il ‘predicato’)
–
se il predicato si applica al soggetto, la frase è vera
–
‘Teeteto vola’ dice di Teeteto qualcosa diverso da quello che sta facendo o uno stato da
quello in cui è; qundi è falsa
–
(per Platone, il problema era come spiegare che dicendo qualcosa che non c’è si riesce a dire
qualcosa che nono è ‘dire il nulla’)
–
ma non sono proponibili stringhe come ‘è seduto vola’ o ‘Platone Teeteto’: non esprimono
proposizioni
Tre caratteristiche di nomi/onomata/”soggetti” (Aristotele, Sull’interpretazione i-iii)
(a)
le parti di un nome non sono significative: non ne determinano il portatore (il rat in
‘Socrate’ o il ‘duca’ in ‘Il duca d’Aosta’ nel nome dell’albergo milanese non contribuiscono al
significato del nome)
(b)
un soggetto non ha un contrario (anche Categorie v): si può dire ‘Teeteto non vola’, ma non
si può dire ‘non-Teeteto vola’
(c)
un soggetto non fa riferimento al tempo, mentre un verbo (rhema) può
I portatori di nomi sono oggetti singolari o concreti, mentre le caratteristiche o proprietà che ci si
applicano sono oggetti generali o astratte (come insiemi)
–
i rapporti tra insiemi – come esclusione, intersezione, inclusione e identità – non
contemplano il rapporto tra un insieme e un suo elemento o membro, che è un rapporto di
appartenenza
–
se un insieme ha un membro, allora la proprietà che rappresenta è esemplificata
–
se l’uomo Teeteto esemplifica la caratteristica di essere seduto, allora l’insieme ‘essere
seduto’ ha almeno un membro
Due cautele sugli insiemi
(1)
non tutte i termini che possono apparire nella posizione di “predicato” corrispondono a
proprietà
–
ad es. aggettivi attributivi come “grande”, o “buono” non stanno per proprietà nel senso
insiemistico
(2)
la nozione ingenua di insieme incorre in paradosso
la nozione ingenua è quella di una raccolta di individui che condividono una caratteristica
insiemi SEMBRANO a “basso costo”: si generano semplicemente specificando la
caratteristica condivisa
SEMBRA che per ogni definizione di una caratteristica, ci sarà un insieme
MA, questo non può valere per la definizione “insieme degli insiemi che non sono membri
di se stessi” (il Paradosso di Russell)
cfr. “Figaro è il barbiere sivigliano che rade tutti gli uomini di Siviglia che non radono se
stessi” Chi rade Figaro?
Atteggiamento di Davies: gli insiemi sono facili da disegnare sulla lavagna, quindi possono essere
usati
Procediamo alla distinzione (B)
Per convenzione, si rappresentano i nomi con lettere minuscole desunte dall’inizio dell’alfabeto:
‘a’, ‘b’, ‘c’ …, e termini per predicabili con maiuscole a partire da ‘F’, ‘G’, ‘H’…
–
così ‘Fa’ dice della caratteristica F che si applica alla cosa designata da ‘a’
–
l’intuizione di introdurre variabili, ‘x’, ‘y’, ‘z’… che ‘vanno alla ricerca’ degli oggetti
denotati dai nomi è stata di G. Frege nel libro Begriffsschrift (‘Scrittura dei concetti’ 1879) ma la
sua notazione è difficile da manipolare
–
così come le lettere ‘A’ e ‘B’ introdotte da Aristotele negli Analitici primi prendono il posto
di ‘è un animale’, ‘è un cavallo’ ecc., le variabili singolari della logica dei predicati prendono il
posto di ‘Teeteto’, ‘Platone’ ecc.
Le variabili funzionano un po’ come i pronomi nel linguaggio naturale
–
‘Fx’ può essere reso come ‘F di esso’
–
ma una frase del genere non specifica le sue condizioni di verità
–
si dice che ‘Fx’ è una frase ‘aperta’ e che la variabile è ‘libera’
Mossa cruciale: si ‘lega’ una variabile in una frase ‘chiusa’ (una che determina le circonstanze in
cui è vera o falsa) mettendo la varabile nel raggio di azione di un quantificatore
–
una frase quantificata è composta di due elementi: la quantificazione e la funzione
–
la quantificazione specifica il numero (minimo, massimo o esatto) di valori della variabile
richiesti
–
la funzione specifica la caratteristica (l’insieme) dove si va a contare le esemplificazioni
Già nel 1885, C.S. Peirce aveva applicato la parola ‘quantificazione’ all’operazione in questione e
aveva adottato ‘Π’ (corrispondente al greco ‘pas’: ‘tutto) per quello universale e ‘Σ’ (che può
richiamare ‘singolare’) per quello particolare
–
la grande scuola dei logici polacchi (c. 1920-1939) ha seguito questa scelta
–
anche K. Gödel nei suoi fondamentali interventi sull’incompletezza di ogni logica capace di
esprimere l’aritmetica (1931 ecc.)
