TEOREMA DI GAUSS
CONDENSATORI
Immaginiamo di avere una superficie (nel
disegno essa è chiusa, ma non è vincolante) e di
considerare, per esempio, il vettore campo
elettrico E esistente in ogni punto della
superficie.
Immaginiamo di scomporre il vettore lungo il
piano tangente e lungo la direzione
perpendicolare a questo. Chiameremo En la
componente del vettore campo elettrico
perpendicolare.
E' evidente che se il vettore è sempre
perpendicolare alla superficie, come nel caso del
campo elettrico generato da una carica
puntiforme rispetto alle superfici speriche con
centro nella carica stessa, la componente En
coincide con il campo elettrico E.
In tutti gli esempi successivi questa ipotesi sarà
verificata.
Un condensatore è un dispositivo costruito
mediante due superfici conduttrici affacciate
(piane, cilindriche, speriche...), separate da un
materiale isolante (aria, plastica, carta
imbevuta...).
Il suo scopo è essere caricato (mediante
dispositivi chimici o meccanici): su una
superficie (“armatura”) viene trasferito un
eccesso di elettroni (carica -Q ), mentre sull'altra
armatura vi sarà una analoga mancanza di
elettroni (carica +Q).
Tra le due armature c'è una zona di campo
elettrico, con conseguente differenza di
potenziale.
Si definisce “capacità del condensatore” il
rapporto tra la quantità di carica Q e la
differenza di potenziale:
C=
Q
U
; [F =
C
Coulomb
] ; Farad =
V
Volt
Maggiore capacità significa poter accumulare
più carica a parità di differenza di potenziale. O,
al contrario, significa che, a parità di carica
trasferita da un'armatura all'altra, sarà minore la
differenza di potenziale (con minore rischio di
scarica diretta attraverso l'isolante e conseguente
danneggiamento del condensatore)
Il condensatore viene utilizzato (nei circuiti in
corrente continua) per produrre correnti
elettriche elevate in poco tempo: es. flash della
macchina fotografica, defibrillatore per utilizzo
medico ...
Il flusso del vettore si definisce,
approssimativamente, in questo modo:
E = E n⋅A
FLUSSO DI UN VETTORE
(“Approssimativamente”, in quanto se il vettore
è variabile da punto a punto, dovremmo
scomporre la superficie in tante superfici
piccolissime intorno a ciascun punto della
superficie, effettuare il calcolo localmente e
infine sommare tutti gli innumerevoli flussi
ottenuti: questa operazione si chiama “integrale
di superficie”)
Dato un campo di forza, cioè un vettore definito
in ogni punto dello spazio, si dice flusso del
vettore attraverso una superficie il prodotto della
superficie per la componente (fatta punto per
punto) del vettore perpendicolare (o normale) alla
superficie.
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TEOREMA DI GAUSS
Data una superficie chiusa, il flusso del campo
elettrico che la attraversa è uguale al valore della
carica totale in essa contenuta, divisa per la
conduttività elettrica (o permettività elettrica) del
mezzo
E =
E =
Q
0
Q
0⋅r
; nel vuoto
dalla quale si ricava la nota formula:
; in un mezzo diverso dal vuoto
E=
La costante εo è caratteristica del vuoto e vale
circa 8,854 10 -12 F/m
essendo stato posto:
La costante εr è maggiore di uno per qualsiasi
materiale ed è una caratteristica del
comportamento elettrico del materiale stesso.
ko =
1
4 o
CONDENSATORE PIANO: capacità
Utilizziamo ora il Teorema di Gauss per
determinare la capacità di un condensatore
formato da due armature piane e parallele, di
area A, poste a
distanza d
Essendo E il
campo elettrico,
uniforme, tra le
piastre, il lavoro,
espresso dalla
differenza di
potenziale, vale:
ESEMPIO
campo elettrico generato da carica puntiforme
Mediante il Teorema di Gauss possiamo
ritrovare la formula del campo elettrico generato
da una carica puntiforme Q.
Il campo elettrico ha direzione radiale (con verso
uscente se la carica è positiva) e per motivi di
simmetria non può che essere costante ad una
certa distanza r dalla carica. Varia però con il
variare della distanza e varia in modo da
rispettare il Teorema di Gauss.
U = E⋅d
Consideriamo una generica superficie sferica di
raggio r. Il campo elettrico è radiale, quindi
perpendicolare ad essa. Coincide con En ed ha
valore costante. Pertanto il flusso si ottiene
semplicemente moltiplicando il valore di E per
l'area della superficie sferica.
Q = o⋅4 r 2⋅E
1
Q
⋅
4 o r 2
Se applichiamo il
Teorema di Gauss
alla superficie tratteggiata, l'area attraversata dal
campo elettrico vale A, ovvero l'area delle
armature, essendo il campo elettrico presente
solo tra i due conduttori.
( nel vuoto)
Pertanto:
Q = 0 r⋅E⋅A
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Unendo le due:
C=
EA
Q
= 0 r
U
Ed
e semplificando:
C || =
0 r A
d
che esprime la capacità di un condensatore
piano.
Con calcoli più complessi, utilizzando una
operazione chiamata integrale (perché ora il
campo E non è uniforme ma dipende dal
raggio), otteniamo:
CONDENSATORE CILINDRICO: capacità
C cil = 2 0 r
L
R est
ln
Rint
CONDENSATORE SFERICO: capacità
C sf = 4 0 r
1
1
−
Rint Rest
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