Legge di Gauss: dalla versione integrale a quella differenziale
L'obiettivo è trovare la proprietà microscopica del campo elettrico che corrisponde
alla legge di Gauss in versione integrale,
∮Σ ⃗E⋅̂n d Σ= εq0
la quale dice che il flusso del campo elettrico su una superficie chiusa Σ è
proporzionale alla carica elettrica racchiusa dalla superficie. Nel caso di un
volumetto infinitesimo di lati dx, dy, dz, il flusso si approssima con la somma di sei
contributi, uno per faccia, dove il campo elettrico è considerato costante. I contributi
al flusso dati da due facce opposte (per esempio quelle ortogonali all'asse x in
E⋅̂n ortogonale alla faccia dy-dz di
figura) hanno segno opposto: la componente ⃗
destra è E x ' perchè il versore normale alla faccia è n̂ = x̂ , mentre nella faccia
opposta questa componente è −E x perchè n̂ =− x̂ . Quindi uno dei due
flussi risulta uguale a E x ' (dy dz ) (componente ortogonale alla superficie per
area infinitesima) e l'altro a −E x (dy dz ) . Dato che dx è una distanza molto
piccola, abbiamo E x ' ≃E x . Espandendo al primo ordine in dx
E x ' = E x+
∂ Ex
dx
∂x
( E x ' − E x )dy dz=
si ottiene il contributo al flusso dalle due facce evidenziate:
∂ Ex
dx dy dz
∂x
Ripetendo il ragionamento per le facce ortogonali all'asse y (z) si trova
∂Ey
dx dy dz
∂y
(
∂ Ez
dx dy dz ) .
∂z
Il flusso totale sulle sei facce, dato dalla somma dei termini trovati, è uguale
q/ ε0 . Con una densità di carica ρ nel volumetto c'è una carica q=ρ dx dy dz e la legge di Gauss in
∂ Ex ∂ E y ∂ Ez
ρ dx dy dz
+
+
)dx dy dz =
.
ε0
∂x ∂y ∂z
Valendo per ogni volumetto dx dy dz , possiamo semplificare e dire che
∂ E x ∂ E y ∂ Ez ρ
+
+
=
è una proprietà del campo elettrico.
∂ x ∂ y ∂ z ε0
questo caso diventa (
Nel lato sinistro di questa equazione abbiamo l'operatore divergenza
∂ E x ∂ E y ∂ Ez ⃗
+
+
= ∇⋅⃗
E
∂x ∂ y ∂z
che praticamente è il prodotto scalare tra il vettore gradiente
∂ , ∂ , ∂ ) ed il vettore
⃗
∇=(
∂ x ∂ y ∂z
⃗
E=(E x , E y , E z ) . Possiamo quindi scrivere la legge di Gauss in forma differenziale come
⃗ E
⃗= ρ
∇⋅
ε0
⃗
⃗
e pensare alla divergenza di E in un punto X come ad un rapporto flusso/volume, tra il flusso del vettore
⃗ ed il volume delimitato da tale superficie.
campo elettrico su una mini-superficie che comprende X
Nota: Per alleggerire la notazione, la dipendenza da
stata sottointesa.
⃗ del vettore
X
⃗
⃗ )=(E x ( X
⃗ ), E y ( X
⃗ ) , Ez( X
⃗ )) è
E( X
Legge di Faraday: dalla versione integrale a quella differenziale
Scopriamo una seconda proprietà microscopica del campo elettrico, stavolta connesso
alla variazione nel tempo del campo magnetico tramite la legge di Faraday
⃗
∮C E⃗⋅ds=−
d Φ( ⃗
B)
dt
Qui il flusso del campo magnetico è sulla superficie orientata delimitata dalla curva
orientata C. Per la curva microscopica data dal rettangolino di lati dy e dz in figura,
seguendo l'orientazione delle frecce (verdi e blu) si ha che il versore normale alla
B che
superficie interna (colorata) è n̂ = x̂ e quindi B x è la componente di ⃗
determina il flusso. Visto che si tratta di una superficie microscopica, B x è
praticamente costante su di essa ed il flusso risulta uguale al suo valore per l'area
dy dz , quindi
d Φ( ⃗
B) dB x
=
dy dz .
dt
dt
All'integrale di linea
∮C E⃗⋅ds⃗
invece contribuiscono quattro termini.
⃗ paralleli all'asse y, per cui
Due di essi hanno a che fare con gli spostamenti ±dy
⃗ .
E⋅ds
E y è la componente del campo elettrico che contribuisce ai relativi ⃗
Il primo risulta E y dy mentre il secondo è −E y ' dy perchè lo spostamento è
⃗ . Ora la differenza tra
−dy
E y ' ed
E y è quella spostandosi lungo l'asse z,
∂Ey
quindi l'espansione da fare è E y ' = E y +
dz e la somma dei due termini
∂z
∂ Ey
dz dy . Per gli spostamenti paralleli all'asse z si fà
risulta ( E y− E y ' )dy =−
∂z
un ragionamento analogo, ma si trova un segno opposto,
( E z ' − E z )dz=
∂ Ez
dy dz .
∂y
⃗ quindi è
Il totale dei quattro contributi ⃗
E⋅ds
( ∂∂Ey − ∂∂Ez ) dy dz
z
y
.
Visto che dy e dz sono generici, per questo caso la legge di Faraday si semplifica in
( ∂∂Ey − ∂∂Ez )=− dBdt
z
y
x
.
Il termine di destra è la componente x del rotore del campo elettrico
calcolabile dal determinante della matrice
(
x̂
∂
det
∂x
Ex
̂y
∂
∂y
Ey
̂z
∂
∂z
Ez
)
⃗ E
⃗ ,
∇×
(
∂
, infatti il primo sottodeterminante è ̂x det ∂ y
Ey
∂
∂z
Ez
)
.
Per le componenti y e z si trova una relazione analoga tra componente del rotore del campo elettrico e
componente del campo magnetico (x non è speciale...), quindi la legge di Faraday differenziale in forma
vettoriale si scrive
⃗
⃗ E
⃗ =− d B
∇×
dt