Il primo quantificatore introdotto e ancora in uso corrente è il simbolo ‘∃’ che G. Peano adotta nei
suoi ‘Studi di logica matematica’ (1896-7)
–
la scelta grafica di un simbolo che ricorda la lettera ‘E’ è almeno doppiamente sfortunata
–
(i) per chi ricorda l’uso di ‘E’ per negazione universale nella sillogistica, mentre questo
corrisponderebbe a affermazione particolare; e
–
(ii) perché Peano stesso lo sceglie per ricordare la parola ‘esiste’ ed è quindi spesso
chiamato ‘quantificatore esistenziale’
–
ma un quantificatore non dice niente su ciò che esiste
–
meglio chiamarlo ‘quantificatore particolare’ o ‘quantificatore singolare’
–
e meglio leggere ‘∃x’ ‘per qualche x’ o ‘per almeno una x’ anziché (come fanno molti libri
di testo) ‘esiste una x’ o ‘vi è una x’
–
mentre ‘per qualche x’ o ‘per almeno una x’ sono chiaramente incompleti (richiedono la
parte che specifica la funzione), ‘esiste una x’ o ‘vi è una x’ possono apparire completi
una conseguenza (beneficio?) della teoria della quantificazione è un chiarimento del senso in cui
‘esiste’ non è un predicato di primo ordine
La scelta di Peano è stata seguita da Whitehead e Russell nei Principia Mathematica e abbinata
all’adozione di ‘(x)’ per il quantificatore universale
– ‘∀’ viene introdotto come segno della quantificazione universale in un articolo di Gerhard
Gentzen del 19341,
– diventa canonico a partire dagli anni 1950, soprattutto negli Stati Uniti, con i libri di testo di
W.v.O. Quine
Letture dei quantificatori con funzioni a uno o più posti:
(∃x) Fx (per qualche/almeno una x, F di x: qualcosa è F)
(∀x) Fx (per ogni/tutte le/ciascuna x, F di x: tutto è F)
(∃x) Axx (per qualche x, x ama x: qualcuno ama se stesso)
(∀x) Axx (per tutte le x, x ama x: tutti amano se stessi)
(∃x) (∃y) Axy (per qualche x, per qualche y, x ama y: qualcuno ama qualcuno)
(∃x) (∃y) Ayx (per qualche x, per qualche y, x è amato da y: qualcuno è amato da qualcuno)
(∃x) (∀y) Axy (per qualche x, per tutte le y, x ama y: qualcuno ama tutti)
(∃x) (∀y) Ayx (per qualche x, per tutte le y, x è amato da y: qualcuno è amato da tutti)
(∀x) (∃y) Axy (per tutte le x, per qualche y, x ama y: tutti amano qualcuno)
(∀x) (∃y) Ayx (per tutte le x, per qualche y, x è amato da y: ognuno è amato da qualcuno)
(∀x) (∀y) Axy (per tutte le x, per tutte le y, x ama y: tutti amano tutti)
(∀x) (∀y) Ayx (per tutte le x, per tutte le y, x è amato da y: tutti sono amati da tutti)
Regole della manipolazione dei quantificatori (dove ‘⇒’ sta per ‘implica’)
(i) Regole dell’interazione dei quantificatori con i nomi
(∃I): (Fa) ⇒ (∃x) (Fx) (‘F di a, quindi, per qualche x, F di x)
(∀E): (∀x) (Fx) => (Fa) (‘per ogni x, F di x, quindi, F di a’)
(ii) Regole di introduzione
(&I): (∃x) (Fx & Gx) => (∃x) (Fx) & (∃x) (Gx)
(&I): (∀x) (Fx & Gx) => (∀x) (Fx) & (∀x) (Gx)
(&I): (∀x) (Fx) & (∀x) (Gx) => (∀x) (Fx & Gx)
(∨I): (∃x) (Fx ∨ Gx) => (∃x) (Fx) ∨ (∃x) (Gx)
(∨I): (∃x) (Fx) ∨ (∃x) (Gx) => (∃x) (Fx ∨ Gx)
(∨I): (∀x) (Fx) ∨ (∀x) (Gx) => (∀x) (Fx ∨ Gx)
NB
(* Non da ‘(∃x) (Fx) & (∃x) (Gx)’ a ‘(∃x) (Fx & Gx)’)
(* Non da ‘(∀x) (Fx ∨ Gx)’ a ‘(∀x) (Fx) ∨ (∀x) (Gx)’
1
Il suo ‘Untersuchungen über das logisches Schliessen’ fu pubblicato nella Matematische Zeitschrift (N° 39).
(iii) Regole di eliminazione
(&E): (∃x) (Fx & Gx) => (∃x) (Fx)
(&E): (∃x) (Fx & Gx) => (∃x) (Gx)
(∨E): (∃x) ((Fx ∨ Gx) & (Fx ⊃ Hx) & (Gx ⊃ Hx)) => (∃x) (Hx)
(∨E): (∀x) ((Fx ∨ Gx) & (Fx ⊃ Hx) & (Gx ⊃ Hx)) => (∀x) (Hx)
Caratteristiche dell’identità
(∀x) (x = x)
(La riflessività dell’identità
o ‘legge di auto-identità’)
(∀x) (∀y) (x = y) ⊃ (y = x)
(La simmetria dell’identità)
(∀x) (∀y) (∀z) ((x = y) & (y = z)) ⊃ (x = z) (La transitività dell’identità)
(∀x) (∀y) ((Fx) & (x = y)) ⊃ (Fy)
(L’indiscernibilità degli identici)
(∀x) (∀y) (∀F) (Fx & Fy) ⊃ (x = y)
(L’identità degli indiscernibili)
Espressioni numeriche
(∀x) –(Fx) (per ogni x, non-F di x: niente è F)
(∃x) (∀y) (Fx & Fy) ⊃ (x = y) (per qualche x, per ogni y, se F di x e F di y, allora x e y sono
identici: al massimo una cosa è F)
(∃x) (∃y) (Fx & Fy) ⊃ (x ≠ y) (per qualche x, per qualche y, se F di x e F di y, allora x e y non sono
identici: almeno due cose sono F)
(∃x) (∃y) (∀z) (Fx & Fy & Fz) ⊃ ((x = y) ∨ (x = z) ∨ (y = z)) (al massimo due cose sono F)
Descrizioni definite: ‘L’attuale re di Francia è calvo’ (Russell 1905)
(i) (∃x) (Fx) (‘per almeno un’x, x è un attuale re di Francia’)
(ii) (∀x) (∀y) (Fx & Fy) ⊃ (y = x) (‘per al massimo un’x, x è un attuale re di Francia’); e
(iii) (∀x) (Fx ⊃ Gx) (‘per qualunque x, se x è un attuale re di Francia, x è calvo’)
ma (i) è falso, quindi la congiunzione di (i)-(iii) è falsa
Versione sintetica:
(∃x) (∀y) ((Fx & Fy) ⊃ (x = y)) & (Gx) (‘per almeno un’x, per ogni y, se x è un re di Francia e y è un
re di Francia, allora x è identica a y, e x è calvo)
o
(ιx) (Fx ⊃ Gx) (‘Se l’x è il re di Francia, x è calvo’)
In Principia Mathematica di Whitehead e Russell, persino il segno ‘ι’ è rovesciato (come ∃)
– ‘ι’ è un quantificatore che interpreta ‘il/la’ al singolare
– ci vuole tutt’altro approccio per rendere conto di ‘il/la’ al plurale (‘la balena è una
mammifera’)
– cfr. le considerazioni sulla suppositio (Mod I, lez. 15-17)
Oltre ai quantificatori riconosciuti nella teoria del sillogismo ((∃x) e (∀x) e le loro negazioni) e
quelli numerici che si possono ricavarne, è possibile introdurre altri per modellare vari gradi di
inferenza plurativa
– ad esempio possiamo adottare un segno (µ) per rappresentare quantificazione su
maggioranze (50%+1)
– vediamo che i “sillogismi” sono molto più limitati ma forse più interessanti):
(A)
(µx) (Fx ⊃ Gx)
(µx) (Fx ⊃ Hx)
(per la maggior parte di x, se F di x, allora G di x)
(per la maggior parte di x, se F di x, allora H di x)
(quindi)
(∃x) (Gx ⊃ Hx)
(B)
(C)
(per qualche x, se G di x, allora H di x)
(µx) (Fx ⊃ Gx)
(∀x) (Gx ⊃ Hx)
(quindi)
(µx) (Fx ⊃ Hx)
(per la maggior parte di x, se F di x, allora G di x)
(per ogni x, se G di x, allora H di x)
(µx) (Fx ⊃ Gx)
(µx) (Gx ⊃ Hx)
(µx) (Hx ⊃ Fx)
(quindi)
(∃x) (Fx ⊃ (Gx & Hx))
(per la maggior parte di x, se F di x, allora G di x)
(per la maggior parte di x, se G di x, allora H di x)
(per la maggior parte di x, se H di x, allora F di x)
(D)
(per la maggior parte di x, se F di x, allora H di x)
(per qualche x, se F di x, allora sia G di x che H di x)
(µx) (Fx ⊃ Gx)
(µx) (Fx & Hx) ⊃ –(Gx)
(quindi)
(µx) (Fx & –Hx) ⊃ (Gx)
–
(per la maggior parte di x, se F di x, allora G di x)
(per la maggior parte di x, se F di x e H di x, allora
non-G di x)
(per la maggior parte di x, se F di x e non-H di x,
allora G di x)
poi, introduciamo un altro segno (σµ) per rappresentare una schiacciante
maggioranza (almeno 75%)
(σµx) (Fx ⊃ Gx)
(σµx) (Gx ⊃ Hx)
(per la schiacciante maggioranza di x, se F di x, allora G di x)
(per la schiacciante maggioranza di x, se G di x, allora H di x)
(µx) (Fx ⊃ Gx)
(per la maggior parte di x, se F di x, allora G di x)
(quindi)
